TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAPLACE VÀ PHƯƠNG TRÌNH POISSON Giảng viên hướng dẫn: TS NGUYỄN THÀNH CHUNG Sinh viên thực đề tài: THÁI QUANG LỢI Lớp ĐHSP Toán K55 Quảng Bình, năm 2017 Mục lục Lời mở đầu Chương Một số vấn đề lý thuyết định tính phương trình Laplace phương trình Poisson 1.1 Hàm điều hòa Biểu diễn Green 1.2 Các tính chất hàm điều hòa 10 1.3 Các toán biên 13 1.4 Tính phụ thuộc liên tục nghiệm 14 1.5 Bài toán Dirichlet hình cầu Công thức Poisson 16 1.6 Các định lý hội tụ 19 Chương Phương pháp tách biến phương trình Laplace phương trình Poisson 2.1 Giải toán biên hình chữ nhật 2.2 Giải toán biên hình tròn 2.3 Một số tập vận dụng 21 21 27 31 Lời kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Lời mở đầu Phương trình đạo hàm riêng lĩnh vực chưa học chương trình học học phần quan trọng Giúp sinh viên làm quen dần với phương pháp toán học đại Lĩnh vực có liên quan đến nhiều môn khác như: Phương pháp toán lý, điện động học, nhiệt động học, Việc nghiên cứu lĩnh vực sở để nghiên cứu lĩnh vực khác Đề tài "Giới thiệu sơ lược phương trình laplace phương trình poisson" vừa mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi, thực có ý nghĩa khoa học mà nhà toán học vật lý học thường xuyên nghiên cứu Đây bước đầu để ta tìm hiểu phương trình đạo hàm riêng ứng dụng để giải số toán phương trình đạo hàm riêng Chính lựa chọn đề tài "Giới thiệu sơ lược phương trình laplace phương trình poisson" Luận văn trình bày kiến thức cô động phương trình Laplace phương trình Poisson Luận văn tập trung làm rõ số vấn đề sau: Định nghĩa, định lý, tính chất hàm điều hòa, toán biên bản, định lý hội tụ, toán Dirichlet hình cầu, công thức Poisson, phương pháp tách biến để giải toán biên miền hình chữ nhật miền tròn Bố cục luận văn bao gồm chương : • Chương Một số vấn đề lý thuyết định tính phương trình Laplace phương trình Poisson • Chương Phương pháp tách biến phương trình Laplace phương trình Poisson Do thời gian thực không nhiều, kiến thức hạn chế nên làm luận văn không tránh khỏi hạn chế Chúng mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn đọc Các ký hiệu - C p (Ω): tập hợp hàm liên tục khả vi đến cấp p - ν = (ν1 , ν2 , .): vecto pháp tuyến điểm -infΩ u: cận hàm u tập Ω -supΩ u: cận hàm u tập Ω -∂ Ω: biên tập Ω -∆u = u”xx + u”yy -maxΩ u: giá trị lớn hàm u tập Ω -minΩ u: giá trị nhỏ hàm u tập Ω ex + e−x -sinh x = Chương Một số vấn đề lý thuyết định tính phương trình Laplace phương trình Poisson 1.1 Hàm điều hòa Biểu diễn Green Định nghĩa 1.1.1 Giả sử Ω miền Rn , u hàm thuộc lớp C2 (Ω) Hàm u(x) thỏa mãn phương trình Laplace ∆u = (1.1.1) với x ∈ Ω