SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THÀNH PHỐ THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN VỀ TỶ LỆ THỨC CHO HỌC SINH LỚP 7 TRƯỜNG THCS QUẢNG HƯNG Người thực hiện : Trần Thị Loan Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác : Trường THCS Quảng Hưng SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán THANH HOÁ NĂM 2016 MỤC LỤC * Đối với đồng nghiệp: Cần phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán" Tỷ lệ thức"để truyền tải đến học sinh Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan, có định hướng rõ ràng, thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra giải pháp tối ưu trong việc triển khai, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán học, các đề thi học sinh giỏi hàng năm 20 * Đối với nhà trường: Xu hướng hiện đại hoá giáo dục ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy đang được chú trọng, mỗi khi giáo viên thực hiện dạy giáo án điện tử thì phải mất nhiều thời gian để chuẩn bị phòng dạy Vậy đề nghị nhà trường cần quan tâm đầu tư phòng bộ môn phục vụ cho công tác giảng dạy nói chung và việc giảng dạy bộ môn Toán nói riêng được tốt hơn, đồng thời cần thường xuyên bổ sung các loại tài liệu tham khảo để giáo viên có điều kiện tìm hiểu nhiều hơn về các kiến thức liên quan đến bài dạy .20 .20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 A PHẦN MỞ ĐẦU I Lý do chọn đề tài Nhận thức là một quá trình, phải từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng Đó là nguyên lý giáo dục hết sức đúng đắn mà mỗi thầy, cô giáo chúng ta đều đã biết ngay từ khi còn ngồi trên ghế nhà trường sư phạm Nguyên lý ấy phải được tuân theo thường xuyên trong quá trình dạy học Dạy học là cả một nghệ thuật Mỗi thầy, cô giáo là một nghệ sĩ truyền thụ tri thức cho học sinh Truyền thụ giỏi hay dở tùy thuộc vào việc vận dụng sáng tạo nguyên lý trên cho mỗi môn, mỗi bài dạy của mỗi người như thế nào Đi từ những bài toán đơn giản đến những bài toán phức tạp, đó chính là cách rèn luyện tư duy cho học sinh trong quá trình dạy và học toán, giúp các em không bị động, làm chủ được tình huống, biến kiến thức thành niềm tin, tự tin ở năng lực của chính mình, kiến thức được ghi nhớ vững chắc từ đó xử lý các thông tin một cách chính xác, nhanh chóng Đối với một số em đã có thói quen tìm tòi, thì việc mở rộng khai thác các bài toán đã học sẽ giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, phán đoán tìm lời giải một cách linh hoạt, sáng tạo hơn Là một giáo viên dạy toán 7, tôi nhận thấy đa phần học sinh lớp 7 (Kể cả học sinh có năng lực) từ việc tiếp thu kiến thức về lý thuyết định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau đến vận dụng kiến thức đã học vào việc giải bài tập về tỷ lệ thức học sinh còn lúng túng rất nhiều Từ việc tìm ra hướng giải đến việc thực hiện các bước giải, kể cả những bài tương đối bình thường đến những bài toán khó Hơn nữa bản thân tôi nhận thấy kiến thức về tỷ lệ thức, tính chất dãy tỷ số bằng nhau khá quan trọng trong việc giải bài toán tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch, tìm độ dài đoạn thẳng, cạnh của một tam giác trong các tam giác đồng dạng (ở lớp 8,9)… vv Trong quá trình giảng dạy tôi luôn trăn trở là làm thế nào để học sinh phân biệt được từng dạng và cách giải từng dạng đó, cần rút kinh nghiệm những gì để học sinh làm bài được điểm tối đa Chính vì thế nên tôi đã chọn đề tài "Rèn luyện kỹ năng giải Toán về tỷ lệ thức cho học sinh lớp 7 trường THCS Quảng Hưng " để nghiên cứu và phổ biến cho đồng nghiệp cùng tham khảo trong những năm học vừa qua II Mục đích nghiên cứu Giúp giáo viên tìm ra phương pháp dạy phù hợp với mọi đối tượng học sinh, làm cho học sinh có thêm hứng thú khi học môn toán Giúp học sinh thấy được môn toán rất gần gũi với các môn học khác và thực tiễn cuộc sống và giúp học sinh có cái nhìn tổng quát hơn về dạng toán tỉ lệ thức, để mỗi học sinh sau khi học xong chương trình toán lớp 7 đều phải nắm chắc loại toán này và biết cách giải chúng 1 Rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích, xem xét bài toán dưới dạng đặc thù riêng lẻ Mặt khác cần khuyến khích học sinh tìm hiểu cách giải để học sinh phát huy được khả năng tư duy linh hoạt, nhạy bén khi tìm lời giải bài toán, tạo được lòng say mê, sáng tạo, ngày càng tự tin, không còn tâm lý ngại ngùng đối với việc giải toán tỉ lệ thức III Đối tượng nghiên