BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TUẤN THÁI HUỆ ANH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g -NAVIER-STOKES HAI CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TUẤN THÁI HUỆ ANH DÁNG ĐIỆU TIỆM CẬN NGHIỆM CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐÀO TRỌNG QUYẾT HÀ NỘI, 2017 i Lời cảm ơn Tác giả xin chân thành cảm ơn TS Đào Trọng Quyết, người bảo tận tình cho tác giả nhận xét quí báu để tác giả hoàn thành luận văn cách tốt Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, người tận tình giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tác giả hoàn thành luận văn cách thuận lợi Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn học viên, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Do khả thời gian nghiên cứu hạn chế nên luận văn chưa đầy đủ có thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Tuấn Thái Huệ Anh ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án công trình nghiên cứu công bố Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thông tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Tuấn Thái Huệ Anh iii Mục lục MỞ ĐẦU 1 LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC 1.1 Các khái niệm 1.2 Sự tồn tập hút toàn cục 10 1.3 Cấu trúc tập hút toàn cục 11 1.4 Xác định dáng điệu tiệm cận tập hút toàn cục 11 TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g -NAVIER-STOKES HAI CHIỀU 13 2.1 Đặt toán 13 2.2 Sự tồn tập hút toàn cục hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều 19 KẾT LUẬN 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO 25 Mở đầu Lý chọn đề tài Các phương trình hệ phương trình học chất lỏng xuất mô tả chuyển động chất lỏng khí nước, không khí, dầu mỏ, , điều kiện tương đối tổng quát, chúng xuất nghiên cứu nhiều tượng quan trọng khoa học hàng không, khí tượng học, công nghiệp dầu mỏ, vật lí plasma Một lớp hệ phương trình quan trọng học chất lỏng, miêu tả dòng chảy chất lỏng lí tưởng, nhớt, không nén hệ Navier-Stokes Hệ phương trình Navier-Stokes xây dựng từ định luật bảo toàn khối lượng, động lượng có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t) ∂t  ∇ · (u) (1) =0 u = u(x, t), p = p(x, t) tương ứng hàm véctơ vận tốc hàm áp suất cần tìm, ν = const > hệ số nhớt f ngoại lực Mặc dù đưa lần vào năm 1822, có nhiều báo sách chuyên khảo viết hệ phương trình Navier-Stokes, nhiên hiểu biết nghiệm hệ phương trình khiêm tốn Nói riêng, vấn đề tồn nghiệm mạnh toàn cục tính nghiệm yếu trường hợp ba chiều thách thức lớn nhà toán học vật lý Tuy nhiên, nhu cầu Khoa học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng phương trình, hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, nhiều lớp phương trình hệ phương trình khác học chất lỏng thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ý nghĩa tầm quan trọng chúng, khó khăn thách thức mặt toán học đặt nghiên cứu chúng Một số lớp hệ phương trình g -Navier-Stokes, đưa lần J Roh năm 2001 Hệ phương trình g -Navier-Stokes có dạng:    ∂u − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x, t), ∂t  ∇ · (gu) (2) = g = g(x) hàm số dương cho trước Như đề cập [16], có hai lí dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g -Navier-Stokes, đặc biệt trường hợp hai chiều: Hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes ba chiều miền mỏng Ωg = Ω × (0, g), Ω miền hai chiều, tính chất tốt hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều giúp ích cho việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes miền mỏng ba chiều Về mặt toán học, hệ phương trình dạng tổng quát hệ phương trình Navier-Stokes, cụ thể g = const, ta thu lại hệ phương trình Navier-Stokes cổ điển Vì có kết lớp phương trình này, cần cho g = 1, ta nhận kết tương ứng hệ phương trình Navier-Stokes Ngược lại, việc chuyển kết biết hệ phương trình Navier-Stokes cho hệ phương trình g -Navier-Stokes đặt vấn đề toán học lí thú Chính lí trên, lớp hệ phương trình g -Navier-Stokes thu hút quan tâm, nghiên cứu nhiều nhà toán học nước năm gần (xem, chẳng hạn, [2] - [6], [8] - [22]) Khi nghiên cứu lớp phương trình học chất lỏng nói chung hệ phương trình g -Navier-Stokes nói riêng, thường bắt đầu với câu hỏi chứng minh tồn tại, tính nghiệm (nghiệm nghiệm yếu nghiệm mạnh) Sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian dần vô cách chứng minh tồn tập hút Nếu biết dáng điệu tiệm cận nghiệm biết xu hướng phát triển hệ từ có điều chỉnh hợp lí theo mong muốn Với ý nghĩa nên chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều.” Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành hai chương: Chương 1: Lý thuyết tập hút toàn cục Trong chương này, trình bày lí thuyết tập hút toàn cục, công cụ sử dụng nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán xét chương Chương 2: Tập hút toàn cục hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều Trong chương chứng minh tồn tập hút toàn cục hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều miền đa liên bị chặn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu kết tổng quát tồn tập hút toàn cục Áp dụng kết tổng quát để chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm sinh hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều Nhiệm vụ nghiên cứu a) Nghiên cứu tồn tập hút toàn cục b) Áp dụng chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm sinh hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều Đối tượng phạm vi nghiên cứu a) Đối tượng nghiên cứu: Tập hút toàn cục hệ động lực tiêu hao vô hạn chiều b) Phạm vi nghiên cứu: Tập hút toàn cục hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều Giả thuyết khoa học Thiết lập kết tổng quát tập hút toàn cục Áp dụng kết tổng quát để chứng minh tồn tập hút toàn cục hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tồn tập hút: Các phương pháp lí thuyết hệ động lực Chương LÝ THUYẾT VỀ TẬP HÚT TOÀN CỤC Trong chương này, theo tài liệu tham khảo [1], trình bày lý thuyết tập hút toàn cục, công cụ sử dụng để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình g -Navier-Stokes xét chương 1.1 1.1.1 Các khái niệm Khái niệm hệ động lực Định nghĩa 1.1.1 Hệ động lực cặp (X; S(t)) gồm không gian metric đủ X họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, từ X vào X thỏa mãn: a) S(0) = I; b) S(t + s) = S(t).S(s), ∀t, s ≥ 0; c) với t ≥ 0, S(t) ∈ C (X, X); d) với u ∈ X, t → S(t)u ∈ C ((0; +∞), X) Họ ánh xạ S(t), t ≥ 0, gọi nửa nhóm liên tục X Khi X gọi không gian pha (hay không gian trạng thái) Nếu khái niệm số chiều định nghĩa cho không gian pha X (chẳng hạn, X không gian tuyến tính) giá trị dim X gọi số chiều hệ động lực 13 Chương TẬP HÚT TOÀN CỤC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH g-NAVIER-STOKES HAI CHIỀU Trong chương này, xét hệ g -Navier-Stokes hai chiều miền liên thông bị chặn Đầu tiên, sử dụng kết tổng quát tồn tập hút toàn cục, chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm sinh hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều Nội dung chương dựa báo [11] Tài liệu tham khảo 2.1 Đặt toán Giả sử Ω ⊂ R2 miền đa liên bị chặn Ta nghiên cứu tồn tập hút toàn cục hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều có dạng sau:  ∂u   − ν∆u + (u · ∇)u + ∇p = f (x) Ω × (0, ∞),    ∂t ∇ · (gu) = Ω × (0, ∞),     u(x, t) = u∗ ∂Ω, (2.1) 14 u = u(x, t) = (u1 , u2 ) hàm véctơ vận tốc, p = p(x, t) hàm áp suất, ν = const > 0, f = f (x) ∈ (L2 (Ω))2 ngoại lực không phụ thuộc thời gian < m0 ≤ g = g(x1 , x2 ) ≤ M0 Khi g = 1, hệ (2.1) trở thành hệ phương trình Navier-Stokes hai chiều thông thường Với Ω ⊂ R2 miền đa liên, bị chặn, trơn Lipschitz, ∂Ω = Γ1 ∪ ∪ Γm ∪ Γm+1 , Γi (1 ≤ i ≤ m) biên trong, Γm+1 biên Điều kiện cần để hàm nghiệm (2.1) Ω u∗ ndΓ = u∗ ndΓ + + Γ1 ∂Ω u∗ ndΓ + Γm u∗ ndΓ = 0, Γm+1 n vectơ pháp tuyến Ta kí hiệu φi = u∗ ndΓ, i = 1, 2, , m, m + Γ1 Chúng ta giả sử bất đẳng thức Poincare miền Ω, hay tồn λ > cho φ2 gdx ≤ λ ∇φ gdx, ∀φ ∈ H10 (Ω) Ω Ω Để nghiên cứu toán (2.1), xét không gian hàm sau: Đặt L2 (g) = (L2 (Ω))2 với tích vô hướng chuẩn xác định u.vgdx, | | = (., ) , (u, v) = Ω Đặt H10 (g) = (H10 (Ω))2 với tích vô hướng u, v ∈ L2 (g) (2.2) 15 ∇uj ∇vj gdx ((u, v)) = Ω j=1 với chuẩn = ((., )) u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) ∈ H10 (g) Từ (2.2), chuẩn tương đương với chuẩn thông thường H10 (Ω) Đặt D(Ω) không gian hàm thuộc C ∞ có giá compact Ω ta kí hiệu ℵ = {v ∈ (D(Ω))2 : ∇.gv = Ω}, Hg bao đóng ℵ L2 (g), Vg bao đóng ℵ H10 (g), Trong đó, Hg Vg trang bị tích vô hướng chuẩn L2 (g) H10 (g) Từ (2.2) ta có: u , ∀u ∈ Vg λ1 Bây định nghĩa toán tử g -Laplacian sau: | u |2 ≤ 1 −∆gu = − (∇.g∇)u = −∆u − ∇g.∇u g g Chúng ta sử dụng toán tử g -Laplacain viết lại phương trình đầu (2.1) sau: ∂u ∇g − ν∇g u + ∇u + (u.∇)u + ∇p = f ∂t g Chúng ta định nghĩa phép chiếu g - trực giao Pg : L2 (g) → Hg toán tử g - Stokes Ag u = −Pg thỏa mãn mệnh đề sau ∇.