gọi hàm điều hòa Ω Dạng không phương trình Laplace gọi phương trình Poison Nghiệm phương trình Poison miền Ω hàm u(x) ∈ C2 (Ω) cho: ∆u = f (x) với x ∈ Ω Giả sử Ω ⊆ Rn với biên ∂ Ω ∈ B1 u(x), v(x) ∈ C2 (Ω) ∩C1 (Ω) ta có Ω ∂ 2u v dx = − ∂xj ∂v ∂u dx + ∂xj ∂xj Ω v ∂Ω ∂u ν j ds ∂xj (1.1.2) Lấy tổng đẳng thức theo j từ đến n ta nhận công thức Green thứ sau n v∆udx = − Ω Ω ∂v ∂u ∑ ∂ x j ∂ x j dx + j =1 v ∂u ds ∂ν (1.1.3) u ∂v ds ∂ν (1.1.4) ∂Ω Tương tự ta có: n u∆vdx = − Ω Ω ∂u ∂v ∑ ∂ x j ∂ x j dx + j =1 ∂Ω Trừ vế theo vế ta công thức Green thứ hai: (v∆u − u∆v)dx = Ω (v ∂Ω ∂u ∂v − u )ds ∂ν ∂ν (1.1.5) Ví dụ 1.1.1 Gọi ωn thể tích hình cầu đơn vị Rn Với ξ ∈ Rn , hàm Γ(x − ξ ) xác định |x − ξ |2−n , Γ(x − ξ ) = Γ(|x − ξ |) := n(2 − n)ωn   ln|x − ξ |, 2π    n>2 n = (1.1.6) hàm điều hòa tai ∀x ∈ Rn \{ξ } nghiệm phương trình Laplace Với ξ ∈ Ω cố định Ta muốn áp dụng công thức Green thứ hai với hàm v(x) = Γ(x − ξ ) hàm u(x) Nhưng v(x) không xác định x = ξ nên khắc phục cách áp dụng công thức Ω1 = Ω\Bρ với Bρ = Bρ (ξ ) ρ đủ nhỏ, cho qua giới hạn ρ → Khi đó: [Γ∆u − u∆Γ] dx = Ω1 Γ ∂ Ω1 ∂Γ ∂u −u ds ∂ν ∂ν (1.1.7) Vì Γ hàm điều hòa Ω1 nên ∆Γ = từ ta có: Γ∆udx = Ω1 Γ ∂Ω ∂u ∂Γ −u ds + ∂ν ∂ν Γ ∂u ∂Γ −u ds ∂ν ∂ν (1.1.8) ∂ Bρ Áp dụng tích phân phần (vì u Γ hai hàm điều hòa Ω1 nên ∆u = ∆Γ = 0) Γ ∂u ds = Γ(ρ ) ∂ν ∂ Bρ ∂u ∂u → 0, ds ≤ |Γ(ρ )| nωn ρ n−1 max ∂ν ∂ν ∂ Bρ (1.1.9) u ∂Γ ds = −Γ (ρ ) ∂ν ∂ Bρ uds = −u(xρ ) → −u(ξ ) (1.1.10) ∂ Bρ ρ → 0, xρ ∂ Bρ Từ ta nhận biểu diễn tích phân u ξ ∈ Ω: u(ξ ) = u ∂Ω ∂Γ ∂u (x − ξ ) − Γ (x − ξ ) ∂ν ∂ν Γ∆udx ds + (1.1.11) Ω Nếu u hàm điều hòa Ω ∆u = Ω nên u(ξ ) = u ∂Ω ∂Γ ∂u (x − ξ ) − Γ (x − ξ ) ∂ν ∂ν ds (1.1.12) Công thức công thức Green biểu diễn hàm điều hòa thuộc lớp C2 (Ω) Công thức cho phép ta tính giá trị hàm u điều hòa Ω điểm ξ ∈ Ω theo giá trị đạo hàm vecto pháp tuyến ∂u biên ∂ Ω ∂ν Bởi công thức hàm dấu tích phân khả vi vô hạn, giải tích theo ξ nên hàm u(ξ ) khả vi vô hạn giải tích Ω Định nghĩa 1.1.2 Tích phân dạng a0 (x) |x − ξ |2−n dx, u0 ( ξ ) = n > 2, Ω gọi vị khối hay vị Newton với mật độ a0 (x) Ω Tích phân dạng a1 (x) |x − ξ |2−n ds, u1 (ξ ) = n > 2, ∂Ω gọi vị lớp đơn với mật độ a1 (x) ∂ Ω Còn tích phân dạng u2 (ξ ) = ∂Ω ∂ |x − ξ |2−n ds, a2 (x) ∂ν n > 2, gọi vị lớp kép với mật độ a2 (x) ∂ Ω Trong trường hợp n = ta có định nghĩa vị Newton hay logarit vị lớp đơn, vị lớp kép Khi công thức cần thay |x − ξ |2−n −ln |x − ξ | Về ý nghĩa vật lý, gradien vị Newton xác định cường độ trường tĩnh điện R3 \∂ Ω tạo thành điện tích phân bố Ω với mật độ a0 (x) Thế vị lớp đơn vị trường tĩnh điện R3 \∂ Ω sinh điện tích phân bố ∂ Ω với mật độ a1 (x) Gradient