Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng KĨ NĂNG CƠ BẢN GIẢI ĐỀ THI TỐT NGHIỆP Cấu trúc đề thi mơn TỐN I PHẦN CHUNG DÀNH CHO TẤT Câu IV.a (2 điểm): CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Phương pháp tọa độ không gian: Câu I (3 điểm):  Xác định tọa độ điểm, vectơ  Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số  Mặt cầu  Các toán liên quan đến ứng dụng  Viết phương trình mặt phẳng, đường đạo hàm đồ thị hàm số: chiều thẳng biến thiên hàm số; cực trị; tiếp  Tính góc, tính khoảng cách từ điểm tuyến; tiệm cận (đứng ngang) đồ đến mặt phẳng Vị trí tương đối thị hàm số; tìm đồ thị điểm đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu có tính chất cho trước; tương giao Câu V.a (1 điểm): hai đồ thị (một hai đồ thị đường  Số phức: môđun số phức, phép thẳng); toán số phức; bậc hai số Câu II (3 điểm): thực âm; phương trình bậc hai hệ số thực  Hàm số, phương trình, bất phương có biệt thức Δ âm trình mũ lơgarit  Ứng dụng tích phân: tính diện tích  Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số hình phẳng, thể tích khối trịn xoay  Tìm ngun hàm, tính tích phân Theo chương trình Nâng cao:  Bài tốn tổng hợp Câu IVb(2 điểm) Thêm mục so với Câu III (1 điểm): câu IV.a : tính khoảng cách từ điểm đến Hình học khơng gian (tổng hợp): Diện đường thẳng, mặt phẳng; khoảng cách tích xung quanh hình nón trịn xoay, hai đường thẳng hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối Câu Vb(1 điểm) lăng trụ, khối chóp, khối nón trịn xoay, Thêm mục sau so với câu Va khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu  Phương trình bậc hai với hệ số phức thể tích khối cầu Dạng lượng giác số phức II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) ax + bx + c ( ad ≠ ) Thí sinh chọn hai  Hàm số y = dx + e phần (phần phần 2) số yếu tố liên quan Theo chương trình Chuẩn:  Hệ phương trình mũ logarit Chủ đề : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0), y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0), y = ax + b (ac ≠ 0) cx + d Bước 1: Tập xác định Bước 2: Tính xét dấu y’ ( y’=0 ⇔ x=? ⇒ y=?) Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng Bước 3: giới hạn bên phải, giới hạn bên trái điểm gián đoạn (hàm biến), giới hạn x dần đến +∞, −∞ đồng thời tiệm cận (nếu có) Bước 4: Tóm tắt bước qua bảng biến thiên Kết luận tính tăng giảm cực trị hàm số Bước 5: Tìm giao điểm đồ thị với trục tung, trục hoành (nếu có), tính điểm phụ vẽ đồ thị hàm số Dùng đồ thị để biện luận số nghiệm phương trình  Đưa phương trình dạng f(x) =g(m) (1) (1) phương trình hồnh độ giao điểm (C): y = f(x); (D): y = g(m) phương Ox Số điểm chung (C ) (D) số nghiệm (1) Chú ý : phân chia trường hợp biện luận theo y cực đại , y cực tiểu Biện luận số giao điểm đồ thị với đường thẳng y = mx + n  Lập phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với đường thẳng  Biến đổi dẫn đến phương trình dạng Ax + Bx + C = , (1) Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị với đường thẳng Chú ý :  Khi A có chứa tham số ta phải xét hai trường hợp A = , A ≠ ax + b  Khi gặp đồ thị dạng y = , cần đặt thêm điều kiện cx + d cx + d ≠ CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Cho hàm số y = f(x) có chứa tham số m 1: Định m để hàm số đồng biến   TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax + bx + c Hàm số có cực trị phương trình y’ =  TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax2 + bx + c Hs đồng biến / ¡ ⇔ y’> ∀x∈⇔ có nghiệm phân biệt y’ đổi dấu a > x  ∆ ≤ a ≠ ⇔  2: Định m để hàm số nghịch biến qua hai nghiệm ∆ >  4: Chứng minh với m hàm  TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax2 + bx + c số ln ln có cực trị?  a >  TXĐ: D ;  Ta có: y’ = ax2 + bx + c Hs nghịch b / ¡ ⇔ y’< ∀x∈⇔   ∆ ≤ Xét phương trình y’ = 0,Cm: ∆ =…> 3: Định m để đồ thị hàm số có cực trị? ∀m Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng 5: Định m để hàm số khơng có cực trị? a ≠ Hàm số khơng có cực trị ⇔  ∆ ≤ 6: Định m để hàm số đạt cực đại x0?  