PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH LỘC TRƯỜNG THCS PHẠM VĂN HINH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ TÍNH CHIA HẾT TRONG TẬP HỢP SỐ NGUYÊN CHO HỌC SINH LỚP 6, TRƯỜNG TRUNG HỌC SƠ SỞ PHẠM VĂN HINH Người thực hiện: Lê Văn Thạnh Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Phạm Văn Hinh Huyện Vĩnh Lộc SKKN thuộc mơn: Tốn VĨNH LỘC, NĂM 2016 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình trung học sở (THCS), mơn Tốn có vai trị quan trọng, khơng giúp học sinh có kiến thưc tốn học phổ thơng để tiếp tục học lên, mà cịn góp phần để học sinh học tốt mơn khoa học tự nhiên khác, bước hình thành, phát triển nhân cách, tư sáng tạo, hoàn thiện lực thân Dạy học để học sinh nắm vững kiến thức cách có hệ thống mà cịn phát triển lực tư sáng tạo để học sinh có hứng thú, say mê học tập câu hỏi mà giáo viên ln đặt cho q trình dạy học Toán Thực tế dạy học Toán cho thấy, để học sinh học tốt mơn Tốn người giáo viên phải nắm vững đặc điểm tâm, sinh lý lứa tuổi học sinh, hiểu, cảm thơng, chia sẻ điều kiện, hồn cảnh học sinh nơi dạy, từ biết chắt lọc nội dung kiến thức, vận dụng linh hoạt, sáng tạo phương pháp dạy học, tìm cách đơn giản hoá vấn đề phức tạp để học sinh chủ động, tự giác tiếp cận, nghiên cứu chiếm lĩnh kiến thức; Làm giúp học sinh tự tin hơn, mạnh dạn hơn, hứng thú hơn, tư sáng tạo từ hình thành phát triển Thiết nghĩ, giáo viên có q trình nghiên cứu cụ thể tồn diện chương trình, nội dung sách giáo khoa, sách tập, biết lựa chọn hệ thống tập từ đơn giản đến phức tạp, từ dễ đến khó, đặc biệt tập có tính khái qt cao, có khả khai thác sâu; Mặt khác giáo viên cần có phương pháp hướng dẫn học sinh phương pháp nghiên cứu, khai thác toán, phương pháp kiểm tra, “cân, đong, đo, đếm" khả tư học sinh, học sinh chủ động, say mê, tìm tịi, khám phá, kỹ rèn luyện, học sinh bước biết sáng tạo học toán Đối với học sinh tiếp cận với mơn Tốn tất yếu phải hình thành kỹ giải tốn kiến thức định Có kỹ giải tốn nghĩa tự vận dụng lý thuyết vào giải tập cách có khoa học Trong chương trình sách giáo khoa (SGK) Tốn THCS hành, số chủ đề kiến thức lý thuyết khơng khó, khả vận dụng giải toán lại rộng, phong phú, đa dạng không cấp THCS; Một chủ đề dạng toán chia hết tập hợp số nguyên Trong nhiều năm qua, không kiểm tra định kỳ chương trình khố, kiểm tra cuối kỳ, cuối năm mà đề thi học sinh giỏi toán cấp thường xuất tốn vận dụng tính chia hết Theo dõi kết làm học sinh, Tôi nhận thấy hầu hết học sinh không giải giải không trọn vẹn, nhiều học sinh phương hướng xem xét tốn Theo Tơi nguyên nhân dẫn đến tình trạng nêu là: Kiến thức tính chia hết chủ yếu học lớp 6; Trong phép biến đổi toán học chủ yếu lại học lớp lớp trên; Tài liệu tham khảo nhiều phong phú lại thiếu gợi ý phương pháp nghiên cứu, chủ yếu trình bày lời giải; Đa số giáo viên dạy dạng tốn chia hết chưa quan tâm củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu kiến thức trọng tâm, chưa ý đến việc xây dựng cho học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, khai thác toán Từ lý nêu trên, Tôi sâu nghiên cứu, rút kết luận triển khai áp dụng đề tài “Kinh nghiệm rèn luyện kỹ giải số dạng tốn tính chia hết tập hợp số nguyên cho học sinh lớp 6, Trường THCS Phạm Văn Hinh” 1.2 Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh củng cố, hệ thống hố, khắc sâu kiến thức tính chia hết tập hợp số nguyên - Hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ, nghiên cứu, phương pháp giải số loại toán chia hết - Rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng kiến thức, kỹ giải số loại toán chia hết - Bồi dưỡng cho học sinh giỏi lớp lực suy luận, tính linh hoạt, phát triển lực tư logic, tính sáng tạo cho học sinh - Góp phần nâng cao chất lượng học sinh giỏi lớp chất lượng mơn Tốn THCS 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài chủ yếu nghiên cứu quy trình giải tốn đặc biệt toán chia hết tập hợp số nguyên, phương pháp giải số dạng toán nhằm tạo điều kiện cho đối tượng học sinh giỏi lớp có cách nhìn tổng quan kỹ giải dạng toán - Nội dung, chương trình, sách giáo khoa Tốn THCS - Học sinh lớp giáo viên dạy Toán trường THCS Phạm Văn Hinh, huyện Vĩnh Lộc - Quá trình dạy học giáo viên học