1 mở đầu - Lý chọn đề tài Trong chng trỡnh toỏn ph thụng núi chung v chng trỡnh i s 10 núi riờng chỳng ta ó lm quen vi phng trỡnh bc bn Tuy nhiờn cỏc em hc sinh mi gp cỏc phng trỡnh bc bn dng n gin nh phng trỡnh trựng phng, phng trỡnh quy hi qua vi phộp bin i hc sinh cú th gii quyt mt cỏch d dng Tuy vy, gp cỏc phng trỡnh bc bn khụng cú dng c bit cỏc em t lỳng tỳng v hu nh u khụng gii c Mặt khác giải toán liên quan đến phơng trình, hệ phơng trình: vô tỷ, lợng giác, mũ lôgarit, thờng phải quy giải phơng trình bậc cao, có phơng trình bậc bốn Một số toán hình học, vật lý sau trải qua số bớc, cuối đến việc phải giải phơng trình bậc bốn Cho dù bớc nhỏ toán nhng không giải đợc bớc nhỏ cha thể đa kết luận toán Quỏ trỡnh gii cỏc bi toỏn gii phng trỡnh bc bn ũi hi hc sinh phi bit võn dng cỏc kin thc c bn ton b chng trỡnh, cỏc k nng bin i t dng phc v dng n gin mt cỏch linh hot Hc sinh cn cú t lụgớc, kh nng tng hp dng thnh tho cỏc kin thc v phõn tớch a thc thnh nhõn t, bin i ng nht cng nh cỏc kin thc v bt ng thc T ú giỳp hc sinh rốn luyn t lụgớc, kh nng tng tng, phỏt huy c tớnh tớch cc, ch ng v dng kin thc vo thc tin Xuất phát từ tầm quan trọng nội dung từ thực trạng trên, để học sinh dễ dàng tự tin gặp tập phơng trình bậc bốn, giúp em phát huy đợc khả phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua tập nhỏ, với tích luỹ kinh nghiệm thân qua năm giảng dạy, đa sáng kiến kinh nghiệm Mt s phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" Sáng kiến kinh nghiệm đợc thân áp dụng trình giảng dạy trờng THPT Hàm Rồng - Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh hiểu sâu nắm phơng pháp giải phơng trình bậc Từ nghiên cứu tìm tòi sáng tạo nhằm nâng cao chất lợng học môn toán trờng THPT, góp phần đạt kết tốt cho việc giải toán Hình học, vật lý, toán phơng trình vô tỉ, lợng giác, mũ, logarit - Đối tợng nghiên cứu: Phơng pháp giải phơng trình bậc học sinh khối 10 trờng THPT Hàm Rồng - Phơng pháp nghiên cứu : Phơng pháp thu thập tài liệu Phơng pháp điều tra Phơng pháp phân tích Phơng pháp tổng hợp Phơng pháp đánh giá nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận : Phơng trình bậc đầy đủ phơng trình có dạng: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) Bài toán giải phơng trình bậc đợc trọng đề thi học sinh giỏi cấp, nh tài liệu nâng cao xuất nhiều tạp chí toán học 2.2 Thực trạng vấn đề trớc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: - Trong chơng trình THPT, thời lợng chơng trình có hạn mà mảng phơng trình bậc bậc bốn cha đợc trình bày rõ ràng, đầy đủ Ngợc lại sơ lợc, mang tính chất giới thiệu qua số tập đơn giản - Do cha đợc hệ thống kiến thức cha đợc học đầy đủ phơng pháp để giải dạng phơng trình bậc bốn nên gặp, hầu hết học sinh thấy lúng túng hớng giải - Tuy nhiên, dạng tập phơng trình bậc bốn phong phú, đa dạng phức tạp - Đa số học sinh cha có phơng pháp