SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VÍ DỤ NHẰM KHAI THÁC KIẾN THỨC HÌNH HỌC TỪ BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA TOÁN Người thực hiện: Trần Thị Lan Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Trần Phú SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán NÔNG CỐNG, NĂM 2016 MỤC LỤC Tên phụ lục Trang Mục lục I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài 2 Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vị nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu * Phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Các giải pháp giải vấn đề Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 14 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15 Kết luận 15 Kiến nghị 15 IV TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 I PHẦN MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài: Toán học môn khoa học tự nhiện đòi hỏi cao tính chủ động sáng tạo, khả tư với say mê tìm tòi nghiên cứu Đặc biệt công đại hóa đất nước, hội nhập phát triển đặt cho ngành giáo dục nhiệm vụ quan trọng, “Đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”, tạo cho xã hội hệ trẻ có đầy đủ phẩm chất lực để trở thành người phát triển toàn diện, công dân có ích góp phần bảo vệ dựng xây đất nước Với yêu cầu đổi giáo dục nói chung, môn toán THCS nói riêng, đòi hỏi người dạy phải lựa chọn phương pháp phù hợp dẫn dắt khéo léo để học sinh tiếp cận kiến thức cách chủ động Song song với việc đưa đơn vị kiến thức cho tiết học, học hệ thống tập sách giáo khoa tác giả lựa chọn cách phù hợp để học sinh giải mức độ khác từ nhận biết, thông hiểu đến vận dụng thấp, vận dụng cao Tuy nhiên tập bản, nhằm củng cố kiến thức cho học sinh Từ đơn vị kiến thức này, khéo léo khai thác, lồng ghép thêm hệ thống câu hỏi, tập liên đới học sinh nắm vững kiến thức, chủ động việc học, hứng thú học tập học sinh giỏi Do trình giảng dạy, tìm tòi, nghiên cứu để khai thác kiến thức từ tập sách giáo khoa hệ thống câu hỏi liên quan, mở rộng vấn đề từ toán đơn giản để hình thành cho học sinh thói quen phân tích, tổng hợp xâu chuỗi vấn đề, rèn luyện tính chủ động, tư sáng tạo học tập tạo động lực, kích thích ham học, yêu thích môn học học sinh Do mạnh dạn trình bày “Một số ví dụ nhằm khai thác kiến thức hình học từ tập sách giáo khoa Toán 9” rút từ thực tế giảng dạy Mục đích nghiên cứu Từ toán tưởng đơn giản sách giáo khoa, học sinh biết tìm tòi, xâu chuỗi vấn đề liên quan, mở rộng kiến thức từ toán quen thuộc Điều này, giúp em chủ động kiến thức, tăng khả tư duy, óc sáng tạo, có nhìn rộng toán, tự tin học tập để việc học toán, đặc biệt học hình trở hành công việc yêu thích em Đối tượng phạm vị nghiên cứu: * Đối tượng nghiên cứu Khảo sát việc khai thác kiến thức hình học từ tập sách giáo khoa Toán học sinh * Phạm vi nghiên cứu Đề tài thực phạm vi tiết học toán buổi học bồi dưỡng trường THCS Trần Phú nơi công tác Phương pháp nghiên cứu: * Phương pháp phân tích tổng hợp: Thông thường việc giải tập