Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" 1.MỞ ĐẦU: 1.1 Lý chọn đề tài: Trong chương trình tốn học THPT, học đến chương phương pháp tọa độ không gian học sinh thường lúng túng gặp tốn viết phương trình mặt phẳng có nhiều dạng phương trình mặt phẳng Bản thân tơi nhiều năm được phụ trách lớp học theo ban Khoa học tư nhiên, lớp bản theo khối, qua nghiên cứu giảng dạy tơi thấy việc phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó sát thưc, phù hợp cần thiết với việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh yếu kém, giỏi ôn luyện cho học sinh thi Đại học cao đẳng Do vậy chọn đề tài " Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó'' để nghiên cứu nhằm phần đáp ứng yêu cầu góp phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường Do đặc điểm lớp 12 năm học sinh phải thi tốt nghiệp Trung học phổ thông, Đại học Cao đẳng nên phần lớn học sinh có ý thức học tập trang bị kiến thức cần thiết cho kỳ thi vào cuối năm học Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song đề tài nghiên cứu khơng trách khỏi thiếu sót Kính mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu của thầy cô cá bạn đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn! 1.2 Mục đích nghiên cứu - Trang bị cho học sinh số phương pháp viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ Oxyz - Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải tốn Qua học sinh nâng cao kỹ tư sáng tạo 1.3 Đối tượng nghiên cứu - Các tập viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ Oxyz nằm chương trình tốn học phổ thơng.Từ phân loại, tổng hợp dạng cách giải chúng 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Tích lũy qua nhiều năm giảng dạy phần - Thông qua việc kiểm tra đánh giá lưc tiếp thu của học sinh - Thông qua sách giáo khoa, sách tập, hệ thống tập tài liệu tham khảo - Thông qua đề thi tốt nghiệp, đại học cao đẳng kỳ thi THPT Quốc gia năm 2015 NỘI DUNG SÁNG KIẾN 2.1.Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm: Khi dạy tốn viết phương trình mặt phẳng theo biết yếu tố mặt phẳng vng góc với đường thẳng, hay song song với mặt phẳng, hay song song với đường thẳng tạo với mặt phẳng khác góc cho trước, nhiều học sinh không định hướng được cách giải, mà em cịn nhầm lẫn cả việc tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Trên sở lý thuyết của tốn sau sách giáo khoa hình học 12 sau Bài tốn 1: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) hai véc tơ không cùng phương: a = (a1 ; a ; a3 ), b = (b1 ; b2 ; b3 ) có giá song song nằm mặt phẳng (α ) Tích có hướng của véc tơ a, b : a; b = (a b3 − a3 b2 ; a3 b1 − a1b3 ; a1b2 − a b1 ) véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) Bài tốn 2: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) qua điểm M ( x0 ; y ; z ) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) mặt phẳng (α ) có phương trình là: [ ] A( x − x0 ) + B ( y − y ) + C ( z − z ) = Bài toán 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : Ax + By + Cz + D = có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) Bài toán 4: Nếu mặt phẳng (α ) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt điểm A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) với abc ≠ mặt phẳng (α ) có phương trình theo x y z đoạn chắn là: + + = a b c Và khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng, véc tơ phương của đường thẳng: - Véc tơ n ≠ có giá vng góc với mặt phẳng (α ) được gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) - Véc tơ u ≠ có giá song song với đường thẳng d được gọi véc tơ phương của đường thẳng Cộng thêm mối quan hệ biện chứng quan hệ song song quan hệ vng góc đường thẳng mặt phẳng: 1) a // b ⇒ u a , u b cùng phương a //( P ) 2)  ⇒ ua ⊥ nP a ⊂ ( P) 3) ( P ) //(Q) ⇒ n P , nQ cùng phương 4) a ⊥ b ⇒ u a ⊥ u b 5) a ⊥ ( P ) ⇒ u a , n P cùng phương 6) ( P ) ⊥ (Q) ⇒ n P ⊥ nQ Từ sở lý thuyết phương trình mặt phẳng tơi định hướng giải chung cho tốn viết phương trình mặt phẳng là: - Tìm điểm nằm mặt phẳng - Xác định véc tơ pháp tuyến mặt phẳng Trong sáng kiến liệt kê, hệ thống số dạng toán tạo mối quan hệ biện chứng đối tượng cách giải toán viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trong