X Bài toán : Cho hai đường thẳng: d : - = + 3t d': y = + t z = -l-3 t a) Chứng tỏ hai đường thẳng cắt b) Viết phương trình mặt phăng chứa đường thẳng Giải X = + 2s a) Phương trình tham số đường thẳng d là: -Ị y = - - 3s z = + 4s l + 2s = + 3t De tìm giao điếm hai đưòng thẳng ta giải hộ: —2 —3s = + 2t Ịs = + 4s = - l - t t=-2 ‘ Suy có giao điểm A( 1; -2; 5) nên d d' cắt b) Vectơ pháp tuyến mặt phăng (P) chứa d d’ n = f u , u 'j = (1; 18; 13) Mặt phẳng (P) chứa d nên qua M(1 ;-2;5) Vậv phưcmg trình mặt phẳng chứa d d' là: l ( x - 1)+ 18(y + 2) + 13(z-5) = o x + 18y + 13z-30 = Bài toán 7: Cho diểm A( 1; -1; 1) hai đường thẳng: (d,): X = t X = t' y= y - l + t' - l - t , ( d 2) : z = 3t z = + 5t’ Chứng minh (d|), (di) A thuộc mặt phăng Giái (d2) qua B(0; 1; 4) có VTCP ĩi = (1; 2; 5) Mp(A, d 2) qua B có VTPT n = I u, AB] = (-4; - ; -4) hay (1; 2; -1) nên có phương trình: 1(x - 1) + 2(y + 1) - 1(z - 1) = X + 2y - z + Ta có (di) qua M(0; -1; 0) N (-l; 1; 3) Vì M, N thuộc mp(A d 2) nên di thuộc mp(A, d 2) Vậy A (d|), (d ) thuộc mặt phẳng = X = 1+ 2t Bài toán : 'I rong không gian toạ độ Oxyz cho đưòng thẳng d: H ’3 ' z = 2-t 2x + y - z - = Bài toán 9: Xét vị trí tương đối đường thẳng mặt phang: a) d: ~ -19 y- z , (P): 3x + y - z - = x + V—3 z _ b) d: — ■' = = - , (P): 3x - 3y + 2z - = z-4 x - 13 , (P); X + 2y - 4z + = c) d: Giải a) Dường thăng d có vectơ phương u = (4; 3; 1) Mặt phăng (P) có vectơ pháp tuyên n = (3; 5; -1) Ta có ủ ,n = 12 + 15 -1 = 26 218 Vậy đường thẳng d cắt (P) b ) d q u a A ( - l ; ; ) v c ó VTCP ũ - (2; 4; 3) Mặt phẳng (P) có vcctơ pháp Iciyến n = (3; -3; 2) Ta có u n = - 12 + = nên d song song (P) d thuộc (P) Mà A Ể (P) nên d // (P) c) d qua M( 13; 1; 4) có v r c p u = (8; 2; 3) Mặt phẳng (P) có vcctơ pháp tuyến n = (1; 2; -4) Ta có n u = mà M e (P) nên đường thăng d nằm (P) Bài toán 10: Chứng minh đường thẳng: X= a) d: 5t y = — + 9t thuộc mặt phẳng (!’): 4x - 3y + 7z - = z=- +t h)d: X y-2 cắt mặt phẳng (P): 4x - y + 5z - = Giải ^ ^ a) Dường thăng d qua A(0; - —; —) có VTCP u = (5; 9; 1) Mặt phẳm> (P) có vcctơ pháp tuyến n = (4; -3; 7) Ta có: n u = A e (ỉ’) nôn d năm trôn (P) b) Dường thăng d có VTCP u = (2; 3; 4), Mặt phăng (P) có vcctơ pháp tuyên n = (4; -1; 5) I'a có ri ĩi = - + 20 = 25 nôn d cắt mp(P) Bài toán 11: rim k dể đường thẳng d giao tuyến mặt phang (P); 2kx + y - z + = 0, (Q); X - ky -( z - = nằm mặt phẳng.