để giải dạng phơng trình bậc bốn nên nhiều em thờng "bỏ qua" "bỏ dở" toán quy phơng trình dạng 2.3 Các phơng pháp giải phơng trình bậc : 2.3 Phơng pháp đa phơng trình dạng tích Cho phơng trình: ax4+bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) (1) a) Phơng pháp: Cách 1: Nhóm hạng tử, sau đặt thừa số chung để đa vế trái dạng tích Cách 2: - Bớc 1: Đoán nghiệm x0 phơng trình dựa vào kết sau: + Nếu a+b+c+d+e=0 (1) có nghiệm x = + Nếu a-b+c-d+e=0 (1) có nghiệm x = -1 + Nếu a, b, c, d, e nguyên (1) có nghiệm hữu tỉ p q p, q theo thứ tự ớc e a - Bớc 2: + Bằng cách chia đa thức dùng lợc đồ Hoócne, phân tích (1) thành: x = x0 (x- x0)(ax3 +b1x2 +c1x+d1) = ax + b1 x + c1 x + d1 = (1.1) + Giải phơng trình (1.1) cách: - Đoán nghiệm x1 phơng trình (1.1) dựa vào kết sau: + Nếu a+b1+c1+d1=0 (1.1) có nghiệm x = + Nếu a-b1+c1-d1=0 (1.1) có nghiệm x = -1 + Nếu a, b1, c1 ,d1 nguyên (1.1) có nghiệm hữu tỉ p q p, q theo thứ tự ớc d1 a c + Nếu ac13 = b13d1 (a, b1 0) (1.1) có nghiệm x = b - Phân tích (1.1) thành: (x- x1)(ax2 +b2x +c2) = cách chia đa thức dùng lợc đồ Hoócne * Lợc đồ Hoócne : Nếu f(x) có nghiệm x=x f(x) chứa nhân tử (x-x 0), tức : f(x) =(x-x0).g(x) f(x) = anxn + an -1xn -1 + + a1x + a0 Trong : g(x)= bn-1xn-1 + bn - 2xn - + + b1x + b0 với : b n = a n b n = x bn + a n bi = x bi + a i b = x b1 + a1 xi an Ta có bảng sau ( Lợc đồ Hoócne) an - x0bn- x0 bi a0 x0 b0 bi-1 x = bn- x0 b) Ví dụ: Ví dụ 1: bn-2 =an Giải phơng trình: (x2+3x-4)2+3(x2+3x-4)=x+4 (1.2) Giải: Phơng trình (1.2) (x-1)2(x+4)2+3(x-1)(x+4)-(x+4)=0 (x+4)[(x-1)2(x+4)+3(x-1)-1]=0 x = (x+4)x(x2+2x-4)=0 x = x = Vậy phơng trình có nghiệm : x=0, x= -4, x = Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 -4x3-x2+16x-12 =0 (1.3) Giải: Ta có a+b+c+d+e=0 nên phơng trình có nghiệm x= Đa phơng trình dạng: (x-1)(x3-3x2-4x+12)=0 Phơng trình x3-3x2-4x+12=0 có nghiệm x = nên x = x = x = (1.3) (x-1)(x-2)(x -x-6)=0 x = x = x x = x = Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt x =1, x= 2, x= -2, x= * Nhận xét: Phơng pháp đa phơng trình dạng tích phơng pháp thờng đợc nghĩ đến giải phơng trình Nhng việc đa dạng tích gặp khó khăn, nên nghĩ đến việc sử dụng phơng pháp khác 2.3.2 Phơng pháp đặt ẩn phụ Dạng (PT trùng phơng): ax4 + bx2+c =0 (a 0) (2) a) Phơng pháp: - Đặt t = x2 (t 0), đa (2) phơng trình bậc hai: at2+bt+c=0 (2') - Giải (2'), (2') có nghiệm t0 (2) có nghiệm x = t0 * Chú ý: - (2) vô nghiệm (2') vô nghiệm (2') có nghiệm t1 t2 b = 2(m + 1) > Khi nghiệm (2.3) : - t2 ; - t1 ; t1 ; t2 Bốn nghiệm lập thành cấp số cộng t2 + t1 = t1 t2 = t1 t2 = 9t1 (*) t + t = t t1 + t2 = 2(m + 1) (**) t1t2 = 2m + Theo định lý Viét ta có: Thay (*) vào (**) ta đợc: m = 5t1 = m + t1 + 9t1 = 2(m + 1) 9m 32m 16 = m = t t = m + t = m + 1 Vậy với m = m = - phơng trình cho có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Dạng 2: Phơng trình có dạng : ( a 1x +a2)(b1x+b2)(c1x+c2) (d1x+d2) = m, a1b1 = c1d1 a1b2 + a2b1 = c1d + c2 d1 với (3) a) Phơng pháp: - Viết lại phơng trình dới dạng: [a1b1x2+( a1b2 + a2b1 )x+a2b2].