Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là tài liệu hướng dẫn giải sách bài tập xác suất thống kê của trường Đại Học Kinh Tế Quốc Dân chương 3 của tác giả Nguyễn Văn Minh dành cho các bạn sinh viên đang học môn xác suất thống kê ở các trường đại học, nhất là sinh viên trường Đại Học Kinh Tế Quốc Dân. Tài liệu này bao gồm các bài giải của các bài tập thuộc các vấn đề của chương 1 môn xác suất thống kê như: Quy luật nhị thức Quy luật siêu bội Quy luật phân phối đều Quy luật chuẩn Quy luật lũy thừa Trong đó, tất cả bài tập đều được hướng dẫn giải một cách chi tiết và dễ hiểu nhằm giúp các bạn sinh viên có thể nắm được phương pháp giải bài tập môn xác suất thống kê chương biến ngẫu nhiên cũng như biết cách áp dụng những kiến thức đã học vào bài tập vận dụng.
TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 2016 Chương SBT ĐH KTQD Version1 TS Nguyễn Văn Minh - ĐH Ngoại Thương Hà nội FTU 9/15/2016 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải bài tập sách ‘‘Bài tập Xác suất và Thống Kê toán’’ trường ĐH KTQD 06/2016 Bài tập có sự giúp đỡ của SV K53, K54. Có nhiều chỗ sai sót mong được góp ý: facebook.com/nnvminh §1 Quy luật nhị thức B(n,p) Bài 3.1 Bắn 5 viên đạn vào mục tiêu. Xác suất trúng đích của mỗi lần bắn như nhau và bằng 0,2. Muốn phá hủy mục tiêu phải có ít nhất 3 viên trúng mục tiêu, tìm xác suất mục tiêu bị phá hủy. Giải: Coi mỗi lần bắn là một phép thử ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử chỉ có hai khả năng đối lập là trúng hoặc trượt mục tiêu, xác suất trúng mục tiêu của mỗi lần bắn đều bằng 0,2 do đó thỏa mãn lược đồ Bernoulli. Gọi X là số viên đạn bắn trúng thì X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức với tham số n= 5 p=0,2. Vậy xác suất mục tiêu bị phá hủy chính là xác suất để X Theo công thức Bernoulli: P( X ) = P3 + P4 + P5 = C35 0, 23.0,82 C54 0, 24.0,81 C55 0, 25.0,80 = 0,0579. Bài 3.2 Một gia đình có 5 con. Tìm xác suất sao cho trong số đó có: a 2 con trai b Không quá 2 con trai Giả thiết xác suất sinh con trai là 0,51 Giải: Coi mỗi lần sinh con là 1 phép thử, ta có 5 phép thử độc lập, trong mỗi phép thử có 2 khả năng đối lập xảy ra là sinh con trai hoặc không sinh con trai, xác suất sinh con trai là 0,51. Đây là phân phối nhị thức Bernoulli. TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Gọi X là số con trai trong gia đình có 5 người con thì X là biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật nhị thức Bernoulli với các tham số n = 5 và p = 0,51: X ~ B ( 5, 0.51 ) a) Xác suất để có 2 con trai là xác suất để X = 2: P (X = 2) P (X = 2) = C52 (0,51) (0, 49)3 = 0,306 b) Xác suất để có không quá 2 con trai là xác suất để X ≤ 2: P (X ≤ 2) P (X ≤ 2) = P0 + P1 + P2 = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) = C50 (0, 49)5 + C51 (0, 51)1 (0, 49) + 0,306 = 0,481 Kết luận: a) Xác suất để có 2 con trai là 0,306 b) Xác suất để có không quá 2 con trai là 0,481 Bài 3.3 Thống kê cho thấy cứ chào hàng 3 lần thì có 1 lần bán được hàng. Nếu chào hàng 12 lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì ? Tại sao? Giải: Gọi A là biến cố bán được hàng, theo giả thiết ta có p P( A) , q P( A) 3 Ta có 12 lần bán hàng, mỗi lần chỉ xảy ra hoặc bán được hàng hoặc không bán được hàng nên X tuân theo quy luật B(12,1/3). Bài 3.4 Một nữ công nhân quản lý 12 máy dệt. Xác suất để mỗi máy trong khoảng thời gian t cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân là 1/3. Tính xác suất: a) Trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân. b) Trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần sự chăm sóc của nữ công nhân. Giải: Gọi X là số máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân trong khoảng thời gian t nên ta có X ~ B(n = 12; p = 1/3). a) Xác suất để trong khoảng thời gian t có 4 máy cần đến sự chăm sóc của nữ công nhân là: Pa = P(X=4) = ( )8 ( ) C124 = 0.2384 3 b) Xác suất để trong khoảng thời gian t có từ 3 đến 6 máy cần sự chăm sóc của nữ công nhân là: TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Pb = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) 2 2 = ( )9 ( )3 C123 + ( )8 ( ) C124 + ( )7 ( )5 C125 + ( )6 ( )6 C126 3 3 3 3 = 0.212 + 0.238 + 0.190 + 0.111 = 0.751 Bài 3.5 Việc sản xuất ra các sản phẩm được tiến hành độc lập. Hỏi phải sản xuất mỗi đợt bao nhiêu sản phẩm để trung bình có được 10 sản phẩm đạt tiêu chuẩn biết rằng xác suất có được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8 Giải: Gọi k là số sản phẩm cần sản xuất trong 1 đợt. Ta coi mỗi lần sản xuất là 1 phép thử nên có k phép thử độc lập. Mỗi phép thử chỉ quan tâm có sản xuất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn hay không, mà mỗi phép thử xác suất sản xuất được sản phẩm đạt tiêu chuẩn là 0,8. Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n=k và p=0,8. Gọi X là số sản phẩm đạt tiêu chuẩn trong số k sản phẩm: X ~ B(n=k; p=0,8) Ta có: E(X) = np = k.0,8 ≥ 10 hay k ≥ 10/0,8 = 12,5 suy ra k = 13. Vậy cần sản xuất 13 sản phẩm 1 đợt. Bài 3.6 Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm theo phương thức có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được. a) X tuân theo quy luật gì? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật b) Tìm E(X) và V(X) c) Tìm số sản phẩm loại 1 trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó Giải a) X tuân theo quy luật nhị thức với các tham số n = 5 và p = 0,8 Biểu thức xác suất tổng quát của quy luật là P ( X k ) C5k 0,8k 0, 25 k b) Ta có: E(X) = n.p = 5.0,8 = 4 V(X) = n.p.q = 5.0,8.0,2 = 0,8 c) E(X) = 4 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội P( X 4) C54 0,84 0, 25 0, 4096 Bài 3.7 Xác suất để sản phẩm sản xuất ra bị hỏng bằng 0,1. a) Tìm xác suất để trong 5 sản phẩm sản xuất ra có không quá 2 sản phẩm hỏng. b) Tìm số sản phẩm hỏng trung bình trong 5 sản phẩm đó. c) Tìm số sản phẩm hỏng có khả năng xảy ra nhiều nhất. Giải: a) Gọi A là biến cố trong 5 sản phẩm lấy ra có không quá 2 sản phẩm hỏng Ta có A có 3 trường hợp: 0; 1; 2 sản phẩm bị hỏng P A C50 0,10.0,95 C51. 0,11.0,94 C52 0,12.0,93 = 0,99144 b) X = số sản phẩm bị hỏng trong 5 sản phẩm = 0; 1; 2; 3; 4; 5 X P0 C50 0,10.0,95 0,59049 X P1 C51.0,11.0,94 0, 32805 X P2 C52 0,12.0, 93 0, 0729 X P3 C53 0,13.0,92 0, 0081 X P4 C54 0,14.0, 91 0, 00045 X P5 C55 0,15.0,90 0, 00001 E X X i Pi 0, i 0 c) Mod X do tại X 0, P0 0, 59049 là giá trị lớn nhất Bài 3.8 Gieo 10.000 hạt giống với xác suất để mỗi hạt nảy mầm là 0,85. Gọi X là số hạt nảy mầm. a) X tuân theo quy luật gì? b) Tìm E(X) và V(X) Giải: a) Gọi A là biến cố hạt nảy mầm P (A) = 0,85 P( A) 0,15 X là số hạt nảy mầm hay X là “số lần xuất hiện biến cố A trong 10.000 phép thử độc lập”. Vậy X là biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể nhận là X = 0,1,2,…,10000. TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Theo công thức Bernoulli: k Pk C10000 0,85k 0,1510000 k với k = 0,1,2,3…,10000 Đây là quy luật nhị thức được kí hiệu là B(10000;0,85). b) Vậy E(X) = 10000. 