vị lớp kép xác định cường độ trường tĩnh điện gây ngẫu cực phân bố ∂ Ω với mật độ mặt a2 (x) Bởi |x − ξ |2−n hàm khả vi vô hạn theo x ξ x = ξ nên a1 ∆ |x − ξ |2−n ds = 0, ∆u1 = ∂Ω ∆u2 = a2 ∂Ω ∂ ∆ |x − ξ |2−n ds = ∂ν Do hàm u1 (ξ ) u2 (ξ ) hàm điều hòa Rn \∂ Ω a1 , a2 ∈ C0 (∂ Ω) Như tích phân u1 (ξ ), u2 (ξ ) xác định hai họ nghiệm phương trinh Laplace miền Ω Và ta nhận vị Newton hàm điều hòa Rn \(Ω) a0 (x) ∈ C0 (Ω) Tiếp theo ta điều chỉnh công thức để công thức tổng quát Giả thiết h ∈ C2 (Ω) ∩ C1 (Ω)và thỏa mãn ∆h = Ω Khi nhờ công thức Green thứ hai ta nhận được: − u ∂Ω ∂u ∂h −h ∂ν ∂ν ds = h∆udx Ω Cộng đẳng thức với (1.1.11) đặt G = Γ + h, ta nhận được: u(ξ ) = u ∂Ω ∂G ∂u −G ∂ν ∂ν ds + G∆udx Ω Nếu bổ sung G = ∂ Ω u(ξ ) = u ∂Ω ∂G ds + ∂ν G∆udx (1.1.13) Ω Nếu giả thiết u hàm điều hòa Ω u(ξ ) = u ∂Ω ∂G ds ∂ν (1.1.14) Hàm G = G(x, ξ ) gọi hàm Green (của toán Dirichlet) miền Ω Như tồn hàm Green kéo theo khả biểu diễn hàm điều hòa thuộc h ∈ C2 (Ω) ∩C1 (Ω) qua giá trị biên 1.6 Các định lý hội tụ Định lý 1.6.1 Giả sử u ∈ C (Ω) Khi hàm u điều hòa Ω hình cầu B = BR (y) tập compact Ω thực tính chất trung bình: u(y) = nωn Rn−1 uds (1.6.29) ∂ BR Chứng minh Theo Định lý 1.5.1 hình cầu B tập compact Ω, ∃h ∈ B, ∆h = cho h = u ∂ B Khi ω = u − h thỏa mãn ω (y) = ωds nωn Rn−1 ∂ BR Từ ω = B tức u = h B Do B hình cầu thuộc Ω nên u hàm điều hòa Ω Giả sử u hàm điều hòa Ω Từ Định lý 1.2.1 ta có công thức Định lý 1.6.2 Giới hạn dãy hàm điều hòa hội tụ hàm điều hòa Chứng minh Giả sử {uN } dãy hàm điều hòa miền Ω uN → u ∈ Ω Ta có uN ( y ) = uN ds, nωn Rn−1 ∂ BR hình cầu B = BR (y) ⊂⊂ Ω Lấy giới hạn đẳng thức ta nhân kết Ta có nhận xét sau: Nếu {uN } dãy hàm điều hòa miền bị chặn Ω với giá trị biên {ψN } liên tục, ψN hội tụ ∂ Ω tới hàm ψ, dãy {uN } hội tụ tới hàm điều hòa u ∈ Ω nhận giá trị biên ψ (x) ∂ Ω 19 Định lý 1.6.3 (Định lý Harnack hội tụ) Giả sử {uN } dãy đơn điệu không giảm hàm điều hòa Ω Với y ∈ Ω dãy {uN (y)} vị chặn Khi dãy {uN } hội tụ miền bị chặn Ω tập compact Ω tới hàm điều hòa Định lý 1.6.4 (ước lượng tiên nghiệm đạo hàm) Giả sử u hàm điều hòa Ω u ∈ C (Ω) nữa, giả sử Ω1 tập compact tùy ý Ω Khi α α sup |D u| ≤ Ω1 n|α| d |α| sup u Ω d = dist (Ω1 , ∂ Ω) Định lý 1.6.5 Một dãy bị chặn hàm điều hòa Ω chứa dãy hội tụ tập compact Ω tới hàm điều hòa 20 Chương Phương pháp tách biến phương trình Laplace phương trình Poisson 2.1 Giải toán biên hình chữ nhật Bài toán 1: Giải toán biên Dirichlet với phương trình Laplace miền chữ nhật (0; L) × (0; M ) uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ), (2.1.1) với điều kiện biên u(x, 0) = f1 (x); u(x, M ) = 0; ≤ x ≤ L; u(0, y) = 0; u(L, y) = 