Sở giáo dục và đào tạo hảI dơng Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn Toán Năm 2005 2006 1 Phòng giáo dục cẩm giàng trờng t.h.c.s cẩm Định --------------------------- Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn Toán Họ và tên: Nguyễn Thị Thuý đánh giá của nhà trờng (Nhận xét, xếp loại) 2 Số phách Kinh nghiệm một số phơng pháp tìm cực trị Môn Toán đánh giá của phòng giáo dục & đào tạo (Nhận xét, xếp loại) Tên tác giả : Đơn vị : phần I : đặt vấn đề 3 Số phách I. cơ sở lý thuyết. Trong giảng dạy bộ môn toán, việc giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản, biết cách khai thác kiến thức, áp dụng kiến thức giải đợc nhiều loại toán, nhiều dạng bài tập là hết sức quan trọng, bởi đó là một phơng tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy hình thành kĩ năng kĩ xảo trong quá trình giải toán. Môn toán có nhiều dạng bài tập, trong đó dạng toán tìm cực trị (giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) là những bài toán đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, rẻ nhất, đắt nhất, ngắn nhất, dài nhất . Qua những bài toán dẫn dắt học sinh có thói quen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trong cuộc sống thực tế. Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày. Nó giúp học sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất. Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi. Toán cực trị đợc đề cập nhiều trong các loại sách tham khảo, do vậy giáo viên rất khó khăn trong việc su tầm và tuyển chọn, và một vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để học sinh nắm đ ợc phơng pháp, t duy suy luận một cách có lô gíc khi giải toán cực trị ? Để góp phần vào việc giải quyết các vấn đề trên, bản thân là giáo viên thờng xuyên giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi môn toán lớp 8 và lớp 9, tôi mạnh dạn su tầm, tuyển chọn một số dạng bài toán cực trị và một số phơng pháp giải áp dụng cho từng dạng, hy vọng đem lại một phần thuận lợi cho giáo viên khi thực hiện chuyên đề này trong quá trình giảng dạy cho học sinh cấp trung học cơ sở nói chung và bồi dỡng học sinh giỏi lớp 8, lớp 9 nói riêng. II. những yêu cầu cần thiết. 1. Đối với giáo viên. 4 - Su tầm tài liệu, đọc, nghiên cứu để hệ thống hoá kiến thức, hệ thống các dạng bài tập về cực trị. - Tìm hiểu sâu về các bài toán cực trị trong nội dung chơng trình toán ở bậc trung học cơ sở. - Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải các bài toán cực trị. - Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các ph- ơng pháp chính giải từng dạng bài tập cực trị. - Dự đoán đợc một số sai sót của học sinh có thể mắc phải và nêu đợc những điểm cần chú ý khi giải các bài toán cực trị. 2. Đối với học sinh. - Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài toán cực trị. - Có kĩ năng nhận dạng đợc từng loại toán cực trị, vận dụng linh hoạt và sáng tạo các phơng pháp giải toán cực trị vào từng bài tập cụ thể từ đơn giản đến phức tạp. - Thấy đợc những ứng dụng của toán cực trị trong thực tế. Phần II : Nội dung A. Một số dạng toán cực trị trong đại số. 5 I. Định nghĩa và chú ý. 1. Cho biểu thức f(x). - Giá trị M đợc gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : +Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) M (M là hằng số) (1) + Tồn tại x 0 sao cho f(x 0 ) = M (2) - Giá trị