0,85 = 8500 V(X) = 10000. 0,85. 0,15 = 1275 Bài 3.9 Xác xuất để mỗi hành khách chậm tàu là 0,02. Tìm số khách chậm có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 hành khách. Giải: Nếu coi mỗi hành khách là một phép thử thì ta có 855 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử chỉ có hai trường hợp là chậm hoặc không chậm. Xác xuất chậm của mỗi hành khách là 0,02. Như vậy ta có 1 lược đồ bernoulli và gọi X là số khách chậm thì X tuân theo quy luật nhị thức với n=855 và p=0,02. Vậy số hành khách chậm có khả năng xảy ra nhiều nhất trong 855 người chính là giá trị mốt. Theo công thức mốt ta có: np-q ≤ m0 ≤ np + p 16,12 ≤ m0 ≤ 17,12 Vậy m0=17. Tức số khách chậm có khả năng xảy ra nhiều nhất là 17 người Bài 3.10 Xác suất để khỏi bệnh khi dùng loại thuốc A là Có 5 người mắc bệnh B dùng thuốc A. Tìm xác suất: a) Có 3 người khỏi bệnh b) Có ít nhất 1 người khỏi bệnh c) Có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh Giải: Coi việc người mắc bệnh B dùng thuốc A là một phép thử thì có 5 phép thử độc lập. Trong mỗi phép thử thì xác suất để khỏi bệnh khi dùng loại thuốc A là Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 5; p = Gọi X là số người khỏi bệnh B khi dùng thuốc A: X B(n = 5; p = ). a) Xác suất để có 3 người khỏi bệnh là: TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 3 1 P X 3 C 0, 263 4 4 b) Xác suất để có ít nhất 1 người khỏi bệnh là: 1 P X 1 P X C50 0,99902 4 c) Xác suất để có nhiều nhất 2 người khỏi bệnh là: i 3 1 P X C 4 4 i 0 i 5 i 0,1035 Bài 3.11 Tìm phương sai của biến ngẫu nhiên X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép thử độc lập và P(A) = p trong mỗi phép thử, biết rằng E(X) = 1,2 Giải: Do X là số lần xuất hiện biến cố A trong hai phép thử độc lập Bernoulli và P(A) = p nên ta có: E(X) = np lại có E(X) = 1,2 np = 1,2 p = 0,6 Mà q = 1 - p q = 0,4 V(X) = npq = 2.0,6.0,4 = 0,48 Bài 3.12 Tiến hành các phép thử độc lập với xác suất xuất hiện biến cố trong mỗi phép thử đều bằng p. Tìm p nếu phương sai của số lần xuất hiện biến cố trong 3 phép thử độc lập là 0,63. Giải: Bài toán thỏa mãn lược đồ Bernoulli với n = 3 ; p Gọi X là số lần xuất hiện biến cố đang xét => X ~ B (n = 3 ;p) => V(X) = npq = 3p(1 – p) = 0,63 p2 – p + 0,21 = 0 p = 0,3 hoặc p = 0,7 Bài 3.13 Một kho hàng chuyên cung cấp hàng cho 12 cửa hàng. Xác suất để mỗi cửa hàng đặt hàng cho kho đó trong ngày là 0,3. Tìm số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất cho mọt ngày và xác suất tương ứng với nó. Giải: n=12;p=0,3 Gọi X là số đơn đặt hàng trong 1 ngày: X ~ B(12;0,3) Số đơn đặt hàng có khả năng nhiều nhất trong 1 ngày là m0 thỏa mãn np + p – 1 m0 np + p TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội 12.0,3 + 0,3 – 1 m0 12.0,3 + 0,3 m0 = 3 P(X=3) = C123 0, 33.0, = 0,2397 Bài 3.14 Bia bắn được chia làm 2 vòng, xác suất bắn trúng vòng trong là 0.7 còn trúng vòng ngoài là 0.3. Tìm xác suất sao cho bắn 3 viên đạn thì được ít ra là 29 điểm biết rằng bắn trúng vòng trong thì được 10 điểm, trúng vòng ngoài thì được 9 điểm. Giải: Gọi X là số viên đạn bắn trúng vòng trong nên ta có X ~ B(n = 3; p = 0.7). Xạ thủ đạt được ít nhất 29 điểm khi có ít nhất hai lần bắn trúng vòng trong, vậy có thể xảy ra hai trường hợp: - Trường hợp 1: Có hai lần bắn