MỤC LỤC Mở đầu I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu V Đóng góp Sáng kiến .3 Về mặt lý luận Về mặt thực tiễn Chương I I Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 Vai trò chức phương tiện trực quan trình dạy học .3 Vai trị phương tiện trực quan q trình dạy học 1.3 Chức phương tiện trực quan trình dạy học 1.4 Tính hiệu q trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan .5 1.5 Hiệu trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan 1.6 Đặc điểm, yêu cầu thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít trường phổ thơng 1.7 Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít trường Trung học phổ thông .6 Kết luận chương I Chương II: II Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch sai lầm sửa chữa thiếu sót, sai lầm học sinh trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít .8 2.1 Những sai lầm việc không nắm vững định nghĩa, định lý, quy tắc vận dụng chúng cách máy móc khơng ý đến điều kiện áp dụng: 2.2 Dùng phương tiện trực quan để vạch sai lầm học sinh q trình giải tốn phần hàm số mũ, hàm số logarít 10 2.3 Sử dụng phương tiên trực quan giải khó khăn thường gặp học sinh học phần hàm số mũ hàm số logarít thường gặp .14 2.4 Kết luận chương .17 Tài liệu tham khảo 18 Mở đầu I Lý chọn đề tài Thực chủ trương Đảng, Bộ giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu phát triển xã hội, trình dạy học nói chung dạy học tốn nói riêng có nhiều thay đổi Nghị TW “…đổi mạnh mẽ phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ chiều, rèn luyện nếp tư cho học sinh, bước áp dụng phương pháp tiên tiến đại vào trình dạy học…” Một hướng quan trọng phát triển phương pháp đại dạy học toán xây dựng phương tiện dạy học dẫn phương pháp sử dụng chúng toán, nhằm hình thành học sinh hình ảnh cảm tính đối tượng nghiên cứu, gợi cho học sinh tình có vấn đề, tạo nên hứng thú học toán Trong thời gian gần ảnh hướng tiến khoa học kỹ thuật phát triển lý luận dạy học, nhiều dạng phương tiện dạy học xuất trường phổ thơng Nó khơng nguồn kiến thức, cho hình ảnh minh họa mà cịn phương tiện tổ chức, điều khiển hoạt động nhận thức học sinh, phương tiện tổ chức khoa học lao động sư phạm giáo viên học sinh Thực tế dạy học nhà trường Trung học phổ thông nước ta cho thấy học sinh thường gặp khơng khó khăn lĩnh hội khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, nhiều học sinh nhớ biểu thức, học thuộc khái niệm, khơng giải thích đầy đủ ý nghĩa chất nó, từ dẫn tới việc vận dụng cách máy móc, hướng vận dụng Do việc sử dụng phương tiện trực quan vào trình dạy học việc làm cần thiết phù hợp với xu đổi phương pháp dạy học trường phổ thông Từ nhận thức ấy, chọn đề tài nghiên cứu với tiêu đề: Xây dựng sử dụng số dạng phương tiện dạy học trực quan với mục đích vạch sai lầm sửa chữa thiếu sót, sai lầm học sinh trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít II Mục đích nghiên cứu Sáng kiến xác định số dạng phương tiện dạy học trực quan cần thiết dẫn phương pháp sử dụng chúng dạy học khái niệm - Định lý - Giải toán phần hàm số mũ, hàm số logarít III Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống hóa sở lý luận thực tiễn dạy học hàm số mũ hàm số logarít, mối liên hệ với vai trị chức phương tiện trực quan dạy học tốn Hình thành u cầu sư phạm dạng phương tiện trực quan dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít thể cụ thể qua số dạng phương tiện trực quan tương ứng với hoạt động chủ yếu dạy học toán IV Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý luận Nghiên cứu tài