0; ≤ y ≤ M (2.1.2) Ta tìm dạng tách biến u(x, y) = X (x)Y (y) = Thay vào (2.1.1) ta nhận được: X (x ) Y (y) =− X (x ) Y (y) 21 Do vế trái hàm x vế phải hàm y nên hai phải hàm hằng, đặt giá trị λ ta nhận được: X (x) − λ X (x) = 0, (2.1.3) Y (y) + λY (y) = (2.1.4) Từ điều kiện (2.1.2) ta có X (0) = 0; X (L) = 0; (2.1.5) Y (M ) = (2.1.6)  X (x) − λ X (x) = 0, Giải toán: X (0) = 0; X (L) = √ √ Với λ > ta có nghiệm X = C1 (e− λ x + C2 (e λ x Vì X (0) = X (L) = nên ta có X ≡ Điều xảy Với λ = ta nghiệm X = C1 + C2 x Và ta có X ≡ Điều xảy √ √ Với λ < ta nhận X = C1 cos( −λ x) + C2 sin( −λ x) Vì X (0) = X (L) = nên ta nghiệm khác ứng với giá trị kπ λ = λk = − L kπx , L X (x) = Xk (x) = Ak sin k = 1, 2, 3, Ak số bất kỳ. Y (y) + λY (y) = 0, Với λ = λk , giải toán Y (M ) = kπ Với λ = λk = − L ta Y (y) = Yk (y) = Bk sinh kπ (M − y) , L 22 k = 1, 2, 3, Bk số Như ta nhận nghiệm: uk (x, y) = Xk (x)Yk (y) = Ck sinh kπx kπ (M − y) sin L L với Ck số Đặt n ∞ u(x, y) = ∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh k =1 k =1 kπ (M − y) kπx sin L L Ta có u nghiệm toán thỏa mãn điều kiện biên Bây ta tìm Ck để u thỏa mãn điều kiện không u(x, 0) = f1 (x), ≤ x ≤ L, ∞ có nghĩa ∑ Ck sinh k =1 Ta có Ck sinh kπx kπM sin = f (x ) L L kπM hệ số Fourier hàm f1 (x) đoạn [0, L] L L kπM Ck sinh = L L f1 (x) sin kπx dx L Vậy nghiệm tách biến phương trình ∞ u(x, y) = ∞ ∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh k =1 k =1 kπ (M − y) kπx sin L L L kπx Ck = f1 (x) sin dx kπM L L sinh L Bài toán 2: Giải toán biên Dirichlet với phương trình Laplace miền chữ nhật (0; L) × (0; M ) uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ), 23 (2.1.7) với điều kiện biên u(x, 0) = 0; u(x, M ) = f2 (x); ≤ x ≤ L; u(L, y) = 0; ≤ y ≤ M u(0, y) = 0; (2.1.8) Tương tự Bài toán ta tìm nghiệm tách biến có dạng ∞ u(x, y) = ∞ ∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh k =1 k =1 kπy kπx sin L L kπx L hệ số Ck = f2 (x) sin dx kπM L L sinh L Bài toán 3: Giải toán biên Dirichlet với phương trình Laplace miền chữ nhật (0; L) × (0; M ) uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ), (2.1.9) với điều kiện biên u(x, 0) = 0; u(x, M ) = 0; ≤ x ≤ L; u(0, y) = f3 (x); u(L, y) = 0; ≤ y ≤ M (2.1.10) Ta tìm nghiệm tách biến có dạng ∞ u(x, y) = ∞ ∑ uk (x, y) = ∑ Ck sinh k =1 k =1 kπ (L − x) kπy sin M M M kπy hệ số Ck = f3 (x) sin dy kπL M M sinh M Bài toán 4: Giải toán biên Dirichlet với phương trình Laplace miền chữ nhật (0; L) × (0; M ) uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ), (2.1.11) với điều kiện biên u(x, 0) = 0; u(0, y) = 0; u(x, M ) = 0; ≤ x ≤ L; u(L, y) = f4 (x); ≤ y ≤ M 24 (2.1.12) Ta tìm nghiệm tách biến có dạng ∞ u(x, y) = ∞ ∑ uk (x, y) = k =1 ∑ Ck sinh k =1 kπy kπx sin M M M kπy hệ số Ck = f4 (x) sin dy kπL M M sinh M Bài toán biên tổng quát: Giải toán biên Dirichlet với phương trình Laplace miền chữ nhật (0; L) × (0; M ) uxx + uyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ), (2.1.13) với điều kiện biên u(x, 0) = f1 (x); u(x, M ) = f2 (x); ≤ x ≤ L; u(0, y) = f3 (x); u(L, y) = f4 (x); ≤ y ≤ M (2.1.14) Ta tìm nghiệm tách biến tổng nghiệm bốn toán Bài toán Poisson: Giải toán biên Dirichlet với phương trình Poisson miền chữ nhật (0; L) × (0; M ) uxx + uyy = f (x, y), (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ), (2.1.15) với điều kiện biên u(x, 0) = f1 (x); u(x, M ) = f2 (x); ≤ x ≤ L; u(0, y) = f3 (x); u(L, y) = f4 (x); ≤ y ≤ M (2.1.16) Để giải toán ta đặt v(x, y) = u(x, y) + g(x, y) cho toán trở thành: vxx + vyy = 0, (x, y) ∈ (0; L) × (0; M ), với điều kiện biên v(x, 0) = f1 (x) + g(x, 0); v(0, y) = f3 (x) + g(0, y); v(x, M ) = f2 (x) + g(x, M ); ≤ x ≤ L; v(L, y) = f4 (x) + g(L, y); ≤ y ≤ M (2.1.17) 25 Đây bài toán biên Dirichlet với phương trình Poisson miền chữ nhật (0; L) × (0; M ) Tiếp tục giải sau thay ngược lai hàm v(x, y) hàm u(x, y) Ví dụ 2.1.1 Tìm hàm u(x, y) thỏa mãn:   u + uyy = A; < x < a, < y < b,    xx πy u|x=0 = A sin , u|x=a = 0, b    u|y=0 = B|sin πx , u|y=b = a A Đặt φ (x, y) = u(x) − x2 ta có phương trình   φxx + φyy = 0; < x < a, < y < b,    πy A φ |x=0 = A sin , φ |x=a = − a2 , b    πx A A φ | − x , φ |y=b = − x2 y=0 = B sin a 2    φ + φ1yy = 0; < x < a, < y < b,   1xx πy Xét toán: φ1 |x=0 = A sin , φ1 |x=a = 0,  b   φ | φ1 |y=b = y=0 = 0, Áp dụng phương pháp tách biến miền chữ nhật ta tìm nghiệm phương trình sau: ∞ φ1 (x, y) = ∑ Ck sinh k =1 kπ (a − x) kπy sin , b b b πy kπy A sin sin dy kπa b b b sinh b   φ + φ2yy = 0; < x < a, < y < b,    2xx φ2 |x=a = 0, Xét toán: φ2 |x=0 = 0,    φ2 |y=0 = B sin πx − A x2 , φ2 |x=b = a tương tự ta có hệ số Ck = ∞ u1 (x, y) = ∑ Dk sinh k =1 26 kπ (b − y) kπx sin , b b a πx A kπy B sin − x sin dy kπb a a a sinh a   φ + φ3yy = 0; < x < a, < y < b,    3xx A Xét toán: φ3 |x=0 = 0, φ3 |x=a = − a2 ,    φ | = 0, φ | = hệ số Dk = y=0 y=b Khi đó: ∞ φ (x, y) = ∑ Ek sinh k =1 kπx kπy sin b b b A kπy − a sin dy kπa b b sinh b   φ + φ4yy = 0; < x < a, < y < b,    4xx φ4 |x=a = 0, Xét toán: φ4 |x=0 = 0,   A  φ4 |y=0 = 0, φ4 |y=b = − x2 đó: ∞ kπx kπy sin φ4 (x, y) = ∑ Fk sinh a a k =1 hệ số Ek = kπx aA x sin dx − kπb a a sinh a Từ φ (x, y) = φ1 (x, y) + φ2 (x, y) + φ3 (x, y) + φ4 (x, y) Từ ta có kết quả: u(x, y) = φ (x, y) − 2x2 hệ số Fk = 2.2 Giải toán biên hình