trúng vòng trong và chỉ một lần duy nhất bắn trúng vòng ngoài → X = 2. - Trường hợp 2: Cả ba lần bắn đều trúng vòng trong → X = 3. Vậy xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 29 điểm là: P = P(X = 2) + P(X = 3) = (0.3)1 (0.7) C32 + (0.3)0 (0.7)3 C33 = 0.441 + 0.343 = 0.784 Bài 3.15 Một nghiên cứu cho thấy 70% công chức cho rằng việc nghỉ làm hai ngày một tuần sẽ nâng cao được hiệu suất công tác. Nếu chọn ngẫu nhiên 15 công chức ở một bộ để phỏng vấn thì xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là bao nhiêu? Giải: Xác suất công nhân đồng ý với ý kiến trên là p = 70% = 0,7 Xác suất công nhân không đồng ý với ý kiến là q = 1 – 0,7 = 0,3 Gọi X là số người đồng ý kiến với ý kiến đó, X B (n=15, p=0,7) Do đó xác suất để có ít nhất 10 người đồng ý với ý kiến trên là P[X ≥ 10] Ta có P[X ≥ 10] = P10 + P11 + P12 + P13+ P14 + P15 10 11 12 = C15 (0,7)10.(0,3)5 + C15 (0,7)11.(0,3)4 + C15 (0,7)12.(0,3)3 + C1513 (0,7)13.(0,3)2 + C1514 15 (0,7)14.(0,3) + C15 (0,7)15 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh = ĐH Ngoại Thương Hà nội 0,7216 Đáp số: 0,7216 §2 Quy luật siêu bội - M(N,n) Bài 3.16 Trong kho có 10 cái lốp xe, trong đó có 3 cái hỏng. Lấy ngẫu nhiên 4 cái lốp để lắp cho 1 xe. Nếu gọi X là số lốp xe bị hỏng có thể được lấy ra thì X tuân theo quy luật nào? Hãy giải thích? Giải: Gọi biến cố X là số lốp xe bị hỏng trong 4 lốp xe. Với X = 0 thì P ( X 0) C30C74 C104 Với X = 1 thì P ( X 1) C31C73 C104 Với X = 2 thì P ( X 2) C32C72 C104 Với X = 3 thì P( X 3) C33C71 C104 Với X = 4 thì P( X 4) Suy ra X tuân theo quy luật siêu bội: X ~ M (N, n) Bài 3.17 Trong số 20 công nhân của một công ty có 12 người có tay nghề khá. Tìm xác suất để khi kiểm tra ngẫu nhiên tay nghề của 5 công nhân thì có ít nhất 4 người có tay nghề khá. Giải: Gọi X là số người có tay nghề khá trong 5 người thì X ~ M(N=20; M=12; n=5) P P X 4 P X 5 C124 C81 C125 C80 C20 C20 Bài 3.18 Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp 5 tờ 50 ngàn tiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ giấy bạc đem đi kiểm tra và giao hẹn nếu phát hiện có bạc giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiền phạt mà khách có thể phải trả. TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội Giải: Gọi X là số tờ bạc giả mà chủ cửa hàng có thể kiểm tra thấy. X = 0,1,2,3. X phân phối theo quy luật siêu bội với N=20, M=5, n=3. Ta có bảng phân phối xác suất X 0 1 2 3 P C153 C50 C20 C152 C51 C20 C151 C52 C20 C150 C53 C20 Số tiền giả trung bình trong 3 tờ là: E(X)= n M 0, 75 (ngàn) N 20 Gọi Y là số tiền khách hàng phải trả nếu phát hiện tiền giả thì Y= 2.50.X=100X Do đó E(Y)=E(100X)=100E(X)=100.0,75= 75 (ngàn) Vậy số tiền phạt mà khách có thể phải trả là 75 ngàn đồng. Bài 3.19 Trong 20 giấy thông báo thuế thu nhập có 3 giấy mắc sai sót. Nhân viên kiểm tra lấy ngẫu nhiên 5 giấy thông báo để kiểm tra. a) Thiết lập phân phối xác suất của số giấy thông báo có lỗi. b) Tìm trung bình và phương sai của số giấy thông báo có lỗi được kiểm tra. Giải: a) Gọi X là số giấy thông báo lỗi của phép thử. C k C 5k P X k 17 C20 X ~ B N 20; M 3; n 5 Bảng phân bố xác suất: X 0 1 2 p 0.3991 0.4605 0.1316 0.0088 10 3 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TS Nguyễn Văn Minh ĐH Ngoại Thương Hà nội f là tần suất xuất hiện của biến cố A Do f = X nên f có thể coi là phân phối chuẩn với n E (f) = p = 0.75; V (f) = p (1 – p ) =0.0001875 n P( f p