liệu, phương pháp dạy học toán sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tham khảo có liên quan đến đề tài nghiên cứu Quan sát Dự giờ, quan sát việc dạy giáo viên việc học học sinh hàm số mũ, hàm số logarít có sử dụng phương tiện dạy học trực quan Phân tích khó khăn sai lầm học sinh học phần hàm số mũ, hàm số logarít theo sách giáo khoa V Đóng góp Sáng kiến Về mặt lý luận Xác định sở khoa học để xây dựng sử dụng phương tiện trực quan trình dạy học Xác định biện pháp áp dụng phương tiện trực quan nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít Về mặt thực tiễn Thể yêu cầu sư phạm vào việc xây dựng sử dụng phương tiện trực quan để dạy học phần quan trọng chương Giáo viên toán trường THPT sử dụng Sáng kiến làm tài liệu tham khảo dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít Chương I I Cơ sở lý luận thực tiễn 1.1 Vai trò chức phương tiện trực quan trình dạy học Trong thực tiễn dạy học, học sinh thường gặp khó khăn có tưởng chừng khơng vượt qua chuyển từ cụ thể lên trừu tượng từ trừu tượng lên cụ thể tư Khó khăn nằm chủ yếu chỗ: Khi tri giác cụ thể thực học sinh phát chung chất chủ yếu ẩn nấp bị che lấp muôn vàn riêng không chất thứ yếu cụ thể; ngược lại, vận dụng khái niệm, định luật vào trường hợp cụ thể học sinh lại lúng túng việc tìm riêng biệt đơn nhất, độc đáo chúng chúng có chung chất [18] Vai trị phương tiện trực quan q trình dạy học Trong dạy học toán việc sử dụng hợp lý phương tiện trực quan đóng vai trị quan trọng Phương tiện trực quan không giúp cho việc minh họa tập trung ý học sinh vào thuộc tính đặc điểm bên đối tượng phương tiện trực quan cịn giúp học sinh nhanh chóng phát thuộc tính bên trong, mối quan hệ chất đối tượng cho phép nhận toàn thống [4] Phương tiện trực quan khơng tham gia vào q trình hình thành khái niệm mà hỗ trợ đắc lực cho dạy học định lý, dạy giải tập toán… phương tiện trực quan cầu nối, khâu trung gian giai đoạn trừu tượng hóa (từ cụ thể trừu tượng lên khái niệm lý thuyết) giai đoạn cụ thể hóa (tái tạo cụ thể tư duy) Mối quan hệ thể sơ đồ sau: Trừu tượng hoá Cái cụ thể thực Phương tiện trực quan Cái trừu tượng lý thuyết Cụ thể hoá Khẳng định V.I Lênin mối quan hệ biện chứng nhận thức sâu sắc cho nhận thức phát triển tác động lẫn ba yếu tố: Trực quan sinh động, tư trừu tượng thực tiễn Mỗi yếu tố cần thiết mang lại mà yếu tố khác đem lại Sự tác động lẫn quán xuyến tồn q trình nhận thức từ đầu chí cuối “Từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng, từ trừu tượng đến thực tiễn Đó đường biện chứng nhận thức chân lý, nhận thức thực khách quan” Nhà toán học tiếng A.N Kôlmôgorôv lưu ý giáo viên “đừng để hứng thú đến mặt lơgíc giáo trình làm lu mờ việc giáo dục tư trực quan cho học sinh”, chương trình sách giáo khoa đại hóa Vai trị phương tiện trực quan trình dạy học quan trọng Do đặc điểm tốn học, hình thức trực quan sử dụng rộng rãi nhất, có ý nghĩa mơn tốn trực quan tượng trưng (hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, cơng thức, kí hiệu…) Phương tiện trực quan tượng trưng hệ thống ký hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách rời khỏi tất tính chất khác đối tượng tượng 1.3 Chức phương tiện trực quan trình dạy học Quan niệm thành phần chức phương tiện trực quan dẫn đến xu hướng sử dụng ngày nhiều mơ hình dạy học Khi mức độ trừu tượng đối tượng nhận thức việc học mơn tốn nâng cao phương tiện trực quan trở thành phương tiện nhận thức có hiệu quả, giúp học sinh tìm thấy mối liên hệ quan hệ yếu tố thành phần vật tượng vật tượng với a Chức truyền thụ tri thức: +) Khi nhận thức chuyển từ cụ thể đến trừu tượng phương tiện trực quan giúp tạo hình ảnh ban đầu biểu tượng đối tượng nghiên cứu +) Khi nhận thức chuyển từ trừu tượng đến cụ thể phương tiện trực quan minh họa hình ảnh cho khái niệm trừu tượng biết từ trước +) Phương tiện trực quan thiết lập cho học sinh mẫu biểu thị khoa học xác khái niệm trừu tượng b Chức hình thành kỹ học sinh: +) Phương tiện trực quan cho học sinh làm quen với sử dụng để tìm kiến thức cần thiết áp dụng +) Làm cho học sinh làm quen với phương pháp nghiên cứu toán học c Chức phát triển hứng thú học tập: +) Tạo cho học sinh cảm hứng thẩm mỹ, tình có vấn đề, tạo hứng thú tốn học +) Tái tạo cho học sinh nội dung vấn đề nghiên cứu dạng gắn gọn, nhằm củng cố, ghi nhớ, áp dụng kiến thức d Chức điều khiển trình dạy học: +) Hướng dẫn phương pháp trình bày chủ đề nghiên cứu cho giáo viên +) Nhanh chóng làm xuất ngừng truyền thơng tin học tập hoạt động nhận thức, kiểm tra đánh giá kết dạy học +) Bảo đảm thực hình thức học tập cá biệt phân nhóm Trong dạy học tốn vai trị chức phương tiện trực quan quan trọng, ảnh hưởng nhiều đến nhận thức, tư học sinh q trình học tập 1.4 Tính hiệu trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan Khi xây dựng sử dụng đắn phương tiện trực quan phục vụ cho việc dạy học theo chủ đề vừa đạt mục đích dạy học nói chung, vừa đạt mục đích dạy học chủ đề nói riêng, đồng thời phải góp phần nâng cao hiệu trình dạy học Việc phân tích đánh giá hiệu q trình dạy học theo chủ đề, khơng thể việc đánh giá kết học tập thời học sinh mà phải xem xét việc lựa chọn phương tiện trình sử dụng phương tiện thầy trị lớp Nếu lựa chọn phương tiện dạy cách thích hợp sử dụng khai thác chức phương tiện nhằm đạt yêu cầu đặt cho góp phần nâng cao hiệu dạy học [2] 1.5 Hiệu trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan Kết việc giảng dạy sử dụng phương tiện trực quan phụ thuộc vào việc lựa chọn đắn phương tiện trực quan việc sử dụng đắn phương tiện q trình dạy học tốn Thực tiễn dạy học cho thấy có ý thức kỹ sử dụng phương tiện trực quan cách hợp lý góp phần: - Tạo điều kiện thuận lợi cho hoạt động dạy học - Cung cấp cho học sinh kiến thức bền vững, xác dạng ngắn gọn, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo cần thiết cho lao động sản xuất đời sống Có thể nói rằng: Giảng dạy trực quan có nghĩa giảng dạy dựa hình tượng hiểu biết học sinh 1.6 Đặc điểm, yêu cầu thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít trường phổ thơng a) Về phương diện mục đích dạy học: Dự thảo chương trình cải cách mơn tốn rõ: Cung cấp cho học sinh hệ thống vững tri thức, kỹ phương pháp tốn phổ thơng, bản, đại, tương đối hoàn chỉnh, thiết thực, sát thực tế Việt Nam, theo tinh thần giáo dục kỹ thuật tổng hợp [17] - Làm cho học sinh nắm vững khái niệm hàm số mũ, hàm số logarít, tính chất, định lý, dạng đồ thị, phương trình, bất phương trình mũ, logarít - Giúp học sinh thấy mối liên hệ hàm số mũ với hàm số logarít, ứng dụng thực tế hàm số mũ hàm số logarít (trong ngành kỹ thuật, hóa học, âm nhạc…) giải tốn thích hợp b) Về phương diện nội dung dạy học: * Về mặt lý thuyết: Xây dựng khái niệm hàm số mũ y = ax (a > 0) với tập xác định toàn R, hàm số liên tục, đồng biến a > nghịch biến < a < ln ln có giá trị dương Việc học hàm số mũ có tác dụng quan trọng chuẩn bị cho việc học hàm số logarít, để dẫn tới logarít vấn đề có ý nghĩa mặt thực tiễn Bằng việc sử dụng phương tiện trực quan hợp lý giảng dạy giáo viên phải làm cho học sinh thấy ý nghĩa lý thuyết thực tế, tác dụng giáo