cứu Đề tài bao gồm các dạng toán liên quan đến tỷ lệ thức, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau trong chương trình toán học ở lớp 7 THCS và trong quá trình thực hiện cần tập trung một số vấn đề sau: - Về lý thuyết: + Định nghĩa về tỷ lệ thức + Tính chất của tỷ lệ thức + Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau + Các kiến thức liên quan - Về các dạng toán: + Liệt kê các tỷ lệ thức từ các số cho trước + Cho một tỷ lệ thức, hãy suy ra các tỷ lệ thức khác + Tìm các số chưa biết khi cho biết tỷ lệ thức hoặc các đẳng thức + Các bài toán thực tế trong đời sống con người liên quan đến tỷ lệ thức IV Phương pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu về một số bài soạn mẫu trong quyển một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học ở trường trung học cơ sở - Tham khảo ý kiến cũng như phương pháp dạy của đồng nghiệp thông qua các buổi sinh hoạt chuyên môn, dự giờ thăm lớp - Điều tra khảo sát kết quả học tập của học sinh - Thực nghiệm dạy ở lớp 7 - Đánh giá kết quả học tập của học sinh sau khi dạy thực nghiệm 2 B NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Toán học không những là một môn khoa học có mặt hầu hết trong mọi lĩnh vực của đời sống xã hội góp phần quan trọng trong phát triển chủ thể xã hội đó là con người, toán học còn là môn thể thao của trí tuệ giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phương pháp giải quyết vấn đề và giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo Mục tiêu Giáo dục trong giai đoạn hiện nay là phải đào tạo ra con người có trí tuệ, giàu tính sáng tạo và có tính nhân văn cao Để đào tạo ra lớp người như vậy thì Bộ Giáo Dục đã xác định ''Phải áp dụng phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề", "Phải đổi mới giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nề nếp tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, dành thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh'' Định hướng này đã được pháp chế hoá trong luật giáo dục điều 28 mục II đã nêu ''Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động sáng tạo của học sinh, phải phù hợp với đặc điểm của từng môn học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh" Dạy toán, học toán là quá trình tư duy liên tục cho nên việc tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy toán, học toán là không thể thiếu được Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu biết hơn ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh năm vững vấn đề một cách hệ thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết Bên cạnh đó việc khai thác mở rộng kiến thức giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của mình Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học sinh có những kinh nghiệm về giải Toán về Tỷ lệ thức một cách nhẹ nhàng và đơn giản hơn II Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 1 Thuận lợi : - Trong quá trình giảng dạy tôi luôn được sự đóng góp ý kiến giúp đỡ của đồng nghiệp cũng như sự chỉ đạo chặt chẽ của ban Ban giám hiệu trường THCS Quảng Hưng - Bản thân cũng nhiều năm dạy môn toán 7 và luôn có ý thức cao trong việc tự học tập và tìm tòi để không ngừng nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ Luôn có tinh thần trách nhiệm cao trong công tác giảng dạy Luôn suy nghĩ tìm ra những phương pháp dạy phù hợp với đối tượng học sinh để nâng cao chất lượng giảng dạy - Học sinh của trường đa số là chăm ngoan lắng nghe ý kiến của thầy cô giảng dạy 3 2 Khó khăn: - Phụ huynh học sinh đa số sống bằng nghề nông, một số phụ huynh là công nhân làm việc tại khu công nghiệp Cảng Lễ Môn điều kiện kinh tế cũng như về thời gian còn khó khăn, bên cạnh đó còn có một số em học sinh có bố mẹ đi làm ăn xa nên không có ai quan tâm, chỉ bảo cũng như nhắc nhở các em học bài.