m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x) nếu thoả mãn hai điều kiện : + Với mọi x để f(x) xác định thì f(x) m (m là hằng số) (1 ) + Tồn tại x 0 sao cho f(x 0 ) = m (2 ) 2. Kí hiệu : GTLN của hàm f là M = max f(x) GTLN của hàm f là m = min f(x) 3. Tổng quát chung : Đối với biểu thức chứa nhiều biến ta cũng có định nghĩa tơng tự. 4. Các bớc tìm cực trị : Từ các định nghĩa trên, thông thờng, để tìm GTLN hoặc GTNN ta tiến hành theo 3 bớc nh sau : - Bớc 1 : Xác lập bất đẳng thức dạng : f(x) M hoặc f(x) m với M, m là các hằng số. - Bớc 2 : Xét xem dấu đẳng thức xảy ra khi nào ? - Bớc 3 : Kết luận max hoặc min theo yêu cầu. 5. Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1) thì cha thể nói gì về cực trị của một biểu thức. Chẳng hạn, xét biểu thức (x 1) 2 + (x 3) 2 . Mặc dù ta có A 0, nhng cha thể kết luận đợc minA, vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0. II. Các kiến thức thờng dùng. 1. x 2 0 x Dấu = xảy ra x = 0 Mở rộng : [f(x)] 2n 0 , x R , n Z. Khi đó ta có [f(x)] 2n + M M ; -[f (x)] 2n + m m. Dấu = xảy ra f(x) = 0 2. a/ x 0 Dấu = xảy ra x = 0 b/ x + y x + y Dấu = xảy ra x, y cùng dấu 6 c/ x - y x - y Dấu = xảy ra x, y cùng dấu vàx >y 3. a/ a 2 + b 2 2ab , a, b. Dấu = xảy ra a = b b/ 2 a b b a + a > 0, b > 0. Dấu = xảy ra a = b 4. Bất đẳng thức Cô-si a/ Cho 2 số không âm a và b ta có : ab 2 ba + . Dấu = xảy ra a = b b/ Cho 3 số không âm a, b và c, ta có : 3 abc 3 cba ++ . Dấu = xảy ra a = b = c. c/ Tổng quát : Cho n số không âm a 1 , a 2 , . , a n , ta có : n a .aa n21 +++ a 1 a 2 . a n . Dấu = xảy ra a 1 = a 2 = .= a n 5. Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki a/ Cho hai cặp số a, b và x, y ta có : (ax + by) 2 (a 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ). Dấu = xảy ra ay = bx b/ Tổng quát : Cho 2n số a 1 , a 2 , , a n , b 1 , b 2 , , b n , ta có : a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a n b n ) 2 ( a 1 2 + a 2 2 + + a n 2 ) ( b 1 2 + b 2 2 + . b n 2 ) Dấu = xảy ra n n 2 2 1 1 b a b a b a == III. Một số phơng pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Phơng pháp nhóm so sánh. Để tiến hành giải bài toán tìm GTLN, GTNN ta có thể dùng các phép biến đổi đại số để nhóm các số hạng và đa bất đẳng thức ban đầu về các dạng sau : p = A 2 + k k, p = -B 2 + l l, p = A 2 + B 2 + m m, p = A.B 2 + n n với A 0, p = A.B k.l với A k > 0, B l > 0. Tất nhiên là dấu đẳng thức phải xảy ra trong miền xác định của các biến số. Ngoài ra, đôi khi ta sử dụng các tính chất đồng biến, nghịch biến của hàm số, chẳng hạn : M N, a > 1 a M a N ; M N, 0 < a < 1 a M a N ; 7 A B > 0, > 0 A B ; A B > 0, < 0 A B . Lu ý rằng nếu ta sử dụng nhiều bất đẳng thức so sánh thì dấu = xảy ra phải mang tính đồng thời ở các đẳng thức đó. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức : 1/ A = x 4 + 4x 2 3; 2/ B = x 4 + 2x 3 + 3x 2 + 2x + 1; 3/ C = (x 1) 2 + (x 2 1) 4 + (x 3 1) 6 . Giải : 1/ Vì x 4 , x 2 0 nên suy ra A 0 + 0 3 A -3. Dấu = xảy ra x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 Cách khác : Ta có A = x 2 (x 2 + 4) 3 3. Dấu = xảy ra x 2 (x 2 + 4) = 0 x = 0 Vậy minA = -3 khi x = 0 2/ Ta có B = (x 2 + x + 1) 2 = 16 9 4 3 2 1 x 2 2 + + Vì 4 3 4 3 2 1 x 2 + + , dấu = xảy ra khi x = 2 1 . Nên minB = 16 9 x = 2 1 . 