f '( x0 ) = Hàm số đạt cực đại x0 ⇔   f ''( x0 ) < 7: Định m để hàm số đạt cực tiểu x0? Hàm số đạt cực tiểu x0 ⇔  f '( x0 ) =   f ''( x0 ) > 8: Định m để hàm số đạt cực trị x0  f '( x0 ) = Hàm số đạt cực trị x0 ⇔   f "( x0 ) ≠ 9: Định m để đồ thị hàm số qua điểm cực trị M(x0; y0)?  f '( x0 ) = Điều kiện đề ⇔   f ( x0 ) = y0 Dạng 10: Cho hàm số y = f(x) (C) M(x0;y0) ∈ (C) Viết PTTT điểm M Ta có: y’ = f’(x) ⇒ hệ số góc k = f’(x0) Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0; y0) d: y – y0 = f’(x0).( x – x0 ) Các dạng thường gặp khác : 1/ Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hịanh độ x0 Ta tìm: y0 = f(x0) ; hệ số góc k = f’(x0) 2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm thỏa mãn phương trình f”(x)= Tính f’(x) ⇒ f”(x) Giải phương trình f”(x) = ⇒ x0 ⇒ y0 f’(x0) Suy PTTT 3/Tiếp tuyến đồ thị qua điểm A(x1,y1) Cho (C): y = f(x) Gọi k hệ số góc tiếp tuyến, A(x1,y1) điểm mà tiếp tuyến qua, phương trình có dạng (d): y = k(x − x1) + y1 (d) tiếp xúc (C) ⇔ hệ tiếp xúc : f(x) = k(x - x1 ) + y1 (1) , có nghiệm  (2) f '(x) = k 11: Cho (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến (d) (C) a/ song song với đường thẳng y = ax + b b/ vuông góc với đường thẳng y = ax + b Lưu ý: (d) // (d’): y = k1x + d ⇔ k = k1  (d) ⊥ (d'): y = k1x + d ⇔ k k1= −1 a/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) // đường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc a Ta có: f’(x) = a (Nghiệm phương trình hồnh độ tiếp điểm) Tính y0 tương ứng với x0 tìm Suy (d): y – y0 = a ( x – x0 ) b/ Tính: y’ = f’(x) Vì tiếp tuyến (d) ⊥ đường thẳng y = ax + b nên (d) có hệ số góc − a Ta có: f’(x) = − (Nghiệm phương a trình hồnh độ tiếp điểm) Tính y0 tương ứng với x0 tìm Suy (d): y – y = − ( x – x0 ) a Chú ý: + Đường phân giác góc phần tư thứ y = x; góc phần tư thứ hai y =−x 12: Tìm GTLN, GTNN hàm số y = f(x) [a;b]  f(x) hàm số xác định nên liên tục / [a;b]  Tìm điểm x1,x2, , xn thuộc [a; b] đạo hàm khơng có đạo hàm Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng Tính f(x1), f(x2), , f(xn), f(a )và f(b)  x = X + x0 Công thức đổi trục:  max y = M; y = m Từ suy ra: [ a;b] [ a;b]  y = Y + y0 Phương pháp chung ta thường lập Thế vào y = f(x) ta Y = f(X) BBT Chứng minh hàm số Y = f(X) hàm số 13: Cho họ đường cong y = f(m,x) với m lẻ Suy I(x0;y0) tâm đối xứng (C) tham số.Tìm điểm cố định mà họ đường cong qua với giá trị 15: Cho (C): y = f(x) CMR đường thẳng m x = x0 trục đối xứng (C) (dồn m, rút m, khử m) Đổi trục phép tịnh tiến uur Ta có: y = f(m,x) OI = ( x0 ;0 ) Am + B = 0, ∀m(1) Am2 + Bm + C = 0, ∀m (2) Công thức đổi trục  x = X + x0 Đồ thị hàm số (1) luôn qua điểm y = Y M(x;y) (1) (2) ∀m ⇔ Thế vào y = f(x) ta Y = f(X) (x;y) nghiệm hệ phương trình: C minh hàm số Y = f(X) hàm số chẵn Suy đường thẳng x = x0 trục đối A = A =  xứng (C) (a)(đối với (1)) Hoặc  B = (b)  B = 16: Sự tiếp xúc hai đường cong  C =  (C ): y = f(x) (C ): y = g(x) (2) Giải (a) (b) để tìm x ⇒ y tương ứng Từ kết luận điểm cố định cần tìm 14: Cho (C): y = f(x) CMR điểm I(x0;y0) tâm đối xứng (C) Tịnh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục uur OXY theo vectơ OI = ( x0 ; y0 ) (C1) (C2) tiếp xúc với  f ( x) = g ( x ) hệ phương trình  có  f '( x) = g '( x) nghiệm nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong BÀI Bài 1: Tìm cực trị hàm số sau: a y = sin2 x − cos x , x ∈ [0;π] TẬP d y = x2 − 2|x| + (CT (±1;1) ,CĐ(0;2) Bài 2:Tìm số a,b,c cho hàm số f(x) = x3 + ax2 + bx +c  5π  ; ÷) đạt cực tiểu điểm (ĐS: CĐ   4 x = 1; f (1) = −3 đồ thị hàm số b y = 2sinx + cos2x, x ∈ [0;π] cắt trục tung điểm có tung π   π 3 độ ĐS CT  ;1÷ ,CĐ  ; ÷ ,CĐ (ĐS : a=3;b=−9;c=2 ) 2   2 Bài Tìm m:y=x3−3mx2+  5π  (m2−1)x+2  ; 2÷   a.Đạt cực đại điểm x = c y = x − x (ĐS : CĐ(2;2)) (m=11) Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng b.