sinh trường THCS Phạm Văn Hinh, huyện Vĩnh Lộc 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thông tin; - Phương pháp thống kê, xử lý số liệu - Phương pháp thực nghiệm, kiểm nghiệm, đối chứng, so sánh Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Định hướng đổi phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, tự lực, sáng tạo học sinh; tăng cường kỹ thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ vào giải vấn đề thực tiễn góp phần hình thành phát triển lực học sinh; đa dạng hóa hình thức học tập, trọng hoạt động trải nghiệm sáng tạo, nghiên cứu khoa học học sinh; đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin truyền thông dạy học; Khắc phục lối truyền thụ áp đặt chiều, ghi nhớ máy móc; Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học; bảo đảm cân đối trang bị kiến thức, rèn luyện kỹ định hướng thái độ, hành vi cho học sinh; ý việc tổ chức dạy học phân hoá theo lực học sinh dựa theo chuẩn kiến thức, kỹ Chương trình giáo dục phổ thơng; Đẩy mạnh việc vận dụng dạy học giải vấn đề, phương pháp thực hành, dạy học theo dự án mơn học; tích cực ứng dụng cơng nghệ thông tin phù hợp với nội dung học Môn Toán THCS hành bao gồm chương, bố trí 140 tiết; số tiết lý thuyết:100; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập:48; số tiết kiểm tra: 10 Chuyên đề tính chia hết tập hợp số nguyên bố trí Chương I Chương II, bao gồm 25 tiết; số tiết lý thuyết:15; số tiết luyện tập, thực hành, ôn tập:8; số tiết kiểm tra: Rõ ràng mơn Tốn THCS nói chung, chun đề tính chia hết tập hợp số ngun nói riêng số tiết luyện tập, thực hành ưu tiên đáng kể; Tính chia hết tập hợp số nguyên trọng tâm chương trình Tốn hành; việc phát huy tính tích cực, chủ động, tự lực, sáng tạo học sinh, tăng cường kỹ thực hành, vận dụng kiến thức, kỹ vào giải vấn đề thực tiễn góp phần hình thành phát triển lực học sinh cần phải quan tâm mức 2.2 Thực trạng vấn đề nghiên cứu Vĩnh Long xã miền núi, địa bàn dân cư rộng, dân số nhiều huyện, kinh tế nông, điều kiện lại, học tập học sinh gặp nhiều khó khăn; Tỷ lệ học sinh thuộc hộ nghèo cận nghèo nhiều; Sự quan tâm cha mẹ học sinh học năm gần có chuyển biến tiến thiếu theo dõi, sâu sát, định hướng cụ thể Đa số học sinh trường chăm ngoan, có cố gắng học tập rèn luyện; Tuy nhiên điều kiện học tập chưa tốt; Số học sinh có khả tiếp thu tốt cịn ít; Phương pháp học tập học sinh chủ yếu dựa vào ghi chép từ dạy giáo viên, khả nghiên cứu hạn chế; Học sinh giải tập thường đâu, định hướng giải nào; Nhiều học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập, khơng biết cách trình bày lời giải; khả ghi nhớ vận dụng hạn chế Khi học “Phép chia hết tập hợp số nguyên” nhiều học sinh lúng túng chưa xác định hiểu sai kiến thức, không xác định dạng hướng giải bước giải, trình bày giải chưa khoa học, chí học sinh khá, giỏi thấy khó khăn gặp phải Việc đổi phương pháp dạy học kiểm tra đánh giá chậm chưa đồng Giáo viên học sinh chưa khắc phục nhận thức, thói quen dạy học nặng lý thuyết, nhẹ thực hành, liên hệ kiến thức tốn học với thực tiễn mơn học khác Lối dạy học theo kiểu truyền thụ chiều cịn phổ biến Chương trình, sách giáo khoa mơn Tốn tạo điều kiện ban đầu thuận lợi cho giáo viên thực phương pháp dạy học, tích cực hóa hoạt động học tập học sinh Nhiều chủ đề kiến thức sách giáo khoa thể tính liên thơng kiến thức lớp bậc học, vận dụng nhiều phân môn Số học Đại số; Sách tham khảo phong phú chủ yếu cung cấp tập lời giải, gây khó khăn cho học sinh nghiên cứu Kết kiểm tra định kỳ thời lượng 45 phút, lớp 6A, 6B năm học 20142015, Chương II tính chia hết tập hợp số nguyên: Lớp Tổng số HS 6A 35 6B 37 0–2 8,6% 13,5% Điểm 3-4 -6 13 14 37,1% 40,0% 18 11 48,7% 29,7% 7- 14,3% 8,1% -10 0% 0% Rõ ràng khả giải tập vận dụng tính chia hết tập hợp số nguyên học sinh lớp hạn chế; Tỷ lệ yếu cao; Tỷ lệ học sinh giỏi thấp Từ cở sở lý luận thực trạng nêu trên, cần có giải pháp phù hợp để rèn luyện kỹ giải toán chia hết tập hợp số nguyên cho học sinh lớp THCS, góp phần nâng cao chất lượng mơn Tốn nói chung mơn Tốn nói riêng, tạo sở cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán đạt kết cao 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 Củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh kiến thức tính chia hết tập hợp số nguyên; Qua hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ khai thác kiến thức 2.3.1.1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên a b (b ≠ 0), có số nguyên q cho b.q = a ta nói a chia hết cho b hay b chia hết a (kí hiệu: a b; b  a) + Cho a, b số nguyên: - Nếu a = bq (với q ∈ Z) a b; a q - Nếu a b (hoặc b  a) a = bq, với q ∈ Z - Muốn chứng minh a b, ta chứng minh cho a = bq, với q ∈ Z + Cho a b số nguyên; Nếu tồn hai số nguyên q r (với ≤ r ≤ b ) cho a = bq + r ta nói q thương r số dư phép chia a cho b Từ ta có: - Với hai số nguyên a b ta có: a = bq + r với q r số nguyên, ≤ r ≤ b - Hiệu a – b chia hết cho m (m ∈ Z) a b có số dư chia cho m 2.3.1.2 Tính chất quan hệ chia hết Trong tập hợp số nguyên ta có: + Số chia hết cho số a khác + Số a chia hết cho a với a khác + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b, c) =1 a chia hết cho b.c + Nếu ab chia hết cho m (b, m) = a chia hết cho m + Nếu ab chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n + Nếu a chia hết cho m b chia hết cho m (a ± b) chia hết cho m Tổng quát: Nếu số nguyên a1, a2,…, an chia hết cho số nguyên m ± a1 a2 ± … ± an chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m b không chia hết cho m (a ± b) khơng chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m a n chia hết cho m (n ∈ N) + Nếu a chia hết cho b a n chia hết b n (n∈ N) 2.3.1.3 Các dấu hiệu chia hết xét tập hợp số tự nhiên * Lưu ý học sinh: Xét số tạo chữ số tận theo thứ tự số tự nhiên A + Dấu hiệu chia hết cho 2; 5; 4; 25: - Nếu A chia hết cho chữ số tận A chia hết cho 2; - Nếu chữ số tận A chia hết cho A chia hết cho - Nếu kí hiệu A = Ba (a chữ số tận cùng) hai mệnh đề viết sau: A = Ba  ⇔ a  (Kí hiệu “ ⇔ ” đọc là: “khi khi” - Dấu hiệu chia hết cho 5: A = Ba  ⇔ a  - Nhận xét: 2.5 = 21.51 = 10 A = Ba  2; ⇔ a  2; Từ ta có: A = Bab  4; 25 ⇔ ab  4; 25 Tổng quát: A = Ba b  4; 25 ⇔ a b  2n; 5n (Xét số tạo n chữ số tận số A) * Lưu ý học sinh: Xét tổng hiệu chữ số số tự nhiên A - Dấu hiệu chia hết cho 3(hoặc 9) a1 a a n  3; ⇔ (a1 + a2 + … + an)  3; Chú ý: a1 a a n (a1 + a2 + … + an) có số dư chia chia cho - Dấu hiệu chia hết cho 11 Một số chia hết cho 11 hiệu tổng chữ số hàng lẻ chữ số hàng chẵn (từ trái sang phải) chia hết cho 11 Sau học sinh nắm vững lý thuyết việc vận dụng lý thuyết vào giải tập quan trọng, giáo viên không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng dạy cho em biết suy nghĩ tìm đường hợp lý để giải toán Tuy nhiên giải tập dạng không muốn dừng lại tập SGK mà muốn giới thiệu thêm số tập điển hình số phương pháp giải tập 2.3.2 Làm cho học sinh nắm vững quy trình giải tốn - Để giải toán, đặc biệt toán chưa có thuật giải, ngồi việc nắm vững kiến thức yêu cầu người giải phải có phương pháp suy nghĩ khoa học kinh nghiệm giải Phương pháp suy nghĩ kinh nghiệm giải hình thành qua trình học tập, rèn luyện tích luỹ - Để học sinh trình bày lời giải tốn cách rõ ràng, xác khoa học, giảng dạy ta cần rèn luyện cho học sinh kỹ giải tốn theo bước sau: a Tìm hiểu đề tốn; b Tìm hướng giải; c Thực lời giải; d Kiểm tra nghiên cứu lời giải Vì vậy, bước, giáo viên cần rõ cho học sinh hiểu cần phải làm gì? Suy nghĩ nào? * Cụ thể: a Tìm hiểu đề tốn: - Để giải toán, trước hết phải hiểu toán phải có hứng thú giải tốn đó, để học sinh hiểu rõ toán ta nên u cầu học sinh phải đọc kĩ đề tốn, nhìn toán cách tổng quát, gạt yếu tố, không chất hướng dẫn học sinh phân tích đề tốn cách trả lời câu hỏi sau: + Bài toán cho ta biết yếu tố nào? + Yếu tố chưa biết, phải tìm? + Yếu tố biết, chưa biết có mối liên hệ gì? Ví dụ 1: Chứng minh (m5 – m)  30 với m ∈ Z Học sinh phải trả lời được: + Bài toán cho biết biểu thức: m5 – m với m ∈ Z + Bài toán yêu cầu chứng minh: (m5 – m)  30 với m ∈ Z b Tìm hướng giải: - Tìm hướng giải hoạt động quan trọng giải tốn, định thành cơng hay khơng thành cơng việc giải tốn Điều quan trọng tìm đường đúng; Muốn cần hướng cho học sinh suy nghĩ - Có thể dùng tốn giải, tốn tương tự (có thể sử dụng phương pháp, kết kinh nghiệm) - Có thể phải biến đổi tốn để tạo toán mới, khả có liên quan đến tốn giải - Đơi phải mị mẫm, dự đốn cách thử