trình giảng dạy hình học 12 chương ''Phương pháp tọa độ không gian" phương trình mặt phẳng phương trình đường thẳng Học sinh GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 2 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" thường lúng túng trước tốn viết phương trình mặt phẳng Khi gặp dạng tốn:"Viết phương trình mặt phẳng thỏa mãn điều kiện đó" học sinh thường gặp khơng ít khó khăn khơng tạo được mối quan hệ biện chứng đối tượng đề đã cho hướng giải khơng tìm được hướng giải Trước áp dụng đề tài, đã cho học sinh làm kiểm tra 45 phút viết phương trình mặt phẳng Kết quả : Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12B11 42 14,3 21,4 15 35,7 19,0 9.5 12B8 41 9,8 19,5 13 31,7 10 24,4 14,6 12C10 41 12,2 22 13 31,7 22 12,2 Vì thưc tiễn giảng dạy đã yêu cầu học sinh nêu yếu tố cần để viết phương trình mặt phẳng.Từ giả thiết em tìm mối quan hệ biện chứng đối tượng không gian từ đưa hướng giải cho dạng tốn tương ứng Với vấn đề của thưc trạng trên, đã mạnh dạn triển khai cho em mảng kiến thức nhằm giải tỏa bớt bất cập nói 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề Giải pháp: - Tổ chức số buổi dạy phụ đạo đại trà cho tất cả em, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi Đại học, ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia - Giới thiệu phần lý thuyết tọa độ khơng gian, phương trình mặt cầu, mặt phẳng, đường thẳng Sau phân loại dạng phương pháp giải - Cuối chuyên đề cho học sinh làm kiểm tra để đánh giá chất lượng Nội dung giải pháp: I VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC TƠ PHÁP TUYẾN MỘT CÁCH TRỰC TIẾP: LOẠI 1: Viết phương trình mặt phẳng có sẵn véc tơ pháp tuyến qua điểm Phương pháp chung: - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( véc tơ khác véc tơ khơng, có giá vng góc với mặt phẳng) - Tìm điểm nằm mặt phẳng - Thay vào phương trình tổng quát mặt phẳng Nhận xét: Thường gặp loại tốn học sinh làm được, em việc thay vào cơng thức Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M ( x0 ; y ; z ) có véc tơ pháp tuyến n = ( A; B; C ) GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Phương pháp : Mặt phẳng (P) có phương trình là: A( x − x0 ) + B( y − y ) + C ( z − z ) = ⇔ Ax + By + Cz − ( Ax0 + By + Cz ) = VD 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (α ) biết : a) qua điểm M (2;−3;5) có vtpt n = (−4;1;6) b) qua điểm N (0;7;−8) vng góc với véc tơ a = (2; ;0;3) Hướng dẫn giải: a) Phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M (2;−3;5) có vtpt n = (−4;1;6) là: − 4( x − 2) + 1( y + 3) + 6( z − 5) = ⇔ −4 x + y + z − = b) Mặt phẳng (α ) vng góc với véc tơ a = (−2; ;0;3) nên nhận a = (2; ;0;3) làm vtpt Phương trình mặt phẳng (α ) là: 2( x − 0) + 0( y − 7) + 3( z + 8) = ⇔ x + z + 24 = Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M vng góc với đường thẳng AB Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = AB - Điểm M nằm mặt phẳng VD 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;−2;4), B(3;6;2) a) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A vng góc với AB b) Viết phương trình mặt phẳng trung trưc ( β ) của đoạn thẳng AB Hướng dẫn giải: a) Mặt phẳng (α ) vng góc với AB nên có vtpt n = AB = (2;8;−2) qua A(1;−2;4) ⇒ ptmp (α ) là: 2( x − 1) + 8( y + 2) − 2( z − 4) = ⇔ x + y − z + 11 = b) Mặt phẳng trung trưc ( β ) của AB vng góc với AB nên có vtpt n = AB = (2;8;−2) qua trung điểm I (2;2;3) của AB ⇒ ptmp ( β ) là: 2( x − 2) + 8( y − 2) − 2( z − 3) = ⇔ x + y − z − = Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua điểm M song song với mặt phẳng (P) Phương pháp : Cách 1: - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n Q = n P - Điểm M nằm mặt phẳng Cách 2: - Nêu dạng phương trình mặt phẳng cần tìm - Thay tọa độ điểm M vào phương trình VD 3: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : x + y − z + 10 = điểm A(7;2;0) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua A song song với (α ) Hướng dẫn giải: Cách 1: Do mặt phẳng ( β ) song song với (α ) ⇒ n β = nα = (4;3;−1) GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" ⇒ ptmp ( β ) là: 4( x − 7) + 3( y − 2) − ( z − 0) = ⇔ x + y − z − 34 = Cách 2: Do mặt phẳng ( β ) song song với (α ) nên mặt phẳng ( β ) có dạng : 4x + 3y − z + d = Mà A(7;2;0) ∈ ( β ) ⇒ 4.7 + 3.2 − + d = ⇔ d = −34 Vậy ptmp ( β ) là: x + y − z − 34 = Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M vng góc với đường thẳng d Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng nα = u d - Điểm M nằm mặt phẳng  x = −1 + t  VD 4: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  y = + 2t điểm M (3;2;−5)  z = −4t  Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M vng góc với đường thẳng d Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng (α ) vng góc với đường thẳng d ⇒ nα = u d = (1;2;−4) ⇒ ptmp (α ) là: 1( x − 3) + 2( y − 2) − 4( z + 5) = ⇔ x + y − z − 27 = LOẠI 2: Viết phương trình mặt phẳng chứa song song với giá hai véc tơ không phương Phương pháp chung : - Tìm vtpt mặt phẳng tích có hướng hai véc tơ khơng phương - Tìm điểm nằm mặt phẳng Nhận xét: Trong trường hợp này, đối với em giỏi em nắm bắt tính chất của tích có hướng hai véc tơ khái niệm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng để tìm hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song nằm mặt phẳng Từ tính được véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng đoa Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M, N, P Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng nα = MN ; MP - Điểm nằm mặt phẳng M, N P VD 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A(2;−1;3), B(4;0;1), C (−10;5;3) Hướng dẫn giải: Ta có: AB = (2;1;−2) ; AC = (−12;6;0) Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (α ) : n α = AB; AC = (12;24;24) Mặt phẳng (α ) qua điểm A(2;−1;3) ⇒ ptmp (α ) là: 12( x − 2) + 24( y + 1) + 24( z − 3) = ⇔ x + y + z − = Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M song song với giá hai véc tơ không phương a, b Phương pháp : [ [ GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia ] ] Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" [ ] - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n α = a; b - Điểm M nằm mặt phẳng VD 6: Trong khơng gian Oxyz viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm M (1;0;0) song song với giá của hai véc tơ a = (0;1;1), b = (−1;0;2) Hướng dẫn giải: Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song với mặt phẳng (α ) là: a = (0;1;1), b = (−1;0;2) ⇒ vtpt của mặt phẳng (α ) : n α = a; b = (2;−1;1) Mặt phẳng (α ) qua điểm M (1;0;0) ⇒ ptmp (α ) là: 2( x − 1) − 1( y − 0) + 1( z − 0) = ⇔ x − y + z − = Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa MN vng góc với mặt phẳng (P) Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n α = MN ; n P - Điểm M N nằm mặt phẳng VD 7: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : x + y − z − = điểm A(0;2;0) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua OA vng góc với (α ) Hướng dẫn giải: Hai véc tơ không cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng ( β ) là: OA = (0;2;0), n α = (2;3;−4) ⇒ vtpt của mặt phẳng ( β ) : n β = OA; n α = (−8;0;−4) Mặt phẳng ( β ) qua điểm O(0;0;0) ⇒ ptmp ( β ) là: − x − z = ⇔ x + z = Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa AB song song với CD, biết điểm A, B, C, D không đồng phẳng Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng nα = AB; CD - Điểm A B nằm mặt phẳng VD 8: Trong khơng gian Oxyz cho điểm không đồng phẳng A(4;1;4), B(3;3;1), C (1;5;5), D(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua AB song song với CD Hướng dẫn giải: Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (α ) là: AB = (−1;2;−3), CD = (0;−4;−4) ⇒ vtpt của mặt phẳng (α ) : nα = AB; CD = (−20;−4;4) Mặt phẳng (α ) qua điểm A(4;1;4) ⇒ ptmp (α ) là: − 20( x − 4) − 4( y − 1) + 4( z − 4) = ⇔ −5 x − y + z + 17 = Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d song song với đường thẳng d' Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n α = u d ; u d ' [ ] [ [ [ ] [ ] ] ] [ GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia ] Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" - Điểm M thuộc d nằm mặt phẳng x = t  x = −1 − 2t '   VD 9: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d :  y = t d ':  y = t '  z = 2t z = + t'   Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d song song với d ' Hướng dẫn giải: Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (α ) là: u d = (1;1;2), u d ' = (−2;1;1) ⇒ vtpt của mặt phẳng (α ) : n α = u d ; u d ' = ( −1;−5;3) Mặt khác d qua điểm 0(0;0;0) nên mặt phẳng (α ) qua điểm O(0;0;0) ⇒ ptmp (α ) là: − x − y + z = Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa đường thẳng cắt d d' Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n α = u d ; u d ' - Điểm M thuộc d nằm mặt phẳng [ ] [ ]  x = + 2t  VD 10: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng cắt d :  y = −2 − 3t  z = + 4t  x − y − z −1 = = Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d d' −2 Hướng dẫn giải: Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (α ) là: u d = (2;−3;4), u d ' = (3;2;−2) ⇒ vtpt của mặt phẳng (α ) : n α = u d ; u d ' = (−2;16;13) Mặt khác d qua điểm M (1;−2;5) nên mặt phẳng (α ) qua điểm M (1;−2;5) ⇒ ptmp (α ) là: − 2( x − 1) + 16( y + 2) + 13( z − 5) = ⇔ x − 16 y − 13 z + 31 = Dạng 11: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d vng góc với mặt phẳng [ ] (α ) Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = u d ; nα - Điểm M thuộc d nằm mặt phẳng VD 11: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : x − y + z − = đường [ ] x −1 y − z = = Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d vng góc −3 với mặt phẳng (α ) thẳng Hướng dẫn giải: Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (P) là: u d = (2;−3;2), n α = (1;−2;2) ⇒ vtpt của mặt phẳng (P ) : n P = u d ; nα = (−2;−2;−1) Mặt khác d qua điểm M (1;3;0) nên mặt phẳng (P) qua điểm M (1;3;0) [ GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia ] Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" ⇒ ptmp (P ) là: − 2( x − 1) − 2( y − 3) − 1( z − 0) = ⇔ x + y + z − = Dạng 12: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A vng góc với hai mặt phẳng cắt (α ), ( β ) Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = nα ; n β - Điểm A nằm mặt phẳng VD 12: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : x + y − z + = , ( β ) : x + y − z − = điểm A(7;4;−1) Viết phương trình mặt phẳng (P ) qua A vng góc với mặt phẳng (α ), (β ) Hướng dẫn giải: Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (P) là: nα = (1;2;−1), n β = (2;3;−7) ⇒ vtpt của mặt phẳng (P ) : n P = n α ; n β = (−11;5;−1) Mặt khác mặt phẳng (P) qua điểm A(7;4;−1) ⇒ ptmp (P ) là: − 11( x − 7) + 5( y − 4) − 1( z + 1) = ⇔ −11x + y − z + 56 = Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa đường thẳng d Phương pháp : - Điểm M thuộc đường thẳng d nên M thuộc mặt phẳng (P) - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = AM ; u d VD 13: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oy điểm A(1;−1;1) Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên qua O(0;0;0) Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (P) là: j = (0;1;0), OA = (1;−1;1) ⇒ vtpt của mặt phẳng (P ) : n P = j; OA = (1;0;−1) Mặt khác mặt phẳng (P) qua điểm O(0;0;0) ⇒ ptmp (P ) là: x − z = Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song d d' Phương pháp : - Điểm M, N thuộc đường thẳng d , d ' nên M, N thuộc mặt phẳng (P) - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = MN ; u d VD 14: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng song song [ [ [ ] ] [ ] [ ] ] x −1 y − z x−2 y−2 z = = = = d ': Viết phương trình mặt phẳng (P) −2 −4 chứa đường thẳng d , d ' d: Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng (P) chứa d , d ' nên qua M (1;2;0), N (2;2;0) GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (P) là: u d = (1;2;−2), MN = (1;0;0) ⇒ vtpt của mặt phẳng (P ) : n P = u d ; MN = (0;−2;−2) Mặt khác mặt phẳng (P) qua điểm M (1;2;0) ⇒ ptmp (P ) là: 0( x − 1) − 2( y − 2) − 2( z − 0) = ⇔ y + z − = LOẠI 3: Viết phương trình mặt phẳng tìm véc tơ pháp tuyến liên quan đến khoảng cách mặt cầu Phương pháp chung: - Tìm vtpt mặt phẳng? - Dựa vào yếu tố biết suy phương trình mặt phẳng Nhận xét: Sau đã được học hai loại em dễ dàng làm với loại này, nhiên em lúng túng vận dụng kiến thức khoảng cách mặt cầu Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (α ) cách A khoảng h Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = n α Suy dạng phương trình mặt phẳng - Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P) h VD 15: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : x − y + z + = điểm A(3;0;5) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) song song với mặt phẳng (α ) cách điểm A khoảng bằng Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng ( β ) song song với (α ) nên mặt phẳng ( β ) có dạng: [ ] 2x − y + z + D = 6−0+5+ D = ⇔ D + 11 = 12 ⇔ Ta có: d ( A; ( β )) = ⇔ + +1 Vậy có hai mặt phẳng ( β ) là: x − y + z + = x − y + z − 23 = D =  D = −23  Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với đường thẳng d, d' tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm I bán kính R Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = u d ; u d ' Suy dạng phương trình mặt phẳng - Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) h [ ]  x = −7 + 3t  VD 16:Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d :  y = −1 − 2t , z =  x + y − z + 13 = = mặt cầu ( S ) : x + y + z − 10 x + y + 26 z − 113 = Viết −3 phương trình mặt phẳng (P) song song với d , d ' tiếp xúc với mặt cầu (S ) d ': GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Hướng dẫn giải: Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (P) là: u d = (3;−2;0), u d ' = (2;−3;2) ⇒ vtpt của mặt phẳng (P) : n P = u d ; u d ' = (−4;−6;−5) ⇒ ptmp (P ) có dạng là: x + y + z + D = Mặt cầu (S ) có tâm I (5;−1;−13) bán kính R = 308 Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S ) ⇔ d ( I ; ( P)) = R [ ] 20 − − 65 + D  D = −103 = 308 ⇔ D − 51 = 154 ⇔  16 + 36 + 25  D = 205 Vậy có hai mặt phẳng (P) là: x + y + z − 103 = x + y + z + 205 = Dạng 17: Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (α ) cắt ⇔ mặt cầu (S) tâm I bán kính R theo đường trịn bán kính r Phương pháp : - Tìm véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n P = nα Suy dạng phương trình mặt phẳng - Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) R − r VD 17: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α ) : 3x + y − z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z − x + y + z − = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (α ) cắt mặt mặt cầu (S ) theo giao tuyến đường trịn có bán kính bằng Hướng dẫn giải: Do mặt phẳng (P) song song với (α ) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng : 3x + y − z + D = Mặt cầu (S ) có tâm I (1;−2;−1) bán kính R = Khoảng cách từ tâm I đến mp (P) là: 32 − =  D = −5 + 13 = ⇔ D + = 13 ⇔  + + 16  D = −5 − 13 Vậy có hai mặt phẳng (P) là: 3x + y − z − + 13 = d ( I ; ( P )) = ⇔ 3− 2+ 4+ D x + y − z − − 13 = II VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG KHI KHƠNG XÁC ĐỊNH ĐƯỢC VÉC TƠ PHÁP TUYẾN MỘT CÁCH TRỰC TIẾP: LOẠI 4: Viết phương trình mặt phẳng khơng xác định véc tơ pháp tuyến Phương pháp chung : - Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng n = ( A; B; C ) , A2 + B + C > - Dựa vào giả thiết sẵn có để tìm hệ thức liên hệ A, B, C Từ suy phương trình mặt phẳng cần tìm Nhận xét: Đây dạng khó nhất của cả chuyên đề, loại em phải đặt ẩn phụ cho véc tơ pháp tuyến Các em muốn giải tốt cần phải vận GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 10 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" dụng linh hoạt kiến thức sẵn có, đặc biệt em phải biết gọi ẩn biết cách giải hệ phương trình Dạng dành cho học sinh khá, giỏi Dạng 18: Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua N, P cách M khoảng h Phương pháp : - Gọi vtpt mặt phẳng, cho mặt phẳng qua N suy dạng phương trình - Từ điểm P thuộc mặt phẳng ta phương trình - Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng VD 18: Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;1;1), N (2;1;0), P(2;0;2) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua N, P cách M khoảng bằng Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n = ( A; B; C ) , A2 + B + C > Do mặt phẳng (α ) qua N nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng : A( x − 2) + B( y − 1) + Cz = Do mặt phẳng (α ) qua P ⇒ − B + 2C = (1) − A+C d ( M ; (α )) = ⇔ = (2) 2 A + B +C C =  A = −2C 2 Thay (1) vào (2) ta được: − A + C = A + 5C ⇔ −2 AC − 4C = ⇔  Với C = ⇒ B = , chọn A = ⇒ ptmp(α ) : x − = Với A = −2C , chọn C = ⇒ A = −2, B = ⇒ ptmp(α ) : − x + y + z + = Dạng 19: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d tạo với d' góc ϕ Phương pháp : - Gọi vtpt mặt phẳng (α ) , cho mặt phẳng (α ) qua M thuộc d suy dạng phương trình - Tính tích vô hướng vtpt mặt phẳng (α ) vtcp đường thẳng ta phương trình - Tính góc mặt phẳng (α ) đường thẳng ∆ VD 19: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng ∆ : d: x−2 y−3 z +5 = = −1 x y−2 z = = Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d tạo với ∆ góc 30 −1 Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n = ( A; B; C ) , A2 + B + C > Đường thẳng d qua điểm M (0;2;0) có vtcp u d = (1;−1;1) Do mặt phẳng (α ) qua M (0;2;0) nên phương trình mặt phẳng (α ) có dạng : Ax + B ( y − 2) + Cz = Do mặt phẳng (P) chứa d ⇒ n P u d = ⇔ A − B + C = ⇔ B = A + C (1) Đường thẳng ∆ có vtcp u ∆ = (2;1;−1) Mặt phẳng (P) tạo với ∆ góc 30 GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 11 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" 2A + B − C ⇒ cos(n P ; u ∆ ) = sin 30 ⇔ A + B + C 2 = (2) Thay (1) vào (2) ta được: A = C A = A + ( A + C ) + C ⇔ A − AC − C = ⇔  A = − C  Với A = C , chọn C = ⇒ A = 1, B = ⇒ ptmp( P) : x + y + z − = Với A = − C , chọn C = −2 ⇒ A = 1, B = −1 ⇒ ptmp( P) : x − y − z + = Dạng 20: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d tạo với mặt phẳng ( β ) góc ϕ 2 2 Phương pháp : - Gọi vtpt mặt phẳng (α ) , cho mặt phẳng (α ) qua M thuộc d suy dạng phương trình - Tính tích vơ hướng vtpt mặt phẳng (α ) vtcp đường thẳng ta phương trình - Tính góc mặt phẳng (α ) ( β ) x +1 y − z + = = mặt −1 −1 phẳng (α ) : x − y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d hợp với (α ) góc ϕ thỏa mãn cos ϕ = VD 20: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n = ( A; B; C ) , A2 + B + C > Đường thẳng d qua điểm M (−1;2;−3) có vtcp u d = (1;−1;−1) Do mặt phẳng (P) qua M (−1;2;−3) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng : A( x + 1) + B ( y − 2) + C ( z − 3) = Do mặt phẳng (P) chứa d ⇒ n P u d = ⇔ A − B − C = ⇔ A = B + C (1) Mặt phẳng (α ) có vtpt n α = (1;2;1) Mặt phẳng (P) hợp với (α ) góc ϕ ⇒ cos(n P ; n α ) = cos ϕ ⇔ A + 2B + C A + B + C 2 = (2) Thay (1) vào (2) ta được:  B = −C 3B + 2C = ( B + C ) + B + C ⇔ B + 11BC + 3C = ⇔  B = − C  Với B = −C , chọn C = ⇒ B = −1, A = ⇒ ptmp( P) : − y + z + = Với B = − C , chọn C = −8 ⇒ B = 3, A = −5 ⇒ ptmp( P) : − x + y − z − 35 = Dạng 21: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α ) lớn 2 2 GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 2 12 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Phương pháp : - Gọi vtpt mặt phẳng (α ) , cho mặt phẳng (α ) qua M thuộc d suy dạng phương trình - Tính tích vơ hướng vtpt mặt phẳng (α ) vtcp đường thẳng ta phương trình - Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (α ) x −1 y z − = = VD 21: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d : điểm 2 I (2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) lớn nhất Hướng dẫn giải: Gọi véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng n = ( A; B; C ) , A2 + B + C > Đường thẳng d qua điểm M (1;0;2) có vtcp u d = (2;1;2) Do mặt phẳng (P) qua M (1;0;2) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng : A( x − 1) + B ( y − 0) + C ( z − 2) = Do mặt phẳng (P) chứa d ⇒ n P u d = ⇔ A + B + 2C = ⇔ B = −2 A − 2C (1) A + 5B + C Ta có: d ( I ; ( P)) = (2) A + B2 + C 9A+C A+C = Thay (1) vào (2) ta được: d ( I ; ( P)) = A2 + AC + 5C 5( A + C ) − AC Ta có: ( A + C )2 ≥ AC , ∀A, C ⇒ d ( I ; ( P )) = 9A+C 5( A + C ) − AC ≤ 9A+C ( A + C )2 5( A + C ) − ≤3 2 Dấu bằng xảy A = C , A2 + B + C > ⇒ A = C = − B ≠0 chọn B = −4 ⇒ C = A = ⇒ ptmp ( P) : x − y + z − = LOẠI 5: Viết phương trình mặt phẳng (α ) cắt trục tọa độ dựa vào phương trình mặt phẳng đoạn chắn Phương pháp chung : - Gọi giao điểm mặt phẳng (α ) với trục tọa độ A(a;0;0), B (0; b;0), C (0;0; c ) Phương trình (α ) có dạng x y z + + =1 a b c - Dựa vào giả thiết sẵn có để tìm hệ thức liên hệ a, b, c Từ suy phương trình mặt phẳng cần tìm Nhận xét: Nhiều học sinh khơng nhớ phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn dẫn đến việc khó tìm lời giải phù hợp cho toán VD 22: Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;2;3), A(2;0;0) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M, A cắt trục Oy, Oz theo thứ tư B C (khác gốc tọa độ O ) cho tam giác ABC cân A Hướng dẫn giải: GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 13 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" x y z Gọi B(0; b;0), C (0;0; c), bc ≠ ⇒ ptmp (α ) : + + = b c Do mặt phẳng (α ) qua M (1;2;3) ⇒ + + = ⇔ 6b + 4c = bc b c b = c 2 Tam giác ABC cân A nên AB = AC ⇔ + b = + c ⇔  b = −c b = (l ) Với b = c thay vào (1) ta được 10b = b ⇔  b = 10 b = c = 10 ⇒ ptmp (α ) : x + y + z − 10 = b = (l ) Với b = −c thay vào (1) ta được 2b = −b ⇔  b = −2 b = −2, c = ⇒ ptmp (α ) : x − y + z − = VD 23: Trong không gian Oxyz cho điểm M (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz theo thứ tư A, B C khác O cho thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất Hướng dẫn giải: x y z Gọi A(a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c), a > 0, b > 0, c > ⇒ ptmp (α ) : + + = a b c 1 Do mặt phẳng (α ) qua M (1;1;1) ⇒ + + = a b c Thể tích tứ diện OABC là: VOABC = abc 1 ⇒ abc ≥ 27 Theo bất đẳng thức Côsi: = a + b + c ≥ abc ⇒ VOABC = abc ≥ , dấu bằng xảy a = b = c = Vậy thể tích tứ diện OABC có giá trị nhỏ nhất bằng a = b = c = ⇒ ptmp (α ) : x + y + z − = VD 24: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;−2;−2) mặt phẳng (α ) : x − y − z + = Viết phương trình mặt phẳng (P ) vng góc với (α ) , qua A cắt trục Ox, Oy lần lượt điểm phân biệt M, N cho OM = ON Hướng dẫn giải: Gọi M (0; b;0), N (0;0; c), bc ≠ b = c OM = ON ⇔ b = c ⇔  b = −c Hai véc tơ không cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (P) là: n α = (1;−1;−1), MN = (0;−b; c) ⇒ vtpt của mặt phẳng (P) : n P = nα ; MN = (−b − c;−c;−b) Mặt khác mặt phẳng (P) qua điểm A(3;−2;−2) ⇒ ptmf (P ) là: (b + c)( x − 3) + c ( y + 2) + b( z + 2) = Mặt phẳng (P) qua điểm M (0; b;0) ⇒ −3(b + c) + c(b + 2) + 2b = (1) [ GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia ] 14 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" b = (l ) b = 2 Với b = c thay vào (1) ta có: b − 2b = ⇔  b = c = ⇒ ptmp ( P) : x + y + z − = ⇔ x + y + z − = Với b = −c thay vào (1) ta có: b = ⇔ b = (l ) BÀI TẬP RÈN LUYỆN: Bài 1: Trong không gian Oxyz cho điểm A(5;1;3), B(1;6;2), C (5;0;4), D(4;0;6) a) Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) b) Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa AB song song với CD Bài 2: Trong không gian Oxyz cho điểm M (3;−1;−5) , đường thẳng x =  d :  y = −2 + 4t mặt phẳng: (α ) : x − y + z + = 0, ( β ) : x − y + z + =  z = − 3t  a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M song song với (α ) b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d M c) Viết phương trình mặt phẳng (α ' ) qua M vng góc với d d) Viết phương trình mặt phẳng ( β ' ) qua M, đờng thời cùng vng góc với (α ), (α ' ) Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y − z − = mặt phẳng: (α ) : x + y + z − = 0, ( β ) : x + y + z + = , (γ ) : x + y − z − = a) Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với (α ) cách gốc tọa độ khoảng bằng b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với (α ) , đồng thời khoảng cách mặt phẳng (P) (α ) bằng lần khoảng cách mặt phẳng (P) ( β ) c) Viết phương trình mặt phẳng (α ' ) tiếp xúc với mặt cầu (S) đồng thời vuông góc với (α ) ( β ) Bài 4: Trong không gian Oxyz cho điểm M (3;−5;0) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz theo thứ tư A, B C khác O cho a) M trọng tâm tam giác ABC b) M trưc tâm tam giác ABC Bài 5: Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;0;0), M (1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz theo thứ tư A, B C khác O cho a) Diện tích tam giác ABC bằng b) Thể tích của khối chóp OABC bằng 16 Bài 6: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu ( S ) : ( x − 2) + ( y − 3) + z = x −1 y z − = = Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 2 cắt mặt cầu (S) theo đường trịn có diện tích bằng 3π đường thẳng d : GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 15 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng khơng gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;1;0), B(2;1;−1) đường thẳng d: x −1 y +1 z − = = Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa trục Oy qua C −1 thuộc d cho diện tích tam giác ABC nhỏ nhất Bài 8: Trong không gian Oxyz cho A(1;1;−1), B(1;1;2), C (−1;2;−2) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A, vng góc với (P), cắt đường thẳng BC I cho IB = IC Bài 9: Trong không gian Oxyz cho điểm A(3;2;−1), B(0;1;5) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua A cho khoảng cách từ B đến mặt phẳng (α ) lớn nhất Bài 10: Trong không gian Oxyz cho điểm M (4;−9;12) Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua M cắt tia Ox, Oy, Oz theo thứ tư A, B C khác O OC = OA + OB  cho  1  OC = OA + OB 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong q trình giảng dạy triển khai đề tài, tơi thấy đề tài của phần đã giúp học sinh phân loại nêu cách giải, giải được tốt số dạng tốn phương trình mặt phẳng không gian tọa độ, đặc biệt khơng tìm trưc tiếp véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng được.Việc phân loại nêu phương pháp giải chung cho tốn viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ áp dụng vào giảng cho học sinh rất thành công Các em nhận dạng, nêu được phương pháp giải ứng dụng tốt vào làm Ngồi em cịn rèn luyện được kỹ làm bài, tránh được sai sót tính toán.Trong đề tài đã đưa lượng dạng tốn phương pháp giải, đờng thời đưa số tập ứng dụng Sau áp dụng sáng kiến đề tài, đã cho làm kiểm tra 45 phút viết phương trình mặt phẳng Kết quả đã nâng lên rõ rệt, cụ thể: Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém Sĩ Lớp số SL % SL % SL % SL % SL % 12B11 42 12 28,6 15 35,7 12 28,6 7,1 12B8 41 19,5 12 29,3 15 36,6 14,6 12C10 41 10 24,4 13 31,7 12 29,3 14,6 Sáng kiến kinh nghiệm của tài liệu tham khảo cho đờng nghiệp, góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học chung cho nhà trường KẾT LUẬN KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Tuy nhiên với kinh nghiệm ít, trải nghiệm chưa nhiều nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế nhất định Rất mong nhận được nhiều GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 16 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" góp ý của Hội đờng khoa học nhà trường THPT Tĩnh gia Hội đồng khoa học sở GD&ĐT Thanh Hóa 3.2 Kiến nghị: Với đề tài tơi đã triển khai q trình dạy học sinh lớp 12 ban KHTN lớp ban Cơ bản học theo khối mang lại hiệu quả rất tốt Vì vậy tơi hy vọng đề tài đóng góp vào việc giải tốn đã nêu trên, được đồng nghiệp khai thác mở rộng nữa, tài liệu tham khảo cho em học sinh lớp 12 trình học tập ôn thi học sinh giỏi, ôn thi kỳ thi Quốc gia THPT hàng năm XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh hóa, ngày 22 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN chính bản thân viết, khơng chép nội dung của người khác Lê Thị Dung TÀI LIỆU THAM KHẢO: [1] Sách giáo khoa Hình học 12 bản, NXB Giáo Dục, Trần Văn Hạo ( Tổng chủ biên) - Nguyễn Mộng Hy ( Chủ biên) [2] Sách tập Hình học 12 bản, NXB Giáo Dục, Nguyễn Mộng Hy ( Tổng chủ biên) – Khu Quốc Anh – Trần Đức Huyên [3] Sách giáo khoa Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) – Văn Như Cương ( Chủ biên) [4] Sách tập Hình học 12 nâng cao, NXB Giáo Dục, Đoàn Quỳnh ( Tổng chủ biên) [5] Báo Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục, số 417 tháng năm 2012, số 455 tháng năm 2015 [6] Đề thi mơn Tốn trường Đại học toàn quốc [7] Đề thi khảo sát chất lượng lớp 12 của trường THPT toàn quốc [8] Đề thi chọn Học sinh giỏi của Tỉnh GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 17 Sáng kiến kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" GV: Lê Thị Dung – Trường THPT Tĩnh gia 18 ... nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Trên sở lý thuyết của toán sau sách giáo khoa hình học 12 sau Bài tốn 1: Trong không gian. .. kinh nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" Hai véc tơ khơng cùng phương có giá song song được chứa mặt phẳng (P) là:... nghiệm "Phân loại cách viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ theo hướng phát triển tư từ dễ đến khó" ⇒ ptmp (P ) là: − 2( x − 1) − 2( y − 3) − 1( z − 0) = ⇔ x + y + z − = Dạng 12: Viết phương