Đạt cực tiểu x =1 (m = − b f(x)= cos2x + 4sin x 7)  π x − 2x + m 0;  ( Bài CMR: y =   x + 2x + π M = f( ) = 2; m = (0) = ) ln có hai cực trị với m x2 − x + m Bài 6.Tìm m để y = có c f(x) = x2 ln(1−2 x) đoạn x +1 [−2;0] hai giá trị cực trị dấu.( 1 M = f(−2) = − ln5; m = (− ) = − ln2 ) −2 < m < d.f(x) = sin3x − cos2x + sinx + Bài 4.Tìm GTLN GTNN hàm số e f(x) = cos3x − 6cos2x + 9cosx a.f(x) = x + 3x − 9x + +5 [−4;4] 23 ; e M = 9;m = (M = f(4) = 77 ; m = f(1) = − 4) d M = 5,m = 27 b f(x) = x + 5x −4 đoạn −11 [−3; 1] (M = f(1) = ;m = f(−3) Bài 6.Trong tam giác vuông = − 46 c.f(x) = x − 8x + mà cạnh huyền có độ dài 16 [−1; 3] 10 Hăy xác định tam giác có (M = f(3) =25 ; m = f(2) = 0) diện tích lớn x (∆vng cân có cạnh góc d f (x ) = / (−2; 4] x +2 vuông= ) M = f (4) = Bài Viết phương trình tiếp e tuyến với đồ thị hàm số : 1/ y = x3 − 3x2 + / (1 ;+∞) (m = f(x)=x+2 + a.Tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ x −2 (đáp số : y = −3x + ) 5) f f (x ) = x − x *b.Tiếp tuyến qua điểm A(0;1) (M = f ( )= ;m = f ( − )=− ) (y = −3x + ; y=1 Bài Tìm GTLN GTNN y = − x +1 ) 4 a f(x)=2sin x − sin x 0; π  2x + 2/ y = x +1 π 3π ;m=f(0)=f(π) M=f( )=f( )= a.Tiếp tuyến ⊥ đthẳng y = −4x + 4 3 =0 11 (ĐS y = − x + 4 y =− x+ ) 4 2 2 Tài liệu luyện thi Tốn 12 Hồng GV: *b.Tiếp tuyến qua điểm A(−1;3) 11 (đáp số : y = − x + ) 4 3/ y = x4 − 4x2 + a.Tại điểm A(0;2) (đáp số : y=2 ) b.Tiếp tuyến qua A(0;2) 4x − 4/ y = biết tiếp tuyến hợp x −1 với trục hồnh góc 450 (đáp số : y = −x + ; y = −x + ) Bài 8.Tìm m để đ thẳng y = −6x − tiếp xúc với (Cm) : y = x4 −(3m + 5)x2 + (m + 1)2 điểm có hồnh độ −1 (đáp số: m= − 2) Hồ Văn Bài 9.Tìm m để tiếp tuyến với đường cong : (3m + 1)x + m − m2 y = x +m giao điểm đường cong với trục hoành cho tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 10 ( đáp số : m = −1; m = − ) Bài 10 Tìm m để đường cong 2x + mx + m cắt trục ( Cm ) : y = x +1 hoành hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến hai điểm với ( C m ) vng góc với ( m = ± 17 ) Khảo sát hàm số c.Tìm m để hàm số đạt C Đ x Bài Cho y = − x3 + 3x (C ) = −2 d Tìm m để (C m ) tiếp xúc a Khảo sát hàm số b Viết pttt với (C ) biết tiếp với trục Ox tuyến song song với đường ĐS b m > 3; c m = 0; d m = thẳng y = − 9x c Biện luận theo m số nghiệm Bài 3.Cho y = x3 − 6x2 + 9x − phương trình: (C ) a Khảo sát hàm số x − 12x − 4m = Tính diện tích hình d Đường thẳng d qua gốc toạ b độ có hệ số góc k Tìm k để d phẳng giới hạn bởi (C ) đường thẳng y =3 cắt (C ) điểm phân biệt e.Tính diện tích hình phẳng giới c.Từ đồ thị (C ) suy đồ thị (C’) hàm số : y = |x3| − 6x2 + 9| hạn bởi (C ) trục Ox ĐS b y = −9x ±32; d k < 3; e x| − 27 S=10 b S= ; c (C’) đối xứng (C) Bài 2.Cho y = x + 3x + mx + m−2 qua Oy a Khảo sát hàm số Bài 4.Cho y = 2x2 − x4 (C ) m=3 a Khảo sát hàm số b Tìm m để hàm số ln b Viết pttt với đồ thị (C ) đồng biến tập xác định biết tiếp tuyến qua gốc toạ độ Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng c.Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x − 2x + m − = c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C ),trục Ox đường thẳng x = d.Tìm điểm M đồ thị 30 (C ) cách hai trục toạ độ ĐS b y = ; y = ± x 25 ĐS: b y = − x − 1; y = − x − ; Bài 5.Cho y = (m + 1)x4 − 4mx2 c S = − ln3 ; d +2  ± 13 ± 13  a Khảo sát hàm số M ; ÷  2 ÷ m=1 (C)   b Tính diện tích hình phẳng (m + 1)x + m + giới hạn bởi (C ) đường thẳng Bài 8.Cho y = mx + y =2 (C m ) c Biện luận theo m số cực trị hàm số a.Tìm m để (C m ) qua điểm d Tìm m để đồ thị (C m ) cắt trục Ox điểm phân biệt (b M (0; 2) b Khảo sát biến thiên vẽ 32 ;d.m>1) S= đồ thị (C ) hàm số với m vừa 15 Bài Cho y = x − 2(m+1)x + tìm c.Tìm điểm M đồ thị (C ) 2m+1 có toạ độ số nguyên a Khảo sát hàm số d.Tìm m để hàm số đồng biến m=0 (C) b Tính diện tích hình phẳng tập xác định a.m=2; b.