trường hợp xảy ra, xét trường hợp đặc biệt, xét trường hợp tổng quát toán - Trở lại ví dụ 1: Cần hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Để chứng minh ta làm nào? Có dấu hiệu chia hết cho 30 khơng? Một số chia hết cho 30 phải đồng thời chia hết cho số nào? Từ học sinh phải suy nghĩ tách toán toán đơn giản 1) (m5 – m)  2) (m5 – m)  3) (m5 – m)  Để chứng minh (m5 – m)  hướng giải gì? Đến địi hỏi học sinh phải nghĩ đến: Không thể sử dụng dấu hiệu chia hết cho mà phải biến đổi (m5 – m) thành tích chứa nhân tử chia hết cho m5 m có số dư chia cho c Thực lời giải: - Việc thực lời giải khâu cuối trình giải toán Khi thực lời giải kết hợp rèn luyện cho học sinh cách trình bày lời giải đầy đủ, xác, logic, mạch lạc, chặt chẽ, làm rõ liên hệ bước với toàn tốn Với ví dụ 1: Để chứng minh (m5 – m)  30 với m ∈ Z, học sinh cần chứng minh toán: 1) (m5 – m)  2) (m5 – m)  3) (m5 – m)  - Nhận xét: + m5 – m = m.m4 – m.1 = m(m4 - 1) + Một số phương chia cho dư 1, chia cho dư dư 1, chia cho dư 0, dư dư - Chứng minh: (m5 – m)  (1) Nếu m  m(m4 - 1)  ⇒ (m5 – m)  Nếu m khơng chia hết cho m4 chia cho dư ⇒ (m4 - 1)  ⇒ m(m4 - 1)  ⇒ (m5 – m)  Vậy (m5 – m)  với số tự nhiên m - Chứng minh: (m5 – m)  (2) Nếu m  ⇒ m(m4 - 1)  Vậy (m5 – m)  Nếu m khơng chia hết cho m2 chia cho dư ⇒ m4 : dư ⇒ (m4 - 1)  Vậy với giá trị m (m5 – m)  - Chứng minh: (m5 – m)  (3) Nếu m  ⇒ m(m4 - 1)  Vậy (m5 – m)  Nếu m không chia hết cho m2 : dư dư m2 chia cho dư ⇒ m4 : dư ⇒ (m4 - 1)  m2 chia cho dư ⇒ m4 : dư ⇒ (m4 - 1)  Vậy với giá trị m (m5 – m)  - Vì 2, 3, ba số nguyên tố nên từ (1), (2), (3) ta có : (m5 – m)  2.3.5 hay (m5 – m)  30 d Kiểm tra nghiên cứu lời giải: Đây việc làm cần thiết bổ ích nhiều học sinh giải toán chưa thực bước Trong trình thực mắc nhiều sai sót, nhầm lẫn, việc kiểm tra lại trình giải giúp học sinh sửa chữa sai sót Mặt khác, nhìn lại cách giải, phân tích lại kết bước giải, để tìm kiếm lời giải khác cho toán, hay đưa đến toán tổng quát, từ học sinh củng cố phát triển khả giải toán Khi giảng dạy cho học sinh, sau làm cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại lời giải từ lý luận đến tính tốn Đối với học sinh giỏi yêu cầu học sinh nghiên cứu lời giải để khai thác, phát triển tốn Với ví dụ 1: Kiểm tra lại lời giải Trong trình giải phân tích m – m = m(m4 - 1) sử dụng tính chất a  c b  c (a + b)  c; có a  m a(a+b)  m Nếu nghiên cứu kĩ lời giải tìm điều kiện m để biếu thức (m5 – m)  120 2.3.3 Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu tìm phương pháp giải số loại tốn chia hết 2.3.3.1 Phương pháp 1: Dựa vào định nghĩa phép chia hết Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b ≠ 0) ta biểu diễn a dạng tích hai số ngun, có thừa số b (hoặc chia hết cho b) * Ví dụ 2: Cho n∈ N, chứng minh (5n) 100 chia hết cho 125 + Hướng dẫn học sinh phân tích: - Ta viết 125 = 53 - Có thể phân tích (5n) 100 thành tích lũy thừa, có chứa 53 + Lời giải : Ta có : (5n) 100 = 100 n 100 = 53.597.n100 = 125.597.n100 M 125 100 Vậy (5n) chia hết cho 125 + Kiểm tra nghiên cứu phát triển toán: Học sinh kiểm tra lại lời giải chứng minh dạng tổng quát hơn: Chứng minh (a.b) m chia hết cho a n với a, b, m, n số nguyên, m ≥ n Cách làm tương tự sau: * Ví dụ 3: Chứng minh số abcabc chia hết cho 143 + Hướng dẫn học sinh phân tích: abcabc =1001 abc = 7.11.13 abc 143 =11.13 + Giải: Ta có: abcabc = 1001 abc = 7.11.13 abc =143.(7 abc ) M143 Vậy abcabc chia hết cho 143 * Ví dụ 4: Chứng minh rằng: S = + 52 + 53 + + 599 + 5100 chia hết cho + Hướng dẫn học sinh phân tích: Ta thấy tổng S có số hạng lũy thừa số 5; mặt khác viết = 1+ Do nhóm số hạng liền đặt thừa số chung xuất (1 + 5) nhóm + Lời giải : S = + 52 + 53 + + 599 + 5100 = (5 + 52 ) + (53 + 54 ) + + (599 + 5100 ) = 5(1 + 5) + 53 (1 + 5) + + 599 (1 + 5) = 5.6 + 53.6 + + 599.6 = 6.