(Oyz) Giải Giao tuyên d có V TCP: u = = M p(Oyz)có VTP I' -1 -1 2k 2k ' \ -k ỉ 1 -k = (l-k;-l-2k: -2k-l) r =(1;0;0) Dổ d nằm mặt phang (Oyz) thi cần có: r ủ = (ỉ - k) l +( - l - k ) + (-2 k^ - l ) = c: >k= 219 Thay k = vào phưcmg trình mặt phăng chứa d: (P): 2x + y - / + = 0, (Q): X - y + z - “ 'l'a có điểm M(0; 0; 1) thuộc d thuộc mặt phẳng (Oyz) nên thoả mãn Vậy dế d nằm mặt phẳng (Oyz) cần đủ là: k = Bài toán 12: Trong không gian có hệ toạ dộ Oxyz, cho điổm A(2; 1; 0), B(l; 2; 2), C( 1; 1; 0) mặt phẳng (P): X + y t- z - 20 = Xác định toạ độ diêm D thuộc đưòng thẳng AB cho đường thảng CD song song với mặt phẳiig (P) Giải x = -t Ta có AĨì = (-1; 1; 2) phương trình AB; y = 1+ z = 2t D thuộc dường thẳng AB => D(2-t; 1+t; 2t) => CD = (1-t; t; 2t) Vectơ pháp tuyến cùa mặt phang (P): n = (1; 1; 1) Vì c không thuộc mặt phẳng (P) nên: C D / / ( P ) » ri.CD = o 1.(1 - t ) + 1.1+ 1.2t = « t Vậy D ( ^ ; ^ ; - l ) Bài toán 13: Chứng minh mặt phăng (P„,): (2 -t- m)x + (1 + m)y + (1 + m)z + m - = Tuôn di qua dưcmg thẳng cố định Giải (P„i): 2x + y + z - t m(x + y + z + 1) = Mặt phăng (P,„) di qua diêm M(x; y; z) có toạ dộ không phụ thuộc m [2x + y + z - l = chi khi: [x + y + z + = Cho y = X = 2, z = -3; A(2; 0; -3) Cho z = X = 2, y = -3; B(2; -3; 0) , Vậy mặt phẳng (Pm) di qua dường thảng co dịnh giao tuyến cúa mặt phăng: 2x ( y +- z - = X + y t z ^ = tức đường thẳng AB cố dịnh Bài toán 14: Chứnu minh đường thẳng dk giao tuyến mặt phang: X + kz - k = (1 - k)x - ky = k nằm mặt phang cố dịnh Giải Giao tuyến dk chứa diêm M(x; y; z) có loạ độ thoả hệ; 220 X + kz - k = [(l-k)x-ky = ;k9iO Suy ra: X - (1 - k)x + kz - k + ky = => k(x + y + z - l) = = > x + y + z - l =0 , vìk^ẾO Vậy đường thẳng dk luôn nằm mặt phang cố định (P): x + y + z - l = Bài toán 15: Trong không gian Oxyz cho tập hợp mặt phang (am) có phưcmg trình là: mx - 2(m - l)y + (m + l)z - = đường thẳng d có phưcmg trình ttmm tham snsố: x = l-2t ■y = 3t z = -2 - a) Chứng tó mặt phẳng (ttm) di qua đường thẳng cố định A b) Chứng tỏ hai đường thẳng d A chéo Giải a) Phương trình mặt phẳng (am) viết thành: 2y + z - + rìi(x - 2y + z) = Í2x + z -1 = Dăng thức với m nên ta suy ra: ( (x-2y + z = I ỉệ phương trình xác định dường thảng A cố định giao tuyến mặt phẳng 2y + z - - 0, X - 2y + z = A có VTCP n = [ n , , n, = (4; 1; -2) qua B (-l; 0; 1) Vậy mặt phẳng (ttm) qua đường thẳng cố định A: -2 ỉ- b) d qua A(1; 0; -2) có VTCP u = (-2; 3; -1) Ta có I u , V Ị AB 7^ nên d A chéo BÀI TẬP TỐNG HỢP Bài tập 1: Lập phương trình tham số đường thẳng; a) qua A (2;l;-3) B(3;-l;2) b) di qua M (2;l;9) vuông góc với mp(P): 3x - y - z +9 =0 HD-ĐS X = +1 a) Kết y =\-2 t z - - + 5t x = + 3t b) Kết Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) có phương trình 2x - 3y + 5z - = a) '1'ìm toạ độ giao điểm mặt