(1;2)và giới hạn bởi (C ) trục Ox (−3;1);d−2 ∀ x ∈ )  Tính đơn điệu: * a > đồng biến  * < a < nghịch biến  II KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ LÔGARÍT Định nghĩa: Với < a ≠ N > có loga N = M ⇔ aM = N  a −n = Điều kiện có nghĩa: loga N có nghĩa 0 < a ≠  N > Các tính chất : loga = ;  loga a = ;  logaaM = M;  a loga N = N ;  loga  loga(N1.N2)= loga|N1| + loga|N2| N1 = loga N1 − loga N2 N2  logaNα = α; Đặc biệt : logaN2 = 2.loga|N| Công thức đổi số : loga N  logaN = logab.logbN ⇔logb N =  loga b =  logb a loga b loga N k Hàm số logarít: Dạng y = logax (0 < a ≠ 1)  Tập xác định : D = +;  Tập giá trị: T =   Tính đơn điệu: * a > đồng biến + * < a < nghịch biến + Phương trình mu- lơgarít : logak N = Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng Dạng ax = b ( < a ≠ )  b ≤ : pt vô nghiệm  b > : ax = b ⇔ x = loga b Bất phương trình mu- lơgarít Dạng ax > b ( < a ≠ ) b≤0 : Bpt có tập nghiệm R b>0:ax > b ⇔ x > loga b a>1 ax > b ⇔ x < loga b 0< a  logax = b ⇔ x = ab : Dạng loga x > b ( < a ≠ ) Điều kiện : x > logax > b ⇔ x > ab a >1 logax > b ⇔ x < ab < a< A PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng Đưa về số 1) 2x + 3x − = ⇔2x + 3x − = 2−2 x = ⇔ x2 + 3x − = −2 ⇔   x = −3 ( ) ⇔ 6561 3x − 972.3x + 27 = (*) Đặt t = 3x > 0; Phương trình (*) ⇔ 6561t − 972t + 27 = ⇔  x − 3x +1 t = ⇔ 3x = 3−2 ⇔ x = −2   1 2)  ÷ = ⇔3− ( x −3x +1) = 31 ⇔ ⇔   3 t = ⇔ 3x = 3−3 ⇔ x = −3  27 x = −(x − 3x + 1) = ⇔ ⇔  x 2) 25 − 2.5x − 15 = x = ⇔ (5x)2 − 2.5x − 15 = (*) 3) 2x +1 + 2x − = 36 ⇔ Đặt t = 5x > 0;Phương trình (*) x t = 2.2x + = 36 ⇔ t − 2t − 15 = ⇔  t = −3 (loai) ⇔ 9.2x = 36.4 ⇔ 2x = 24 ⇔ x = x Với t = ⇔ = ⇔ x = x x+2 2−x x 2x −1 x 3) − = 24⇔ 4) = 50 ⇔ = 50 x 9.3 − x = 24 ⇔ 20x = 100 ⇔ x = log20100 BT: a) 2x − = b) x − 6x − ( ) 2 2x − = 9x + 3x −5 = 16 c) ⇔ 3x − 24.3x − = (*) d) 2x − x + = 41− 3x Đặt t = 3x > Pt (*) x +17 x +5 t = e) 32x − = 128 x − ⇔ 9t2 − 24t − = ⇔  t = − ( loai) g) 2x + 2x −1 + 2x – = 3x – 3x – +  3x − g) (1,25)1 – x = x Với t = ⇔ = ⇔ x = 1; (0,64)2(1+ x ) BT: a) 22x + + 22x + = 12 Dạng đặt ẩn phụ b) 92x +4 − 4.32x + + 27 = 1) 32x + − 4.3x +5 + 27 = ⇔ c) 52x + – 110.5x + – 75 = 38.32x − 4.35.3x + 27 = 10 Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng e) x − 53− = 20 x x −1 e) 5x x = 500 x x f) 52x + 1− 7x + = 52x + 7x f) − 15 + + 15 = Dạng sử dụng tính đơn x x điệu g) + + − = 10 a) 3x + x = 5x b) 3x – 12x x =4 h) 32x+1 − 9.3x + = x/2 x x 1− x i) + 2.7 − = (TN – 2007) c) + = Dạng Giải bất phương j) 22x + − 9.2x + = trình: Dạng Logarit hóạ a) 49 x − 6.7 x − < a) 2x − = b) 3x + = 5x – x −1 x b) x +1 ≤ 0,25.32 x +1 ( ) ( ( ) ( c) 3x – = 5x 2x − = 5x 2 − 7x +12 ) ) d) c) 32 x +2 − 4.3 x +2 + 27 > d) ( 2,5) x − 2.(0,4) x + 1,6 < − 5x + B PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT Dạng Đưa về số Bài tập a) log4(x + 2) – log4(x −2) = log46 b) lg(x + 1) – lg( – x) = lg(2x + 3) c) log4x + log2x + 2log16x = d) log4(x +3) – log4(x2 – 1) = e) log3x = log9(4x + 5) + ½ f) log4x.log3x = log2x + log3x – g) log2(9x – 2+7) – = log2( 3x – + 1) h)log3(x + 2) + log3(x − 2) = log35 Dạng đặt ẩn phụ a) + =1 b) logx2 + log2x = 5/2 − ln x + ln x c) logx + 17 + log9x7 = d) log2x + 10log2 x + = e) log1/3x + 5/2 = logx3 2log2x g) log x + 3log x + log1 x = f) 3logx16 – log16x = h) lgx 16 + lo g2x 64 = Dạng mũ hóa a) – x + 3log52 = log5(3x – 52 − x) b) log3(3x – 8) = – x Bất phương trình logarit a) log4(x + 7) > log4(1 – x) b) log2( x + 5) ≤ log2(3 – 2x) – c) log2( x2 – 4x – 5) < d) log1/2(log3x) ≥ 11 Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng e) 2log8( x− 2) – log8( x− 3) > log1 f) log2x(x2 −5x + 6) < g) 3x − >1 x +2 Bảng đạo hàm: (e x ) ' = e x (eu ) ' = u '.eu (a x ) ' = a x lna (au ) ' = u '.au lna x (loga x ) ' = x a lna (x α ) ' = α x α −1 (α ≠ 0, x > 0) u' u u' (loga u ) ' = u lna (ln x ) ' = (n x ) ' = (ln u ) ' = (u α ) ' = α u α −1 u ' n (n u ) ' = n −1 u' n u n −1 Chứng minh hàm số sau thỏa mãn hệ thức tương ứng đã cho 1) y = esinx CMR: y’cosx – ysinx – y’’ = 2) y = ln(cosx) CMR: y’tanx – y’’ – = x 3) y = ln(sinx) CMR: y’ + y’’sinx + tan =0 y = ex