sách giáo khoa học sinh, đặc biệt học sinh giỏi không khó khăn Tuy nhiên giáo viên cần phân tích để học sinh thấy trọng tâm kiến thức sử dụng để giải toán cách triệt để, từ em biết liên hệ tới tập có liên quan, biết tổng hợp kiến thức học, chủ động giải toán có yêu cầu cao * Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: - Khảo sát làm học sinh, kiểm tra mức độ tiếp nhận kiến thức tăng dần học sinh - Thường xuyên trao đổi với học sinh * Phương pháp thống kê: Mở rộng toán sách giáo khoa hệ thống tập có liên quan II PHẦN NỘI DUNG Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm: Toán học môn khoa học tự nhiên, đòi hỏi cao tính chủ động, sáng tạo, óc tư nhạy bén, say mê tìm tòi nghiên cứu để chiếm lĩnh kiến thức Việc dạy toán học toán không ngoại lệ, người dạy cần hình thành cho học sinh óc quan sát, tư sáng tạo, thói quen tìm tòi nghiên cứu vấn đề đơn giản, vận dụng kiến thức học để làm tập sách giáo khoa Do phạm vi yêu cầu nên tập đưa mức độ đơn giản để đại đa số học sinh nắm bắt nội dung, vận dụng kiến thức để giải hầu hết câu hỏi Bên cạnh tập này, nhiều câu hỏi, tập có liên quan nhằm khắc sâu, mở rộng kiến thức Nếu khéo léo khai thác, người dạy bổ sung kiến thức cho học sinh việc lồng ghép tập sách giáo khoa hệ thống câu hỏi liên quan, truyền tải cho học sinh lượng kiến thức phong phú Cùng với việc mở mang kiến thức, đem lại cho học sinh nhìn bao quát toàn diện toán đặc biệt học sinh khá, giỏi để kích thích tìm tòi nghiên cứu, phát triển tính tư sáng tạo, phân tích tổng hợp để việc học toán thật việc làm yêu thích em Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực tế trình giảng dạy môn toán THCS bất cập giáo viên dạy nhiều giờ, trình độ công nghệ thông tin hạn chế, số giáo viên thụ động, dạy chưa thật hiệu Trong với yêu cầu môn khoa học tự nhiên đòi hỏi người dạy người học cần có tìm tòi nghiên cứu, phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo, biết vận dụng cách linh hoạt, thông minh Với cá nhân có thuận lợi công tác trường THCS Trần Phú, trước hết học hỏi kinh nghiệm anh chị em trước có bề dày công tác giảng dạy Đồng thời có nhiều học sinh giỏi, ham học hỏi, thích tìm tòi khám phá kiến thức cách chủ động sáng tạo Do trình giảng dạy tiết học lớp cố gắng lồng ghép, khai thác kiến thức từ tập sách giáo khoa để bổ sung vốn hiểu biết học sinh tạo yêu thích môn học, nâng cao chất lượng môn Một số ví dụ nhằm khai thác kiến thức hình học từ tập sách giáo khoa Toán Ví dụ 1: Bài 30 (Trang 116 –SGK Toán – tập 1) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB Gọi Ax, By tia vuông góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax By theo thứ tự C D Chứng minh rằng: a, COD = 900 b, CD = AC + BD c, Tích AC BD không đổi điểm M di chuyển nửa đường tròn Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông ta chứng minh kết Có nhiều toán xoay quanh “Tính chất hai tiếp tuyến khác nhau”, khéo léo ta khai thác tập từ câu hỏi mức độ khác d, Chứng minh AB tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ∆ COD Gọi I trung điểm CD Vì ∆COD vuông O nên I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆COD Tứ giác ABCD hình thang vuông có OI đường trung bình nên OI//AC ⇒ OI ⊥ AB ⇒AB tiếp xúc với (I) ngoại tiếp ∆COD O e, Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn cho tứ giác ABCD có diện tích nhỏ 1 S ABCD = ( AC + BD) ⋅ AB = ⋅ CD ⋅ R = CD ⋅ R ≥ AB ⋅ R = R 2 (Dấu “=” xảy ⇔ M điểm nửa đường tròn) Vậy Min SABCD = 2R2 M điểm cung AB f, Xác định vị trí điểm M để tổng diện tích hai tam giác AMC BMD có giá trị nhỏ (đề thi học sinh giỏi Quảng Ninh 2009 - 2010) SAMC + SBMD = SABDC – SAMB SABCD nhỏ (*) ⇒ (SAMC + SBMD) nhỏ SAMB lớn (**) (*) câu a AB ⋅ MH = R ⋅ MH ≤ R ⋅ R = R 2 Dấu “=” xảy ⇔ M điểm cung AB (**) S AMB = Vậy (SAMC + SBMD) có giá trị nhỏ 2R – R2 = R2 M điểm cung AB g, Gọi N giao điểm AD BC Chứng minh MN ⊥ AB Ta có AC// AD nên ND BD = NA CA ND MD = NA CM ⇒MN // AC mà AC ⊥ AB nên MN ⊥ AB Mà BD = MD ; CA = CM nên h, Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn cho tam giác COD có diện tích nhỏ 1 1 S COD = OM ⋅ CD = R ⋅ CD ≥ R ⋅ AB = R ⋅ R = R 2 2 (Dấu “=” xảy ⇔ CD = AB ⇔ M điểm cung AB) Vậy Min SCOD = R2 M điểm cung AB i, Nếu M chuyển động nửa đường tròn tâm O trọng tâm G ∆ AMB chuyển động đường nào? 1 Ta nhận thấy OG = OM = OA không đổi, O cố định nên G chuyển động 3 nửa đường tròn tâm O bán kính OA thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia Ax, By (trừ hai điểm A , B) k, Nếu M chuyển động nửa đường tròn tâm O trung điểm I AM chuyển động đường nào? Vì ∆ AOM cân O có OI đường phân giác nên OI ⊥ AM ⇒ I thuộc nửa đường tròn đường kính OA cố định ( thuộc nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia Ax, By) trừ hai điểm A O l, Gọi R bán kính (O) r bán kính đường tròn nội tiếp ∆ COD Chứng minh r < < (đề thi học sinh giỏi quận Phú Nhuận 2011 - 2012) R Gọi độ dài cạnh CD , CO, DO a, b, c ta có 1 S COD = (a + b + c) ⋅ r = a ⋅ R 2 r a ⇒ = (1) R a+b+c Mặt khác, theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c > a ⇒ a + b+ c > 2a ⇒ (2) a+b+c a < (3) Ta lại có: b < a c < a ⇒ a + b+ c < 3a ⇒ a+b+c r Từ (1), (2), (3) ⇒ < < R Ví dụ 2: ( Bài 39 trang 123 – Toán – tập 1) Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc A Kẻ tiếp tuyến chung BC, B∈(O) ; C∈(O’) Tiếp tuyến chung A cắt tiếp tuyến chung BC I a, Chứng minh BAC = 900 b, Tính số đo góc OIO’ c, Tính độ dài BC biết OA = 9cm , O’A = 4cm B I P C Q A O O' - Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt ta có IB = IA = IC nên tam giác BAC có trung tuyến AI BC nên vuông A - Dễ thấy tứ giác APIQ có P = A = Q = 900 nên I = 900 hay OIO’ = 900 - ∆OIO’ vuông I , đường cao IA nên IA = OA ⋅ O' A = R ⋅ r ⇒BC = 2OA = R ⋅ r = 12cm “Vị trí tương đối hai đường tròn” vấn đề khai thác nhiều, xung quanh hệ thống câu hỏi nhằm liên kết, xâu chuỗi, mở rộng kiến thức, kích thích tìm tòi học hỏi, óc tư sáng tạo học sinh d, Chứng minh: OO' tiếp xúc với đường tròn đường kính BC ∆BAC vuông A có I trung