ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS. NĂM HỌC 2006 -2007 MÔN THI: Toán LỚP: 9 Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu 1:(4 điểm). Giải hệ phương trình: x 2 - 4y = 1 y 2 - 6x= -14 Câu 2:(4 điểm). Toạ độ đỉnh của tam giác ABC là: A(2;2), B(-2;-8), C(-6;- 2) Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC. Câu 3:(3 điểm). Cho phương trình: 2x 2 + (2m - 1) + m - 1 a) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x 1, x 2 thoả mãn 3x 1 - 4x 2 = 11 b) Chứng minh rằng phương trình không có hai nghiệm số dương. Câu 4:(2 điểm). Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 3x + 2y = 3 Câu 5:(7 điểm). Cho đường tròn tâm O đường kính AB, vẻ một sợi dây AC bất kì. Trên tia AC lấy điểm D sao cho: AD = 2AC. a) Xác định vị trí của điểm C để BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O. b) Tìm tập hợp tất cả các điểm D khi C di chuyển trên đường tròn tâm O. Hết./. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP: 9 KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC: 2006 - 2007 Câu Nội dung – Yêu cầu Điểm 1 (4đ) x 2 - 4y = 1 (1) y 2 - 6x= -14 (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: x 2 + y 2 - 6x - 4y = - 13 1,0 <=> x 2 - 6x + 9 + y 2 -4y + 4 = 0 <=> (x - 3) 2 + (y - 2) 2 = 0 2,0 x - 3 = 0 x = 3 y - 2 = 0 y = 2 Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất: x = 3 y = 2 1,0 2 (4đ) -PT đường thẳng qua hai điểm là: y = ax + b 0,25 -Đường thẳng qua A(2;2), B(-2;-8) nên: 2 = 2a + b => a =2,5 ; b = 1 -2 = -2a + b Vậy Y AB = 2,5x -3 0,75 -Đường thẳng qua A(2;2), C(-6;-2) nên: 2 = 2a + b => a =0,5 ; b = 1 -2 = -6a + b Vậy Y AC = 0,5x + 1 0,75 -Đường trung tuyến BM: Gọi M là trung điểm của AC thì toạ độ M(-2;0) vậy PT trung tuyến BM là: x = -2 -Gọi N là trung điểm của AB thì toạ độ của N (0;-3) 0,75 -Vậy PT đường trung tuyến CN là: y = -1/6x-3 0,5 Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là toạ độ giao điểm của CN và BM, tức là nghiệm của hệ 3 6 1 −−= xy Giải hệ ta có: x = -2 x = -2 y = -3/8 Vậy toạ độ trọng tâm G(-2; -8/3) 0,75 3 (3đ) Ta có ∆ = (2m - 1) 2 - 4.2(m-1) = 4m 2 - 12m + 9 = (2m - 3) 2 0 ≥ với mọi giá trị của m. Vậy PT đã cho luôn luôn có nghiệm 1,0 Theo định lí Viét ta có: x 1 - x 2 = 2 21 m − (1) và x 1 x 2 = 2 1 − m (2) Muốn có 3x 1 - 4x 2 = 11 (3) Giải hệ PT (1) và (3) ta được x 1 = 7 413 m − và x 2 = 14 619 m −− 1,0 Thế vào PT (2) ta được 8m 2 - 17m - 66 = 0 Giải PT này ta được: m 1 = -2; m 2 = 33/8 Để hai nghiệm của PT đều là số dương thì phải có: x 1 + x 2 > 0 0 2 21 > − m m < 1/2 <=> <=> x 1 x 2 > 0 0 2 1 > − m m > 1 Hệ bất PT vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m thoả mãn điều kiện của đề bài. 1,0 4 (2đ) 3x + 2y = 3 <=> y = 2 1 22 2 33 − +−= − x x x 1,0 Đặt tt t x ( 2 1 = = − nguyên) =>x=2t+1 và y=2-2(2t+1)+t Y = -3t 0,75 Vậy ngiệm nguyên của Pt là: x= 2t + 1 Y= - 3t t ∈ Z 0,25 5 (7đ) a) b) D A D’ 0,5 ∆ ABD có BC ⊥ AD (Góc ACB = 1v góc nội tiếp chắn nửa đường tròn 0,5 Mặt khác C là trung điểm của AD (vì D nằm trên tia AC và AD = 2AC) Nên BC là trung tuyến của ∆ ABD . Vậy ∆ ABD là tam giác cân Nên DA ∠=∠ 1,0 Muốn BD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O thì ∠ ABD = 90 o => ∠ A=45 o . Góc A là góc nội tiếp chắn cung BC, vậy số đo của cung BC= 90 o . Vậy điểm C là trung điểm của cung AB 1,0 Thuận: Theo CM trên ∆ ABD là tam giác cân nên BD = AB, mà AB không đổi. Khi C di chuyển trên đường tròn tâm o, D luôn cách B một khoản cố định một khoảng không đổi. Vậy D nằm trên đường tròn tâm B bán kính AB. 2,0 Đảo: Lấy một điểm D’ nằm bất kì trên đường tròn tâm B bán kính AB. Nối D’ với A, B thì ∆ ABD’ là tam giác cân vì AB=AD’(bán kính đường tròn tâm B bán kính AB), AD Cắt đường tròn tâm O tại C’, ta có BC ⊥ AD’ nên C’ là trung điểm của đoạn thẳng AD’ hay AD’ = 2AC’. 1,75 Kết luận: Tập hợp các điểm D là đường tròn tâm B bán kính AB. 0,25 . ĐỀ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS. NĂM HỌC 2006 -2007 MÔN THI: Toán LỚP: 9 Thời gian làm bài: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề ) Câu. khi C di chuyển trên đường tròn tâm O. Hết./. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN - LỚP: 9 KÌ THI TUYỂN CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC THCS NĂM HỌC: 2006 - 2007 Câu Nội dung