… nên hạn chế rất nhiều trong công tác quan tâm, tạo điều kiện cho con em học tập cũng như công tác chỉ bảo học tập của con em ở nhà - Trong các tiết học, không có nhiều thời gian để củng cố, luyện tập dù giáo viên đã cố gắng chọn lọc các bài tập từ sách giáo khoa sao cho thật phù hợp với nội dung bài học - Tinh thần tự giác học bài và làm bài tập ở nhà của học sinh còn rất hạn chế, một số học sinh thì không có thời gian học bài ở nhà vì phụ giúp công việc gia đình - Một số học sinh có thái độ chán học, coi việc đi học là việc bắt buộc nên không có động cơ thúc đẩy học tập 3 Thực trạng: Sau khi hướng dẫn học sinh học xong kiến thức về tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, tôi đã trực tiếp khảo sát học sinh lớp 7A1 và học sinh lớp 7A2 (lớp tội trực tiếp giảng dạy) ra đề bài một số dạng toán về kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức và thấy kết quả như sau: STT 1 2 Lớp 7A1 7A2 Tổng Sĩ số 38 37 75 Số HS giải được Số HS biết hướng nhưng không giải được SL 5 5 10 SL 11 8 19 % 13 14 13 % 29 24 25 Số HS không thể giải được SL 22 24 46 % 58 62 61 Đây là một kết quả mà tôi không thể không suy nghĩ, trăn trở, băn khoăn và đây cũng là thực trạng đối với học sinh khối 7 trường THCS Quảng Hưng nói chung Vì vậy, tôi nghĩ: là người trực tiếp điều khiển quá trình học tập của các em tôi cần phải có những giải pháp thiết thực nhằm thúc đẩy động lực học tập của học sinh, giúp các em yêu thích môn học, nắm được nội dung kiến thức một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu, học sinh có kĩ năng tính toán, có phương pháp học tập thật tốt Từ đó mới nâng cao được hiệu quả giáo dục trong nhà trường Chính vì thế nên tôi đã đi sâu vào nghiên cứu đề tài này nhằm tìm ra một số phương pháp giải để giúp học sinh biết vận dụng lý thuyết vào việc thực hành giải bài tập về tỷ lệ thức 4 III Các giải pháp, biện pháp thực hiện 1 Lý thuyết: a Định nghĩa về tỷ lệ thức: Tỷ lệ thức là đẳng thức của hai tỷ số a c = b d a c = còn được viết là a: b = c : d b d Trong đó các số: a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỷ lệ thức Các số a và d gọi là số hạng ngoài hay ngoại tỷ; b và c gọi là số hạng trong hay trung tỷ b Tính chất của tỷ lệ thức a c + Tính chất 1: Nếu = thì a d = b c b d + Tính chất 2: Nếu a d = b c và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỷ lệ thức: a c b d a b c d = ; = ; = vµ = b d a c c d a b c Tính chất của dãy tỷ số bằng nhau Tỷ lệ thức a, a c a+c a-c = = = b d b+d b-d ( b ≠ ±d ) a c m = = ta suy ra: b d n a c m a + c −m a −c + m = = = = = (với giả thiết các tỉ số đều có b d n b+d −n b−d +n b, Từ dãy tỉ số bằng nhau nghĩa) d Các kiến thức có liên quan + Tính chất cơ bản của phân số: Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho a a.m = b b.m ( b ≠ 0 ; m ≠ 0) Nếu ta chia cả tử số và mẫu số cho cùng một ƯC của tử và mẫu thì được một phân số mới bằng phân số đã cho: a a:n = b b:n ( b ≠ 0 ; n ≠ 0) , n ∈ ƯC(a,b) + Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180o + Quãng đường đi được của chuyển động bằng tích của vận tốc với thời gian đi hết quãng đường đó: S = v.t 2 Các dạng toán; phân tích và tìm lời giải; cách giải; khai thác và mở rộng bài toán: Dạng I: Cho tập hợp các phần tử Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử đã cho: Bài 1.1: Cho tập hợp số A = { 4;8;16;32} Hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của A * Phân tích và tìm lời giải: 5 Sử dụng tính chất của tỷ lệ thức: a c = nÕu a.d =b.c b d Hướng dẫn học sinh xét tích 2 số này bằng tích 2 số kia ta có: Các nhóm 4 phần tử của A, xếp theo thứ tự: { 4;8;16;32} ; {8;16; 32; 64} { 4; 8; 32; 64} Giải + Với nhóm: { 4;8;16;32} thì 4 32 = 8 16 và ta có 4 tỷ lệ thức sau: 4 16 8 32 4 8 16 32 = ; = ; = ; = 8 32 4 16 16 32 4 8 + Với nhóm: { 4; 8; 32; 64} thì ta có : 4 64 = 8 32 và có các tỷ lệ thức sau: 4 32 8 64 4 16 32 64 = ; = ; = ; = 8 64 4 32 32 64 4 8 + Với nhóm: {8;16; 32; 64} thì 8 64 = 16 32 và ta có 4 tỷ lệ thức sau: 8 32 16 64 8 16 32 64 = ; = ; = ; = 16 64 8 32 32 64 8 16 Như vậy ta có 12 tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau thuộc tập hợp A Giáo viên có thể hướng dẫn thêm: Nếu trong bài này ta không đòi hỏi các số hạng khác nhau thì ngoài 12 tỷ lệ thức trên ta còn các tỷ lệ thức khác nữa: Ví dụ: 4 8 8 16 4 16 16 64 8 16 16 32 16 32 32 64 = ; = ; = ; = ; = ; = ; = ; = 8 16 4 8 16 64 4 16 16 32 8 16 32 64 16 32 Bài 1.2: Cho 3 số 6 ; 8 ; 24 a) Tìm x sao cho x cùng với ba số trên lập thành một tỉ lệ thức ? b) Có thể lập được tất cả bao nhiêu tỉ lệ thức ? * Phân tích và tìm lời giải: Trong ba số 6 ; 8 ; 24 có ba cách chọn ra tích của hai trong ba số ấy Với mỗi tích có một cách lập đẳng thức với tích của số còn lại và số x Giải: a)Ta có : 6.8 = 24.x => x=2 6.24 = 8.x => x=18 8.24 = 6.x => x=32 b) Với tích 6.8 = 24.2 ta lập được 4 tỉ lệ thức: 6 2 6 24 8 2 8 24 = ; = ; = vµ = 24 8 2 8 24 6 2 6 Tương tự với các tích 6.24 = 8.18 và 8.24 = 6.32 tất cả có 4.3 = 12 tỉ lệ thức * Khai