3/ Dễ thấy C 0. Dấu = xảy ra khi (x 1) 2 = (x 2 1) 4 = (x 3 1) 6 = 0 x = 1 Vậy minC = 0, khi x = 1 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M = - x 2 + 2x + 6 Giải : Ta có B = - x 2 + 2x + 6 = -(x 2 2x) + 6 = -( x 1) 2 + 7 Vì -( x 1) 2 0 , x -( x 1) 2 + 7 7. Dấu = xảy ra khi x = 1 Vậy max B = 7 x = 1 2. Phơng pháp dùng bất đẳng thức Cô-si. Cũng giống nh khi sử dụng các bất đẳng thức khác, có khi ta phải tiến hành việc tách, nhóm, thêm, bớt, chia nhân các số hạng để đa về dạng có thể áp dụng trực tiếp. Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức : 8 1/ A = x 2 x1 ; 2/ B = x 1x ; 3/ C = xyz 3zxy2yzx1xyz ++ . Giải : 1/ Điều kiện 0 x 1. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm ta đợc : A = x ( ) 2 1 2 x1x x1xx1 22 222 = + = Dấu = xảy ra x 2 = 1 x 2 x 2 = 2 1 x = 2 1 . Vậy max A = 2 1 2/ Điều kiện x 1, ta có B = ( ) 2 1 x 2 1x1 x 1x1 x 1x = + = Dấu = xảy ra 1 = x 1 x =2. Vậy max B = 2 1 3/ Điều kiện x 1, y 2, z 3, ta có : C = z 3z y 2y x 1x + + = z )3z(3 . 3 1 y )2y(2 . 2 1 x )1x(1 + + z2 3z3 . 3 1 y2 2y2 . 2 1 x2 1x1 + + + + + = 32 1 22 1 2 1 ++ Dấu = xảy ra 1 = x 1 ; 2 = y 2 ; 3 = z 3 x = 2, y = 4, z = 6. Vậy max C = ++ 3 1 2 1 1 2 1 . IV. Những dạng toán thờng gặp. Dạng 1 : Cực trị của đa thức dạng tam thức bậc hai. 1. Kiến thức cần thiết. Giả sử cho đa thức f(x) xác định trên R Đa f(x) về dạng : f(x) = k [ ] 2 )x(g (k là hằng số) a/ Nếu f(x) = k + [ ] 2 )x(g thì min f(x) = k g(x) = 0 b/ Nếu f(x) = k [ ] 2 )x(g thì max f(x) = k g(x) = 0 2. Một số ví dụ. 9 Ví dụ 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 2 x + 1 Giải : Ta có A = x 2 x + 1 = x 2 2x. 2 1 + 4 1 + 4 3 = 2 2 1 x + 4 3 Vì 2 2 1 x 0 x nên 2 2 1 x + 4 3 4 3 Dấu = xảy ra 0 2 1 x = 2 1 x = Vậy min A = 2 1 x = 2 1 Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = - x 2 + 4x + 5 Giải : Ta có B = -x 2 + 4x + 5 = 9 (x 2) 2 Vì - (x - 2 ) 2 0 x nên 9 (x - 2 ) 9 Dấu = xảy ra x 2 = 0 x = 2 Vậy max B = 9 x = 2 Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : D = (x+1) 2 + (x + 3 ) 2 Giải : Ta có D = 2(x +2 ) 2 + 2 2 x Vì: 2(x + 2 ) 2 0 x 2(x +2 ) 2 + 2 2 Dấu "=" xảy ra x = -2. Vậy min D = 2 x = -2 3. Một số nhận xét. a/ Cho tam thức bậc hai: P = ax 2 + bx + c (a 0) Ta có P = ax 2 +bx + c = a(x 2 + a b x) + c (do a 0) = a (x + a2 b ) 2 + c - a4 b 2 = a (x + a2 b ) 2 + a4 bac4 2 Đặt a4 bac4 2 = k Do (x + a2 b ) 2 0 nên - Nếu a > 0 thì a.(x + a2 b ) 2 0 do đó P k 10 [...]... xảy ra f(x).g(x) 0 vớif(x) g(x) d/ Giả sử max f(x) = A, min f(x) = a với f(x) xét trên đoạn [a1 ;b1] + Nếu f(x) 0 ta có max f(x) = max f(x)=A trên [a1 ;b1] min f(x) = minf(x)= a trên [a1 ;b1] + Nếu : max f(x) 0 còn min f(x) 0 trên [a1 ;b1] : Ta có : maxf(x)= max(A ; a) minf(x)= 0 + Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a1 ;b1] minf(x) = - maxf(x) trên [a1 ;b1] 2 Một số ví dụ Ví dụ 12 :... Mỗi tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị nhỏ nhất hoặc giá trị lớn nhất) Dạng 2 : Cực trị của hàm đa thức nhiều biến 1 Kiến thức cần thiết Cho F = F1 + F2 thì : maxF = maxF1 + maxF2 (minF = minF1 + minF2) Trong đó F1, F2 là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa cùng biến thì cùng đạt giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) tại một bộ giá trị xác định của biến 2 Một số ví dụ Ví... trị nhỏ nhất của N = x+ x+1 Giải : TXĐ: x 0 Dễ thấy N < 0 do đó N nhỏ nhất {N} lớn nhất (x + x + 1) nhỏ nhất x nhỏ nhất mà x 0 => min x= 0 Vậy min N = -1 x = 0 Cách 2: 1 Vì x 0 nên 