[ c1d1 x2+( c1d + c2 d1 )x+c2d2]=m - Đặt t = a1b1x2+( a1b2 + a2b1 )x+a2b2, suy c1d1 x2+( c1d + c2 d1 )x+c2d2=t-a2b2+c2d2 Ta đa (3) phơng trình bậc hai ẩn t: t(t-a2b2+c2d2)=m * Đặc biệt: Khi a1=b1=c1=d1=1, phơng trình có dạng : (x +a2)(x+b2)(x+c2)(x+d2) = m với b2 + a2 = d + c2 ta có cách giải tơng tự b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x-1)(x+1)(x+3)(x+5)= (3.1) Giải: Phơng trình (3.1) (x-1)(x+5)(x+1)(x+3)= ( x2 + 4x-5)(x2+4x+3) = Đặt t = x2 + 4x-5, phơng trình (3.1) trở thành: t(t+8) = t = t2 + 8t - = t = Với t=1 x2 + 4x = x2 + 4x - = x= 10 Với t= x2 + 4x = -9 x2 + 4x + = x = - Vậy phơng trình có nghiệm : x = + 10 ; x = 10 ; x = -2 Ví dụ 2: Giải phơng trình: (2x-1)(x-1)(x-3)(2x+3)=-9 (3.2) Phơng trình (3.2) (2x2-3x+1)(2x2-3x-9)=-9 Giải: Đặt t = 2x2-3x+1, suy 2x2-3x-9=t-10, phơng trình (3.2) trở thành: t = t(t-10)=-9 t2-10t+9=0 t = x = Với t=1 2x -3x+1=1 x= 2 73 Với t = 2x2-3x+1=9 2x2-3x-8=0 x = 3 73 Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: x=0, x = , x = Dạng : Phơng trình có dạng: ax + bx +cx +dx+e =0 (a 0), với e d = ữ ;e a b (4) a) Phơng pháp: - Nhận xét x=0 nghiệm (4), chia hai vế cho x2 0, ta đợc: e d a ( x + ) + b( x + ) + c = a x b x - Đặt t= x + d e d , suy x + = t , phơng trình (4) trở bx a x b thành: d b at2+bt +c - 2a =0 Đây phơng trình bậc hai quen thuộc * Đặc biệt: Khi a=e, phơng trình có dạng: ax4 + bx3+cx2 bx+a =0 (a 0) ta có cách giải tơng tự b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: 2x4 - 21x3 +74x2 -105x + 50 = (4.1) Giải: Nhận thấy x =0 nghiệm (4.1), chia hai vế (4.1) cho x2 0, ta đợc phơng trình: 2( x + x t = x + ( t ), suy x + Đặt 25 ) 21( x + ) + 74 = x x 25 = t 10 Phơng trình (4.1) trở x2 thành: t = 2t 21t + 54 = t = 2 (thỏa mãn đk) x = x = 5 x Với t = x + =6 x x + = x = 9 Với t = x + = x x + 10 = x= x Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt là: x=1, x=2, x=5, x= Ví dụ 2: Giải phơng trình: (x-2)4+(x-2)(5x2-14x+13)+1=0 (4.2) Giải: Đặt y=x-2 Phơng trình trở thành: y4+5y3+6y2+5y+1=0 (4.3) Nhận thấy y=0 không nghiệm phơng trình (4.3), chia vế (4.3) cho y2 ta đợc phơng trình : ( y2 + 1 ) + 5( y + ) + = y y Đặt t = y + y ( t ) Phơng trình trở thành: = t (loại) t + 5t +4 = (t/m) t = Với t = y + y = y + y + = y = x = Vậy phơng trình có nghiệm : x= * Nhận xét: Phơng trình ban đầu phơng trình dạng nhng với phép đặt ẩn phụ thích hợp, ta đa phơng trình dạng Dạng : Phơng trình có dạng : ( x + a)4 + ( x + b)4 = c (5) a) Phơng pháp: - Đa (5) dạng phơng trình trùng phơng cách đặt t= x+ a+b b) Ví dụ: Giải phơng trình : ( x + 1)4 + ( x +3)4 = 16 (5.1) Giải: Đặt t = x + 2, phơng trình (5.1) trở thành: ( t-1)4 + ( t+1)4 = 16 2t4 + 12t2 + = 16 t4 + 6t2 = ( Phơng trình trùng phơng) t = (loại) t = Với t2 = t = t = -1 Từ suy x= -1 x= -3 Vậy phơng trình có nghiệm : x = - 1; x = -3 Dạng 5: Phơng trình có dạng : m( x +a)(x+b)(x+c)(x+d) = nx2 , với ab = cd 0, m 0, n (6) a) Phơng pháp: 10 - Nhận thấy x=0 không nghiệm (6), chia hai vế cho x 0, ta đợc: m(x + a+b + - Đặt t = x +a+b+ ab cd ) (x + c+d + )= n x x ab , ta đa (6) phơng trình bậc hai ẩn t: x mt(t-a-b+c+d)=n b) Ví dụ: Giải phơng trình: 4(x+5)( x+6)(x+10)(x+12) = 3x2 (6.1) Giải: (6.1) 4(x+6)( x+10)(x+5)(x+12) = 3x2 4(x2+16x+60)(x2+17x+60) = 3x2 Nhận thấy x=0 không nghiệm (6.1), chia hai vế cho x 0, ta đợc: 4(x + 16 + 60 ) (x x + 17 + 60 )= x ( 6.2) Đặt t = x + 16 + 60 , phơng trình trở thành: x t = 2 4t ( t + 1) = 4t + 4t = t = x = Với t= 2x + 31x + 120 = 15 x= Với t=- 35 265 2x2 + 35x + 120 = x = Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt: x=-8, x=- 15 , 35 265 Dạng 6: Phơng trình có dạng: a.A(x) +b.B(x) + c.C(x) =0 với A(x).B(x) = C2(x), B(x) (7) 11 a) Phơng pháp: C ( x) - Chia hai vế cho B(x) đặt t = B( x) - Phơng trình (7) trở thành: at2+ct+b=0 b) Ví dụ: Giải phơng trình : -x3+2x2-4x +3 - (x2+x+1)2=0 (7.1) Giải: Phơng trình (7.1) 2(x-1)2-(x2+x+1)2 - (x3-1) =0 Chia hai vế (7.1) cho (x2+x+1)2 ta đợc: 2.( x x ) =0 x + x +1 x + x +1 t = x Đặt t = , phơng trình trở thành: 2t t = t= x + x +1 Với t=1 x =1 x + = (vô nghiệm) x + x +1 Với t = x 1 13 = x + 3x = x = x + x +1 2 Vậy phơng trình cho có nghiệm x = 13 Dạng 7: Phơng trình có dạng tổng quát: ax4 + bx3+cx2+dx+e =0 (a 0) a) Phơng pháp: - Bớc 1: Biến đổi phơng trình dạng a(x2+b1x+c1)2+ B(x2+b1x+c1) +C=0 - Bớc 2: Đặt t= x2+b1x+c1, phơng trình trở thành: at2+Bt+C=0 b) Ví dụ: Giải phơng trình: x4 -4x3+3x2+2x-20 =0 (8.1) Giải: Phơng trình (8.1) x4 -4x3+4x2-(x2- 2x) -20 =0 (x2- 2x)2-( x2- 2x)-20=0 Đặt t = x2- 2x (t -1), phơng trình trở thành: = t (loại) t2 - t -20 =0 (t/m) t = 12 Với t =5 x2- 2x =5 x = Vậy phơng trình có nghiệm : x = 2.3.3 Phơng pháp đa hai luỹ thừa bậc a) Phơng pháp: Đa phơng trình dạng: [f(x)]2 = [g(x)]2 f(x) = g(x) b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (9.1) Giải: Phơng trình (9.1) x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36 (x2 + 2)2 = ( 2x + 6)2 x2 + = 2x + x + = (2 x + 6) x2 2x = x = x + x + = Vậy phơng trình có nghiệm : x = + ; x = Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 + 4x -1=0 (9.2) Giải: Phơng trình (9.2) x4 +2x2+1 = 2(x2-2x+1) x + = ( x 1) ( x + 1) = ( x 1) x + = ( x 1) 2 x x + + = (VN ) 2 x= x + x + = Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt x = 2 2.3.4 Phơng pháp dùng hệ số bất định: a) Phơng pháp: Xét phơng trình x4 + ax3 + bx2 + cx + d = (10) - Bớc1: Giả sử (10) phân tích đợc thành (x2 + a1x + b1)( x2 + a2x + b2)=0 Khi ta có: a1 + a = a a a + b + b = b 2 a1b2 + a b1 = c b1b2 = d 13 - Bớc 2: Xuất phát từ b1b2 = d, tiến hành nhẩm tìm hệ số b1; b2; a1 ; a2 x + a1x + b1 = - Bớc 3: Phơng trình (10) x + a x + b = * Chú ý: Phơng pháp thờng áp dụng việc nhẩm tìm hệ số a1; b1; a2; b2 đơn giản b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình: x4 + 4x3 +3x2 + 2x - = (10.1) Giải: Giả sử (10.1) phân tích đợc thành : (x2 + a1x + b1)( x2 + a2x + b2) = a1 + a2 = b1 = a a + b + b = b =1 2 Khi đó: a1b2 + a2b1 = a1 = b1b2 = a2 =1 Phơng trình (10.1) (x2 +3x -1)( x2 + x +1) = 13 x= x + 3x = + 13 x + x + 1=0 (VN ) x = 2 Vậy phơng trình có nghiệm: x= 13 * Nhận xét: Từ b1b2=-1 ta thử với b1=-1, b2=1, từ dễ dàng tìm đợc a1=3, a2=1 Ví dụ 2: Tìm a, b để phơng trình x4 - 4x3 +(4+a)x + b = (10.2) có nghiệm kép phân biệt Giải: Phơng trình (10.2) có nghiệm kép phân biệt x1, x2 nên: x4 - 4x3 +(4+a)x + b = (x-x1)2(x-x2)2 x4 - 4x3 +(4+a)x + b = x 4-2(x1+x2)x3+(x12+x22 +4x1x2)x2- 2x1x2(x1+x2)x+x12x22 14 Đồng vế, ta có: x1 + x2 = (1) = 2( x1 + x2 ) 2 = x1 + x + 4x1x (x1 + x ) + 2x1x = (2) + a = 2x1x ( x1 + x ) 2x1x ( x1 + x ) = a (3) b = x x x x = b (4) x1 + x = x1,2 = x1x = Từ (1), (2) Thế vào (3), (4) ta đợc a=b=4 Vậy với a= b =4 phơng trình có nghiệm kép phân biệt 2.3.5 Phơng pháp đánh giá: a) Phơng pháp: Sử dụng đẳng thức, bất đẳng thức để đánh giá vế phơng trình Từ đa kết luận nghiệm phơng trình b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình x4 + 8x2 8x + 17 = (11.1) Giải: Phơng trình (11.1) x4 - 8x2 + 16 + 16x2 8x + = ( x2 4)2 + ( 4x 1)2 = Vì x = x = ( x 4) x = nên (2) (4 x 1) x = Vậy phơng trình vô nghiệm Ví dụ 2: Giải phơng trình: ( x ) + ( x ) = 4 (11.2) Giải: Dễ thấy x = ; x = nghiệm (11.2) Xét giá trị lại x: +) Với x < 8, ta có x > ( x ) > , ( x ) > 4 Suy vế trái (11.2) lớn nên (11.2) vô nghiệm +) Với x > 9, ta có x > ( x ) > , ( x ) > 4 Suy vế trái (11.2) lớn nên (11.2) vô nghiệm +) Với < x < thì: < x < => (x-8)4< x-8 15 < x < => (x-9)4= (9-x)4 < 9-x ( x 8) + ( x ) < x + x = nên (11.2) vô nghiệm Vậy phơng trình có nghiệm : x = 8, x = BàI TậP CủNG Cố Bài 1: Giải phơng trình sau: 1) 2x4 + 3x3 3x2 + 3x + = 2) x -8x3+7x2+36x-36=0 3) x4 -4x2 + 12x -9 = 4) x4+(x-1) (x2+2x+2)=0 5) (x2-4)(x2-2x)=2 6) (4x+1)(12x- 1)(3x+2)(x+1)=4 7) 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1) 8) x -4x3 + 8x =5 9) x4+(x-1)4=97 10) x -5x3 + 8x2-10x+4 =0 Bài 2: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: (x2-1)(x+3)(x+5)=m Bài 3: Tìm k để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x 4k2x2+2kx-1=0 Bài 4: Cho phơng trình: x4 -4mx3 +(m+1)x2-4mx+1=0 a) Giải phơng trình với m =1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm Bài 5: Giải biện luận phơng trình: 2x4+mx2+2=0 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm - Thông qua dạy chơng trình SGK lớp 10 nâng cao, qua trình làm tập SGK SBT nâng cao để đánh giá lực học sinh - Trớc học sau học: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", cho học sinh làm 16 kiểm tra thống kê