thác và mở rộng bài toán: 6 Bài 1.3: Cho tập hợp A = {2;8;32;128;512} Hãy liệt kê mọi tỷ lệ thức có các số hạng là các phần tử của tập hợp A HD Giải: Tìm các tích bằng nhau của hai thừa số trong các số của tập hợp A Từ các phần tử của tập hợp A ta có các hệ thức: 2 8 8 8 +) 2 32 = 8 8 từ hệ thức này có các tỷ lệ thức: = vµ = 8 32 2 32 8 32 32 128 +) 8 128 = 32 32 Suy ra các tỷ lệ thức sau: = vµ = 32 128 8 32 32 128 128 512 +) 32 512 = 128 128 ta có các tỷ lệ thức sau: = vµ = 128 512 32 128 2 32 32 512 +) 2 512 = 32 32 ta có các tỷ lệ thức sau: = vµ = 32 512 2 32 +) 2 128 = 8 32 và ta có các tỷ lệ thức sau: 8 128 2 32 32 128 2 8 = ; = ; = vµ = 2 32 8 128 2 8 32 128 +) 8 512 = 32 128 ta có các tỷ lệ thức sau: 8 128 512 128 32 512 32 8 = ; = ; = vµ = 32 512 32 8 8 128 512 128 +) 2 512 = 8 128 ta có các tỷ lệ thức sau: 2 128 8 512 2 8 128 512 = ; = ; = vµ = 8 512 2 128 128 512 2 8 Như vậy từ các phần tử tập hợp A có thể lập được 20 tỷ lệ thức khác nhau Bài 1.4 Có thể lập được tỷ lệ thức các số sau đây không ? Nếu lập được hãy viết tỷ lệ thức đó: 2,2; 4,6; 3,3 và 6,7 Dạng II: Tìm các số chưa biết khi biết các tỷ lệ thức: Bài 2.1 Tìm 2 số x; y Biết: x y a) b) 7x = 3y và x – y = 16 = vµ x +y =21 5 2 Phương pháp giải: - Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau a c a +c a - c = = = = b d b +d b - d - Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k Tìm mối liên hệ của ẩn số qua k Giải x y a) Từ = ¸pdôngtÝnhchÊtd·y tûsèb»ngnhautacã: 5 2 x y x+y 21 = = = =3 5 2 5+2 7 Do ®ã: x =5 3 =15 ; y =2 3 =6 7 7 3 b) Tõ 7x =3y => y =x Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau : 7 3 3- 7 -4 -1 = = = = y x x- y 16 4 3 4 7 4 => x = =-12 ; y = =-28 -1 -1 Khai thác và mở rộng bài toán: 1) Tìm các số x, y, z biết : 2x 3y 4z = = và x + y + z = 49 3 4 5 2) Tìm các số x1, x2 xn-1, xn Biết x1 x2 x3 xn-1 xn = = = = vµ x1 +x2 + +xn =c a1 a2 a3 an-1 an (a1 ≠ 0,a2 ≠ 0, an ≠ 0,a1 +a2 + an ≠ 0) Bài 2.2: T ×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: a b c a, = = vµ a+2b- 3c =- 20 2 3 4 Phương pháp giải: Với bài toán này GV hướng dẫn HS : - Vận dụng tính chất cơ bản của phân số a c am ck a: n = = = = b d bm dk b : n Làm như thế nào để xuất hiện biểu thức a+2b-3c rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z - Có thể đặt a b c = = = k (k ≠ 0) => a = 2k, b = 3k, c = 4k thay các giá 2 3 4 trị này vào a + 2b - 3c = -20 => k =? => a, b, c =? Giải: a b c = = suy ra 2 3 4 a b c 2b 3c a + 2b − 3c −20 = = = = = = =5 2 3 4 6 12 2 + 6 − 12 −4 => a = 2.5 = 10 b = 3.5 = 15 c = 4.5 = 20 a b c Cách 2: = = =k =>a=2k, b = 3k, c = 4k thay các giá trị này vào 2 3 4 Cách 1: từ a + 2b - 3c = -20 8 =>2k+ 6k - 12k = -20 => -4k = -20 => k = 5 vậy a = 2.5 =10; b= 3.5 =15; c = 4.5= 20 Khai thác và mở rộng bài toán: 1)Tìm các số x, y, z biết : a b c a) = = vµ a 2 -b2 + 2c 2 = 108 2 3 4 b) x-1 y-2 z-3 = = vµ 2x + 3y-z = 50 2 3 4 Bài 2.3: T ×m c¸c sè x;y;z biÕt r»ng x y y z = ; = vµ 2x+3y- z =186 3 4 5 7 Phân tích và tìm lời giải: Với bài này giáo viên cho học sinh nhận thấy y y , phải đưa về các phân 4 5 số (hoặc tỷ số) có cùng chung mẫu số là 20 x y x y = hay = (1) 3.5 4.5 15 20 y z y z = Tương tự = hay (2) 5 7 20 28 x y z Từ (1) và (2) => = = 15 20 28 Vậy Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay đặt x y z = = =k (k ≠ 0) ta 15 20 28 sẽ tìm được các giá trị x, y, z Giải x y x y = hay = 3 5 4 5 15 20 y z y z T ¬ng tù : = => = 5 7 20 28 ta cã : Từ (1) và (2) => (1) (2) x y z = = 15 20 28 x y z 2 x 3 y 2x + 3y-z 186 = = = = = = = 3 => x = 45 ; y = 60 ; z = 84 15 20 28 30 60 30 + 60-28 62 Khai thác và mở rộng bài toán 1) Tìm các số x,y,z Biết : => a, x y y z = ; = vµ 2x-3y + z = 6 3 4 3 5 b) 3x = 2y ; 7y = 5z vµ x-y + z = 32 Hướng dẫn giải: a) Giống bài 3 b) - Chuyển 3x = 2y, 7x = 5z thành các tỷ lệ thức - Tượng tự bài 3 chuyển 2 tỷ lệ thức thành dãy tỷ số bằng nhau 9 - Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay đặt dãy tỷ số bằng k ta sẽ tìm đượccác giá trị x,y,z Bài 2.4: Cho tỉ lệ thức x y = biết x.y = 90 Tính x và y? 2 5 Phân tích và tìm lời giải: - Cần tránh sai lầm áp dụng tương tự “tính chất dãy tỉ số bằng nhau” x y x y = = 2 5 2.5 - Để giải bài toán trên ta có thể giải theo 2 cách Cách 1: Hiển nhiên x(hoặc y) khác 0 nên ta nhân cả hai vế của x(hoặc y) ta có x y = với 2 5 x 2 x y = 2 5 Thay x.y vào biểu thức trên ta tìm được giá trị x, y Cách 2: Cũng có