điểm BC nên đường tròn ngoại tiếp ∆BAC đường tròn tâm I, đường kính BC Vì (O) (O') tiếp xúc A nên O, A, O' thẳng hàng Lại có IA ⊥ OA hay IA ⊥ OO' nên OO' tiếp xúc với đường tròn (I) ngoại tiếp ∆BAC A e, Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn đường kính OO' B I O M C A Vì OIO' = 900 nên I thuộc đường tròn đường kính OO' Gọi M trung điểm OO' ⇒MI đường trung bình hình thang vuông OO'CB ⇒MI // OB ⇒MI ⊥BC 10 O' ⇒BC tiếp xúc với đường tròn (M) đường kính OO' I f, Đường nối tâm OO' cắt (O) D, cắt (O') E BD CE cắt N Tính DNE ? Tam giác BOD cân O có BOO' góc đỉnh O nên D = Tương tự: E = BOO' COO' 1 ⇒D + E = ( BOO' + COO') = 1800 = 900 2 ⇒∆DNE vuông N hay DNE = 900 B N C A D E O' O g, Chứng minh NB ND = NC NE Tam giác NAD vuông A có AB đường cao nên NB ND = NA2 Tương tự NC NE = NA2 Do NB ND = NC NE h, Gọi giao điểm CA đường tròn F (F ≠ A) Chứng minh ba B điểm B, O, F thẳng hàng I C O A O Vì BAC = 900 nên BAF = 900 F ∆BAF vuông A nội tiếp đường tròn (O) nên BF đường kính (O) 11 Do B, O, F thẳng hàng g, Tính BA ; CA theo R r (Với R r bán kính đường tròn (O) (O') Ta có tam giác BFC vuông B có đường cao BA nên 1 1 R+r = + = + = 2 2 BA BF BC 4R 4Rr 4R r 2R r ⇒ BA = R+r 2r R Tương tự, ta CA = R+r k, Vẽ AH ⊥ BC (H∈ BC Gọi I giao điểm OC AH Chứng minh IA = IH (đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội 2008 - 2009) IH IC = Vì IH //BO (Vì vuông góc với BC) nên BO OC IC AO' = Vì IA // OO’ (vì vuông góc với BC) nên OC OO' B H C I O A O' IH AO' IH r R⋅r = = ⇒ IH = hay BO OO' R R+r R+r IA OA IA R R⋅r = = ⇒ IA = Mặt khác, ta có hay O' C OO' r R+r R+r Vậy IH = IA Do 12 m, Chứng minh ba đường thẳng BO’, OC AH đồng quy (đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội 2008- 2009) Thật vậy: Giả sử BO’ cắt HA I Chứng minh tương tự ta HI’ = IA’ Nên I ≡ I’ Vậy BO’, OC AH đồng quy trung điểm AH Ví dụ 3: (Bài 41 – trang 128 – Toán – tập 1) Cho đường tròn (O), dây AB khác đường kính Qua O kẻ đường vuông góc với AB, cắt tiếp tuyến A đường tròn điểm C a, Chứng minh CB tiếp tuyến đường tròn b, Cho bán kính đường tròn 15cm, AB = 24cm Tính độ dài OC D A C O I B a, Ta chứng minh ∆AOC = ∆BOC (c-g-c) ⇒ CBO = CAO = 900 nên CB tiếp tuyến đường tròn (O) b, Tính OI = 9cm Dùng hệ thức cạnh đường cao cho tam giác vuông CAO, ta có AO 15 2 = = 25 (cm) AO = OC OI ⇒ OC = OI Tiếp tục khai thác, ta nên thêm vấn đề khác xung quanh toán, nhằm bổ sung kiến thức cho học sinh để em tự tin, chủ động việc học c, Vẽ đường kính BOD, Chứng minh OC//AD 13 Dễ thấy OC ⊥ AB ; AD ⊥ AB nên OC //AD d, Tiếp tuyến đường tròn (O) D cắt AB E Chứng minh ∆ CAD ∆ OAE đồng dạng (đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang 2012- 2013) E Ta có EDA = BCO (góc có cạnh tương ứng song song) BCO = ACO ⇒ EDA = ACD ⇒ tan EDA = tan ACO EA AO ⇒ = (1) AD AC A N Lại có CAB = OAD (cùng phụ với BAO) C ⇒ CAD = EAO (2) Từ (1), (2) ⇒ ∆EAO D M O ∆DAC (c-g-c) e, Chứng minh CD ⊥ OE B Thật từ câu d suy ADC = AEO ⇒ ∆EMA ∆DMN (g-g) ⇒ MND = EAM = 900 hay CD ⊥ OE