dục toàn chương, nắm vững khái niệm, tính chất, định lý logarít ý nghĩa định lý Trên sở học sinh có ý thức việc rèn luyện kỹ sử dụng logarít vào việc giải toán thực tiễn * Về phương diện tập: Bằng hình ảnh minh họa trực quan cần rèn luyện cho học sinh đạt kỹ sau đây: Giúp học sinh biết lập luận có cứ, trình bày lời giải cách mạch lạc, biết vận dụng công thức cách sáng tạo giải tốn phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ logarít Biết khai thác ứng dụng hàm mũ hàm số logarít vào thực tiễn, đồng thời rèn luyện phẩm chất tư linh hoạt, độc lập, sáng tạo, tự kiểm tra đánh giá 1.7 Thực tiễn dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít trường Trung học phổ thơng Việc phân tích thực tế dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít việc làm cần thiết Điều cho chúng tơi có thêm sở xác định đắn yêu cầu sư phạm phương tiện dạy học trực quan [2] Thực tiễn dạy học trường Trung học phổ thông cho thấy chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít chưa cao, học sinh nắm kiến thức cách hình thức, lẫn lộn đẳng thức định nghĩa với định lý Chẳng hạn cho lý luận dẫn đến định nghĩa số mũ 0, a0 = 1(a ≠ ) chứng minh Nhiều học sinh cịn mơ hồ khơng nắm tính chất, khơng hiểu chất định lý hàm số mũ, hàm số logarít Chẳng hạn: “4 nghĩa gì” câu trả lời đa số học sinh cịn thiếu xác Bên cạnh đó, việc khơng nắm giả thiết, định lý, cơng thức… nhiều học sinh cịn phạm phải sai lầm Ví dụ cho rằng: +) logaA.B = log aA.logbB (A,B > a,b ≠ 1) +) loga(A+B) = logaA + logaB +) log2-8 = -3 (họ lý giải (-2)3 = - 8) +) logaxα = αlogax; n a m a = m+ n a … Trước hết phải thấy học sinh nắm kiến thức thiếu vững dẫn tới việc vận dụng vào toán cụ thể thường mắc sai lầm Điều có lẽ phần nội dung cấu trúc chương trình sách giáo khoa chưa thật hợp lý, phương pháp dạy học giáo viên lại có chỗ cần điều chỉnh, chẳng hạn tính chất hàm số mũ, hàm số logarít khơng chứng minh, giáo viên lại khơng có biện pháp thích hợp để khắc phục; mặt khác, hệ thống tập câu hỏi sách giáo khoa đòi hỏi học sinh mức độ đơn giản, áp dụng đơn (việc phân loại sai lầm khắc phục sai lầm học sinh học phần hàm số mũ, hàm số logarít ) Thực tế giúp ta hiểu phải chuẩn bị cho giáo viên điều kiện cần thiết, có việc hướng dẫn giáo viên tạo sử dụng phương tiện dạy học cách thích hợp, để họ dạy tốt phần hàm số mũ, hàm số logarít theo u cầu chương trình sách giáo khoa Kết luận chương I Từ phân tích sở lý luận thực tiễn dạy học toán trường phổ thông đối chiếu với quan điểm đổi phương pháp dạy toán giai đoạn nay, chúng tơi cho rằng: Để giáo dục tốn cho học sinh trường Trung học phổ thông qua dạy học toán cần quan tâm tới phương pháp dạy học trực quan, để từ thơng qua việc tổ chức hoạt động tốn học, học sinh tự giác tìm tịi kiến thức Do đặc điểm tính chất phần hàm số mũ, hàm số logarít khơng chứng minh nên việc tăng cường sử dụng phương tiện dạy học trực quan cách thức hợp lý việc cung cấp kiến thức bền vững, xác có hiệu cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh luyện tập, vận dụng kiến thức vào giải toán ứng dụng thực tiễn đa dạng Chương II: II Sử dụng phương tiện trực quan với mục đích vạch sai lầm sửa chữa thiếu sót, sai lầm học sinh trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít 2.1 Những sai lầm việc không nắm vững định nghĩa, định lý, quy tắc vận dụng chúng cách máy móc khơng ý đến điều kiện áp dụng: Có nhiều nguyên nhân dẫn đến sai lầm Việc không nắm vững định nghĩa, định lý, giả thiết định lý, vận dụng cách mơ hồ, chẳng hạn nhiều học sinh cho rằng: * log3(-4)(-8) = log3-4 + log3 (-8) * log2 (x2 -1) = log (x-1) (x+1) = log2 (x-1) + log2(x+1) ( |x| > 1) * loga(-7) = 2loga-7 * logax2 = 2logax (0 < a ≠ 1) Đây loại sai lầm học sinh khơng nắm vững khái niệm, tính chất, giả thiết định lý Để tránh sai lầm kiểu giáo viên cần phân tích cách rõ ràng trực quan cho học sinh hiểu vấn đề x > * Hàm số y = logax xác định  dẫn tới log3(-4), log3(-8), 0 < a ≠ loga(-7) không tồn x > * logaxα = αlogax với điều kiện  logax2 xác định 0 < a ≠ ∀x ∈ R(0 < a ≠ 1) nên logax = 2loga|x| đảm bảo giả thiết định lý Ngồi ra, khơng học sinh mắc phải sai lầm kiểu: * loga(x1 ± x2 ) = logax1 ± logax2 * loga(x1.x2) = logax1logax2 (x1, x2 > 0; < a ≠ 1) Để sửa chữa sai lầm dạy, người giáo viên cần phải làm rõ cho học sinh thấy chất định lý, giả thiết định lý cụ thể giáo viên cho học sinh làm toán sau: Bài toán Chọn khẳng định khẳng đinh sau: A Cơ số lôgarit số thực B Cơ số lôgarit số nguyên C Cơ số lôgarit số nguyên dương D Cơ số lôgarit số nguyên dương khác Bài toán Giải phương trình: log1 (x + 2)2 − = log1 (4 − x)3 + log1 (x + 6)3 4 Đa số học sinh lập luận toán sau: (x + 2)2 >  x > −2   Điều kiện: (4 − x) > ⇔  x < ⇒ −2 < x < x + >  x > −6   Đây sai lầm tầm thường cần phải vạch cho học sinh hiểu giải phương trình ta phải tìm tập nghiệm, sau tìm x lại phải đối chiếu xem x có thuộc tập nghiệm hay khơng ? Một lẽ tất nhiên (x+2) > ∀x ≠ -2 điều kiện phương trình − < x <   x ≠ −2 Tuy nhiên, có nhiều học sinh không mắc phải sai lầm ấy, bắt tay vào giải khơng học sinh học sinh lập luận toán sau: Phương trình ⇔ log1 (x + 2) − = log1 (4 − x) + log1 (x + 6) 4 = log1 (4 − x) + log1 (x + 6) 4 4 ⇔ log1 (x + 2) − log1 x = loại -6 < x < ⇔ 4(x + 2) = (4 − x)(x + 6) ⇔  x = −8 Vậy phương trình có nghiệm x = thực tế phương trình có nghiệm phương trình lại nghiệm ? Để học sinh khắc phục sai lầm thầy giáo nêu lên hệ thống logíc kiến thức sau Để giúp học sinh nhận vấn đề cách trực quan hơn, ta có bảng tổng kết sau: Nếu x< 0; y< x.y x x lớn logax.y, loga có nghĩa y y logax; logay khơng tồn Trong trường hợp này: logax.y = loga|x| + loga|y| x loga y = loga|x| - loga|y| (0 < a ≠ 1) 2n thứcbài logtoán aN ( n số nguyên) có nghĩa với N ≠ số thực CóBiểu thể giải sau: log1 x2n + 2log − 3aN = log1ví (i4 N −> x)0+ log1 (x + 6) Phương ⇔ 3|N| logaN2ntrình = 2nlog = a  4 2nloga - N víi N < = log1 (4− x) + log1 (x + 6) 4 4 ⇔ log1 x + − log1 ⇔ log1 4.x + = log1 (4− x)(x+ 6) 4 4(x + 2) = −x2 − 2x+ 24víi − < x < ⇔ 4.x + = −x − 2x+ 24⇔  4(x+ 2) = x2 + 2x− 24víi − < x < −2 x =  x = thỏa mãn -2 < x < ⇔ x = −8 ⇒ thỏa mãn -6 < x < -2 x = 1± 33  x = Vậy nghiệm phương trình là:   x = − 33 2.2 Dùng phương tiện trực quan để vạch sai lầm học sinh q trình giải tốn phần hàm số mũ, hàm số logarít Việc sử dụng phương tiện trực quan để minh họa cách dễ hiểu sai lầm học sinh trình học cần thiết, trình học, học sinh thường mắc sai lầm mà thân em không nhận [2] Để hiểu rõ vấn đề bắt đầu ví dụ sau: Bài tốn 3: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 2 y = 4sin x + 4cos x Đối với tốn có nhiều phương pháp giải, khơng em mắc phải sai lầm kiểu: 0 ≤ sin2 x ≤ 40 ≤ 4sin x ≤ 41 sin2 x cos2 x ⇒ ⇒ ≤ + ≤8   0 ≤ cos2 x ≤ 40 ≤ 4cos2 x ≤ 41 Vậy maxy = miny = Nguyên nhân dẫn đến sai lầm thiếu sót lời giải việc học sinh không nắm vững khái niệm giá trị lớn bé nhất, mặt khác học sinh ngộ nhận y ≥ c chắn y nhỏ c, học sinh không hiểu tồn số m thỏa mãn y ≥ m (mà m ≤ c) Cần phải làm cho học sinh thấy rõ: Một biểu thức y ln có giá trị ≥ c (hoặc y ≤ c) với giá trị thích hợp biến khơng thiết tồn giá trị thích