(g∇u) g , (2.3) 16 Mệnh đề 2.1.1 [15] Xét toán tử tuyến tính Ag , ta có kết sau: a) Ag toán tử dương, tự liên hợp có nghịch đảo compact, miền xác định Ag D(Ag ) = Vg ∩ H (Ω) b) Tồn đếm giá trị riêng Ag thỏa mãn < λg ≤ λ1 ≤ λ2 ≤ 4π m0 λ1 giá trị riêng nhỏ Ag Hơn M0 tồn tập hàm riêng {e1 , e2 , e3 , } ứng với giá trị riêng Ag , tạo λ3 ≤ ,, λg = thành sở trực chuẩn cho Hg Khi áp dụng phép chiếu Pg vào (2.3), ta thu phương trình sau: f ∈ Vg u(0) = u0 ∈ Hg , u ∈ L∞ (0, T ; Hg ) ∩ L2 (0, T ; Vg ), T >0 (2.4) cho d (u, v) + ν((u, v)) + bg (u, u, v) + ν(Ru, v) = f, v , dt ∀v ∈ Vg , ∀t > 0, (2.5) u(0) = u0 , (2.6) bg : Vg × Vg → R cho ui ∂vj wj gdx, ∂x ∇g.∇ u , g ∀u ∈ Vg bg (u, v, w) = i,j=1 (2.7) Ru = Pg Do đó, phương trình tương đương với du + νAg u + Bu + νRu = f, dt (2.8) u(0) = u0 , (2.9) 17 Ag : Vg → Vg toán tử g -Stokes định nghĩa ∀u, v ∈ Vg , Ag u, v = (u, v), (2.10) B(u) = B(u, u) = Pg (u.∇)u toán tử ba tuyến tính B : Vg × Vg → Vg ∀u, v, w ∈ Vg B(u, v), w = bg (u, v, w), Bây nhắc lại vài bất đẳng thức thường sử dụng chứng minh [15], [22] Với ∀u, v ∈ D(Ag ), 1 B(u, v)| ≤ c|u| |Ag u| v , (2.11) c số dương Toán tử g -Stokes Ag phép đẳng cấu từ Vg vào Vg , B R thỏa mãn bất đẳng thức sau: B(u) Vg ≤ c|u| u , Ru Vg ≤ |∇g|∞ u , ∀u ∈ Vg (2.12) m0 λ1 Bổ đề 2.1.2 [7] Giả sử Ω miền đa liên, bị chặn, trơn Lipschitz Khi đó, ∀u∗ ∈ W ,2 (∂Ω) thỏa mãn u∗ ndΓ = 0, ∂Ω tồn φ ∈ H2g (Ω), φ|∂Ω = u∗ , div φ = cho φ H2g (Ω) ≤ c u∗ W ,2 (∂Ω) 18 m+1 ∀ > 0, |b(v, φ, w)| ≤ ci |φi | v + w , ∀v, w ∈ Vg , (2.13) i=1 ci (i = 1, , m, m + 1) không đổi với Ω Chúng ta giả sử điều kiện sau đúng: (i) u∗ ∈ W ,2 (∂Ω), f ∈ Hg ; (ii) m+1 i=1 ci |φi | < ν, ci số (2.13) Từ −∆g u = −∆u − ∇g ∇ u, g ta có ∆u = ∆g u − ∇g ∇ u g Khi đó, ∂u ∇g − ν∆g u + ν ∇ u + (u.∇)u + ∇p = f ∂t g Do Ω miền trơn Lipschitz, từ (i) ta thấy tồn φ ∈ (H2g (Ω))2 divφ = 0, thỏa mãn φ|∂Ω = u∗ Lấy u = v + φ Khi đó, có phương trình sau: ∂v ∇g − ν∆g u + ν ∇ v + (v.∇)v + (φ.∇)v + (v.∇)φ + ∇p ∂t g ∇g = f + ν∆g φ − (φ.∇)φ − ν ∇ φ = fˆ, g (2.14) div v = 0, (2.15) v|∂Ω = (2.16) Bằng phương pháp Faedo-Galerkin, thu kết sau Mệnh đề 2.1.3 Lấy f u∗ thỏa mãn (i) (ii), ∀v0 (x) ∈ Hg Khi đó, tồn v(x, t) ∈ C([0, T ]; Hg ) ∩ L2 ((0, T ); Vg ) cho (2.14)-(2.16) đúng, v(x, 0) = v0 (x) Hơn nữa, v0 (x) ∈ Vg 19 v(x, t) ∈ C([0, T ]; Vg 2.2 ) ∪ L2 ((0, T ); D(A g )) Sự tồn tập hút toàn cục hệ phương trình g-Navier-Stokes hai chiều Trong mục này, chứng minh tồn tập hút toàn cục hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều miền đa liên bị chặn Từ mệnh đề (2.1.3), định nghĩa nửa nhóm S(t) thỏa mãn S(t)v0 = v(t) Đầu tiên, chứng minh tồn tập hấp thụ S(t) Hg Vg Lấy tích vô hướng v (2.14) với v , ta có d|v|2 +ν v dt d|v|2 + 2ν v dt β = +ν ∇g ∇ |v|2 + b(v, φ, v) = (fˆ, v), g ∇g = 2(fˆ, v) − 2b(v, φ, v) − 2ν ∇ |v|2 g ∇g |fˆ|2 + νλ1 |v|2 + 2( + βν) v + 2ν ≤ ∇ |v|2 νλ1 g |fˆ|2 |∇g|∞ ≤ + νλ1 |v|2 + 2( + βν) v + 2ν , v νλ1 m0 λ1 m+1 i=1 ci |φi |/ν Khi đó, d|v|2 |∇g|∞ + ν − − 2βν − 2ν dt m0 λ1 v ≤ |fˆ|2 , νλ1 hay ta có d|v|2 |∇g|∞ |fˆ|2 + ν − − 2βν − 2ν λ |v| ≤ 1 dt νλ1 m0 λ1 Đặt α = ν − − 2βν − 2ν |∇g|∞ m λ1 >0 (2.17) 20 Khi đó, d|v|2 |fˆ|2 + αλ1 |v|2 ≤ , dt νλ1 t −αλ1 t |v| ≤ |v0 | e e−αλ1 (t−s) + −αλ1 t = |v0 | e ˆ2 −αλ1 t |f | +e = |v0 |2 e−αλ1 t + e−αλ1 t |fˆ|2 ds νλ1 t eαλ1 s ds νλ1 |fˆ|2 e−αλ1 t − νλ1 αλ1 ˆ |f | = |v0 |2 e−αλ1 t + (1 − e−αλ1 t ) νλ1 α Từ ta suy lim sup |v(t)|2 ≤ ρ20 , t→∞ ρ20 = 2|fˆ|2 νλ21 α Từ đó, nhận thấy BHg (0, ρ0 ) tập hấp thụ S(t) Hg ν Đặt = (1 − 3β) > 0, hay β < Khi đó, ta có α= (1 − β)ν |∇g|∞ − 2ν m λ2 Từ (2.17), có |fˆ|2 , νλ1 |fˆ|2 v ds ≤ r νλ1 d|v|2 +α v dt t+r 2 |v(t + r)| − |v(t)| + α t ≤ 21 Ta viết t+r v ds ≤ α t t+r v ds ≤ t Khi t → ∞, ta có αλ1 |v|2 ≤ |fˆ|2 νλ1 , t+r |fˆ|2 r + |v(t)|2 , νλ1 |v(t)|2 |fˆ|2 r + νλ1 α α |v|2 ≤ |fˆ|2 , ναλ1 21 ρ20 |fˆ|2 r|fˆ|2 r|fˆ|2 + ≤ + v ds ≤ νλ1 α να2 λ21 νλ1 α α lim sup t→∞ t Bây giờ, chứng minh tồn tập hấp thụ nửa nhóm S(t) Vg Đầu tiên, nhân (2.14) với Ag v , 1d v dt + ν|Ag v|2 + ν ∇g ∇ (v, Ag v) + b(v, v, Ag v) g + b(φ, v, Ag v) + b(v, φ, Ag v) =(fˆ, Ag v) Khi ν |Ag v|2 + v |v|2 , ν |b(v, φ, Ag v) + b(φ, v, Ag v)| ≤ |Ag v|2 + c v , ν |(fˆ, Ag v)| ≤ |Ag v|2 + |fˆ|2 ν |b(v, v, Ag v)| ≤ ∇g ∇ (v, Ag v) g ∇g =ν b , v, Ag v g |∇g|∞ ≤ν v |Ag v| m0 |Ag v|2 |∇g|∞ ≤ν v 2+ m0 |∇g|∞ |∇g|∞ |Ag v|2 ≤ν v 2+ν , m0 m0 ν 22 Ta có d v dt + ν|Ag v|2 + ν ∇g ∇ (v, Ag v) + 2b(v, v, Ag v) g + 2b(φ, v, Ag v) + 2b(v, φ, Ag v) =2(fˆ, Ag v), d v dt + ν|Ag v|2 =2(f, Ag v) − 2ν ∇g ∇ (v, Ag v) − 2b(v, v, Ag v) g − 2b(φ, v, Ag v) − 2b(v, φ, Ag v) |∇g|∞ ν|∇g|∞ ν v 2+ |Ag v|2 ≤ |Ag v|2 + |fˆ|2 + 2ν ν m0 4m0 ν ν + |Ag v|2 + v |v|2 + |Ag v|2 + c v ν|∇g|∞ ≤ ν+ |Ag v|2 + |fˆ|2 + v |v|2 4m0 ν |∇g|∞ + 2ν + c v m0 Ta suy d v |∇g|∞ +ν 1+ |Ag v|2 dt 4m0 |∇g|∞ +c ≤ |fˆ|2 + v |v|2 + 2ν ν m0 v , hay ta có d v |∇g|∞ + νλ1 + |Ag v|2 dt 4m0 |∇g|∞ ˆ2 +c v , ≤ |f | + v |v|2 + 2ν ν m0 d v dt |∇g|∞ ≤ − νλ1 + |Ag v|2 4m0 |∇g|∞ + v |v|2 + 2ν + c v + |fˆ|2 m0 ν |∇g|∞ |∇g|∞ ≤ 2ν + c − νλ1 + νλ1 v + 2|v|2 v v m0 4m0 + |fˆ|2 ν 23 Đặt m = 2ν |∇g|∞ |∇g|∞ + c − νλ1 + νλ1 m0 4m0 Khi đó, t > t(B, ρ0 ) + r Từ bất đẳng thức Grownwall đều, ta có v ≤ a3 + a2 exp(a1 ), r (2.18) ρ2 r|fˆ|2 4r|fˆ|2 , a1 = mr + 2ρ20 a3 , a3 = + Ta cố định r > ν νλ1 α α ý vế phải (2.17) với ρ21 Khi đó, ta chứng minh BVg (0, ρ1 ) a2 = tập hấp thụ S(t) Vg S(t) nửa nhóm compact Từ giả thiết (2.1), ta có kết sau Định lý 2.2.1 A = ω(BVg (0, ρ1 )) tập compact khác rỗng, A tập hút toàn cục phương trình (2.14)-(2.16) 24 Kết luận Trong luận văn này, Chương trình bày cách hệ thống lý thuyết tập hút toàn cục sở nghiên cứu tài liệu tham khảo [1] Tiếp theo, Chương 2, theo báo [11] trình bày số kết dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều cách chứng minh tồn tập hút toàn cục nửa nhóm sinh toán 25 Tài liệu tham khảo [1] C.T Anh (2012), Cơ sở lí thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm [2] C.T Anh and D.T Quyet (2012), g -Navier-Stokes equations with infinite delays, Viet J Math 40, 57-78 [3] C.T Anh and D.T Quyet (2012), “Long-time behavior for 2D non-autonomous g -Navier-Stokes equations”, Ann Pol Math 103, 277-302 [4] C.T Anh, D.T Quyet and D.T Tinh (2013), Existence and finite time approximation of strong solutions to 2D g -Navier-Stokes equations, Acta Math Viet 38, 417-428 [5] D Wu (2009), The finite-dimensional uniform attractors for the non-autonomous g -Navier-Stokes equations, J Appl Math., 1-17 [6] D Wu (2010), On the dimension of the pullback attractors for g -Navier-Stokes equations, Discrete Dyn Nat Soc., Art ID 893240, 16 p [7] G.P Galdi (1994), An Introduction to the Mathematical System in Mechanics and Physics, Springer-Verlag, New York [8] H Kwean (2012), The H -compact global attractor of two-dimensional g -Navier-Stokes equations, Far East J Dyn Syst 18, 1-20 [9] H Bae and J Roh (2004), Existence of solutions of the g -Navier-Stokes equations, Taiwanese J Math 8, 85-102 26 [10] H Kwean and J Roh (2005), The global attractor of the 2D g -Navier-Stokes equations on some unbounded domains, Commun Korean Math Soc 20, 731-749 [11] J Jiang and X Wang (2013), Global attractor of 2D autonomous g -Navier-Stokes equations, Appl Math Mech Engl Ed 34, 385-394 [12] J Jiang and Y Hou (2009), The global attractor of g -Navier-Stokes equations with linear dampness on R2 , Appl Math Comp 215, 1068-1076 [13] J Jiang and Y Hou (2010), Pullback attractor of 2D non-autonomous g -Navier-Stokes equations on some bounded domains, App Math Mech -Engl Ed 31, 697-708 [14] J Jiang, Y Hou and X Wang (2011), Pullback attractor of 2D nonautonomous g -Navier-Stokes equations with linear dampness, Appl Math Mech Engl Ed 32, 151-166 [15] J Roh (2001), g - Navier-Stokes Equations, Ph D dissertation, University of Minnesota, Minnesota [16] J Roh (2005), Dynamics of the g -Navier-Stokes equations, J Differential Equations 211, 452-484 [17] J Roh (2006), Derivation of the g -Navier-Stokes equations, J Chungcheon Math Soc 19, 213-218 [18] J Roh (2009), Convergence of the g -Navier-Stokes equations, Taiwanese J Math 13, 189-210 [19] D.T Quyet (2014), Asymptotic behavior of strong solutions to 2D g -Navier-Stokes equations, Comun Korean Math Soc 29 (4), 505-518 [20] D.T Quyet (2015), Pullback attractor for strong solutions of 2D non-autonomous g-Navier-Stokes equations, Acta Math Viet, inpress 27 [21] D.T Quyet and N.V Tuan (2017), On the stationary solutions to 2D g -Naiver-Stokes equations, Acta Math Viet 42, 357-367 [22] R Temam (1988), Infinite Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, 2nd edition, Springer-Verlag, New York ... có hai lí dẫn đến việc nghiên cứu hệ phương trình g -Navier-Stokes, đặc biệt trường hợp hai chiều: Hệ phương trình g -Navier-Stokes hai chiều xuất cách tự nhiên nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes. .. học Công nghệ mà việc nghiên cứu hệ phương trình Navier-Stokes nói riêng phương trình, hệ phương trình học chất lỏng nói chung ngày trở nên thời cấp thiết Bên cạnh hệ phương trình Navier-Stokes, ... chung hệ phương trình g -Navier-Stokes nói riêng, thường bắt đầu với câu hỏi chứng minh tồn tại, tính nghiệm (nghiệm nghiệm yếu nghiệm mạnh) Sau nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm thời gian dần