kết để thấy hiệu đạt đợc sáng kiến kinh nghiệm - Đối tợng đánh giá: học sinh lớp 10A1 10A2 - Trờng THPT Hàm Rồng Đề kiểm tra số (Thời gian: 90 phút) (Trớc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu (6 điểm): Giải phơng trình sau: a) x4 +2x3 +10x -25 = b) (x2+3x+2)(x2+7x+12)=24 c) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = Câu (4 điểm): Cho phơng trình: x4+(2m-1)x3+(m2-2m)x2(m2-m+1)x-m+1=0 a) Giải phơng trình với m = -1 b) Xác định m để phơng trình có nghiệm phân biệt Đáp án thang điểm đề kiểm tra số Câ u 1.a (2đ ) Nội dung Điể Phơng trình x +2x +x = x -10x+25 ( x + x ) = ( x 5) 2 2 x2 + x = x x + x = x + 0.75 x + = (VN ) x = x + x = 1.b (2đ ) m 0.50 0.75 Vậy phơng trình có nghiệm x= Phơng trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24 0.50 (x2+5x+4)(x2+5x+6)=24 Đặt t= x2+5x+4 => x2+5x+6=t+2 t = Phơng trình trở thành: t(t+2)=24 t = x = x = Với t=4 x2+5x+4 =4 Với t=-6 x2+5x+4 =-6 x2+5x+10=0 (VN) Vậy phơng trình có nghiệm x=0, x= -5 17 0.50 0.50 0.50 Phơng trình (x2 - 5x + 2)( x2 + x - 7) = 1.c (2đ 17 x = x 5x + = 29 x + x 7=0 x = ) Vậy phơng trình có nghiệm: x = 1.00 17 29 ,x = 2 Phơng trình (x-1)(x3+2mx2+m2x+m-1)=0 (4đ ) 1.00 (x-1)(x+m-1)[x2+(m+1)x+1]=0 1.00 x = x = m g(x)=x + ( m + 1) x + 1=0 (2) 1.50 (1) x = x = a) Với m=-1 : (1) x = x = g(x)=x + 1=0 b) Phơng trình có nghiệm phân biệt 1-m (2) có nghiệm phân biệt khác 0.50 khác 1-m m m m m < m < m > g > m + 2m > m >1 m + g (1) m g (1 m) 2m m 3 Vậy với m ( ; 3) 1; ữ ; + ữthì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt Kết kiểm tra số 1: Loại Tỷ lệ Giỏi Khá Trung Yếu- 10 bình 20 Kém 70 (%) Đề kiểm tra số (Thời gian: 90 phút) 18 1.00 (Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy) Câu 1( điểm): Giải phơng trình sau: a) (x+3)4+(x+5)4=2 b) x4 -3x2 -4x -3 = c) 2(x2-x+1)2+x3+1=(x+1)2 d) x4 + x3 -17x2 + 6x +2 = Câu (2 điểm) : Tìm m để phơng trình sau có nghiệm phân biệt: x4 - x2 + 2mx -m2 = Đáp án thang điểm đề số Câ Nội dung Điểm u 1.a Đặt t = x+4 Phơng trình trở thành: (2đ (t-1)4+(t+1)4=2 t4+6t2=0 t=0 1.00 Với t=0 x= -4 1.00 ) 1.b (2đ ) 1.c Vậy phơng trình có nghiệm x=-4 Phơng trình x4 -2x2+1 = x2+4x+4 ( x 1) = ( x + ) 2 x2 = x + x = ( x + 2) x2 x = 13 x= x + x + = (VN ) Phơng trình 2(x2-x+1)2+x3+1-(x+1)2=0 0.50 0.50 1.00 (2đ Chia hai vế cho (x2-x+1)2 0, ta đợc: ) 2+ x +1 x +1 ữ =0 x x +1 x x +1 Đặt t = 0.50 x +1 , phơng trình trở thành: x x +1 t = + t t2 = t = Với t=-1 0.50 x +1 =-1 x + = (VN) x x +1 x = x +1 Với t = =2 x 3x + = x= x x +1 19 0.50 0.50 Vậy phơng trình cho có nghiệm x=1, x= 1.d Phơng trình (x2 +5x +1)( x2 -4x +2) = 1.00 (2đ 21 x + 5x+1 = x = x -4x + 2=0 x = Phơng trình x4=x2-2mx+m2 1.00 ) (2đ ) 0.50 x x + m = (1) x2 = x m x =(x-m) x + x m = (2) x = m x Phơng trình cho có nghiệm phân biệt (1) (2) có nghiệm phân biệt nhng chúng 0.25 nghiệm chung + (1) (2) có nghiệm phân biệt > + 