phang với trục Ox, Oy, Oz b) 'ĩính thể tích tứ diện giới hạn mặt phẳng (P) mặt phẳng toạ độ Giải a) Cho y = z = giao với trục Ox A( —; 0; 0) Cho X = z = giao với trục Oy B(0; - - ; 0) Cho X = y = giao với trục Oz C(0; 0; —) b) 'ĩứ diện cần tìm OABC có OA, OB, V = - OA.OB oc đôi vuông góc nên thể tích oc = - 180 Bài toán 2: Cho ba mặt phảng (P): x + y + z - = 0, (Q): m x - y + z + m - l = (R): mx + (m - 1)y - z + 2m = a) Xác định giá trị m để ba mặt phang đôi vuông góc với b) 'l ìm giao diêm chung ba mặt phang Giải a) Vectơ pháp tuyến ba mặt phẳng (P), (Q), (R) là; n,, = (1; 1; 1) tiụ = (m; -2; 1), = (m; m - 1; -1) Diều kiện ba mặt phang đôi vuông góc n,,.np =0 m - + l=0 m=l m = n,,.nj^ = , BPT cho trở thành: (x + 1)^ -3 ( x + l)v^x + + ( V ^ + 5)- >0 (1) 5 V Khi X = - — (1) - —+ V y > 0: Do X = - — nghiệm bất phương trình Khi X (1) o + 2^0 ^J2x + ^J2x + Do đó:: —^ ^ Ằ = < X + < J x +5 V2x + 342 - - < X < - - 1< X < — < X < 2 X ^ -1 1ỉoặc V 2^ ^ X + Vậy nghiệm BPT; X ^ J2 x + 1^ ^ X < - < 2^ X X Câu ỉ)ặt t = e'' -f Inx ^ ả l = ị e’' + ~ dx = - - ~ - ~ d x V Xj X í)ối cận: X=1 =>t = e ;x = e = > t = c‘^ + l _ f + xe'‘ '^|-'dt , Suy ra: I = - -—-2: dx = ~ = Inl •Ị x(c' + Inx) ;Ị t I , , c IN , = ln(e + ) - Vậy: I = ln(c" ) - Câu Áp dụng dịnh lý đường trung tuyến tam giác, ta có: () a " = AC ■a A B '+ A D - BD- BC^ - AB‘ + A c ' a AB AC Suy S a b c d 2SAAIỈC' = Vc GI // OA (II £ AB), hạ GK SI I 'I'a C(S AB GI ỉ AB SG => AB GK -o G K l(S A B ) -> G K QU= ^ ()A = '-Ị~ Vậy V s.abcd = V V ĩõ 3 Câu Dặt a = X t- 4, b = y + 5, c = z + (x, y, z ^ 0) Do d ỏ : (X + f + (y ) ' (z + ) “ = 90 Cí> X' + y^ + z,^ + 12(x + y + z) - 4x - 2y = 13 Gia sư X i y + z, < => x y z £ [0; 1) Suy x“ < x; y‘ < y; < z ncn: X' t V' + z“ + 12(x + y + z) - 4x - 2y < 13(x + y + z) < 13 (vô lý) Do dó: X •- V t z > Vậy: a t b -r c = X t y 4- z»-+ 15 > 16 í'â u 7.a 1lạ All vuông góc với d' dường phân giác góc B, ta có lỉ(h; 2-h) Suv ra: AI i = (h + 4; -h) ± ũj = (-1; 1) VTCP d', nên h = -2 Vậy H(-2; 4) Gọi A' dôi xímg A qua n, nôn A' £ BC 11 tmng điềm AA' Do A'(0; 6) ỉ'a có B £ d' « B(b; 2-b), c £ d » C(10-2c; c) Mà BC = 2BA, nôn A' trung đicm BC [b + -2 c = [ b - c = -1 )i - V3" - 8i Vậy: Ị Suy ra: = 16 rv3' V í / / 71^ ^ ^ 71^ + i sin = 16 cos 6) V 6"jy y iV Ị — 71^1 Do dó; z = cos + isin — (chọn) V V V \2 ) / f 71^ = - cos + isin (loại) 12j j l 12; í 71 ^ 71 ^ Vậy z = cos + i sin V 12j V ) 12y — — — 12jJ — — — — — ĐỀ LUYỆN THI TÕNG HỢP s ố l Phần chung cho tất thí sinh: (7,0 đicm) C'âu Cho hàm số y ^ x'^ - 2(m" + 1)x" + 3(1) 1) Khào sát biốn thiên vẽ dồ thị (1) hàm số