f, Vẽ cát tuyến CPQ với đường tròn Chứng minh bốn điểm O, I, P, Q nẳm đường tròn Q A P C K Thật O I B 14 H Vì CA tiếp tuyến (O) nên CA2 = CP CQ ∆CAO vuông A có đường cao AI nên CA2 = CI CO Do CP CQ = CI CO ⇒ Tứ giác OIPQ nội tiếp hay điểm O, I, P, Q nằm đường tròn Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau thời gian giảng dạy, với việc khai thác kiến thức từ tập sách giáo khoa, thấy chất lượng môn ngày tăng, nhiều học sinh yêu thích môn học, đặc biệt môn hình học Các em biết chắt chiu kiến thức từ toán quen thuộc, không tính chủ quan mà xem vốn kiến thức cần thiết để khai thác, tìm tòi mở rộng vấn đề Vì chất lượng môn ngày nâng cao, tỉ lệ học sinh giỏi tăng, giảm tỉ lệ học sinh trung bình, không học sinh yếu Cụ thể: Năm học 2013-2014 2014-2015 2015-2016 Lớp Sĩ số 9B 9B 9C 43 41 42 Giỏi SL % 27 63 28 68 30 71 15 Khá SL % 11 25 10 25 10 24 TB SL % 12 Yếu SL % 0 0 0 III PHẦN KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Kết luận Việc khai thác kiến thức từ toán sách giáo khoa cần thiết hiệu quả, tạo không khí tích cực sôi học, tạo cho học sinh thích thú, tìm tòi kiến thức, có nhìn bao quát từ toán đơn giản, giải câu hỏi khó, tập nâng cao từ kiến thức sách giáo khoa Sau năm giảng dạy, với việc vận dụng đề tài thấy kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt, học sinh phụ trách đạt kết từ 87% giỏi trở lên, học sinh tham dự kỳ thi học sinh giỏi xếp thứ cấp huyện, có nhiều học sinh đạt giải cấp tỉnh liên tục có học sinh thi đậu vào lớp Toán trường THPT chuyên Lam Sơn Kiến nghị: Để đáp ứng yêu cầu đổi môn, thân giáo viên phải nỗ lực, đầu tư thời gian tìm tòi nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp Song song với việc tự học tự bồi dưỡng cá nhân cần có lớp học chuyên đề, hội thảo, trao đổi kinh nghiệm để giáo viên nâng cao nghiệp vụ, trình độ giảng dạy Trên kinh nghiệm rút từ thực tế giảng dạy Mặc dù thân có nhiều cố gắng nhiên trình hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý chân thành bạn đồng nghiệp, nhà nghiên cứu tham khảo để đề tài hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! Ngày tháng 04 năm 2016 Người thực Trần Thị Lan 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tài liệu Tác giả Nhà xuất Sách giáo khoa Toán – tập Phan Đức Chính Giáo dục Bồi dưỡng Toán Tôn Thân Giáo dục Chuyên đề hình học Vũ Hữu Bình Giáo dục Một số đề thi HSG huyện, thành phố 17 ... sáng tạo học tập tạo động lực, kích thích ham học, yêu thích môn học học sinh Do mạnh dạn trình bày “Một số ví dụ nhằm khai thác kiến thức hình học từ tập sách giáo khoa Toán 9 rút từ thực tế... tiết học lớp cố gắng lồng ghép, khai thác kiến thức từ tập sách giáo khoa để bổ sung vốn hiểu biết học sinh tạo yêu thích môn học, nâng cao chất lượng môn Một số ví dụ nhằm khai thác kiến thức hình. .. củng cố kiến thức cho học sinh Từ đơn vị kiến thức này, khéo léo khai thác, lồng ghép thêm hệ thống câu hỏi, tập liên đới học sinh nắm vững kiến thức, chủ động việc học, hứng thú học tập học sinh