CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC Học viên: Khóa : Lớp : TÀI LIỆU LƯU HÀNH NỘI BỘ Để bắt đầu học chuyên đề lượng giác bạn nhìn lại toàn cảnh tranh lượng giác sau tìm hiểu chi tiết phần lớn ! 21 SƠ ĐỒ TỔNG QUAN Với mục đích sau để giải phương trình lượng giác chứng minh đẳng thức lượng giác bắt đầu phần lớn nhớ giao tiếp ngôn ngữ đường tròn lượng giác ! 21 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sinx Hàm số y= cosx  Có tập xác định       Có tập xác định D=R Có tập giá trị [-1;1] Là hàm số lẻ Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π Đồng biến khoảng (−π2+k2π;π2+k2π),k∈Z Đồ thị      D=R Có tập giá trị [-1;1] Là hàm số chẵn Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π Đồng biến khoảng (−π+k2π;k2π),k∈Z Đồ thị Hàm số y = tanx  Có tập xác Hàm số y = cot x định D1=R∖{π2+kπ|k∈Z}  Cótập xác định D2=R∖{kπ|k∈Z}  Có tập giá trị R  Có tập giá trị R  Là hàm số lẻ  Là hàm số lẻ  Là hàm số tuần hoàn với chu  Là hàm số tuần hoàn với chu kỳ π kỳ π  Đồng biến  Nghịch biến mỗikhoảng (−π2+kπ;π2+kπ), khoảng (kπ;π+kπ),k∈Z  Có đồ thị nhận đường k∈Z  Có đồ thị nhận đường thẳng x=kπ(k∈Z) làm đường thẳng x=π2+kπ(k∈Z) làm tiệm cận đường tiệm cận 21 Công thức lượng giác Công thức lượng giác sin a + cos a = tan a.cot a = 1, a ≠ π , a ≠ + kπ ( k ∈ ¢ ) cos a 1 + cot a = , a ≠ kπ ( k ∈ ¢ ) sin a + tan a = π + kπ ( k ∈ ¢ ) Công thức cung a Cung đối: b Cung bù: c Cung phụ : 21 d Cung kém: cos Chú ý Công thức tổng Hàm Góc Sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa Sin(a-b) = sinacosb – sinbcosa Cos(a+b) = cosacosb – sinasinb Cos(a-b) = cosacosb + sinasinb Tan(a+b)= Tan(a-b) = 21 Công thức tích Nhân đôi Góc Công thức hạ bậc sin a = − cos2a cos a = + cos2a tan a = Nhân ba sin 3a = 3sin a − 4sin a cos3a = 4cos a − 3cos a 3tan a − tan a tan 3a = − 3tan a Hàm cos ( a − b ) + cos ( a + b )  2 sin a.sin b =  cos ( a − b ) − cos ( a + b )  sin a.cos b = sin ( a − b ) + sin ( a + b )  α cos a.cos b = t = tan Công thức tính theo 21 − cos2a + cos2a 2t sin a = 1+ t2 1− t2 cos a = 1+ t2 tan a = 2t 1− t a π   ≠ + kπ , k ∈ ¢ ÷ 2  Ngôn ngữ lượng giác YÊU CẦU: - Chứng minh công thức lượng giác dựa vào đường tròn lượng giác? - Học thuộc cách xác định góc đặc biệt CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 21 I chứng minh đẳng thức lượng giác Bản chất - Là việc biến đổi vế phương trình lượng giác thành vế lại Phương pháp B1: xác định vế cần biến đổi ( biến đổi từ vế cồng kềnh thành đơn giản) B2: sử dụng công thức lượng giác (thường biến đổi theo hàm sin x cos x) Ví dụ : Chứng minh biểu thức a.