4m > 1 > 0.50 + Nếu (1) (2) có nghiệm chung x0 thì: 0.50 x0 x0 + m = x0 + x0 m = 0.25 Cộng vế: x02 = x0 = Suy m=0 Vậy phơng trình có nghiệm phân biệt m ;0 ữ 0; ữ Kết kiểm tra số Loại Tỷ lệ Giỏi Khá Trung Yếu- 30 bình 40 Kém 25 (%) So sánh kết trớc sau học chuyên đề: Loại Giỏi Khá 20 Trung Yếu- Tỷ lệ (%) 10 bình 20 Kém 70 30 40 25 + + - - Trớc học chuyên đề Tỷ lệ (%) Sau học chuyên đề Tăng(+), giảm(-) - Sau học chuyên đề học sinh hứng thú gặp toán cần giải phơng trình bậc Đối tợng học sinh giỏi say mê, nhiều em tìm tòi nhiều cách giải hay cho toán, số em viết thành báo cáo kinh nghiệm học tập Hội nghị báo cáo kinh nghiệm học tập, trờng THPT hàm Rồng tổ chức vào tháng 11 hàng năm cho học sinh 3.kết luận Và KIếN NGHị 3.1 Kết luận Thông qua trình giảng dạy học sinh lớp 10A1, 10A2 ôn luyện cho đối tợng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận xác cách giải phơng trình bậc bốn - Học sinh tự tin phân tích để lựa chọn phơng pháp giải hay, ngắn gọn cho dạng phơng trình bậc bốn - Hình thành đợc t logic, kỹ giải phơng trình bậc bốn Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Cụ thể, qua hai kiểm tra trớc sau học: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10", thống kê kết thấy hiệu rõ rệt sáng kiến kinh nghiệm 3.2 Kiến nghị 21 - Trong trình dạy học phơng trình, hệ phơng trình bất phơng trình nói chung, thấy phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cha đợc trình bày cách đầy đủ Vì vậy, không học sinh lớp 10 mà học sinh lớp 11, 12 thấy lúng túng gặp loại phơng trình Rất mong có thêm nhiều tài liệu viết đề tài để góp phần cho việc dạy học đạt hiệu cao - Việc giảng dạy lớp cần dạng từ mức độ dễ đến khó, kết hợp ôn tập với giao tập nhà, kiểm tra học sinh, tổ chức cho học sinh sáng tạo tìm hiểu phơng pháp giải mới, cách giải hay Biết khắc sâu kiến thức bản, tập thờng gặp để đa dạng tổng quát Tuy nhiên đề tài khó nên đa cuối tiết học học theo buổi học phụ đạo chuyên đề riêng Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu không tránh khỏi thiếu sót Rất mong đợc đóng góp ý kiến thầy giáo, cô giáo bạn đọc Xin trân trọng cảm ơn! XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 03 thỏng nm 2016 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi thc hin Nguyễn Bích Thuỷ 22 ... Thông qua trình giảng dạy học sinh lớp 10A1, 10A2 ôn luyện cho đối tợng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận xác cách giải phơng trình bậc bốn - Học sinh tự tin... trình làm tập SGK SBT nâng cao để đánh giá lực học sinh - Trớc học sau học: "Các phơng pháp giải phơng trình bậc bốn cho học sinh lớp 10" , cho học sinh làm 16 kiểm tra thống kê kết để thấy hiệu... =an Giải phơng trình: (x2+3x -4) 2+3(x2+3x -4) =x +4 (1.2) Giải: Phơng trình (1.2) (x-1)2(x +4) 2+3(x-1)(x +4) -(x +4) =0 (x +4) [(x-1)2(x +4) +3(x-1)-1]=0 x = (x +4) x(x2+2x -4) =0 x = x = Vậy phơng trình