với m = 2) Clìírng minh ràng dồ thị hàm số (I) có ba điểm cực trị A, B m rim m dê dường tròn nội tiếp lam giác ABC có bán kính bàng c với m()i Câu rim nghiệm X e |0; 7t| phirơng trình: 2cos4x - ( Vả - 2)cos2x = sin2x f V3 Câu Giái hệ p 1': x( x’ +4y- ) = y ' ( y ' + l ) (x y G R) VVx+~6 + /2 y - + = Câu rim nguyên hàm cua hàm số: r(x) = c'“^.cos(2x + ” ) Câu Cho hình trụ có hai đáy hai hình tròn tàm o , O' có chiều cao h = a Gọi A, B hai dicm thuộc đường tròn dáy tâm o cho AOB = 60" Vẽ dirờim sinh AA' Biốl uóc dường thănu A '0 mặt phắng (AA'B) bàng 30" 1’ính theo a khoang cách hai dường thẳng 0 ' A'B 345 A ^ ! , b c ^ a +b b+c , Câu Cho a b, c > Chứng minh răng: —H h —> -—— + - - - - - -t-1 b c a b+c a+ b 11 Phần riêng: (3,0 điểm) Thí sinh dược làm hai phần: A B A Theo chưong trình chuẩn Câu 7a Trong mặt phăng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đưởng tròn (C): + y' - 2x + 2y - 23 = Lập phưorng trình đường thẳng (A) di qua điếm P(2; 5) cẳt (C) hai diêm phân biệt ỉl, K cho tiếp tuyốn cùa (C) hai điểm II K vuông góc Câu 8a 1'rong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho diếm A(l; 0; 0) B(0; 1; 0) C(0; 3; 2) mặt phẳng (a): X + 2y + = 'Um tọa độ diếm M có tọa độ nguyên biết M cách dều điểm A, B c mặt phảng (a) Câu 9a ĩ ìm hệ số x^ khai triền thành đa thức biểu thức; P(x) = (x‘ + X - iy \ B Theo chuông trình nâng cao •) Câu 7b Trong mặt phăng với hệ trục loạ độ Oxy, cho elip (L.): - + y‘ = đicm C(2; 0) Tim toạ độ diêm A B nằm elip (L) cho tam giác ABC dèu Câu 8b Trong không gian với hệ trục toạ dộ Oxy/., cho hai đưòng thẳng d; — _- = -— ^ , d’; — = -— - = - mặt phẳng (a): X - y + z - = -2 -1 1 l'im dicMn M nằm đường thẳng d' cho dường thảng qua M song song với dường thăng d cất mặt phăng (a) điốm N cho MN = Câ u9b Giai PT; ^Í2.(Ý - ^ + V 4 ' - ĩ 16' = ' (x G R) Lới G iải Câu 1) Khi m = y = x^ - 4x" + 'Tập xác dịnh D R Hàm sổ chẵn • Sự biên thiên: lim y = t-oo \ > • JO v' ■- 4x'^ - 8x = 4x(x“ - 2) y' = + AAA _|_] 4+ (Ị.) + c) + (a r b)(b r c) b c a b+ c a + b a(a + b)(b + c) b(a + b)(b + c) I c(a + b)(b- —+ c) ^ - b c 2a + 5b + c = (1) Và d ( l ; A) = - ị (A): 47x + 23y - 209 = 23 23 C"âu 8a Gợi M(a; b; c) Vì M cách dều ba điểm A, B, c nên j MA - MB j(a - ) ’ + b- + c ' = a ' 4 2t - 1^ < 1; - (4t^ - 3t^) = (t - ĩ)^(3t^ + 2t + 1) ^ =» 4t^ - 3t^ < Do V t - t ^ + ịj4t^ -3 “^ < Nên dấu xảy ra: t = X = Vậy phương trình có nghiệm X ==0 350 ^ y ế íu o /ụ c C h ủ đề 1: KHỐI DA DIỆN VÀ PHÉP DỜI H ÌN H C h ủ đề 2: KHỐI DA DIỆN ĐÈU VÀ PHÉP VỊ T ự 27 C h ủ đề 3: THẾ TÍCH KHỐI LẢNG TRỰ VÀ KHỐI H ộ p 46 C h ủ đề 4: THẾ TÍCH KHỐI DA DIỆN VÀ KHỐI C H Ó P 58 C h ủ đề 5: MẶT CÀU, KHỐI CÀU ; 94 C hủ đề 6: MẠT TRỤ - HÌNH TRỤ- KHỐI TRỤ 115 C hủ đề 7: MẶT NÓN - HÌNH NÓN - KHỐI N Ó N 124 C hủ đề 8: TOÁN C ự C TRỊ K H Ô N G G IA N 135 C hủ đề 9: TOẠ DỘ KHÔNG GIAN .159 C hủ đề 10: PHƯƠNG TRÌNH MẶT C Ầ U 181 C hủ đề 11: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHANG 192 C h ủ đề 12: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 204 C h ủ đề 13: TƯƠNG GIAƠ CỦA ĐƯỜNG THANG, MẶT PHẢNG VÀ MẶT CẦ U 224 C h ủ đề 14: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TỌA Đ ộ 266 C h ủ đề 15: CÁC H ÌN H KHỐI VÀ ỨNG DỤNG TOẠ D Ộ 308 PHỤ LỤC: CÁC ĐH ÔN THI TỐNG HƠ P 335 35 SÁ C H P H Á T H À N H TẠ I ẠHỆ THỐNG NHÀ SÁCH & SIÊU THỊ CỦA CÕNG Ti CỔ PHẤN VĂN HÓA DU LỊCH GiA LAI TRÊN ĨOÀN QUÒC ♦ HỆ THỐNG NHÀ SÁCH & SIÊU THỊ CỦA CÔNG TI CỔ PHẤN VAN HÓA PHƯƯNG NAM TRẼN TOÀN QUỨC ♦ d a v ib o o k s.v n NHÀ SÁCH TRựC TUYÊN ĐT: 62972354 HUẾ; CÔNG TY CP SÁCH&TBTII HUẾ - 76 Hàn Thuyên - TP Huế ĐÀ NẴNG; NS LAM CHÂU - 129 l’han Chu Trinh QUẢNG NGÃI; NS TRẦN QUỐC TUẤN - 526 Quang Trung NHA TRANG: CÔNG TY CP PHS - 34 - 36 Thống Nhất - Nha Trang SIÊU THỊ TÂN TIẾN - 11 ĩ.ô Thành Phương - Nha Trang BÌNH THUẬN: NS HƯNG ĐẠO - 328 Trần Hưng Đạo - TP Phan Thiết HỔNG NAI: NS KIM NGÂN - 88 Cách Mạng Tháng 'rám - TP Biên Hòa NS BIÊN HÒA - 35 Cách Mạng Tháng - TP Biên Hòa NS MINH ĐỨC - 156 Đường 30/4 - TP Biên Hòa VỮNG TÀU; NS ĐÔNG HẢI - 38 Lý Thường Kiệt NS HOÀNG CƯƠNG - 163 Nguyền Văn Trỗi GIA LAI: CÔNG TY SÁCH TBTII - 40B Hùng Vương - TP Pleiku DAKLAK: NS LÝ THƯỜNG KÍỆT - 55 - 57 Lý 'Phường Kiệt KƠNTUM: CÔNG TY CP SÁCH TBTH - 129 Phan Đình Phùng LẢM DỒNG: CÔNG TY CP SÁCH TBTH - 09 Nguyễn Văn Cừ - Đà Lạt NS CHÍ THÀNH - 72D Bùi Thị Xuân - Đà Lạt DÃK NÓNG: NS GIÁO DỤC - 30 Trần Hưng Đạo - Gia Nghĩa 'rÂY NINH; NS VÃN NGHỆ - 295 Đường 30 tháng LONG AN: TIỂN GIANG: DỒNG THÁP: BẾN TRE; SÓC TRẢNG; KIÊN GIANG: CÔNG TY PHS - 04 Võ Văn Tần - TP Tân An CÒNG TY CP SÁCH TBTH - 22 Hùng Vương - TP Mỹ Tho NS VIỆT HƯNG - 196 Nguyễn Huệ - TP Cao Lãnh CÔNG TY CP SÁCH TBTH - 03 Đồng Khởi NS TRẺ - 41 Trần Hưng Đạo NS ĐÔNG H I - 98B Trần Phú - Rạch Giá NS ĐÔNG HÔ II - 989 Nguyền Trung 3’rực - Rạch Giá BÌNH DƯƠNG: NHÀ SÁCH 277 - 518 Cách Mạng 'Phàng Tám - Thủ Dầu Một CÀ MAU: NS MINH TRÍ - 44 Nguyễn Hữu Lỗ AN GIANG; NS THƯ QUÁN - 3/5 Tôn Đức Thắng - TP Long Xuyên NS THANH KIÊN - 496 Võ Thị Sáu - TP Long Xuyên TT VÃN HÓA TỔNG HỢP - 15 - 17 Hai Bà Trưng SÁCH CÓ BÁN LẺ TẠI CÁC CỬA HÀNG SÁCH TRÊN TOÀN QUỐC U Q *Ti ìí ^4ÌcÁ Cr 'V V V V V V n H í i ^ L i c r l T H o n ^ í i i - i v n Email: nhasachhongan