thể đặt x y = = k (k ≠ 0) =>x = 2k, y = 5k, thay các giá 2 5 trị này vào x.y = 90 => k=? => giá trị x,y Giải: Cách 1: Hiển nhiên x khác 0 nên ta nhân cả hai vế của x y = với x ta có 2 5 x 2 x y x 2 90 = ⇔ = = 18 ⇔ x 2 = 36 => x = ±6 vậy x1=6 ; y1=15 ; x2=-6 ; y2=-15 2 5 2 5 x y Cách 2 : Đặt = =k (k ≠ 0) =>x = 2k, y = 5k, thay các giá trị này vào 2 5 x.y = 90 được 10k2 = 90=> k = ±3 => x1 = 6; y1=15; x2 = -6; y2= -15 Khai thác và mở rộng bài toán: Tìm các số a, b, c biết : b) a b c = = vµ abc = 810 2 3 5 Hướng dẫn giải: Đặt dãy tỷ số bằng nhau bằng k =>a = 2k, b = 3k, c = 5k, thay các giá trị này vào abc = 810 =>k => a, b, c Bài 2.5: Tìm x biết: x - 60 -2 -x a, b, = = - 15 x x 8 Phương pháp giải: Với bài tập này, muốn tìm giá trị của x ta phải sử dụng tính chất 1 của tỷ lệ thức không thể làm theo cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau hay đặt k Giải : 10 x - 60 = - 15 x ⇒ x x = (-15).(-60) ⇒ x 2 = 900 ⇒ x = ± 30 Tương tự học sinh tìm được x ở câu b Khai thác và mở rộng bài toán: Tìm x biết: a) x 2 -3 = -9 x b) x2 8 = 4 x3 Hướng dẫn giải: sử dụng tính chất 1 của tỷ lệ thức rồi suy ra x Bài 2.6: Tìm các số x, y, z biết x + z + 2 x + z +1 x + y − 3 1 = = = y x z x+y+z Phân tích và tìm lời giải: Tuy bài toán chưa cho điều kiện của x, y, z nhưng ta vẫn có thể vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để tìm x, y, z vì ta thấy có điều đặc biệt là: khi cộng các số hạng trên tử và dưới mẫu thì chúng đều có cùng chung tổng x+y+z Giải Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x + z + 2 x + z +1 x + y − 3 1 x + z + 2 + x + z +1+ x + y − 3 = = = = y x z x+y+z x+y+z 2(x + y + z) = =2 x+y+z (vì x + y + z ≠ 0) ⇒ x + y + z = 0,5 ⇒ x + y = 0,5 – z, x + z = 0,5 – y, y + z = 0,5 – x Thay kết quả này vào đề bài ta được: 0,5 − x + 1 0,5 − y + 2 0,5 − z − 3 = = =2 x y z 1,5 − x 2,5 − y −2,5 − z =2 Tức là x = y = z 1 5 −5 Vậy x = , y = , z = 2 6 6 Khai thác và mở rộng bài toán: a b b c Tìm các số a,b,c biết : = = c a Hướng dẫn giải: Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau Dạng III: Cho tỷ lệ thức Hãy suy ra tỷ lệ thức khác a c Bài 3.1 Cho tỷ lệ thức: = ; b d Hãy chứng minh ta có tỷ lệ thức sau: a c ( giả sử a ≠ b ; c ≠ d ; a, b, c, d ≠ 0 ) = a- b c - d 11 * Phân tích và tìm lời giải: a c = để đi đến kết luận, trước hết ta làm như thế nào để xuất b d a b a c hiện các biểu thức a-b, c-d ta biến đổi = suy ra = b d c d a b a−b Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau ta được: = = c d c−d a a−b a c = Hoán vị các trung tỷ của = ta được c c−d a −b c−d Từ gả thiết * Giải: Cách 1: a b a-b a c a c = => = = = => b d c d c-d a-b c - d Ngoài cách giải trên ta còn có thể giải theo một số cách sau: a c Cách 2: Để chứng minh ta xét từng tích = a- b c - d a.(c-d) và c.(a-b) Ta có: a c = ⇒ ad = bc b d ( 3) => ac - ad = ac - bc => a(c-d) = c(a-b) a c Do đó: = a- b c - d Cách 3: Dùng phương pháp đặt a c = = K ( K ≠ 0) thì a = bK và c = dK b d Ta tính giá trị của các tỷ số: a c = theoK tacã: a- b c - d a bK bK K = = = a - b bK - b b(K - 1) K - 1 c dK dK K = = = c - d dK - d d(K - 1) K - 1 a c Tu (1) va (2) ⇒ = a -b c-d (1) (2) * Cách 4: Từ a c b d b d a -b c-d a c = ⇒ = ⇒ 1- = 1- ⇒ = ⇒ = b d a c a c a c a -b c-d a c Từ 4 cách trên ta đi đến nhận xét: Để chứng minh tỷ lệ thức = b d Ta thường làm như sau: Nếu trong đề bài đã cho trước một tỷ lệ thức khác thì ta đặt giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính gía trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức 12 phải chứng minh theo K (cách 2) Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức như hoán vị các số hạng, tính chất dãy tỷ số bằng nhau Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4) Khai thác và mở rộng bài toán: a c Bài 3.2: Cho tỷ lệ thức sau: = b d Hãy chứng minh rằng các tỷ lệ thức sau đây (giả thiết các tỷ lệ thức đều có nghĩa) 2a + 3b 2c + 3d = 2a-3b 2c-3d 2 ad a - b 2 b, = cd c2 - d 2 a, a +b c, c +d 2 a2 +b2 = 2 2 c +d Từ 4 cách giải ở ví dụ mà giáo viên đã ra Học sinh có thể giải theo một cách Giáo viên nhấn mạnh giải theo cách 2 và hướng dẫn học sinh cùng thực hiên HD Giải Đặt a c = = K ( K ≠ 0) thì a = bK và c = dK b d 2a+3 2bK+3b b( 2K +3) 2K +3 = = = (1) 2a- 3b 2bK- 3b b(2K- 3) 2K - 3 2c+3d 2dK+3d d(2K+3) 2K +3 = = = (2) 2c- 3d 2dK- 3d d(2K- 3) 2K - 3 2a+3b 2c+3d Tõ (1)vµ(2) => = 2a- 3b 2c- 3d C©u : b,c ®Óhäcsinhtùgi¶i a, Bài 3.3: Cho