(5 + 53 + + 599 )M + Kiểm tra nghiên cứu phát triển toán: Dạng toán gặp nhiều đề thi, tùy vào ta phải tìm mối liên hệ số chia số số hạng tổng để nhóm hai, ba, …số hạng cho hợp lí (số số hạng phải chia hết cho số nhóm) 2.3.3.2 Phương pháp 2: Dựa vào tính chất quan hệ chia hết * Dùng tính chất chia hết tổng hiệu - Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b khác không ta biểu diễn số a dạng tổng nhiều số hạng (mỗi số hạng số nguyên) chứng minh tất số hạng chia hết cho b - Để chứng minh số nguyên a không chia hết cho số nguyên b khác không ta biểu diễn số a dạng tổng nhiều số hạng (mỗi số hạng số nguyên) chứng minh có số hạng khơng chia hết cho b cịn tất số hạng lại chia hết cho b * Ví dụ 5: Chứng minh rằng: Tổng số lẻ liên tiếp chia hết cho không chia hết cho + Hướng dẫn học sinh phân tích: - Ba số lẻ liên tiếp có dạng ? - Hãy tính tổng chúng - Các số hạng tổng có chia hết cho 3, cho không ? + Lời giải: Gọi số lẻ liên tiếp là: 2n+1; 2n+3 ; 2n+5 (n ∈ N) Tổng số là: a = (2n+1) + (2n+3) + (2n+5) = 6n+ = 6(n + 1) + Suy a chia hết cho (vì số hạng a chia hết cho 3) Mặt khác: 6(n + 1) M6 khơng chia hết cho 6, a khơng chia hết cho Vậy tổng số lẻ liên tiếp chia hết cho khơng chia hết cho + Kiểm tra nghiên cứu phát triển toán: Kiểm tra lại phép biến đổi Phát triển: Tổng số tự nhiên liên tiếp, tổng số tự nhiên liên tiếp, tổng n số tự nhiên liên tiếp nào? * Ví dụ 6: Tìm số ngun n cho: a) n + chia hết cho n – b) 2n + chia hết cho – n + Hướng dẫn học sinh phân tích câu a: - Khi (n + 2) chia hết cho (n – 1)? HS: (n + 2) chi hết cho (n – 1) (n + 2) = (n – 1)q với q số nguyên n + = A + B A B số nguyên chia hết cho (n – 1) 10 - Hãy phân tích (n + 2) thành tổng hai số ngun, có số hạng chia hết cho n – 1? HS: n + = (n – 1) + 3; - Để (n + 2) chia hết cho (n – 1) cần có điều kiện gì? HS: chia hết cho n – + Lời giải: a) Ta có: n + = (n – 1) + 3; Do n số nguyên nên (n + 2) (n – 1) số nguyên với n khác 1; Mặt khác (n – 1)  (n – 1) nên (n + 2)  (n – 1) ⇔  (n – 1) Hay (n – 1) ước 3; Mà Ư(3) = {1; 3; -1; -3} nên n - = n - = n - = -1 n - = -3 n-1=1 ⇔ n=2 n–1=3 ⇔ n=4 n – = -1 ⇔ n = n – = -3 ⇔ n = -2 Vậy với n ∈ { −2;0;2;4} (n + 2) chia hết cho (n – 1) + Hướng dẫn học sinh phân tích câu b: - Theo câu a, ta phải biến đổi 2n + dạng nào? HS: 2n + = (6 – n)q + B; - Muốn biến đổi ta phải tìm q? Muốn phải làm gi? (HS: 2n + = (6 – n)q + B = 6q – qn + B; Chọn q = 2) - Hãy biến đổi (2n + 1)? HS: 2n + = - (- 2n - 1) = - [- 2n + 12 - 13] = - [2(6 – n) - 13] ; - Đến học sinh tự trình bày lời giải Ta có: 2n + = - (- 2n - 1) = - [- 2n + 12 - 13] = - [2(6 – n) - 13] Do n số nguyên nên (2n + 1) (6 – n) số nguyên với n khác 6; Mặt khác 2(6 – n)  (6 – n) nên (2n + 1)  (6 – n) ⇔ 13  (6 – n) Hay (6 – n) ước 13; Mà Ư(13) = {1; 13; -1; -13} nên - n = - n = 13 - n = -1 - n = -13 6-n=1 ⇔ n=5 6-n=3 ⇔ n=3 - n = -1 ⇔ n = - n = -3 ⇔ n = Vậy với n ∈ { 3;5;7;9} (2n + 1) chia hết cho (6 – n) + Kiểm tra nghiên cứu lời giải: Có thể áp dụng lời giải cho tốn loại Cũng vận dụng tốn cho tốn tìm điều kiện để phân số phân số tối giản * Dùng tính chất chia hết tích 11 + Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b ≠ 0) ta biểu diễn số b dạng tích hai hay nhiều số nguyên; chẳng hạn b = m.n, với m n hai số nguyên; - Nếu (m, n) = tìm cách chứng minh a Mm a Mn lúc a Mm.n tức aMb; - Nếu (m, n) ≠ ta biểu diễn số a thành tích a = a a chứng minh a m; a Mn a a Mm.n tức a Mb 1M * Ví dụ 7: Chứng minh tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho + Ở học sinh làm quen với cách biểu diễn số nguyên liên tiếp; Nên giáo viên yêu cầu học sinh tự nghiên cứu tìm hướng giải + Lời giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp là: 2n, 2n + (n ∈ N) Khi tích hai số chẵn liên tiếp là: 2n.(2n + 2) = 4n.(n + 1) Vì n n+ khơng tính chẵn lẻ nên n.(n+ 1) M2 Mà chia hết 4n.(n+1) M(4.2) Hay 4n.(n+1) M8 Suy 2n.(2n + 2) M8 Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho * Vận dụng dấu hiệu chia hết liên quan đến số nguyên tố, số nguyên tố + Nếu tích ab Mm mà (b, m) =1 a Mm + Nếu a Mm; aMn (m, n) =1 a Mmn + Nếu a n Mp (p số nguyên tố) a Mp * Ví dụ 8: Cho a, b số tự nhiên, n ≠ 0, biết a n M7 Chứng minh rằng: (a + 98b) M49 + Học sinh vận dụng phương pháp trên, tự nghiên cứu tìm lời giải + Lời giải: Ta có a n M7; mà số nguyên tố nên a M7 ; Suy a M7 hay a M49 Mặt khác: 98bM49 nên (a + 98b) M49 (tính chất chia hết tổng) 2.3.3.3 Phương pháp 3: Vận dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; 5; 9; 11;… xét chữ số tận chứng minh chia hết cho 2, cho 5, cho 10 + Giáo viên hướng dẫn học sinh: Sử dụng phương pháp số cho tốn biểu diễn dạng chữ số * Ví dụ 9: Tìm chữ số x y để số 41x5 y chia hết cho số 2, 3, + Hướng dẫn học sinh phân tích tốn: - u cầu tốn gì? - Có thể vận dụng phương pháp nào? + Học sinh trình bày lời giải: Đặt A = 41x5 y ; Ta có A chia hết cho và y = 0; 12 A chia hết cho (4 + + x + + y) chia hết cho 3; hay (10 + x + y) chia hết cho 3; Nhưng y = nên (10 + x) chia hết cho 3; Mặt khác x ∈ N ≤ x ≤ 9, nên 10 ≤ 10 + x ≤ 19 ⇒ x = 2; 5; Vậy với x ∈ { 2;5;8} y = 41x5 y chia hết cho số 2, 3, + Kiểm tra nghiên cứu lời giải: Trong trình giải sử dụng dấu hiệu chia hết cho 2; 3; Yêu cầu học sinh kiểm tra kỹ lưỡng bước giải: Từ suy luận đến cách trình bày kết áp dụng cách giải cho tốn loại * Ví dụ 10: Cho n∈ N Chứng minh A = (3 n+1 +7) M10 + Hướng dẫn học sinh nghiên cứu tốn: - Ta phải chứng minh điều gì? - Có nhận xét chữ số tận số chia hết cho 10? - Từ có nhận xét chữ số tận số n+1 ? - Hãy viết n+1 dạng tích hai lũy thừa? + Học sinh trình bày lời giải: Ta có 34 có chữ số tận nên với n ∈ N 34 n có chữ số tận 1, n+1 = 34 n có chữ số tận 3, suy A có chữ số tận 10; Vậy AM10 2.3.3.4 Phương pháp 4: Dùng định lý phép chia có dư + Giáo viên hướng dẫn học sinh rút kết luận: - Gọi r số dư phép chia số nguyên a cho số nguyên b (b ≠ 0) r nhận giá trị: 0; 1; 2;…; b – - Để chứng minh số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b ≠ 0) ta xét trường hợp số dư chia a cho b * Ví dụ 11: Chứng minh rằng: a) Tích số ngun liên tiếp ln chia hết cho ; b) Tích số nguyên liên tiếp chia hết cho + Hướng dẫn học sinh nghiên cứu toán : - Hãy biểu diễn tích ba số nguyên liên tiếp ? - Số nguyên n chia cho xảy trường hợp số dư ? - Hãy xét toán cho trường hợp + Học sinh giải: a) Gọi số nguyên liên tiếp là: n; n+ 1; n+ ; tích chúng là: A = n(n + 1)(n + 2) Gọi r số dư phép chia n cho ; ta xét trường hợp sau : + Nếu r = n chia hết cho ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho ; + Nếu r = n = 3k + (k ∈ Z) ⇒ n + = 3k + 1+ = (3k + 3) chia hết cho ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho + Nếu r = n = 3k + (k ∈ Z) ⇒ n + = 3k + 2+ = (3k + 3) chia hết cho ⇒ n(n + 1)(n + 2) chia hết cho Vậy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho với số nguyên n 13 b) Học sinh tự chứng minh: n(n + 1)(n +2)(n+ 3) chia hết cho với số nguyên n + Hướng dẫn học sinh tổng quát toán : - Giáo viên khắc sâu cho học sinh: Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n - Lưu ý học sinh: Phương pháp sử dụng chứng minh biểu thức có chứa biến chia hết cho số tự nhiên có chữ số Khi chứng minh biểu thức chia hết cho số tự nhiên có chữ số trở nên ta không sử dụng phương pháp phải xét nhiều trường hợp số dư 2.3.3.5 Phương pháp 5: Vận dụng phương pháp chứng minh phản chứng Nguyên lý Diricle * Ví dụ 12: Một lớp học có 38 học sinh, chứng minh có học sinh có tháng sinh giống + Hướng dẫn học sinh : - Hãy xác định điều biết điều cần tìm tốn ? HS: Điều biết: Số học sinh lớp: 38; Số tháng năm: 12; Điều cần tìm: Chỉ “có học sinh” có tháng sinh - Lưu ý học sinh : Mỗi học sinh tương ứng với tháng sinh 12 tháng - Hãy giải thích cụm từ “có học sinh” có tháng sinh ? - Lưu ý học sinh : Trong trường hợp ta thường đặt vấn đề : Giả sử tháng có nhiều học sinh có tháng sinh ; Khi ta biết điều ? + Lời giải: Một năm có 12 tháng, ta phân chia 38 học sinh vào 12 tháng năm, tháng có khơng q học sinh sinh tháng số học sinh lớp không 3.12 = 36; Điều khơng xảy lớp có 38 học sinh Vậy tồn tháng có học sinh; Nghĩa có học sinh có tháng sinh + Hướng dẫn học sinh khai thác tốn: - Trong tốn có hai đối tượng: Học sinh, số lượng: 38; Tháng sinh, số lượng: 12; Số học sinh nhiều số tháng sinh năm; - Nếu coi học sinh “1 thỏ” coi tháng sinh năm “1 lồng nhốt thỏ” ta có “38 thỏ” “12 lồng” (Số thỏ nhiều số lồng); Ta phải “nhốt” hết 38 “thỏ” vào 12 “lồng”; - Giải sử “lồng” ta “nhốt” không nhiều “thỏ”; Thế số “thỏ” “nhốt” khơng nhiều 36 “thỏ”; Vậy có “thỏ” khơng “nhốt”; Vậy phải tồn “lồng” “nhốt” nhiều “thỏ”; Nghĩa tồn “lồng” “nhốt” “thỏ” * Ví dụ 13: Chứng minh số tự nhiên ln tìm số có hiệu chia hết cho + Học sinh tự giải: Một số tự nhiên chia cho có số dư: 0; 1; 2; 3; 4; 14 Vì chia số tự nhiên cho ta số dư tương ứng r 1; r2; r3; r4; r5; r6 số 1, 2, 3, 4, 0, nên tồn số số r 1; r2; r3; r4; r5; r6 phải nhau; Nghĩa số tự nhiên tìm số có hiệu chia hết cho * Sau học sinh nắm vững số phương pháp nêu trên, giáo viên đưa số dạng toán chia hết nhằm giúp học sinh khắc sâu kiến thức cách có hệ thống 2.3.4 Hướng dẫn học sinh thực hành giải số dạng toán Học sinh tự nghiên cứu đề xuất hướng giải toán sau: 2.3.4.1 Dạng 1: Điền chữ số vào dấu “*” để số chia hết cho số * Bài 1: Điền chữ số vào dấu “*” để số 35 * a) chia hết cho b) chia hết cho c) chia hết cho Đây dạng toán bản; gặp dạng tốn đương nhiên giáo viên phải cho học sinh tái lại dấu hiệu chia hết cho 2, cho chia hết cho * Bài 2: Điền chữ số vào dấu “*” để a) 3*5M b) * 2M Tương tự toán 1, học sinh vận dụng trực tiếp dấu hiệu chia hết cho cho để làm 2.3.4.2 Dạng 2: Tìm chữ số chưa biết số * Bài 3: Tìm chữ số a, b cho a63b đồng thời chia hết cho 2,3,5,9 + Lập luận: Đầu tiên phải đề cập đến phép chia hết cho liên quan đến chữ số tận cùng; Sau đó, có chữ số tận cùng, ta xét tổng chữ số liên quan đến chia hết cho Ở ta khơng cần quan tâm đến chia hết cho 3, số chia hết cho đương nhiên chia hết cho * Bài 4: cho số 76a 23 a) Tìm a để 76a 23M b) Trong giá trị vừa tìm a có giá trị làm cho số 76a 23 chia hết cho 11 không ? + Hướng dẫn a) Tính tổng chữ số số 76a 23 ta ( a + 18) M9 a ∈{ 0;9} b) với a = số 76023 có (7 + + 3) – (6 + ) = M11 Tương tự với a = ta có (7 + + 3) – ( + 2) = 11 M11 Vậy a = 76a 23M 11 * Bài 5: Tìm a, b cho b851a chia hết 4? + Lập luận chia hết cho trước ta a = a = 6; 15 + Thay a = vào số b851a ta số b8512 Xét tiếp dấu hiệu chia hết cho cách tính tổng chữ số b851aM ⇔ ( b + + + + 2) M ⇔ ( b + 16 ) M ⇔ b ∈ { 2;5;8} + Lập luận tương tự với a = ta b ∈ { 1;4;7} * Bài 6: Thay chữ số x, y chữ số thích hợp số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125 * Bài 7: Tìm chữ số a để số 1aaa1 chia hết cho 11? Hướng dẫn: Tổng chữ số hàng lẻ + a.Tổng chữ số hàng chữ 2a Nếu 2a ≥ a + a ≥ , suy 2a – (a + 2) = a -2 ≤ – = mà (a - 2) 11 nên a - = suy a = 2; Nếu 2a ≤ a + a < 2, suy (a + 2) - 2a = - a mà không chia hết cho 11.Vậy a = 2.3.4.3 Dạng 3: Chứng minh chia hết biểu thức số * Bài 8: Cho M = 7.9.11.13 + 2.3.4.7; N = 16 354 + 675 41 Chứng tỏ rằng: M chia hết cho 3; N chia hết cho + Ta có: 7.9.11.13 M3( 9M3 ); 2.3.4.7 M3 (vì M3) ⇒ 7.9.11.13 + 2.3.4.7 M 3; Vậy M chia hết cho Ta có giá trị tổng (16354 + 67541) có chữ số tận nên chia hết cho 5; Vậy N chia hết cho * Bài 9: Chứng minh 995 – 984 + 973 – 962 chia hết cho + Đặt A = 995 – 984 + 973 – 962 chữ số tận (CSTC) A chữ số tận tổng B = – + – = 0; Vậy A chia hết cho 2.3.4.4 Dạng 4: Chứng minh tổng, tích số liên tự nhiên liên tiếp chia hết cho số Để làm dạng toán ta áp dụng phương pháp chứng minh quy nạp Tuy nhiên, dạy lớp ta nên hướng dẫn học sinh xét trường hợp bẳng mệnh đề: “ Nếu…thì …” * Bài 10: Chứng tỏ tích hai số ngun liên tiếp chia hết cho + GV lưu ý học sinh: - Phải chứng minh kết luận với cặp số nguyên liên tiếp hai số nguyên liên tiếp cụ thể; Muốn phải làm gì? HS: Biểu diễn hai số nguyên liên tiếp dạng tổng quát - Bài toán xét phép chia ta xét trường hợp số dư chia số nguyên cho Có trường hợp xảy ra? + Học sinh tự giải toán: Gọi hai số nguyên liên tiếp là: a a+1; Đặt A = a(a + 1) - Nếu a M2 A M2; - Nếu a chia cho dư a + = 2q + + = 2q + chia hết A M2; 16 Trong trường hợp ta có A M2 * Bài 11: Chứng tỏ tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho + Học sinh tự nghiên cứu giải toán + Hãy tổng qt tốn? HS: Tích n số nguyên liên tiếp chia hết cho n 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm việc dạy học, với thân, đồng nghiệp nhà trường + Học sinh có chuyển biến tiến bộ: Nền nếp học tập tốt hơn; Học sinh có hứng thú học tập, phần lớn học sinh có say mê học tập, tích cực suy nghĩ trước tồn khó; Tinh thần ý thức học tập tiến rõ rệt; + Hiệu trình dạy học nâng lên: Chất lượng học tập mơn Tốn tăng cao; Học sinh có thái độ mực học tập môn học khác; Chất lượng học học sinh giỏi tiến rõ nét Trong phạm vi đề tài này, tơi áp dụng quy trình giảng dạy làm học sinh sắn sàng tiếp cận với dạng tập có vận dụng “Tính chia hết”; Kỹ giải dạng tốn chia hết tốt áp dụng linh hoạt phương pháp học phương pháp quy nạp toán học, tính chất chia hết tổng, hiệu, tích…để giải dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”; Học sinh khơng cịn cảm thấy “sợ” toán chia hết Tinh thần học học sinh thể rõ ràng hơn, học sinh tự tin hơn, trình bày lời giải rõ ràng, lí luận chặt chẽ, xuất nhu cầu tự tìm tịi, nghiên cứu; Một phận học sinh bắt đầu có tính mạnh dạn việc đề xuất hướng nghiên cứu, đề xuất thêm nhiều toán mới; Một số học sinh giải số toàn mà em đưa ra; Chất lượng môn Số học nâng lên đáng kể Sau triển khai áp dụng đề tài, vốn kiến thức thân nâng lên, góp phần bổ sung kinh nghiệm cho việc giảng dạy thân đồng nghiệp; Đề tài Tổ chuyên môn đưa vào nội dung sinh hoạt chun mơn; Tập thể giáo viên dạy Tốn trường nghiên cứu triển khai áp dụng đề tài phạm vi trường; Kết là: Phương pháp dạy học nêu phù hợp với việc dạy học bám sát đối tượng phát đối tượng học sinh giỏi, có khả phân loại học sinh để bồi dưỡng học sinh giỏi phụ đạo học sinh yếu kém, chất lượng dạy học tốn có nhiều tiến bộ, học sinh yếu giảm, học sinh giỏi tăng, nhiều giáo viên công nhận giáo viên có dạy giỏi cấp huyện Kết kiểm tra định kỳ thời lượng 45 phút, lớp 6A, 6C năm học 20152016, Chương tính chia hết tập hợp số nguyên: Lớp Tổng số HS 6A 33 6C 38 0–2 3-4 3,0% 7,9% Điểm -6 13 39,4% 12 31,6% 7- 12 36,4% 18 47,3% -10 21,2% 15,2% 17 So với trước áp dụng đề tài số lượng học sinh làm tập tăng lên, tỷ lệ học sinh giỏi tăng đáng kể, tỷ lệ học sinh yếu giảm rõ rệt; Trong hai năm 2014 – 2015 2015-2016 đội tuyển học sinh giỏi lớp 6, lớp phụ trách đạt nhiều giải Kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện: Năm học 2014-2015: Tổng số: giải; đó:: Giải ba: 1; Giải khuyến khích: ; Năm học 2015-2016: Tổng số: giải; đó: Giải nhì:1; Giải ba: 1; Giải khuyến khích: ; Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận: Nghiên cứu triển khai áp dụng đề tài phạm vi nhà trường, Tôi thu kết đáng phần khởi Để việc rèn luyện kỹ giải toán chia hết tập hợp số nguyên cho học sinh lớp đạt hiệu cao, theo Tôi cần thực tốt giải pháp sau: Củng cố, hệ thống hoá, khắc sâu cho học sinh kiến thức tính chia hết tập hợp số nguyên; Qua hướng dẫn học sinh phương pháp suy nghĩ khai thác kiến thức Làm cho học sinh nắm vững quy trình giải tốn Hướng dẫn cho học sinh nghiên cứu tìm phương pháp giải số loại toán chia hết Hướng dẫn học sinh vận dụng kiến thức để thực hành giải toán chia hết Muốn giáo viên cần lưu ý số nội dung sau: - Nắm vững nội dung chương trình sách giáo khoa, sách tập, yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ để quán triệt dạy học Số học - Nghiên cứu cụ thể nội dung, cấu trúc tập sách giáo khoa, sách tập để thiết kế dạy học theo hướng mở - Coi trọng lực tư sáng tạo, kỹ giải toán theo định hướng phát triển lực học sinh - Lồng ghép nhiều dạng tập chia hết vào tiết luyện tập, tự chọn - Cần xây dựng hệ thống tập đặc trưng nêu tính chất nội dung cần rèn luyện hệ thống tập tự thực hành -Việc rèn luyện kỹ tính tốn cho học sinh phải thực thường xuyên, liên tục xuyên suốt trình dạy học năm học 3.2 Kiến nghị đề xuất Đề nghị triển khai áp dụng đề tài dạy học Toán nói riêng mơn Tốn THCS nói chung Bản thân có nhiều cố gắng nghiên cứu áp dụng thành công đề tài, chắn vấn đề đưa cịn có nhiều giải pháp khác Hy vọng kinh nghiệm nêu giúp cho bạn đồng nghiệp có thêm tư liệu q trình dạy học Rất mong bạn đồng nghiệp trao đổi, góp ý để vấn đề đưa ngày hồn thiện đạt hiệu cao hoạt động chuyên môn 18 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Vĩnh Lộc, ngày 15 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN: Lê Văn Thạnh XÁC NHẬN CỦA PHÒNG GD&ĐT 19 ... ab chia hết cho m (b, m) = a chia hết cho m + Nếu ab chia hết cho m m số nguyên tố a chia hết cho m b chia hết cho m + Nếu a chia hết cho m b chia hết cho n a.b chia hết cho m.n + Nếu a chia hết. .. minh số tự nhiên ln tìm số có hiệu chia hết cho + Học sinh tự giải: Một số tự nhiên chia cho có số dư: 0; 1; 2; 3; 4; 14 Vì chia số tự nhiên cho ta số dư tương ứng r 1; r2; r3; r4; r5; r6 số 1,... hết cho a với a khác + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho c a chia hết cho c + Nếu a chia hết cho b b chia hết cho a a = b + Nếu a chia hết cho b a chia hết cho c mà (b, c) =1 a chia hết cho