cosx CMR: 2y’ − 2y − y’’ = y = ln2x CMR: x2y’’ + xy’ = n x n Chủ đề NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN I NGUYÊN HÀM A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa: Hàm số f xác định K Hàm số F gọi f K F '(x ) = f (x ), ∀x ∈ K Chú ý ∫ f (x )dx = F (x ) + C : Họ tất nguyên hàm f K Nguyên hàm số hàm số thường gặp: 1) ∫ 0dx = C ; ∫ dx = x + C x α +1 + C (α ≠ −1) α +1 4) Với k số khác cos kx a ∫ sinkxdx = − +C ; k 2) ∫ x α dx = 3) ∫ b 12 dx = ln x + C (x ≠ 0) x ∫ cos kxdx = sin kx +C ; k Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng c kx ∫ e dx = ∫ cos e kx +C ; k d ax + C (0 < a ≠ 1) ; lna ∫ sin dx = − cot x + C x x Các phương pháp tính nguyên hàm  Phương pháp đổi biến ∫ f u (x ) u '(x )dx = F u (x ) + C a dx = tan x + C ; x ∫ a dx =  Phương pháp từng phần: b ∫ udv = u v − ∫vdu Dạng 1: Tìm nguyên hàm định nghĩa tính chất Phương pháp giải: Thường đưa nguyên hàm đă cho nguyên hàm tổng hiệu sau vận dụng bảng nguyên hàm thường dùng ⇒ kết Ví dụ: Tìm ngun hàm hàm số sau: a) f(x) = x3 – 3x + b) f(x) = x + 3x c) f(x) = (5x + 3)5 d) f(x) = sin4x cosx x Giải 1 x4 a/ ∫ f ( x)dx = ∫ (x - 3x + )dx = ∫ x dx − 3∫ xdx + ∫ dx = − x + ln x + c x x 2x 3x b/ ∫ f ( x)dx = ∫ (2 x + 3x ) dx = ∫ x dx + ∫ 3x dx = + +c ln ln d (5 x + 3) (5 x + 3) c/ ∫ f ( x)dx = ∫ (5x+ 3)5 dx = ∫ (5x+ 3)5 = +c 30 sin x d/ ∫ f ( x)dx = ∫ sin x cosxdx = ∫ sin x d (sin x) = +c Dạng 2: Tìm nguyên hàm hàm số thoả điều kiện cho trước B1: Tìm họ nguyên hàm hàm số đă cho B2: Thay điều kiện đă cho vào họ nguyên hàm tìm C thay vào họ nguyên hàm ⇒ ngun hàm cần tìm π Ví dụ: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x)=1+ sin3x biết F( )= π π π π Ta có F(x)= x – cos3x+C Do F( ) = ⇔ − cos + C = ⇔ C = − 6 π Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x – cos3x − Tự luyện Tìm nguyên hàm f(x) a) f(x) = (2x −1)2 biết F(0)=3 b) f(x) = 2sinx +.x biết F(π) = 13 Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng c) f(x) = sin2x.cosx, biết F( π − )= d) f(x) = e1−2x , biết F( )=0 e) f(x) = x + 3x + 3x − , biết F( 1) = x + 2x + CMR F ( x ) = 1 x + sin2x nguyên hàm f(x) = cos2x Tính đạo hàm F(x) Từ suy nguyên hàm f(x) (a số) 1 x a) F(x) = ln ; f(x)= b) F(x) = , 2 x + x +a x −4 x2 +1 f (x ) = x2 +1 ( ) II TÍCH PHÂN b ∫ f (x )dx = [ F (x )] 1.Định nghĩa b a = F (b ) − F (a) a Tính chất Với f(x), g(x) liên tục khoảng K a, b, c ∈ K Khi ta có: ∫ 1) a a ∫ 3) b a 2) ∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx = ∫ f (x )dx ; 4) ∫ f (x )dx = 0; c c b a a b b a f (x )dx = − ∫ b a f (x )dx ; b k f (x )dx = k ∫ f (x )dx ; a k∈  b b a a 5) ∫ [f (x ) ± g (x )]dx = ∫ f (x )dx ±  Tính ∫ x b a x + 1dx ∫ (e ∫ ∫( g (x )dx ; x − 1)(x + x + 1)dx + x )dx ∫ ∫ dx x+2+ x −2 π ∫ (2sin x + 3cosx + x )dx π x − 6x + 9dx  Đổi biến số : ý dạng đổi biến số thường gặp : 14 Tài liệu luyện thi Toán 12 Hồ Văn GV: Hoàng Loại 1: ∫ f (x b u (b ) a u (a ) ∫ f u (x ) u '(x )dx = ∫ f (u )du ; (nhớ đổi cận) n +1 ).x ndx (đặt t = x n +1 ), logarit ) ∫ f (cos x ).sin xdx (đặt t = cos x ), ∫ f (tan x ) cos ), x 01 2 ∫ x x + 1dx (t= x +1) ∫ ∫ 11 ∫ π ∫ tan x + e ∫ 1− x dx (t = − x ) sin x cos x + 4sin x e x + 1dx (t = e x + 1) ln e sin(ln x) ∫1 x dx (t = lnx) 15 ∫ −a a − x 2dx ; ∫x e ln x +1 ∫1 x dx (t = 2lnx + e x3 + dx 18 dx a ∫x a2 − x dx a − x 2dx  π π Đặt x=asint, t∈  − ;  ⇒dx=  2 acostdt ∫ + 3ln x ln x dx (t = + 3ln x ) 17 x Loại 2: Dạng 1: ∫ 12 e dx (t=tanx+2) 14 cos x 1) 16 ∫ ∫x ln ex dx (t = ex − 1) 11 ∫ x e −1 π (đặt e + ln x ( t = + 3sin x ) cos x + 3sin xdx ∫ x dx (t=lnx) e + 3ln x +13ln x dx (t = + 3ln x ) ∫ ln xdx (t = + 3ln x ) x x 12 x x +1 dx dx (t = 3 x + 1) (t = x + 1) 10 ∫ 5x + 3x + e0 13 ∫ f (ln x ) x dx ∫ x x + 3dx (t = x + 3) (đặt t = sin x 2010 ∫1x(1 − x) dx (t = 1−x) ∫ f (sin x ) cos xdx dx (đặt t = tan x ), t = ln x )… π0 (Đặt t = mẫu, mũ, căn, (hoặc x = acost, t∈[0 ;π]), đổi cận thay vào tích phân ban đầu Dạng 2: a ∫−a x + a dx ; 15 ∫ a + x 