1 1 => - - 1 , dấu bằng xảy ra x= 0 x+x+1 x+x+1 Vậy min N = -1 x= 0 Ví dụ 23: Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 a2+ 2 18 A= + 2(1 + a) 2(1 - a) 1 - a3 Giải: Trớc hết ta thu gọn biểu thức A: TXĐ: a ... Dễ thấy A < 0 nên A nhỏ nhất {A} lớn nhất (a2 + a + 1) nhỏ nhất mà a 0 = >min (a2 + a + 1) = 1 a = 0 Khi đó min A = - 1 a = 0 Ví dụ 24: Tìm cực trị của biểu thức : 1 M= 2000 - 1 -x2 Giải : TXĐ: - 1 x 1 + Do x [-1 ; 1] nên 2000 - 1 -x2 2000 , dấu bằng xảy ra x = 1 1 1 Nên M = 2000 - 1 -x 2 2000 Vậy min M = 1/2000 x = 1 + Do 1 -x2 1 => 2000 - 1 -x2 2000 - 1 => 2000 - 1 -x2... = x và 8 - x = x - 8 khi đó B = x + x - 8 = 2x - 8 So sánh các giá trị của B trong 3 khoảng trên ta có : min B = 8 0 x 8 Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức f(x) + g(x) f(x) + g(x) Dấu "=" xảy ra f(x).g(x) 0 Ta có B = B = x + 8 x x + 8 - x= 8 Dấu = xảy ra x(8 - x) 0 x(x - 8) 0 0 x 8 Vậy min B = 8 0 x 8 Ví dụ 14 : Tìm GTNN của C = x - 2 + x - 5 + 15 Giải : Cách 1 : Xét khoảng giá trị của... 5, khi đó C = x - 2 + x - 5 + 15 = 2x + 8 So sánh các giá trị của C trong 3 khoảng trên ta có : min C = 18 2 x 5 Cách 2 : Sử dụng bất đẳng thức 1b) đã nêu ở trên Vì x - 2 + x - 5 = x - 2 + 5 - x x - 2 + 5 - x = 3 Dấu "=" xảy ra (x - 2)(5 - x) 0 2 x 5 Do đó : C = x - 2 + x - 5+ 15 3 + 15 = 18 Vậy min C = 18 2 x 5 Ví dụ 15 : Tìm GTNN của M = x + 1 + x + 2 + + x + 99 + x + 100 Giải : Ta có... 1995 x x - 1994 + 1995 x = 1 M 1 Dấu "=" xảy ra (x - 1994)( 1995 - x) 0 1994 x 1995 Vậy min M = 1 1994 x 1995 Ví dụ 17 : Tìm GTNN của N= (x - 1999)2 + (x - 2000)2 + (x - 2001)2 Hớng dẫn : Ta đa bài toán này về dạng hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối, sau đó áp dụng ví dụ 16 để giải Kết quả : min N = 2 x = 2000 Ví dụ 22: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M= 2 - x + 1+ x Giải: 2-x0 -1... nhất x 5 là số âm lớn nhất Mà x Z nên x 5 = -1 x = 4 13 Vậy min M = -1 2 = -3 khi x = 4 Ví dụ 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = Giải : Ta có P = 1 x + 2x 4 2 1 1 = (x 1)2 + 3 x 2x + 4 2 Nhận thấy P nhỏ nhất (x 1)2 + 3 nhỏ nhất Mà (x 1)2 0 với x (x 1)2 + 3 3 1 Do đó (x 1)2 + 3 đạt GTNN bằng 3 x = 1 Vậy min P = 3 x = 1 Ví dụ 10 : Tìm GTLN và GTNN của biểu thức Q = Giải... 26y2 10xy + 14 76y + 56 Dạng 3 : Cực trị của hàm phân thức đại số 1 Kiến thức cần thiết + Để giải dạng toán này ta chủ yếu dùng phơng pháp tách phần nguyên + Cho P = 1 A với A > 0 thì max P = 1 min A ; min P = 1 max A Bằng cách áp dụng tính chất trên ta có thể đa bài toán tìm cực trị của phân thức về bài toán tìm cực trị của đa thức 2 Một số ví dụ 7x 8 Ví dụ 7 : Tìm x N để 2x 3 đạt giá trị lớn... nhất xy lớn nhất mà x + y = 1= const xy nên xy lớn nhất x = y = 1/2 2 1 Vậy min M = 1 + = 9 x = y = 1/4 2 2 16 x + 4x + 1 b ) Tìm giá trị nhỏ nhất của B = Với x > 0 2x Giải: 1 B = 8x + 2 + 2x 1 Do x > 0 và tích 8x = 4 không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất 2x 21 1 8x = 16x2 = 1 x = 1/4 2x 1 Vậy min B = 8 1/4 + 2 + = 4 +2 = 6 x = 1/4 2 1/4 Ví dụ 28 : Tìm giá trị nhỏ nhất của . f(x) 0 còn min f(x) 0 trên [a 1 ;b 1 ] : Ta có : maxf(x)= max(A ; a) minf(x)= 0 + Nếu f(x) < 0 ta có maxf(x)= - minf(x) trên [a 1 ;b 1 ] minf(x) = -. sử max f(x) = A, min f(x) = a với f(x) xét trên đoạn [a 1 ;b 1 ] + Nếu f(x) 0 ta có max f(x) = max f(x)=A trên [a 1 ;b 1 ] min f(x) = minf(x)= a trên [a