- + +3 = VT : - + +3 = – ++ 3( = – + +3-3 =2 = VT = = = = = = c 21 II Tính giá trị hàm lượng giác Phương pháp: biến đổi công thức lượng giác dựa vào công thức lượng giác ban đầu xét khoảng xác định cần tính Ví dụ: α thỏa mãn: π 1 : Phương trình vô nghiệm ⊕ a ≤1 •  x = α + k 2π sin x = sin α ⇔  ( k ∈¢)  x = π − α + k 2π  x = β + k 3600 sin x = sin β ⇔  ( k ∈¢) 0  x = 180 − β + k 360 • 21 •  x = arc sin a + k 2π sin x = a ⇔  ( k ∈¢)  x = π − arc sin a + k 2π Tổng quát:  f ( x ) = g ( x ) + k 2π sin f ( x ) = sin g ( x ) ⇔  ( k ∈¢)  f ( x ) = π − g ( x ) + k 2π Ví dụ: Giải phương trình sau: a )sin x = sin c) sin 3x = π 12 b) sin x = − sin 360 d )sin x = Giải π π   x = + k 2π x = + k 2π   π 12 12 a ) sin x = sin ⇔  ⇔ ( k ∈¢) 12  x = π − π + k 2π  x = 11π + k 2π   12 12 ( b) sin x = − sin 36 ⇔ sin x = sin −36 0 )  x = −360 + k 3600  x = −360 + k 3600 ⇔ ⇔  0 0  x = 180 − −36 + k 360  x = 216 + k 360 ( )  x = −180 + k1800 ⇔ ( k ∈¢) 0  x = 108 + k180 21 π 2π   π x = + k π x = + k   18 π c)sin 3x = ⇔ sin 3x = sin ⇔  ⇔ ( k ∈¢) 5π 5π 2π   x = + k 2π x = +k   18  x = arcsin + k 2π  d )sin x = ⇔  ( k ∈¢)  x = π − arcsin + k 2π  Phương trình cos x = a ⊕ a >1 : Phương trình vô nghiệm ⊕ a ≤1 • • • cosx = cosα ⇔ x = ±α + k 2π ( k ∈ ¢ ) cosx = cosβ ⇔ x = ± β + k 3600 ( k ∈ ¢ ) cosx = a ⇔ x = ± arccosa + k 2π ( k ∈¢ ) Tổng quát: cosf ( x ) = cosg ( x ) ⇔ f ( x ) = ± g ( x ) + k 2π ( k ∈ ¢ ) Ví dụ: Giải phương trình sau: a ) cos x = cos π a ) cos x = cos π π ⇔ x = ± + k 2π ( k ∈ ¢ ) 4 Giải d ) cos x = 3 ⇔ x = ± arccos + k 2π , k ∈ ¢ 4 21 Phương trình tan x = a ( k ∈¢) ⊕ tan x = t anβ ⇔ x =β + k1800 ( k ∈ ¢ ) ⊕ tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ tan x = t anα ⇔ x = α + kπ Tổng quát: tan f ( x ) = tan g ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) Ví dụ: Giải phương trình sau: a ) tan x = tan π b) tan x = − ( ) c ) tan x − 200 = Giải a ) tan x = tan π π ⇔ x = + kπ , ( k ∈ ¢ ) 3 1 π  1  1 b) tan x = − ⇔ x = arctan  − ÷+ kπ ⇔ x = arctan  − ÷+ k , ( k ∈ ¢ ) 4  3  3 ( ) ( ) c) tan x − 200 = ⇔ tan x − 200 = tan 60 ⇔ x − 20 = 600 + k1800 ⇔ x = 800 + k1800 ⇔ x = 200 + k 450 , ( k ∈ ¢ ) Phương trình cot x = a ( k ∈¢) ⊕ cot x = cot β ⇔ x = β + k1800 ( k ∈ ¢ ) ⊕ cot x = a ⇔ x = arc cot a + kπ ( k ∈ ¢ ) ⊕ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ Tổng quát: cotf ( x ) = cotg ( x ) ⇔ f ( x ) = g ( x ) + kπ ( k ∈ ¢ ) 21 Ví dụ: Giải phương trình sau: a ) cot 3x = cot 3π π  c) cot  x − ÷ = 6  b) cot x = −3 Giải a ) cot x = cot 3π 3π π π ⇔ 3x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) 7 b) cot x = −3 ⇔ x = arctan ( −3) + kπ ⇔ x = π arctan ( −3) + k , ( k ∈ ¢ ) 4 π π π π π π π π   c ) cot  x − ÷ = ⇔ cot  x − ÷ = cot ⇔ x − = + kπ ⇔ x = + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) 6 6 6 6   II Phương trình đặc biệt Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: a Định nghĩa:Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at + bt + c = , a, b, c số ( a ≠ 0) t hàm số