2dx Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng  π π Đặt x = a.tant, t ∈  − ; ÷  2 ⇒ dx = a(1+ tan2t ).dt, đổi cận thay vào tích phân ban đầu ∫ 1/ a) ∫ 1− x2 −1 −2 1 − x 2dx ; b) ∫ dx ; c) ∫ x − x 2dx ; d) −1 2x − x 2dx dx ; −2 x + nghiệm) 2/a) ∫ 1 dx (mẫu bậc vô −1 x ± x + b) ∫ + x 2dx ; c) ∫ −1 b b a a  Tích phân từng phần: ∫ udv = [uv ]ba − ∫vdu Các dạng hàm số dấu tích phân thường dùng tích phân từng phần:  P(x).sin ax  P(x).cos ax  P(x).Lnx  P(x).eax  eax.sin bx  eax.Cosbx π π e x cos xdx ∫ (x − 1) cos xdx ∫ 0 e ∫ (2 − x ) sin3xdx ∫ (1 − x ).ln x dx π 1 ∫ 4x ln x dx ∫ x ln(3 + x ).dx  Tích phân hàm hữu tỉ: 2x − dx ; x − 3x + dx ; 4+ x ∫ ∫ x dx ; 1+ x ∫  Tích phân hàm lượng giác: π ∫ sin 2 dx x (1 + x ) ∫ x cos4 xdx π ∫ sin π 2 π π π dx ;4 dx ;5 ∫ sin7x sin2xdx ;6 ∫ π − − cos x + sin x x cos3 xdx ∫ ∫ cos x (sin x + cos4 x )dx III ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN  Bài tốn diện tích hình phẳng: 16 Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng 1) Dạng 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục hai hàm số (C): f1(x), (C’): f2(x), x = a, x b [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn S = = b là: đồ thị (C): y = f(x), t Ox hai ∫a f1 ( x) − f ( x) dx đường thẳng x = a x = b là:  Bài tốn tính thể tích khối trịn b S = ∫ f ( x) dx xoay: a Thể tích khối trịn xoay cho hình 2) Dạng 2: Cho hai hàm số y = f1(x) phẳng giới hạn đường y = f(x), y = f2(x) liên tục [a; b] Khi diện trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b tích hình phẳng giới hạn đồ thị quay xung quanh trục Ox là: b V = π ∫ f ( x)dx a Chủ đề SỐ PHỨC Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) ĐS : b) (1 + i)2 – (1 – i)2 ĐS: c) (2 + i)3 – (3 – i)3 ĐS: −16 37 3−i 2−i 3−3 d) ĐS : − 1+ i i 2 −1− Bài 2: Cho số phức z = x + yi Tìm phần thực phần ảo số phức : a) z2 – 2z + 4i ĐS: x2 – y2 – 2x 2(xy – y + 2) −2xy y − x 2−1 z +i b) ĐS: 2 x + (y + 1) x + (y + 1)2 iz − Bài 3: Giải phương trình sau (ẩn z): 2+ i −1 + 3i a) z= b) [(2 − i )z + + i ](iz + ) = 1− i 2+ i 2i c) z + 2z = − 4i ; ĐS: a) d) z + z = ; e) z + z =0 22 + i ; b) ĐS: −1 + i ; ; c) + 4i; d) 0; I; −1; e) bi (b∈ 25 25 ) Bài 4: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: ĐS: x = 1/2 x = −7/2 17 a) z + z + = Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng 1± b) z − z + − i = ĐS: y = ; c) 2|z – i| = z − z + 2i ĐS: y = x2 4 z +i  Bài 5: Tìm số phức z thỏa mãn :  ĐS: 0, , ÷ =1 z −i  −1 Bài 6: Phân tích thứa số : a) a2 + b) 2a2 + c) 4a4 + 9b ĐS: a) (a – i)(a + i); b) (a − i 3)(a + i 3) ;c) (2a – 3bi)(2a + 3bi) Bài 7: Thực phép tính : 1+ i − i a) ĐS: b) ĐS: i 5 + 2i 1− i m a+i a c) ĐS: −i m d) ĐS: i m a −i a a −1 a + i a +1 a +1 3+ i (1 + 2i )2 − (1 − i )2 21 + i e) ĐS: + i f) ĐS: (1 − 2i )(1 + i ) (3 + 2i )2 − (2 + i )2 5 34 17 Bài 8*: Tìm bậc hai số phức sau : a) −1 + 3.i ĐS: ±( + 2.i ) b) + 5.i ĐS: ±(3 + 5.i ) c) −1 − 6.i ĐS: ±( − 3.i ) d) −5 + 12.i ĐS: ± (2 + 3i) Bài 9: Giải phương trình sau C a) x − 3.x + = ĐS: ± i b) 2.x − 3.x + = ĐS: 2 (1 ± i ) c*) x2 – (3 – i)x + – 3i = ĐS: + i ; – 2i Bài 10: Giải hệ phương trình : z1 + z2 = + i z1.z2 = −5 − 5.i a)  b)  2 z1 + z = − 2i z1 + z2 = −5 + 2.i ĐS:a) (3 – i; + 2.i) (1 + 2.i; – i) ĐS:b) (2 – i; −1 – 3.i), (−1 – 3i; – i), (−2 + i; + 3i), (1 + 3i; −2 + i) 18 Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng Bài 11: Tìm acgumen số phức sau: 2π 3π a) −2 + 3.i ĐS: b) – 4i ĐS: c) − 3.i ĐS: π π π π π π − d) cos − i sin ĐS − e) − sin − i cos ĐS 8 4 5π π − f) (1 − i 3)(1 + i ) ĐS − 12 Bài 12: Thực phép tính : 3 a) 3(cos20o + isin20o)(cos25o + isin25o) ĐS: + i 2 π π π π 5π 5π b) (cos + i sin ).3(cos + i sin ) ĐS: 15(cos + i sin ) 6 4 12 12 2(cos 450 + i sin450 ) + i 3(cos15 + i sin15 ) Bài 13: Viết dạng lượng giác số phức sau: a) − i b) + I c) (1 − i 3)(1 + i ) c) ĐS: d) 1− i 1+ i + 2i  −π   −π  ĐS: a) 2[cos  ÷ + i sin  ÷ ]     π π c) 2[cos(− ) + i sin(− )] 12 12 π π e) 