hợp để y = c y > c, cách viết y ≥ c hồn tồn mặt logic 10 Mặt khác không ý thức điều kiện xảy dấu bất đẳng sin2 x = thức maxy = dấu xảy ⇔  vô nghiệm cos x = Tương tự miny = dấu ằng không xảy y = f(x) B Để vạch sai lầm thầy giáo vẽ lên bảng hai đồ thị: Nhìn vào hình vẽ rõ ràng f(x) ≥ g(x) f(xB) = g(xB) A g(x) minf(x) = miny = f(xA) < f(xB) Có thể nói nguyên nhân khác dẫn đến sai lầm học sinh áp dụng mệnh đề "nếu f(x) ≥ g(x) xảy f(x) = g(x) = C (hằng số) f(x) = C" Có thể giải tốn sau: 2 áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có: 4sin x + 4cos x ≥ 41 = 2 π π dấu xảy 4sin x = 4cos x ⇔ x = + k 2 ta lại có 4sin x − 1≥ (1) , 4cos x − 1≥ (2) nhân (1) (2) 2 ⇒ 4sin x + 4cos x ≤ dấu xảy sinx = cosx = Vậy maxy = 5; miny = * Tất tính chất hàm số mũ suy từ tính chất lũy thừa với số mũ thực Theo chương trình sách giáo khoa tính chất khơng chứng minh phép chứng minh phần lớn vượt ngồi chương trình tốn học bậc phổ thông Để giúp học sinh nhớ hiểu chất tính chất khơng chứng minh hàm số mũ, chúng tơi dựa vào mơ hình trực quan đồ thị hàm số mũ y y y a>1 0 ∀x1, x2∈R mà x1 > x2 ta có ax1 > ax2 - Nếu < a < ∀x1, x2∈R mà x1 > x2 ta có ax1 < ax2 Nói cách khác: a > hàm số y = ax đồng biến R < a < hàm số y = ax nghịch biến R • Sau học sinh biết cách vẽ đồ thị hàm số mũ, giáo viên toán sau, nhằm củng cố rèn luyện khả vận dụng tính chất hàm số mũ Bài toán 4: Vẽ hệ trục đồ thị hàm số:  1 x y = , y =   , y = 3x  2 x Giáo viên đặt câu hỏi: Các em có nhận xét vị trí đồ thị hàm số so với trục 0x ? chúng có điểm chung ? y y= x y= 3x y = 2x Từ mơ hình 6: Trực quan giúp học 2sinh nắm vững tính chất hàm số mũ - Đồ thị hàm số nằm1phía trục hồnh: Tính chất hàm số y = ax > ∀x∈R 1điểm có3 tung độx y = 1: Tính -3 -2 cắt -1 0y - Đồ thị hàm-4số chất a0 = ∀a > gần sát tới trục hoành - Đồ thị hàm số khơng cắt trục hồnhHình x → -∞ trường hợp a > x→ +∞ trường hợp < a < 12 x  1 Ngồi ta có nhận xét: Ta thấy y = y =   đối xứng qua 0y  2 x  1 Một cách tổng quát đồ thị y = a x y =   đối xứng qua trục 0y  a x Đồ thị y = “dốc” đồ thị y = 2x Một cách tổng quát hàm số y = ax (a > 1) a lớn x tăng, a x tăng nhanh, đồ thị hàm số “dốc hơn” (đi lên từ trái sang phải nhanh hơn) Ngược lại đồ thị y = ax (0 < a < 1) Nếu a nhỏ |x| tăng, a x giảm nhanh, đồ thị hàm số “dốc” (đi xuống từ trái sang phải nhanh hơn) Sau học sinh biết cách vẽ đồ thị hàm số mũ, giáo viên tốn sau, nhằm củng cố rèn luyện khả vận dụng tính chất hàm số mũ Bài toán 4: Cho ba số thực dương a, b, c khác Đồ thị hàm số y = a x , y = b x , y = c x cho hỡnh vẽ bờn Mệnh đề đúng? A a < c < b B a < b < c C b < c < a D c < a < b x * Một biểu chủ nghĩa hình thức thường thấy học tập mơn tốn số học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa, lại khơng nhận biết đối tượng cụ thể có thỏa mãn định nghĩa hay khơng, khơng tự tạo đối tượng thỏa mãn định nghĩa Vì cần cho học sinh tiến hành hoạt động “nhận dạng” “thể hiện” để củng cố khái niệm học Chẳng hạn, học sinh học hàm số logarít cho học sinh làm hệ thống tập theo phiếu tập sau: Các hàm số sau hàm số hàm số logarít y = log0,25; y = loga - x2; y = log0,5-7 2.Với giá trị x hàm số sau xác định y = log5-x2; y = log x2 − 3x ; y = log0,5(x2+2x+1) Với giá trị x biểu thức (0 < a ≠ 1) có nghĩa loga x 13 (học sinh thường nêu điều kiện x > mà qn tính chất x cịn phải khác nữa) Tính logarít sau: log1001; log11; log0,51 Vẽ đồ thị y = logxx (0 < x ≠ 1) Số A B phải nếu: log2A < log2B; log0,5A > log0,5B; log0,3A < log0,3B Cơ số a phải nếu: loga4 < loga2 ; loga0,3 > loga0,2 Hiệu logaA - logaB thay