tỷ lệ thức sau: a+b c+d = a c a c+a b) = b b+d a c = (a,b,c,d ≠ 0) Hãy suy ra b d a) ab a 2 + b c) = cd c2 + d 2 Bài 3.4: Chứng minh rằng từ tỷ lệ thức a +b c +a = => hÖthøca2 =bc a- b c - a 13 Hướng dẫn giải: Bài 3.2 đặt giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng K, rồi tính gía trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo K (cách 2) Cũng có thể ta dùng các tính chất của tỷ lệ thức như hoán vị các số hạng, tính chất dãy tỷ số bằng nhau Tính chất của đẳng thức để biến đổi tỷ lệ thức đã cho đến tỷ lệ thức phải chứng minh (cách 3 và 4) Bài 3.5: Dùng tính chất của tỷ lệ thức như hoán vị các số hạng, tính chất dãy tỷ số bằng nhau a+b a +c a + b a − b 2a a = ⇒ = = = a −b a −c a + c a − c 2c c ⇒ (a + b)c = a(a + c) ⇒ ac + bc = a 2 + ac ⇒ bc = a 2 Dạng IV: Bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con người, vào hình học Bài 4.1: Tìm số đo các góc của tam giác ABC biết rằng số đo các góc này tỷ lệ với 2;3 và 4 Phân tích và tìm lời giải: Ta có thể phân tích và phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số như sau: *Tìm số đo ba góc * Góc Aˆ ; Bˆ ; Cˆ ˆ B ˆ Cˆ A * Số đo các góc này tỷ lệ với 2 ; 3 và 4 * Aˆ :Bˆ :Cˆ =2: 3: 4 hay = = 2 * Tổng 3 góc của một tam giác luôn bằng 1800 3 4 ˆ ˆ =1800 * Aˆ +B+C Bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta dễ dàng sử dụng điều ˆ ˆ =1800 để tìm các số đo các góc của tam giác ABC kiện Aˆ +B+C * Giải ˆ ;B ˆ ;C ˆ Gi¶ sö theo thø tù nµy, c¸c gãc Sè ®o c¸c gãc cña ∆ ABC lµ A ˆ :B ˆ :Cˆ =2: 3: 4 hay ®ã tû lÖví i 2,3 vµ 4 nghÜ a lµ A ˆ B ˆ C ˆ A ˆ +B+C ˆ ˆ 1800 A = = = = =200 2 3 4 2+3+4 9 0 ˆ ˆ Do ®ã: A =40 ; B =600 ; Cˆ =800 Khai thác và mở rộng bài toán: Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác ,biết độ dài ba cạnh này tỉ lệ với 2,3,7 và chu vi của tam giác bằng 24cm * Bài 4.2: Trên một công trường xây dựng có 3 đội công nhân làm việc 2 4 3 Biết rằng số công nhân của đội I bằng số công nhân đội II bằng số 4 3 5 công nhân đội III 14 Biết rằng số công nhân đội III ít hơn tổng số công nhân của đội I và đội II là 57 người Tính số công nhân của mỗi đội Phân tích và tìm lời giải: Ta có thể phân tích và phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ đại số như sau: * Số công nhân của đội I, II, III * x, y, z(người ) 2 3 2 3 4 * số công nhân của đội I bằng số công nhân * x= y= z 3 4 5 4 3 4 đội II bằng số công nhân đội III 5 * Số công nhân đội III ít hơn tổng số công nhân của đội * x+y-z=57 I và đội II là 57 người Bằng cách chia mỗi số 2 x ; 3 y ; 4 z cho 12 (BCNN(2,3,4)) để được dãy tỉ 3 4 5 x y z = = số bằng nhau 18 16 15 Bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta dễ dàng sử dụng điều kiện x + y - z = 57 để tìm ra các giá trị x,y,z Giải: Gọi x,y,z lần lượt là số công nhân của đội I, đội II, đội III (x,y,z ∈ N * ) Theo đề bài ta có 2 x = 3 y = 4 z Và x+y – z = 57 3 4 5 (1) (2) Chia mỗi số 2 x, 3 y, 4 z Cho 12 ta được x = y = z 3 4 5 18 16 15 áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và sử dụng điều kiện 2 ta có : x y z x+ y−z 57 = = = = =3 18 16 15 18 + 16 − 15 19 Suy ra: x = 3.18 = 54 y = 3.16 = 48 z = 3.15 = 45 Vậy số công nhân của đội I, II, III lần lượt là 54, 48, 45(người) Chú ý: Nếu không làm như trên ,bài toán này thường được giải như sau: 2 3 4 x y z x + y − z 57 x = y = z => = = = = = 36 3 4 5 3 4 5 19 3 4 5 + − 2 3 4 2 3 4 12 3 4 5 x = 36 = 54; y = 36 = 48; z = 36 = 45 2 3 4 Khai thác và mở rộng bài toán: Bài 4.3.: Có 16 tờ giấy bạc loại 2 000 đ ; 5 000đ và 10 000đ Trị giá mỗi loại tiền trên đều như nhau Hỏi mỗi loại có mấy tờ ? 15 Bài 4.4: Một người đi từ A -> B đã tính rằng nếu đi với vận tốc là 6km/h 4 thì đến B lúc 11h 45 Vì rằng người đó chỉ đi được quãng đường với vận tốc 5 định trước và quãng đường còn lại chỉ đi với vận tốc 4,5km/h nên đến B lúc 12h Hỏi người đi bộ khởi hành lúc mấy giờ và quãng đường AB dài bao nhiêu km ? Hướngdẫn giải bài 2: Gọi AC là quãng đường đi với vận tốc 6km/h CB là quãng đường đi với vận tốc 4,5 km/h Theo đề bài ra ta có : C 1 CB = AB Giả sử để đi quãng CB với vận tốc 6km/h cần thời gian là t 1 5 giờ còn đi với vận tốc 4,5 km/h với thời gian t2 giờ Ta có: 1 t1 - t2 =12h-11h45= (h) vµ 6t1 =4,5t2 4 1 h t2 t1 t2 - t1 1 3 4 => = = = = h Tõ ®ã => t2 =1h ; t1 = h 6 4,5 6- 4,5 1,5 6 4 Qu· ng ® êng AB lµ: 4,5 5 =22,5km 3 6 =4,5km 4 Thêi gian ®Ó®ibé tõ A → B lµ 4t1 +t2 =3h+1h=4h Qu· ng ® êng CB lµ: Thêi gian khëi hµnh ®Ó®ibé lµ 12- 4 =8h Như vậy, để việc rèn kỹ năng giải toán về tỷ lệ thức cho học sinh lớp 7, giáo viên cần thực hiện tốt các nội dung sau: * Yêu cầu học sinh học thuộc và hiểu lý thuyết về tỷ lệ thức, dãy tỷ số bằng nhau * Chia bài tập theo từng dạng: - Dạng 1: Cho tập hợp số hãy liệt kê tất cả các tỷ lệ thức có các số hạng khác nhau là các phần tử của tập hợp đó - Dạng 2: Tìm các số chưa biết khi biết các tỷ lệ thức - Dạng 3: Chứng minh tỷ lệ thức - Dạng 4: Toán lời giải bài tập vận dụng tỷ lệ thức vào thực tiễn, đời sống con người, vào hình học * Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán, tìm lời giải cho bài toán cơ bản, đơn giản * Đối với từng dạng giáo viên đưa ra bài tập từ đơn giản đến phức tạp * Giáo viên chốt lại cách giải dạng toán và yêu cầu học sinh nhớ cách giải - Đối với dạng 1: Tìm các tích bằng nhau của hai thừa số trong các số của tập hợp rồi dùng tính chất hai của tỷ lệ thức để lập các tỷ lệ thức có được - Đối với dạng 2: +) Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau 16 a c a +c a - c = = = = b d b +d b - d +) Đặt tỷ lệ thức đã cho bằng k Tìm mối liên hệ của ẩn số qua k - Đối với dạng 3: Các phương pháp hay sử dụng +) Phương pháp 1: Dùng tính chất của tỷ lệ thức và tính chất dãy tỷ số bằng nhau để biến đổi tỷ lệ thức đã cho sao cho xuất hiện các biểu thức trong tỷ lệ thức cần chứng minh +) Phương pháp 2: Đặt giá trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức đã cho bằng k, rồi tính gía trị của mỗi tỷ số ở tỷ lệ thức phải chứng minh theo k +) Phương pháp 3: Phân tích ngược đi từ tỷ lệ thức cần chứng minh muốn có a c = phải có ad = bc, muốn có ad = bc phải có cái gì… b d - Đối với dạng 4: Phiên dịch bài toán sang ngôn ngữ toán học rồi áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và sử dụng điều kiện để tìm các dữ liệu IV Hiệu quả đề tài đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường Khi chưa hướng dẫn cho học sinh biết khai thác, mở rộng các bài toán trong sách giáo khoa tôi thấy các em chưa có hứng thú khi giải toán, bài làm còn rập khuôn máy móc, kết quả học tập chưa cao Sau khi thực hiện tại trường THCS Quảng Hưng tôi thấy học sinh hiểu rõ hơn về toán tỷ lệ thức, trình bày lời giải bài toán khoa học chặt chẽ hơn Tôi cho các bài tập tương tự của 4 dạng toán mà tôi đã trình bày ở trên đa số các em trong lớp đều làm được Khi tôi tiến hành cho học sinh làm bài kiểm tra 15 phút HKII tại lớp 7A1 và lớp 7A2 năm học 2015 - 2016, kết quả như sau: STT 1 2 Lớp 7A1 7A2 Tổng Sĩ số 38 37 75 Số HS giải được Số HS biết hướng nhưng không giải được SL 21 19 38 SL 12 12 24 % 55 51 51 % 32 32 35 Số HS không thể giải được SL 5 6 11 % 13 16 15 Trong quá trình giảng dạy, tôi đã hệ thống và hướng dẫn cho các em biết khai thác mở rộng các bài toán từ dễ đến khó trong SGK , SBT và một số bài tập nâng cao.Tôi thấy các em biết phân tích bài toán một cách chặt chẽ hơn, say mê và tích cực giải toán hơn Trong các tiết toán của tôi hầu như không có em nào mất trật tự các em rất say mê học tập và một điều hết sức ý nghĩa là học sinh lớp 7 trường THCS Quảng Hưng không những các em biết giải toán, học toán mà các em còn biết vận dụng toán học vào các bộ môn khác cũng như ở các hoạt 17 động vui chơi, các hoạt động ngoài giờ lên lớp do Đội Thiếu niên và Đoàn Thanh niên nhà trường cũng như Đoàn Phường Quảng Hưng tổ chức Mặt khác, với phương pháp khai thác và mở rộng đề tài" Rèn kỹ năng giải toán về tỷ lệ thức cho học sinh lớp 7 trường THCS Quảng Hưng" giúp đồng nghiệp có thể đưa ra các vấn đề tương tự nhằm làm cho quá trình dạy và học toán ngày càng sáng tạo và sinh động hơn 18 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 1 Kết luận Trên đây là những suy nghĩ và việc làm mà tôi đã thực hiện ở lớp 7A1, lớp 7A2 trường THCS Quảng Hưng và đã có những kết quả đáng kể đối với học sinh trong quá trình học tập Với đề tài này trước hết tôi đã đưa ra phần lý thuyết ở mỗi phần có kèm theo ví dụ mà tôi cho là điển hình, cơ bản nhằm giúp các em cũng cố và nắm vững hơn về lý thuyết Sau khi các em đã nắm vững lý thuyết thì tôi đưa ra phần bài tập vận dụng lý thuyết và những hiểu biết đã học để làm Mặc dù trong quá trình làm bài tập một số em còn vướng mắc nhưng với sự gợi ý của tôi hầu hết các em đều tìm ra hướng giải và làm được hết bài tập mà tôi đã ra Trong đó một số em có tiến bộ rõ rệt Ngoài bài toán trên các em còn sưu tầm thêm các bài toán liên quan đến tỷ lệ thức ở các sách nâng cao để tìm hiểu Sự tiến bộ và sự đam mê của các em luôn là nguồn sức mạnh tiếp thêm cho tôi trong công tác giảng dạy của mình Điều trước tiên tôi thấy được là học sinh hăng say học tập trong các giờ lên lớp Với học sinh lớp 7A1 và lớp 7A2 mà tôi giảng dạy, các dạng bài toán liên quan đến tỷ lệ thức không còn là vấn đề đáng ngại nữa Cuối kì học đa số các em đã quen với loại toán "Giải toán tỉ lệ thức", đã nắm được các dạng toán và phương pháp giải từng dạng, các em biết trình bày đầy đủ, khoa học, lời giải chặt chẽ, rõ ràng, các em bình tĩnh, tự tin và cảm thấy thích thú khi giải loại toán này Tôi mong rằng đề tài này sẽ cũng giúp học sinh lớp 7 của trường THCS Quảng Hưng và đồng nghiệp trong trường hiểu kỹ hơn về "Giải toán tỉ lệ thức" Bằng những kinh nghiệm rút ra sau nhiều năm giảng dạy, nhất là những bài học rút ra sau nhiều năm dự giờ thăm lớp của các đồng chí cùng trường Cùng với sự giúp đỡ tận tình của ban giám hiệu nhà trường, của tổ chuyên môn KHTN trường THCS Quảng Hưng, tôi đã hoàn thành đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Rèn kỹ năng giải toán tỉ lệ thức cho học sinh lớp 7 trường THCS Quảng Hưng " và với đề tài này tôi đã đem đến cho học sinh lớp 7 nhà trường chúng tôi sự say mê học tập, đem đến cho đồng nghiệp sự tin tưởng, lòng yêu nghề và sự sáng tạo trong công tác giảng dạy học sinh 2 Kiến nghị: 19 * Đối với đồng nghiệp: Cần phải nghiên cứu kỹ mục tiêu của dạng toán" Tỷ lệ thức"để truyền tải đến học sinh Qua đó nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan, có định hướng rõ ràng, thảo luận tổ chuyên môn và trao đổi với đồng nghiệp để tìm ra giải pháp tối ưu trong việc triển khai, rút kinh nghiệm qua từng bài cụ thể, bổ sung kiến thức qua các tài liệu, tạp trí toán học, các đề thi học sinh giỏi hàng năm * Đối với nhà trường: Xu hướng hiện đại hoá giáo dục ứng dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy đang được chú trọng, mỗi khi giáo viên thực hiện dạy giáo án điện tử thì phải mất nhiều thời gian để chuẩn bị phòng dạy Vậy đề nghị nhà trường cần quan tâm đầu tư phòng bộ môn phục vụ cho công tác giảng dạy nói chung và việc giảng dạy bộ môn Toán nói riêng được tốt hơn, đồng thời cần thường xuyên bổ sung các loại tài liệu tham khảo để giáo viên có điều kiện tìm hiểu nhiều hơn về các kiến thức liên quan đến bài dạy Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của bản thân tôi tự rút ra khi nghiên cứu đề tài "Rèn luyện kỹ năng giải Toán về tỷ lệ thức cho học sinh lớp 7 trường THCS Quảng Hưng", khi viết đề tài này không thể tránh khỏi những thiếu xót, rất mong nhận được sự quan tâm góp ý của đồng nghiệp và hội đồng khoa học các cấp để bổ xung cho đề tài của tôi được vận dụng vào giảng dạy đạt kết quả tốt hơn Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG NHÀ TRƯỜNG Quảng Hưng, ngày 19 tháng 3 năm 2016 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác Người viết Trần Thị Loan 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Phan Đức Chính - Sách giáo khoa toán 7 - tập 1(NXB Giáo Dục) 2 Phan Đức Chính- Sách giáo viên toán 7 - tập 1- (NXBGD) 3 Phan Đức Chính - Sách bài tập toán 7 - tập 1- (NXBGD ) 4 VŨ HỮU BÌNH - Nâng cao và phát triển toán 7- tập 1- (NXBGD - 2004) 5 Những vấn đề chung về đổi mới giáo dục Trung học cơ sở môn Toán (NXBGD – 2007) 6 Vũ Dương Thụy (Củ biên) – Nguyễn Ngọc Đạm - Toán nâng cao và các chuyên đề Đại số 7 - (NXBGD – 2008) 7 Nguyễn Ngọc Đạm - Toán phát triển đại số7 - ( NXB Giáo dục - 1996) 8 TS Lê Văn Hồng - Một số vấn đề đổi mới phương pháp dạy học môn toán (NXB Giáo dục - 2004) 9 Vũ Dương Thụy - Thực hành giải toán - (NXB Giáo dục - 1999) 10 Các trang Website : http://www.giaoan.violel.vn http://www.bing.com.vn 21 ... chất dãy tỷ số + Các kiến thức liên quan - Về dạng toán: + Liệt kê tỷ lệ thức từ số cho trước + Cho tỷ lệ thức, suy tỷ lệ thức khác + Tìm số chưa biết cho biết tỷ lệ thức đẳng thức + Các toán. .. nghiệm để học sinh làm điểm tối đa Chính nên tơi chọn đề tài "Rèn luyện kỹ giải Toán tỷ lệ thức cho học sinh lớp trường THCS Quảng Hưng " để nghiên cứu phổ biến cho đồng nghiệp tham khảo năm học vừa... tiếp khảo sát học sinh lớp 7A1 học sinh lớp 7A2 (lớp tội trực tiếp giảng dạy) đề số dạng toán kiến thức liên quan đến tỷ lệ thức thấy kết sau: STT Lớp 7A1 7A2 Tổng Sĩ số 38 37 75 Số HS giải Số HS