tròn Giải toán biên Dirichlet với phương trình Laplace miền tròn x2 + y2 < R2 x2 + y2 < R2 uxx + uyy = 0, (2.2.18) Với điều kiện biên u|x2 +y2 =R2 = f (x, y) 27 (2.2.19) Để giải toán ta chuyển sang tọa độ cực (x = ρ cos(ϕ ); y = ρ sin(ϕ )) Ta toán miền chữ nhật uρ + 1 uρ + uϕϕ = 0, ρρ ρ < ρ < R; < ϕ < 2π (2.2.20) với điều kiện biên u|ρ = R = g(ϕ ) (2.2.21) g(ϕ ) = f (ρ cos(ϕ ); ρ sin(ϕ )) hàm tuần hoàn với chu kì 2π Tức G(0) = G(2π ) Ta có dạng tách biến u(ρ, ϕ ) = R(ρ )Φ(ϕ ) Từ ta R”Φ + 1 R Φ + Φ” = ρ ρ hay ρ R” + ρR Φ” =− R Φ Dễ thấy vế đẳng thức số Ký hiệu số λ Từ ta nhận Φ” + λ Φ = 0, (2.2.22) ρ R” + ρR − λ R = (2.2.23) Ta tìm ∞ ρk a0 + ∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) u(ρ, ϕ ) = k =1 R với a0 , ak , bk số xác đinh hệ số Fourier sau: a0 = π 2π g(ξ )dξ ; ak = π 28 2π g(ξ ) cos kξ dξ ; bk = π 2π g(ξ ) sin kξ dξ Thay hệ số vào ta được; u(ρ, ϕ ) = 2π 2πR 1ρ dθ g(θ ) + ρ − 2Rρ cos(θ − ϕ ) Thay trở lại biến (x, y) ta nghiệm toán Đối với toán Poisson ta giải cách đặt ẩn phụ để biến toán trở thành toán Laplace giải Ví dụ 2.2.1: Tìm hàm u(x, y) thỏa mãn ∆u = A hình vành khăn R1 < ρ < R2 biết u|ρ =R1 = u1 , u|ρ =R2 = u2 A, u1 , u2 số 1 Ta chuyển ∆u = A sang tọa độ cực: uρρ + uρ + uϕϕ = A ρ ρ Từ ta có toán:  1  uρρ + uρ + uϕϕ = A; R1 < ρ < R2 , < ϕ < 2π,    ρ ρ u|ρ =R1 = u1 ,     u|ρ =R2 = u2 Đặt φ (ρ, ϕ ) = u(ρ, ϕ ) − ρA Khi đó:  1  φ + φ + φ = 0; R1 < ρ < R2 ,    ρρ ρ ρ ρ ϕϕ φ |ρ =R1 = u1 − R1 A = α,     φ |ρ =R2 = u2 − R2 A = β < ϕ < 2π, Từ ta có:  φ (ρϕ ) = R(ρ )Φ(ϕ ) Φ” + λ Φ = 0, Nên ta có ρ R” + ρR − λ R = Giải ta có ∞ φ (ρ, ϕ ) = a0 + ∑ k =1 ρ R1 29 k (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) ∞ a0 + ∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) = α, k =1 Từ áp dụng khai triển chuỗi Fourier ta có Vì φ |ρ =R1 = α nên a0 = 2π < ϕ < 2π 2π αdϕ = α, ak = π bk = π 2π α cos kϕdϕ = 0, 2π α sin kϕdϕ = 0 Từ φ (ρ, ϕ ) = α mà φ |ρ =R2 = u2 − R2 A = β = α nên không tồn hàm thỏa mãn Ví dụ 2.2.2: Tìm nghiệm toán Newmann phương trình ∂u Laplace hình tròn ρ < R, với điều kiện biên sau: |ρ =R = A cos ϕ ∂ρ Từ toán biên miền tròn ta có ∞ u(ρ, ϕ ) = a0 + ρ ∑k R k =1 k (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) ∞ ∂u ρ k−1 = ∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) ∂ ρ k =1 R ∂u Mặt khác |ρ =R = A cos ϕ ∂ρ Từ ∞ Suy ∑ (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) = A cos ϕ k =1 Áp dụng khai triển Fourier ta có: ak = π bk = π 2π A cos ϕ cos kϕdϕ, 2π A cos ϕ sin kϕdϕ 30 Vậy ∞ u(ρ, ϕ ) = a0 + với ak = π 2π ρ ∑ k =1 k R k A cos ϕ cos kϕdϕ, bk = π (ak cos kϕ + bk sin kϕ ) 2π A cos ϕ sin kϕdϕ 2.3 Một số tập vận dụng Bài 1:Tìm hàm u(x) thỏa mãn:   < x < a,  uxx + uyy = 0; < y < b, u|x=0 = u|y=0 = 0,    u|x=1 = x, ux |x=1 = Bài 2: Tìm hàm điều hòa hình vành khăn < ρ < cho u|ρ =1 = f1 (ϕ ), u|ρ =2 = f2 (ϕ ) với f1 (ϕ ) = u1 , f2 (ϕ ) = u2 u1 , u2 số f1 (ϕ ) = + cos2 ϕ, f2 (ϕ ) = sin2 ϕ Bài 3: Tìm nghiệm phương trình Poisson ∆u = −Axy hình tròn đơn vị, u|r=1 = Bài 4: Tìm hàm điều hòa hình tròn đơn vị cho u|r=1 = f (ϕ ), đó: f (ϕ ) = cos2 ϕ f (ϕ ) = cos4 ϕ f (ϕ ) = sin6 ϕ + cos6 ϕ Bài 4: Tìm hàm điều hòa hình tròn bán kính R có tâm góc tọa độ cho ∂u |r=R = A cos 2ϕ ∂r ∂u |r=R = sin3 ϕ ∂r 31 Lời kết luận Trong khóa luận trình bày số vấn đề lý thuyết định tính phương trình Laplace phương trình Poisson sử dụng phương pháp tách để giải toán biên Dirichlet phương trình Laplace phương trình poisson Một số kết chứng minh chi tiết, cụ thể Trong chương nêu lên định nghĩa hàm điều hòa, công thức Green, toán biên bản, tính phụ thuộc liên tục nghiệm, định lý hội tụ hàm điều hòa Chương dùng phương pháp tách biến để giải toán biên hai miền miền chữ nhật miền tròn Mặt khác tìm hiểu phương trình Laplace phương trinh Poisson, phương pháp tách biến ta nhận thấy không mang tính chất toán học mà có ý nghĩa vật lý sâu sắc, thực công cụ phục vụ đắc lực cho việc nghiên cứu vật lý Qua thời gian thực đề tài nghiêm túc khẩn trương, cố gắng tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô bạn đọc ý kiến đóng gióp để khóa luận hoàn thiện Qua xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giảng viên TS Nguyễn Thành Chung giúp đỡ em hoàn thành khóa luận 32 Tài liệu tham khảo [1] Trần Văn Bằng(2016), Bài giảng phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHSP Hà Nội [2] Nguyễn Thừa Hợp(2006), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Mạnh Hùng(2008), Giáo trình Phương trình đạo hàm riêng, NXB ĐHSP Hà Nội [4] Lê Quang Trung(1994), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB ĐHSP Hà Nội [5] Trần Đức Vân(2001), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB ĐHQG Hà Nội 33 ... tìm hiểu phương trình đạo hàm riêng ứng dụng để giải số toán phương trình đạo hàm riêng Chính lựa chọn đề tài "Giới thiệu sơ lược phương trình laplace phương trình poisson" Luận văn trình bày... hàm điều hòa 20 Chương Phương pháp tách biến phương trình Laplace phương trình Poisson 2.1 Giải toán biên hình chữ nhật Bài toán 1: Giải toán biên Dirichlet với phương trình Laplace miền chữ nhật... thức Poisson, phương pháp tách biến để giải toán biên miền hình chữ nhật miền tròn Bố cục luận văn bao gồm chương : • Chương Một số vấn đề lý thuyết định tính phương trình Laplace phương trình Poisson