đổi thay A, B A 2, B2 (tăng lần) thay A, B 2A, 2B (không đổi) Với điều kiện logax2 = 2logax ; logax = 2logax2 Từ phương trình logax2 = loga9 ta biến đổi thành 2logax = 2loga3 (0 < a ≠ 1), từ ta có x = lại nghiệm số x = -3 Muốn cho log2ax có nghĩa giá trị x phải nào? 2.3 Sử dụng phương tiên trực quan giải khó khăn thường gặp học sinh học phần hàm số mũ hàm số logarít thường gặp Hầu hết học sinh vẽ đồ thị hàm số mũ y = a x (0 < a ≠ 1) đồ thị hàm số y = logax (0 < a ≠ 1; x > 0), học sinh thường gặp khó khăn số trường hợp đặc biêt suy rộng đồ thị hàm số mũ hàm số logarít Chẳng hạn: - Từ đồ thị hàm số y = ax suy đồ thị hàm y = - ax; y = a-x; y = ax+α; y = ax + α; y = a x - Từ đồ thị y = logax suy đồ thị hàm y = logax ; y = loga x ; y = logax + α ; y = logax ; y = loga ( x + α ) Từ kiến thức có đồ thị hàm số mũ đồ thị hàm số logarít, giáo viên hướng dẫn học sinh khái quát hóa dạng đồ thị có hàm số y = ax y = logax * Phương pháp chung để khảo sát hàm số mũ hàm số logarít thực sau: Bước1: Định miền xác định Bước2: Xét tính đơn điệu hàm số suy bảng biến thiên Bước3: Lấy thêm vài điểm dựa vào bảng biến thiên để có đồ thị Giả sử hàm số y = ax có đồ thị (c) 14 - Đồ thị y = a-x nhận cách lấy đối xứng (c) qua trục 0y - Đồ thị y = a x nhận bằng: +) Giữ nguyên phần đồ thị (c) bên phải 0y +) Lấy đối xứng phần đồ thị qua 0y - Đồ thị y = ax+α nhận cách tịnh tiến (c) theo trục 0x, α đơn vị (lên α > 0, xuống α < 0) - Đồ thị y = ax + α nhận cách tịnh tiến đồ thị (c) theo trục 0y, α đơn vị (lên α > 0, xuống α < 0) • Để vấn đề cụ thể trực quan thầy giáo sử dụng mơ hình trực quan đồ thị hàm số, chẳng hạn ta xét toán sau: Bài toán 5: Vẽ đồ thị hàm số y = 3x từ suy đồ thị hàm số sau: y = 3-x; y = - 3x; y = 3x-1; y = x ; y = 3x + Hướng dẫn: y = 3x tập xác định R; hàm số đồng biến (a = > 1) Ta có bảng biến thiên: x -∞ +∞ +∞ y=3x -∞ y= -x 3 - Đồ thị: ta lấy thêm điểm A(0,1) B(-1, 1/3) C(1,3) - Đồ thị y = -x nhận cách lấy đối xứng (c) qua 0y - Đồ thị y = 3| x | cách giữ nguyên phần đồ thị y = 3x bên phải 0y lấy đối xứng qua 0y - Đồ thị y = 3x-1 nhận cách tịnh tiến (c) theo trục ox sang phải đơn vị - Đồ thị y = -3x nhận cách lấy đối xứng (c) qua trục ox Hoàn toàn tương tự giáo viên yêu cầu học y x y= y (c) y= 3x x y= 3x+1 y y=3 x y=3x- x 1 Hình 11 15 y= x x sinh học lập luận đồ thị hàm số logarít • Giả sử đồ thị y = logax (c) - Đồ thị y = -logax (hoặc loga x ) nhận cách lấy đối xứng (c) qua ox - Đồ thị y = loga(x+α) nhận cách tịnh tiến (c) theo trục ox α đơn vị (sang trái α > 0, sang phải α < 0) - Đồ thị y = logax + α nhận cách tịnh tiến (c) theo trục oy α đơn vị (lên α > 0, xuống α < 0) - Đồ thị y = loga x nhận cách: +) Giữ nguyên phần đồ thị (c) phía 0x +) Đối xứng phần đồ thị phía 0x (c) qua trục 0x Giáo viên u cầu học sinh làm tốn sau: Câu 5: Cho số thực dương a, b, c khác Đồ thị hàm số y = log a x; y = log b x Chọn mệnh đề A b < a < c B a < b < c C a < c < b D c < a < b Do đặc điểm môn toán, phương pháp trực quan cần thiết dạy học mơn giúp học sinh khắc phục khó khăn ban đầu, tiếp thu vận dụng khái niệm tính chất suy luận trừu tượng q trình giải toán Các dạng trực quan bao gồm: Trực quan tĩnh trực quan động - Trực quan động thường dựa vào máy tính xây dựng từ phần mềm dạy học (gọi trực quan ảo) - Trực quan tĩnh thường hình ảnh vật chất, hình biểu diễn, sơ đồ, ký hiệu… Trong q trình giải tốn phần hàm số mũ hàm số logarít việc sử dụng hợp lý phương tiện trực quan tượng trưng giúp học sinh tìm hướng giải tốn đỡ khó khăn hơn, cách lập luận có xác đáng hơn, rèn luyện kỹ nhiều hơn, sai sót tính tốn mắc phải 16 Có nhiều nguyên nhân dẫn đến thiếu sót sai lầm học sinh Trong phần tập trung vào số sai lầm điển hình học sinh học phần hàm số mũ, hàm số logarít; đồng thời sử dụng số phương tiện trực quan để vạch sai lầm 2.4 Kết luận chương Làm rõ vai trò chức phương tiện trực quan trình dạy học, sở lý luận thực tiễn để hình thành biện pháp sử dụng trực quan dạy học Những kết thu bước đầu cho phép kết luận rằng: Nếu quan tâm đến việc xây dựng sử dụng hợp lý phương tiện dạy học trực quan góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn trường phổ thơng, đáp ứng u cầu đổi phương pháp dạy học toán XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết sáng kiến Bùi Hùng Tráng 17 Tài liệu tham khảo Phan Đức Chính, Vũ Dương Thụy, Đào Tam, Lê Thống Nhất (2001), Các giảng luyện thi mơn tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội Bùi Hùng Tráng,(2005) Góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít - Đại số Giải tích 11 THPT (sách giáo khoa chỉnh lý hợp năm 2000) thông qua việc xây dựng sử dụng số dạng phương tiện dạy học trực quan”.Luận văn thạc sỹ.Vinh Phan Đức Chính, Phạm Văn Điều, Đỗ Văn Hà, Phạm Văn Hạc, Phạm Văn Hùng, Phạm Đăng Long, Nguyễn Văn Mậu, Đỗ Thanh Sơn, Lê Đình Thịnh (1997), Một số phương pháp chọn lọc giải toán sơ cấp, Nxb Giáo dục, Hà Nội Hồng Chúng (1978), Phương pháp dạy học tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải tốn mũ, logarít, Nxb Hà Nội, Hà Nội Phạm Gia Đức, Nguyễn Mạnh Cảng, Bùi Huy Ngọc, Vũ Dương Thụy (2001), Phương pháp dạy học mơn tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Đức Đồng, Nguyễn Văn Vĩnh (2001), Logic toán, Nxb Thanh Hóa, Thanh Hóa Goocki D.P (1974), Logic học, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Viết Hải (1984), Bản tóm tắt luận án tiến sỹ, Các thiết bị dạy học phương tiện dạy học hình học 10 Hàn Liên Hải, Phan Huy Khải, Đào Ngọc Nam, Nguyễn Đạo Phương, Lê Tất Tốn, Đặng Quan Viễn (2000), Toán bồi dưỡng học sinh THPT, Đại số 10, 11, 12, Nxb Hà Nội, Hà Nội 11 Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình (1981), Giáo dục học mơn tốn, Nxb Giáo dục, Hà Nội 12 Lê Văn Hồng, Lê Ngọc Lan, Nguyễn Văn Thắng (1997), Tâm lý học lứa tuổi tâm lý học sư phạm, Nxb Giáo dục, Hà Nội 13 Phan Huy Khải (1998), Toán nâng cao 11, Nxb Giáo dục, Hà Nội 14 Krutecxki A.V (1982), Tâm lý học lứa tuổi sư phạm, Nxb Giáo dục, Hà Nội 15 Bùi Tuấn Khang (1997), Xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm dùng để đánh giá thành dạy học mơn tốn cho sinh viên chương trình 1, Luận văn Thạc sỹ 16 Nguyễn Bá Kim (1999), Học tập hoạt động hoạt động, Nxb Giáo dục, Hà Nội 17 Bùi Gia Quang (1986), Sử dụng tổ hợp đồ dùng dạy học để dạy học phần hình học khơng gian lớp cuối bậc phổ thông sở cải cách giáo dục, Luận án Tiến sỹ 18 Đào Tam (2000), “Bồi dưỡng học sinh giỏi trường phổ thông, lực huy động kiến thức giải toán", Nghiên cứu giáo dục 18 ... nghiên cứu với tiêu đề: Xây dựng sử dụng số dạng phương tiện dạy học trực quan với mục đích vạch sai lầm sửa chữa thiếu sót, sai lầm học sinh trình học phần hàm số mũ, hàm số logarít II Mục đích nghiên... thực tiễn dạy học hàm số mũ hàm số logarít, mối liên hệ với vai trò chức phương tiện trực quan dạy học tốn Hình thành u cầu sư phạm dạng phương tiện trực quan dạy học phần hàm số mũ, hàm số logarít... tư học sinh trình học tập 1.4 Tính hiệu q trình học tập nhờ sử dụng phương tiện trực quan Khi xây dựng sử dụng đắn phương tiện trực quan phục vụ cho việc dạy học theo chủ đề vừa đạt mục đích dạy