4(cos + i sin ) 3 e) 2.i ( − i ) g) z = sinφ + i cos φ f) π π   cos + i sin ÷ 4  7π 7π d) 2[cos(− ) + i sin(− )] 12 12 π  π  f) cos  − φ ÷ + i sin  − φ ÷ 2     b) Bài 14: Tính : a) (cos12o + isin12o)5 ĐS: +i 2 a) [ 2(cos300 + i sin300 )]7 ĐS: −4 − i b) ( − i )6 c) (1 + i)16 ĐS: −2 ĐS: Chủ đề − Hình học khơng gian Câu III (1 điểm): Hình học khơng gian (tởng hợp) Diện tích xung quanh hình nón trịn xoay, hình trụ trịn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón 19 Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng trịn xoay, khối trụ tròn xoay; diện tích mặt cầu thể tích khối cầu V = Bh Lăng trụ: V =Bh 1 Khối nón: V = Bh= π r 2h 3 S xq = π rl Khối chóp: Khối trụ: V = Bh = π r 2h S xq =2π rl Khối cầu: V = πr , S = 4π r Bài 1(2008 - lần 1): Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh SA vng góc với BC b) Tính thể tích khối chóp S.ABI theo a Bài 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC Tính thể tích khối chóp, biết: a) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên 3cm b) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên hợp với đáy góc 60 c) Cạnh đáy 2cm, mặt bên hợp với đáy góc 60 Bài 3:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Tính thể tích khối chóp, biết: a) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên 2cm b) Cạnh đáy 2cm, cạnh bên hợp với đáy góc 60 c) Cạnh đáy 2cm, mặt bên hợp với đáy góc 60 Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài 5: Tính thể tích khối chóp tứ giác S.ABCD biết SA = BC = a Bài 6: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Bài (2006): Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SB a a) Tính thể tích khối chóp S ABCD b) Cmr trung điểm cạnh bên SC tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bài (2007- lần 1): Hình chóp tam giác S ABC có đáy ∆ ABC vng đỉnh B, SA vng góc với đáy Biết SA = AB = BC = a Tính thể tích S ABC 20 Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồng Hồ Văn Bài (2007-lần 2): Hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy SA = AC Tính thể tích S ABCD Bài 10 (2008 - lần 2): Hình chóp S.ABC, ∆ABC vng đỉnh B, SA ⊥ (ABC) Biết AB = a; BC = a SA = 3a Gọi I trung điểm cạnh SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a b) Tính độ dài đoạn thẳng BI theo a Bài 11 (2009): Cho hình chóp S ABC có mặt bên SBC tam · giác cạnh a, SA vng góc với đáy Biết BAC =1200, tính thể tích khối chóp S ABC theo a Bài 12: Cho hình chóp S.ABC Đáy ABC tam giác vng cân A, cạnh huyền a , SA vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp, biết: a) SB hợp với đáy góc 300 b) (SBC) hợp với đáy góc 450 Bài 13 Hình chóp S.ABCD; ABCD hình vng cạnh a, SA ⊥ (ABCD) Tính thể tích khối chóp, biết: a) SC hợp với đáy góc 45 b) (SBC) hợp với đáy góc 300 Bài 14 Hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng cạnh a SA ⊥ (ABCD), SA = 2a a) Chứng minh BD ⊥ SC b) Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a Bài 15 : Cho hình lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ∆ABC vng cân A có AB = a, cạnh bên lăng trụ a Tính thể tích khối lăng Bài tập 16: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D có cạnh a a) Tính thể tích khối lập phương theo a b) Tính thể tích khối chóp A A’B’C’D theo a Bài 17 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C có cạnh bên cạnh đáy a a) Tính thể tích khối lăng trụ b) Tính thể tích khối chóp A' ABC theo a Bài 18 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AB // · CD), AB = a, DC = 2a, ADC = 600, (SAD) ⊥ đáy, SA=SD= AD Tính thể tích khối chóp Bài 19 Tứ diện ABCD, ∆DBC cân D, ∆ABC vuông cân, cạnh huyền BC = 2a (DBC) ⊥ (ABC), DA hợp với đáy góc 450 Tính thể tích tứ diện ABCD theo a Bài 20 Hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng cạnh a, (SAB) (SAD) vng góc với đáy, SB hợp với đáy góc 60 Tính thể tích S.ABCD theo a 21 Tài liệu luyện thi Tốn 12 GV: Hồ Văn Hồng Bài 21 Hình chóp S.ABCD, ABCD hình thoi tâm O, AC = 2a, BD = 2b Hai mặt chéo (SAC) (SBD) vng góc với mặt đáy Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy góc 45 Tính theo a, b thể tích khối chóp S ABCD Bài 22 Tứ diện SABC có ba cạnh SA, SB, SC đơi vng góc có độ dài a, b, c Tính thể tích khối tứ diện S ABC theo a, b, c Bài 23 Tính thể tích khối chóp S.ABC cho biết AB=BC=CA= ; góc cạnh SA,SB,SC với mặt phẳng (ABC) 600 Bài 24 Cho hình chóp S ABCD, đáy hình chữ nhật có AB = 3a; AD = 4a Các cạnh bên hợp với mặt đáy góc α Tính thể tích khối chóp theo a α Bài 25 Cho tứ diện SABC có ba cạnh SA,SB,SC vng góc với từng đơi với SA = 1cm, SB = SC = 2cm Xác định tâm tính bán kính mặt cấu ngoại tiếp tứ diện , tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Bài 26 Cho hình vng ABCD cạnh 2a Gọi M,N trung điểm AB CD Khi quay hình vng ABCD xung quanh trục MN ta hình trụ tròn xoay Tính thể tích khối trụ tròn xoay giới hạn bởi hình trụ nói Bài 27 Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=20,bán kính đáy r=25 aTính diện tích xung quanh hình nón khối nón Bài 28 Hình lăng trụ ∆đều ABC.A’B’C’ có tất cà cạnh a Tính thể tích hình lăng trụ diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Chủ đề Phương pháp tọa độ không gian Câu IV.a (2 điểm): − Xác định tọa độ điểm, vectơ − Mặt cầu − Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng − Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng, mặt phẳng mặt cầu Cho A(1;0;0), B(0;2;0), a.Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc C(0;0;4) (P) a Viết phương trình mp(α) qua b Viết pt đ thẳng qua điểm A, điểm A, B, C Chứng tỏ OABC vng góc cắt đ thẳng (d) 3.Cho hình hộp chữ nhật tứ diện b Viết phương trình mặt cầu (S) ABCD.A’B’C’D’ A(0,0,0), B(1;0;0), D(0;2;0), A’(0;0;3) ngoại tiếp tứ diện OABC Cho A(2;0;1), (P): 2x − y + z a Tìm tọa độ đỉnh còn lại +1=0 (d): x = 1+ t ; y = 2t; z hình hộp Tính thể tích hình hộp = 2+ t 22 Tài liệu luyện thi Tốn 12 Hồng GV: b Chứng tỏ AC’ qua trọng tâm tam giác A’BD B’CD’ c Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc D lên đoạn A’C Trong kg Oxyz cho điểm A(3;4;2), đường thẳng (d): x y z −1 = = mặt phẳng (P): 4x + 2y + z − = a.Lập pt mặt cầu tâm A tiếp xúc (P) b Lập pt đthẳng d’ qua A, ⊥d //(P) Cho A(1; 0;−2), B(−1;−1 ;3) mặt phẳng (P): 2x – y +2z + 1=0 a Viết phương trình mặt phẳng ( Q) qua hai điểm A,B vng góc với (P) b.Viết pt mặt cầu tâm A tiếp xúc(P) Cho (S):x2+y2+z2–2x+2y+4z– 3=  x + 2y − = Và hai đthẳng (∆1):   x − 2z = , x −1 y z (∆2): = = −1 −1 a CMR (∆1) (∆2) chéo b Viết phương trình tiếp diện mặt cầu (S), biết tiếp diện song song với hai đường thẳng (∆1) (∆2) Cho M(1; − 1;1) , hai đường x −1 y z thẳng (∆1 ) : = = , −1 x = − t  (∆ ) : y = + 2t mp (P) : z =  Hồ Văn a Tìm điểm N hình chiếu vng góc điểm M lên đường thẳng (∆2) b Viết pt đường thẳng cắt hai đường thẳng (∆1), (∆2) qua M Cho điểm M (−1; 4; 2) hai mặt phẳng (P1): 2x – y + z − =0 (P2): x + 2y − 2z +2 =0 a CMR (P1) (P2) cắt Viết phương trình giao tuyến ∆ chúng b Tìm điểm H hình chiếu vng góc điểm M giao tuyến ∆ Cho hai đường thẳng (∆) (∆’) có phương trình:  2x + y + = 3x + y − z + = ;    x − y + z − =  2x − y + = a Chứng minh hai đường thẳng cắt tìm tọa độ giao điểm b Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (α) qua (∆) (∆’) c Viết p trình đường thẳng (d) vng góc cắt hai đường (∆) (∆’) y + 2z = 23 ... : a) (cos12o + isin12o)5 ĐS: +i 2 a) [ 2(cos300 + i sin300 )]7 ĐS: −4 − i b) ( − i )6 c) (1 + i)16 ĐS: −2 ĐS: Chủ đề − Hình học khơng gian Câu III (1 điểm): Hình học khơng gian (tởng hợp) Diện... đại x=1 b)Khảo sát hàm số với m = 1(C) c)Biện luận số giao điểm (C) với đường thẳng y = k Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng Chủ đề HÀM SỐ, PHƯƠNG TRÌNH, BPT MŨ , LƠGARIT I KIẾN THỨC... b 12 dx = ln x + C (x ≠ 0) x ∫ cos kxdx = sin kx +C ; k Tài liệu luyện thi Toán 12 GV: Hồ Văn Hoàng c kx ∫ e dx = ∫ cos e kx +C ; k d ax + C (0 < a ≠ 1) ; lna ∫ sin dx = − cot x + C x x Các