lượng giác a.sin f ( x) + b.cos f ( x) + c = ⇒ Thay sin f ( x) = − cos f ( x) a.cos f ( x) + b.sin f ( x) + c = ⇒ Thay cos2 f ( x) = − sin f ( x ) a cos f ( x) + b cos f ( x) + c = ⇒ Thay cos f ( x) = cos f ( x) − a cos f ( x) + b sin f ( x) + c = ⇒ Thay cos f ( x) = − 2sin f ( x) a.tan f ( x) + b cot f ( x ) + c = ⇒ Thay cot f ( x) = tan f ( x) b Phương pháp:Đặt ẩn phụ t hàm số lượng giác đưa phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa phương trình lượng giác (chú ý điều kiện sin cos) Ví dụ: a) b) 2sin x + sin x − = cos x + 3cosx − = phương trình bậc hai sin x phương trình bậc hai cos x 21 −1 ≤ t ≤ đặt t Giải 2sin x + sin x − = 0(1) a) t = sin x Đặt , điều kiện t ≤1 Phương trình (1) trở thành: t = ( nhân ) 2t + t − = ⇔  t = ( loai )  2 Với t=1, ta sin x = ⇔ x = k 2π ( k ∈ ¢ ) b) cos x + 3cosx − = ( ) t = cosx Đặt , điều kiện t ≤1 Phương trình (2) trở thành:  −3 + 13 ( nhân ) t = 2  t + 3t − = ⇔  −3 − 13 ( loai ) t =  t= Với c) d) −3 + 13 cosx = ta tan x − tan x − = −3 + 13 −3 + 13 ⇔ x = ± arccos + k 2π ( k ∈ ¢ ) 2 (3) 3cot x − cot x + = (4) 21 Phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình sau: b)7 tan x − cot x = 12 a )3sin 2 x + cos x − = Giải a )3sin 2 x + cos x − = ⇔ ( − cos 2 x ) + cos x − = ⇔ 3cos 2 x − cos x = ⇔ cos x ( 3cos x − ) = cos x = ⇔ 3cos x − = cos x = ⇔ x = *) Giải phương trình: π π π + kπ ⇔ x = + k , ( k ∈ ¢ ) 3cos x − = ⇔ cos x = *) Giải phương trình: Vì >1 nên phương trình 3cos x − = vô nghiệm x= Kết luận: nghiệm phương trình cho π π + k ,( k ∈¢) b)7 tan x − cot x = 12 ( 1) Điều kiện: sin x ≠ cos x ≠ ( 1) ⇔ tan x − Khi đó: Đặt t = tan x − 12 = ⇔ tan x − 12 tan x − = tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t: 21 7t − 4t − 12 = Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 1) 2cos2 x − 3cos x + = 2) cos x + sin x + 1= 3) 2cos2x − 4cos x = 4) 2sin x + 5sinx – = cos x + sin x − = 5) 6) π  sin   x − ÷+ 2cos 3  π    x − ÷ = 3  Phương trình bậc sin x cos x : a.Định nghĩa: Phương trình bậc sin x cos x phương trình có dạng a sin x + b cos x = c Ví dụ: a, b, c ∈ ¡ a + b2 ≠ sin x + cos x = 1; 3cos x − 4sin x = 1; b Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho 21 a + b2 ta được: a a2 + b2 sin x + c a + b2 Nếu c a +b Nếu b a2 + b2 cos x = c a + b2 >1 : Phương trình vô nghiệm ≤1 a cosα = a +b đặt sin α = (hoặc a a +b 2 ⇒ cosα = có nghiệm a + b2 b a + b2 ) c a2 + b2 Đưa phương trình dạng: lượng giác c ≤ a + b2 b 2 sin ( x + α ) = Chú ý: Phương trình ⇒ sin α = cos ( x − α ) = (hoặc a sin x + b cos x = c c a2 + b2 a , b, c ∈ ¡ ) sau giải phương trình a + b2 ≠ Ví dụ: giải phương trình sau: a) sin x + cos x = 1; b) 3cos x − sin x = 1; 4.Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx: a.Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx phương trình có dạng a.sin x + b.sin x cos x + c.cos x = d ( a, b, c ≠ ) 21 b.Phương pháp: ⊕ Kiểm tra ⊕ cos x ≠ cos x = có nghiệm không, có nhận nghiệm chia hai vế cho cos x đưa phương trình bậc hai theo tan x : ( a − d ) tan x + b tan x + c − d = Có thể thay xét cosx, ta thay việc xét sinx Ví dụ: Giải phương trình sau 1) 3) 3sin x − 4sin x cos x +5cos x = 25sin x + 15sin x + cos x = 25 2) 4) 21 cos x − 3 sin x − sin x = −4 4sin x − 5sin x cos x − cos x = Phương trình đối xứng a Phương trình đối xứng có dạng : a(sin x ± cos x ) + b.sin x cos x = c b Phương pháp Đặt: sinx + cosx =t, điều kiện Sinx – cosx =t điều kiện t≤ t≤ sinx.cosx = Thay vào phương trình ta phương trình bậc theo t Phương trình đưa dạng tích Ví dụ Giải phương trình: 2sin x(1 + cos x ) + sin x = + 2cos x (4) Giải Cách 1: ( ) ⇔ 2sin x.2cos2 x + 2sin x cos x = + 2cos x ⇔ ( 2cos x + 1) ( 2sin x cos x − 1) =  cos x = −  ⇔  sin x = Cách 2:  ( ) ⇔ 2sin x cos x − (1 − sin x) − 2(cos x − sin x) = ⇔ 2sin x ( cos x − sin x ) ( cos x + sin x ) − ( cos x − sin x ) − ( cos x − sin x ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x + 2sin x − cos x + sin x − ) = ⇔ ( cos x − sin x ) ( 2sin x cos x − 2cos x − cos x + sin x ) = Ví dụ 2.Giải phương trình: cos x + 3sin x + 5sin x − 3cos x = 21 (5) Giải ( 5) ⇔ (6sin x cos x − 3cos x) − (2sin x − 5sin x + 2) = ⇔ 3cos x(2sin x − 1) − (2sin x − 1)(sin x − 2) = ⇔ (2sin x − 1)(3cos x − sin x + 2) = SƠ ĐỒ CON ĐƯỜNG 21 Để giải phương trình lượng giác bạn làm theo sơ đồ bước hướng dẫn theo chiều mũi tên, có điều cần giải đáp bạn giơ tay hỏi giảng viên để hướng dẫn ! III BÀI TẬP LÀM THEO NHÓM * Giải phương trình sau: 21 IV BÀI TẬP VỀ NHÀ Bài : Giải phương trình lượng giác sau cos x − sin x = + sin x cos3 x − 4sin x − 3cos x.sin x + sin x = cot x − = cos x + sin x − sin x + tan x sin x + cos x + cos x = sin x − 4sin x + cos x = tan x.sin x − 2sin x = 3(cos x + sin x cos x) cos x − cos x + 3cos x − = (2 cos x − 1)(2sin x + cos x) = sin x − sin x cos x + cos x + cos x + cos x = 10 11 sin x + sin x = cos 2 x + cos x sin 2 x + cos x = Bài : Chứng minh đẳng thức lượng giác sau = 21 ... ngữ lượng giác YÊU CẦU: - Chứng minh công thức lượng giác dựa vào đường tròn lượng giác? - Học thuộc cách xác định góc đặc biệt CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC 21 I chứng minh đẳng thức lượng giác. .. mục đích sau để giải phương trình lượng giác chứng minh đẳng thức lượng giác bắt đầu phần lớn nhớ giao tiếp ngôn ngữ đường tròn lượng giác ! 21 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Hàm số y = sinx Hàm số y= cosx... = – + +3-3 =2 = VT = = = = = = c 21 II Tính giá trị hàm lượng giác Phương pháp: biến đổi công thức lượng giác dựa vào công thức lượng giác ban đầu xét khoảng xác định cần tính Ví dụ: α thỏa mãn: