CHUYÊN ĐỀ 10: HÌNH HỌC OXY Hình học Oxy chuyên đề khó, để học tốt phần học sinh cần có kiến thức tốt hình học phẳng Thường câu hỏi phần câu hỏi phân loại học sinh PHẦN I: CÁC CÔNG THỨC CƠ BẢN r Xét hệ trục tọa độ Oxy với Ox trục hoành nằm ngang với vectơ đơn vị i , Oy r trục tung vectơ đơn vị j , Oy vuông góc với Ox gốc tọa độ O, ta có công thức sử dụng sau: • Công thức độ dài: Nếu có hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) độ dài đoạn thẳng AB tính theo công thức AB = ( xB − xA ) + ( yB − yA ) • Công thức tính tọa độ vectơ: • Phép cộng trừ hai vectơ: r r r r Nếu có a = ( a1 ;a ) , b = ( b1; b ) a ± b = ( a1 ± a ; b1 ± b ) • Hai vectơ nhau: hai vectơ dài nhau, phương, hướng uuur Nếu có hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( x B ; y B ) AB = ( x B − x A ; y B − y A ) r r r r a1 = b1 Nếu có a = ( a1 ;a ) , b = ( b1; b ) a = b ⇔  (hoành hoành, tung tung) a = b • Tích số vectơ: r r Cho vectơ a ka với k số thực khác 0: r r r - Nếu k > : ka vectơ dài gấp k lần vectơ a hướng với a r r r - Nếu k < : ka vectơ dài gấp k lần vectơ a ngược hướng với a r r Về mặt tọa độ: a = ( a1 ;a ) ka = ( ka1 ; ka ) • Tích vô hướng haivectơ: Trang r r r r r Định nghĩa Người ta gọi tích số a b cos a; b tích vô hướng hai vectơ a ( ) rr r r r r r b kí hiệu a.b = a b cos a; b r r rr Về mặt tọa độ: Nếu có a = ( a1 ;a ) , b = ( b1; b ) a.b = a1.a + b1.b ( ) • Hai vectơ vuông góc: r r r r Nếu có a = ( a1 ;a ) , b = ( b1; b ) a ⊥ b ⇔ a1b + a b = (hoành nhân hoành cộng tung nhân tung = 0) • Cos góc hai vectơ: rr r r r r a.b a1b1 + a b Nếu có a = ( a1 ;a ) , b = ( b1; b ) cos a, b = r r = a.b a12 + a 22 b12 + b 22 ( ) • Cos góc hai đường thẳng: Nếu có d1 : a1 x + b1 y + c1 = 0, d : a x + b y + c = uur uuu r n d1 n d2 uur uuu r a1a + b1b cos ( d1 ;d ) = cos n d1 , n d = uur uuu r = với n d1 n d2 a12 + b12 a 22 + b 22 ( ) uur uuu r n d1 = ( a1 ; b1 ) , n d = ( a ; b ) Điểm thuộc đường thẳng: Nếu có đường thẳng d : ax + by + c = A ( x A ; y A ) ∈ d ⇔ ax A + by A + c = • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Nếu có đường thẳng d : ax + by + c = A ( x A ; y A ) khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d tính theo công thức d [ A, d ] = • ax A + by A + c a + b2 Vị trí tương đối điểm so với đường thẳng: Cho đường thẳng d : ax + by + c = với a + b ≠ hai điểm A ( x A ; y A ) ; B ( x B ; y B ) +Nếu ( ax A + by A + c ) ( ax B + by B + c ) > A, B nằm bên (cùng nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d) + Nếu ( ax A + by A + c ) ( ax B + by B + c ) < A, b nằm khác bên (mỗi điểm nằm nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d) • Vị trí tương đối hai đường thẳng: Trang Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1 y + c1 = d : a x + b y + c = (giả sử a , b ≠ ) + Nếu a1 b1 ≠ hai đường thẳng cắt a b2 + Nếu a1 b1 c1 = ≠ hai đường thẳng song song a b1 c2 + Nếu a1 b1 c1 = = hai đường thẳng trùng a b1 c2 PHẦN II: BÀI TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng có phương trình tổng quát dạng ax + by + c = với a + b ≠ Chú ý: Nếu đường thẳng d qua điểm A ( x A ; y A ) có vectơ pháp tuyến uur n d = ( a; b ) đường thẳng d có phương trình d : a ( x − x A ) + b ( y − y A ) = Chú ý: - Vectơ pháp tuyến đường thẳng vectơ có phương vuông góc với đường thẳng - Vectơ phương đường thẳng vectơ có phương song song với đường thẳng uur uur - Nếu vectơ phương n d = ( a; b ) ⇒ u d = ( − b;a ) Dưới hai toán viết phương trình đường thẳng biến thể, sử dụng công thức khoảng cách, công thức góc để giải Bài toán viết phương trình đường thẳng sử dụng khoảng cách: Nếu đường thẳng d qua điểm A ( x A ; y A ) khoảng cách từ điểm I (biết tọa độ) đến d h ta viết phương trình đường thẳng d  13  Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng DM qua E ( −2; −1) khoảng cách từ I  ; ÷  2 đến DM Trang 45 r Gọi n = ( a; b ) với a + b ≠ vectơ pháp tuyến đường thẳng DM 2 Phương trình đường thẳng DM a ( x + ) + b ( y + 1) = 0, ( a + b > ) d ( I; DM ) = 45 ⇔ 21 a+ b a +b 2 = 45 ⇔ 7a + 6b = ( a + b )  22a = −31b ⇔ 44a + 84ab + 31b = ⇔   2a = −b TH1: Với 22a = −31b ta chọn a = 31; b = −22 Suy ra, phương trình DM 31x − 22y + 40 = TH2: Với 2a = −b ta chọn a = 1; b = −2 Suy ra, phương trình đường thẳng DM x − 2y = Bài toán viết phương trình đường thẳng sử dụng góc: Nếu đường thẳng d1 qua điểm A ( x A ; y A ) tạo với d : ax + by + c = góc α ta viết phương trình đường thẳng d1 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng EC tạo với đường thẳng CN góc 45 0? Biết CN có phương trình: y − = E ( −1;7 ) r 2 Gọi n = ( a; b ) vtpt đường thẳng EC ( a + b ≠ ) Do góc EC CN 450 nên: b a + b2 = a = b ⇔ 4b = 2b + 2a ⇔  a = −b r * Với a = −b , chọn n = ( 1; −1) suy phương trình EC : x − y + = Do C giao điểm CN EC nên C ( −7;1) (loại) r * Với a = b , chọn n = ( 1;1) suy phương trình EC : x + y − = PHẦN III: BỔ SUNG CÁC KIẾN THỨC HÌNH HỌC PHẲNG Định lý hàm số cos: Cho tam giác ABC ta có: AB2 = AC2 + BC2 − 2AC.AB.cos ∠C Trang AC2 = AB2 + BC2 − 2AB.AC.cos ∠B BC2 = AC2 + AB2 − 2AC.AB.cos ∠A Định lý hàm số sin: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp R, ta có: BC AC AB = = = 2R sinA sin B sin C Tính chất phân giác: Cho tam giác ABC có phân giác góc A AD, ta có: + BD AB = DC AC + Điểm đối xứng M (bất kì) thuộc AB qua phân giác AD thuộc AC + Điểm đối xứng N thuộc AC qua phân giác AD thuộc AB Tính chất trung điểm: uur uur r - Điểm I trung điểm đoạn thẳng AB IA + IB = uuu r uuuu r uuur - Nếu I trung điểm đoạn thẳng AB với điểm M ta có 2MI = MA + MB Tính chất trọng tâm: uuur uuur uuur r - Điểm G trọng tâm tam giác ABC GA + GB + GC = uuuu r uuuu r uuur uuur - Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta có 3MG = MA + MB + MC Tính chất đường trung bình tứ giác: - Cho tứ giác ABCD có E, F trung điểm AD, BC uur uuur uuur Ta có: 2EF = AB + DC Điều kiện để ba điểm thẳng hàng: - Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng có số uuur uuur k khác không cho AB = kAC Hệ thức vectơ liên hệ trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác: Cho tam giác ABC có trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O, trọng tâm G Ta có: uuur uuur uuur uuur - OA + OB + OC = OH uuur uuur uuur uuur - HA + HB + HC = 2HO uuur uuur - OH = 3OG Trang PHẦN IV: MỘT SỐ CÂU HỎI LÍ THUYẾT Ví dụ 1: Cho tam giác MNP có E trung điểm MN Phát biểu sau ? uuur uuuu r r uuur uuu r uuu r A ME + MN = B PM + PN = 2PE uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuuu r r C PM + PN = 3PE D PM + PN + NM = Dựa theo tính chất trung điểm ta thấy Chọn đáp án B uuur uuur Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, biết GA = ( 0;1) , GB = ( −2;3 ) Tính tọa độ uuur vectơ GC ? uuur uuur uuur uuur A GC = ( −1;3) B GC = ( 1; ) C GC = ( 2; −4 ) D GC = ( 1; −2 ) uuur uuur uuur Ta có: GA + GB + GC = = ( 0;0 ) Chọn đáp án C Ví dụ 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD có E, F trung điểm AD uuur uuur BC Biết AB = ( 1; ) , DC = ( −3;1) E ( 1;0 ) Tìm tọa độ điểm F Theo tính chất đường trung bình tứ giác ta có x = uur uuur uuur  ( x F − 1) = −2  F 2EF = AB + DC ⇔  ⇔  y F =  ( y F − ) =  3 Vậy F  0; ÷  2 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác I Phát biểu sau đúng: uuur uuur A OH = 3OG uuur uuur uuur uuur C HA + HB + HC = 3HO uuur uuur B AG = AH uuur uuur uuur uuur D OA + OB + OC = OG Chọn đáp án A Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có góc ∠A = 600 , bán kính đường tròn ngoại tiếp R = Phát biểu sau ? A Cạnh BC có độ dài lớn B Cạnh AC có độ dài lớn C Cạnh AB có độ dài lớn D Cạnh AC có độ dài lớn Trang Ta có 2R = a BC = ⇒ BC = 2R.sin 60 = = nên sin A sin 60 Chọn đáp án A Tại b, c, d không ? Vì ∠A = 600 nên hai góc lại có góc lớn 600 xác định góc B, hay góc C nên khẳng định b hay c Chú ý cạnh đối diện với góc lớn cạnh dài Còn d sai 2R = b AC = ⇒ AC = 2R.sin B ≤ 2R = sin B sinB Ví dụ 6: Phát biểu sau đúng: A Góc hai vectơ nhỏ 90 độ B Góc hai đường thẳng lớn 90 độ C Hai vectơ dài phương r r D 2a vectơ hướng với vectơ a Chọn đáp án D PHẦN V: MỘT SỐ BÀI TOÁN VÍ DỤ Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I ( 1;3) Gọi N điểm thuộc cạnh AB cho AN = AB Biết đường thẳng DN có phương trình x + y − = AB = 3AD Đáp án sau xác nhất: A B ( 9; −3) B B ( 9; −3) BD : 4x + 3y − 13 = C B ( 9; −3) B ( −5;11) D B ( −1;1) Phân tích: · - Để cho DN : x + y − = 0, I ( 1;3 ) nằm DB nên tính cos BDN viết phương trình BD Từ giải hệ DN BD tìm D - Dùng công thức trung điểm suy B · - Làm tính cos BDN ? Khi đề cho hình chữ nhật có mối quan hệ chiều rộng mà chiều dài nên đặt chiều rộng AD = x , sau tính cạnh lại theo x, sau tính · cos BDN Lời giải Đặt AD = x ( x > ) ⇒ AB = 3x, AN = 2x, NB = x, DN = x 5, BD = x 10 Trang Xét tam giác BDN theo định lý cos có: · cos BDN = BD + DN − NB2 = 2BD.DN 10 r 2 Gọi n ( a; b ) ( a + b ≠ ) vectơ pháp tuyến BD, BD qua điểm I ( 1;3) PT BD: ax + by − a − 3b = D = BD ∩ DN ⇒ D ( 7; −5 ) ⇒ B ( −5;11) r uu r · cos BDN = cos n, n1 = ( ) a+b a + b2 = 3a = 4b ⇔ 24a + 24b − 50ab = ⇔  10  4a = 3b Với 3a = 4b chọn a = 4; b = , PT BD: 4x + 3y − 13 = ⇒ D = BD ∩ DN ⇒ D ( 7; −5 ) ⇒ B ( −5;11) Với 4a = 3b chọn a = 3; b = , PT BD: 3x + 4y − 15 = ⇒ D = BD ∩ DN ⇒ D ( −7;9 ) ⇒ B ( 9; −3 ) Đáp án C Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC Hai điểm M ( 4; −1) , N ( 0; −5 ) thuộc AB, AC phương trình đường phân giác góc A  5 x − 3y + = , trọng tâm tam giác ABC G  − ; − ÷ Tìm tọa độ đỉnh tam  3 giác ABC ? A A ( 1; ) , B ( −2;5 ) , C ( −1;12 ) B A ( 1; ) , B ( −2;5 ) , C ( 0;1) C A ( 1; ) , B ( −1;5 ) , C ( −1;12 ) D A ( 1;0 ) , B ( −2;5 ) , C ( −1;12 ) Phân tích: - Ta thấy A thuộc đường phân giác góc A: x − 3y + = , cần viết phương trình AC tìm A - Trên AC có điểm N, cần tìm thêm điểm Chú ý lấy M' đối xứng với M qua phân giác ta có M' thuộc cạnh AC - Tìm M' viết phương trình AC từ suy A Có A, M viết phương trình AB - Gọi B, C tham số hóa dựa vào B thuộc AB, C thuộc AC Áp dụng công thức trọng tâm tìm tọa độ B, C Lời giải Trang Từ M kẻ MM' vuông góc với phân giác góc A I, M ' ∈ AC ⇒ I trung điểm MM' Phương trình MM' là: 3x + y − 11 = Tọa độ điểm I nghiệm hệ: 3x + y − 11 =  14 13  ⇒ I ; ÷  5 5  x − 3y + =  31  M' đối xứng với M qua I ⇒ M '  ; ÷ 5  Đường thẳng AC qua N M' nên có phương trình: x y+5 = ⇔ 7x − y − = 7x − y − = ⇒ A ( 1; ) Tọa độ A nghiệm hệ:   x − 3y + = Đường thẳng AB qua A, M nên có phương trình: x + y − = Gọi B ( b;3 − b ) , C ( c;7c − ) Do G trọng tâm tam giác ABC nên ta có:  b + c = −3  b = − ⇔ ⇒ B ( −2;5 ) , C ( −1;12 )   b − 7c = c = −1 Vậy tọa độ đỉnh tam giác ABC là: A ( 1; ) , B ( −2;5 ) , C ( −1;12 ) Đáp án A Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có DC = BC , tâm I ( −1; ) Gọi M trung điểm cạnh CD, H ( −2;1) giao điểm hai đường thẳng AC BM Tìm tọa độ điểm B? ( ( ) )  B −1 − 2;1 + 2 B   B −1 + 2;1 − 2  ( ( ) )  B −2 − 2;1 + D   B −2 + 2;1 −   B −2 − 2;1 + 2 A   B −2 + 2;1 − 2   B −3 − 2;1 + 2 C   B −3 + 2;1 − 2  ( ( ) ) ( ( ) ) Phân tích: - Có tọa độ I, H nên ta dễ dàng viết phương trình IH - Có BM, CI trung tuyến tam giác BCD nên H trọng tâm tam giác BCD, từ ta có uur uur IA = 3HI nên suy tọa độ điểm A Trang Vẽ hình xác ta thấy BM vuông góc với AC (phải chứng minh), BM lại qua H nên viết phương trình BM Tham số hóa điểm B, lại có IA = IB từ giải tọa độ điểm B Lời giải uur Ta có IH = ( −1; −1) Nên đường thẳng IH có phương trình x − y + = Từ giả thiết suy H trọng tâm ∆BCD uur uur ⇒ IA = 3HI ⇒ A ( 2;5 ) Ta có HB = 2 BC BM = BC2 + CM = 3 BC HC = AC = 3 ⇒ HB2 + HC2 = BC nên BM ⊥ AC uur ⇒ BM qua H ( −2;1) , nhận IH = ( −1; −1) làm VTPT có phương trình x + y + = => Tọa độ B có dạng B ( t; − t − 1) Lại có IB = IA nên 18 = ( + t ) + ( t + 3) ⇔ t + 4t − =  t = −2 − ⇔ Do  t = −2 + ( (  B −2 − 2;1 + 2   B −2 + 2;1 − 2  ) ) Đáp án A Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang OABC (O gốc tọa độ) có diện tích 6, OA song song với BC, đỉnh A ( −1; ) , đỉnh B thuộc đường thẳng ( d1 ) : x + y + = , đỉnh C thuộc đường thẳng ( d ) : 3x + y + = Đáp án sau xác nhất: A Chỉ có cặp B, C thỏa mãn yêu cầu toán B ( −2;1) , C ( 1; −5 ) B Chỉ có cặp B, C thỏa mãn yêu cầu toán B ( C B ( −2; ) D B ( ) 7; −1 − , C −1 − 7;1 + B ( −2;1) , C ( 1; −5 ) Phân tích: Trang 10 ) ( ) ( 7; −1 − , C −1 − 7;1 + ) Ta có d ( D, AG ) = 3.7 − ( −2 ) − 13 + ( −1) 2 = 10 ∆ABM vuông cân ⇒ GA = GB ⇒ GA = GB = GD Vậy G tâm đường tròn ngoại tiếp ABD · · ⇒ AGD = 2ABD = 900 ⇒ ∆GAD vuông cân G Do GA = GD = d ( D; AG ) = 10 ⇒ AD = 20 Gọi A ( a;3a − 13) , a < a = ( loai ) 2 AD2 = 20 ⇔ ( a − ) + ( 3a − 11) = 20 ⇔  a = Vậy A ( 3; −4 ) r Gọi VTPT AB n AB ( a; b ) uuur uuur · cos NAG = cos n AB , n AG = ( ) · Mặt khác cos NAG = Từ (1) (2) ⇒ NA = AG 3a − b a + b 10 3a − b (1) a + b 10 NM NA + NG = = 3NG 9.NG + NG 2 = (2) 10 b = ⇔ 6ab + 8b = ⇔  10 3a = −4b Với b = chọn a = ta có AB : x − = Với 3a = −4b chọn a = 4; b = −3 ta có AB : 4x − 3y − 24 = Nhận thấy với AB : 4x − 3y − 24 = ; d ( D; AB ) = 4.7 − ( −2 ) − 24 16 + = < d ( D; AG ) = 10 (loại) Vậy AB : x − = Đáp án A Ví dụ 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Gọi H hình chiếu A lên đường thẳng BD, E, F trung điểm đoạn CD BH Biết A ( 1;1) , phương trình đường thẳng EF 3x − y − 10 = điểm E có tung độ âm Tìm tọa độ đỉnh B, C, D Trang 28  B ( 1;5 )  A C ( 5; −1)   D ( 3; −1)  B ( 2;5 )  B C ( 5; −1)   D ( 1; −1) B ( 1;5 )  C C ( 6; −1)  D ( 1; −1)  B ( 1;5 )  D C ( 5;1)   D ( 1; −1) Lời giải Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CD, BHAB Ta chứng minh AF ⊥ EF Ta thấy tứ giác ADEG ADFG nội tiếp nên tứ giác ADEF nội tiếp, AF ⊥ EF Đường thẳng AF có phương trình: x + 3y − = Tọa độ điểm F nghiệm hệ: 17   x = 3x − y = 10 32  17  ⇔ ⇒ F  ; ÷ ⇒ AF =   5  x + 3y = y =  Theo giả thiết ta E ( 3; −1) , phương trình AE : x + y − = Gọi D ( x; y ) , tam giác ADE ( x − 1) + ( y − 1) = ( x − ) + ( y + 1)  AD = DE ⇔ vuông cân D nên   AD ⊥ DE ( x − 1) ( x − 3) = ( y − 1) ( y + 1) 2 2  y = x − x = x = ⇔ ⇔ ∨ hay D ( 1; −1) ∨ D ( 3;1) ( x − 1) ( x − 3) =  y = −1  y = Vì D F nằm hai phía so với đường thẳng AE nên D ( 1; −1) Khi đó, C ( 5; −1) ; B ( 1;5 ) Vậy B ( 1;5 ) ;C ( 5; −1) D ( 1; −1) Đáp án D Ví dụ 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD, đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : 2x − y + = , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H hình chiếu 9 2 B xuống đường chéo AC Biết M  ; ÷; K ( 9; ) thuộc trung điểm AH CD Tìm 5 5 hoành độ đỉnh hình chữ nhật biết hoành độ đỉnh C lớn Trang 29 A ( 15;0 )  B ( 1; ) A  C ( 9; ) D 9;0 )  (  A ( 17;0 )   B ( 3; ) B  C ( 9; )  D 9;0 )  (  A ( 17;0 )   B ( 1; ) C  C ( 9; )  D 9;0 )  (  A ( 17;0 )   B ( 1; ) D  C ( 9; )  D 1;0  ( ) Lời giải + Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt BH, BC P, N Tứ giác MKCP hình bình hành MP / /CK, MP = CK = AB + Mặt khác ta có MN ⊥ BC BH ⊥ MC suy P trực tâm tam giác MBC Vậy CP ⊥ BM suy MK ⊥ MB + Gọi B ( b; 2b + ) uuur  r  36   uuuu ⇒ MB =  b − ; 2b + ÷, MK =  ; ÷ 5   5 uuur uuuu r Vì MB.MK = ⇒ b = ⇒ B ( 1; ) + BC ⊥ CK nên ta có C ( 9; ) D ( 9;0 ) ⇒ A ( 17;0 ) Đáp án A Ví dụ 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với   A ( −1; ) , B ( 3;0 ) , C  − ;0 ÷ điểm M ( 1;0 ) cạnh BC Hãy xác định tọa độ điểm N   AB điểm P AC cho chu vi tam giác MNP nhỏ nhất?  N ( 2;5 ) A  P ( −2;3 )  N ( 1; )  B    P  − ; ÷     N ( 2;5 ) C  P ( −2; )  N ( 2;5 ) D  P ( −7;3) Lời giải Gọi K điểm đối xứng M qua AC H điểm đối xứng M qua AB Chu vi tam giác MNP = MN + NP + PM = KN + NP + PH ≥ HK không đổi Dấu xảy H, N, P, K thẳng hàng Vậy chu vi tam giác MNP nhỏ HK Khi H, N, P, K thẳng hàng Tìm N, P Trang 30 Gọi I hình chiếu vuông góc M AC ⇒ I ( 2;1) K ( 3; ) Gọi J hình chiếu vuông góc M AB ⇒ J ( −2;1) H ( −5; ) Phương trình đường thẳng AB : 3x − y + = 0; AC : x + y − = 0; HK : y − = N = HK ∩ AC, P = HK ∩ AB   Do tọa độ điểm N, P cần tìm là: N ( 1; ) , P  − ; ÷   Đáp án B Ví dụ 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC? Biết hình chiếu vuông góc C đường thẳng AB điểm H ( −1; −1) , đường phân giác góc A có phương trình x − y + = đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y − =  10  A C  ; ÷  4  10  B C  ; ÷  4  10  C C  − ; ÷  4 5 3 D C  ; ÷ 3 4 Lời giải d1 : x − y + = d : 4x + 3y − = Vì d1 phân giác góc A nên đường thẳng l qua H vuông góc với d1 cắt AC điểm H' đối xứng với H qua d1 Gọi I giao điểm l d1, I trung điểm HH' Phương trình đường thẳng l: y + = − ( x + 1) Tọa độ điểm I nghiệm hệ:  x − y + = ⇔ I ( −2;0 )   y + = − ( x + 1) Gọi tọa độ H'(a;b) a − = 2x l = −4   ⇒ H ' ( −3;1) b − = 2y l =  Đường thẳng AC qua H ' ( −3;1) AC ⊥ d : 4x + 3y − = nên AC có hệ số góc k = nên có phương trình là: y − = Trang 31 3 13 ( x + 3) ⇔ y = x + 4 4 x − y + =  ⇔ A ( 5;7 ) Suy tọa độ điểm A:   y = ( 3x + 13) uuur CH qua H ( −1; −1) có vtpt HA = ( 6;8 ) = ( 3; ) Phương trình CH dạng: ( x + 1) + ( y + 1) = ⇔ 3x + 4y + = 3x − 4y + 13 =  10  ⇒ C − ; ÷ C = AC ∩ CH nên tọa độ C nghiệm hệ:   4 3x + 4y + = Đáp án A Ví dụ 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD ngoại tiếp đường tròn (C) có phương trình ( x − 1) + ( y + 1) = 20 Biết AC = 2BD điểm B thuộc đường 2 thẳng d : 2x − y − = Viết phương trình cạnh AB hình thoi ABCD biết điểm B có hoành độ dương ?  AB : 2x + y − 11 = A   AB : 2x + y − 40 =  AB : 2x + y − = B   AB : 2x + y − 41 =  AB : x + y − 11 = C   AB : 2x + y − 41 =  AB : 2x + y − 11 = D   AB : 2x + 11y − 41 = Lời giải Gọi I tâm đường tròn (C), suy I ( 1; −1) I giao điểm đường chéo AC BD Gọi H hình chiếu vuông góc I đường thẳng AB Ta có: AC = 2BD ⇒ IA = 2IB Xét tam giác IAB vuông I, ta có: 1 + = 2⇒ = ⇒ IB = 2 IA IB IH 4IB 20 Ta lại có điểm B ∈ d ⇒ B ( b; 2b − ) * IB = ⇔ ( b − 1) + ( 2b − ) b = =5⇔  Chọn b = −  B = (vì b > ) ⇒ B ( 4;3) r Gọi n = ( a; b ) VTTP đường thẳng AB, phương trình đường thẳng AB có dạng: a ( x − ) + b ( y − 3) = Trang 32 Đường thẳng AB tiếp xúc với đường tròn (C) nên ta có: d ( I, AB ) = 20 ⇔ −3a − 4b a + b2 = 20  a= b  ⇔ 11a − 24ab + 4b = ⇔ 11  a = 2b  2 * Với a = 2b , chọn b = 1, a = ⇒ phương trình đường thẳng AB là: 2x + y − 11 = * Với a = b , chọn b = 11, a = ⇒ phương trình đường thẳng AB là: 2x + 11y − 41 = 11 Đáp án B Ví dụ 26: Cho ngũ giác ABCDE Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AB, BC, CD, DE Gọi I, J trung điểm đoạn MP NQ Biết I ( 1; −1) , J ( 0; ) , E ( 4;5 ) Tìm tọa độ điểm A?  10  A  ; ÷  4  10  B  ; ÷  4 C ( 8; −7 ) 5 3 D  ; ÷ 4 4 Dự đoán: Vẽ hình xác thấy IJ song song với AE, điều chưa đủ để tìm A, ta cần ur uuur tỉ lệ độ dài Ở xác ta có 4IJ = AE , ta chứng minh điều Lời giải ur uur uur Ta có: 4IJ = IQ + IN uuu r uu r r Mà IM + IP = đó: uur uur uuu r uuuu r uu r uuu r uuuu r uuu r IQ + IN = IM + MQ + IP + PN = MQ + PN ( = ) uuur uuur uuur uuur AE + BD + DB = AE 2 ( ) ur uuur  ( − 1) = − x A x = ⇔ A Suy 4IJ = AE ⇔   y A = −7  ( + 1) = − y A Đáp án C Ví dụ 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD Các điểm M, N, P, Q lần uuur uuu r lượt trung điểm AB, BC, CD DA Biết A ( 1; ) , ON + OP = ( 3; −1) C có hoành độ Tính x M + x Q ? A B Lời giải uuur uuu r Ta có: ON + OP = ( 3; −1) ⇒ x N + x P = Trang 33 C D r uuur   uuuu MN = AC  x M − x N = ( x A − x C )   2 ⇒ Mà  uuu r uuur  PQ = AC x − x = ( x − x ) Q P A C   ⇒ xM − x N + xQ − xP = ( xA − xC ) ⇔ xM + xQ = ( xA − xC ) + x N + xP = 1− + = Đáp án A PHẦN VI: CÁC BÀI TOÁN TỰ LUYỆN Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Điểm E ( 2;3) thuộc đoạn thẳng BD, điểm H ( −2;3) K ( 2; ) hình chiếu vuông góc điểm E AB AD Xác định tọa độ đỉnh A, B, C, D hình vuông ABCD  A ( −2; )   B ( −2; −1) A  C ( 3; −1)  D 3; )  (  A ( 3; )   B ( −2; −1) B  C ( 3; −1)  D 3; )  (  A ( −2; )   B ( 5; −1) C  C ( 3; −1)  D 3; )  (  A ( −2; )   B ( −2; −1) D  C ( 6; −1)  D 3; )  ( Chọn đáp án A Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (K) Gọi M trung điểm AC; G, E trọng tâm tam giác ABC ABM    22   53  Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC? Biết E  ;11÷, G  2; ÷ K  2; ÷ 3     5  A ( 2; 21)  A  B ( −2;1)  C ( 6;1)  A ( 3; 21)  B  B ( −2;1)  C ( 6;1)  A ( 2; 21)  C  B ( −5;1)  C ( 6;1)  A ( 2; 21)  D  B ( −2;1)  C ( 2;1) Chọn đáp án A Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi H ( 5;5 ) hình chiếu vuông góc đỉnh A cạnh BC, đường phân giác góc A tam giác ABC nằm đường thẳng x − 7y + 20 = Đường thẳng chứa trung tuyến AM tam giác ABC qua điểm K ( −10;5 ) Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết điểm B có tung độ dương ? Trang 34  A ( 1;3)  A  B ( 2; −5 )  C ( 2;0 )  A ( 1;3)  B  B ( 4;7 )  C ( 9; −3)  A ( 1; −3)  C  B ( 2; −5 )  C ( 2;0 ) A ( 1;3)  D B ( 3; −5)  C ( 2; ) Chọn đáp án A Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi E trung điểm  11  3 6 cạnh AD H  ; − ÷ hình chiếu vuông góc B cạnh CE; M  ; − ÷ trung  5 5 5 điểm cạnh BH Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh A có hoành độ âm  A ( −1; )  A  D ( 3; )  C ( 3; −2 )  A ( 1; )  B  D ( 3; )  C ( 3; −2 )  A ( −1; )  C  D ( 5; )  C ( 3; −2 )  A ( −1; )  D  D ( 3; )  C ( 3; ) Chọn đáp án A Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nhọn có đỉnh A ( −1; ) , trực tâm H Đường thẳng AH cắt cạnh BC M, đường thẳng CH cắt cạnh AB N Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN I ( 2;0 ) , đường thẳng BC qua điểm P ( 1; −2 ) Tìm tọa độ đỉnh B, C tam giác biết đỉnh B thuộc đường thẳng d : x + 2y − =  B ( 4; −1) A  C ( −5; −4 )  B ( 4;1) B  C ( −5; −4 )  B ( 4; −1) C  C ( 5; −4 )  B ( 4; −1) D  C ( −5; ) Chọn đáp án A Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC với đường cao AH có phương trình 3x + 4y + 10 = đường phân giác BE có phương trình x − y + = Điểm M ( 0; ) thuộc đường thẳng AB cách đỉnh C khoảng Tính diện tích tam giác ABC A S = 42 B S = 14 C S = 49 D S = 16 Chọn đáp án C Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có C ( −1; −2 ) ngoại tiếp đường tròn tâm I Gọi M, N, H tiếp điểm (I) với cạnh AB, AC, BC Gọi K ( −1; −4 ) giao điểm BI với MN Tìm tọa độ đỉnh lại tam giác ABC? Biết H ( 2;1) Trang 35   −31  A  ; ÷ A   4   B ( −3; −4 )    31  A  ; − ÷ B     B ( −3; −4 )    31  A  ; − ÷ 4 C    B ( 3; −4 )    31  A  ; ÷ D   4   B ( −3; −4 )  Chọn đáp án A Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I; có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x + y − = 0, D ( 2; −1) chân đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A Gọi điểm E ( 3;1) chân đường vuông góc hạ từ B xuống AI; điểm P ( 2;1) thuộc đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC?   A ( 4; )    17  A  B  ; − ÷ 7  7   26  C  ; ÷   7   A ( 0; )    17  B  B  ; − ÷ 7  7   26  C  ; ÷   7   A ( 0; )    17  C  B  ; − ÷ 7  8   26  C  ; ÷   7   A ( 0; )    17  D  B  ; − ÷ 7  7   27  C  ; ÷   7 Chọn đáp án B Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A M trung điểm 8 1 7 1 AB Biết I  ; ÷ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC G ( 3;0 ) , K  ; ÷ lần 3 3  3 lượt trọng tâm tam giác ABC ACM Tìm tọa độ đỉnh A, B, C  A ( 1; −2 )  A  B ( 5;0 )  C ( 3; −2 )  A ( 1; )  B  B ( 5;0 )  C ( 3; −2 )  A ( 1; )  C  B ( 5;0 )  C ( 3; )  A ( 1; )  D  B ( 4;0 )  C ( 3; −2 ) Chọn đáp án B Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I ( 2; ) , · điểm D chân đường phân giác góc BAC Đường thẳng AD cắt đường tròn ngoại tiếp ∆ABC điểm thứ hai M (khác A) Tìm tọa độ điểm A, B, C Biết điểm J ( −2; ) tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ACD phương trình đường thẳng CM là: x + y − = C ( −1;3)    19 23  A  B  ; ÷  5   A ( −1;1)  Trang 36 C ( 1;3)    19 23  B  B  ; ÷  5   A ( −1;1)  C ( −1;3)    19 23  C  B  ; ÷  6   A ( −1;1)  C ( 1; −3)    19 23  D  B  ; ÷  5   A ( −1;1)  Chọn đáp án A Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2BC Gọi H hình chiếu vuông góc A cạnh BD M, N trung điểm cạnh CD, BH Biết điểm A ( 0; −1) , phương trình đường thẳng MN 3x − y − = điểm M có hoành độ nguyên Tìm tọa độ đỉnh B, C, D  B ( 2; −1)  A C ( 3; −3)   D ( 0; −3)  B ( 4;1)  B C ( 4; −3)   D ( 0; −3)  B ( 4; −1)  C C ( 4; −3)   D ( 0; −3)  B ( 4; −1)  D C ( 4; −3)   D ( 6; −3) Chọn đáp án C Bài 12: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân C Các điểm M, N chân đường cao hạ từ A C tam giác ABC Trên tia đối tia AM lấy điểm E cho AE = AC Biết tam giác ABC có diện tích 8, đường thẳng CN có phương trình y − = , điểm E ( −1;7 ) , điểm C có hoành độ dương điểm A có tọa độ số nguyên Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC  A ( 1;3) , B ( 1; −1) , C ( 5;1) A   A ( 3;5 ) , B ( 3; −3 ) , C ( −5;1)  A ( 1;3) , B ( 1; −1) , C ( 5;1) B   A ( 3;5 ) , B ( 3; −3 ) , C ( 5;1)  A ( 1;3) , B ( 1; −1) , C ( 5; −1) C   A ( 3;5 ) , B ( 3; −3 ) , C ( 5;1)  A ( 5;3) , B ( 1; −1) , C ( 5;1) D   A ( 7;5 ) , B ( 3; −3) , C ( 5;1) Chọn đáp án D Bài 13: Cho hình chữ nhật ABCD có A ( 1;5 ) , AB = 2BC điểm C thuộc đường thẳng d : x + 3y + = Gọi M điểm nằm tia đối tia CB, N hình chiếu vuông góc  1 B MD Tìm tọa độ điểm B C biết N  − ; ÷ điểm B có tung độ nguyên  2  B ( 5; −1) A  C ( 2; −3)  B ( 5;1) B  C ( 2; −3) B ( 5; −1) C  C ( 5; −3)  B ( 5;6 ) D  C ( 2; −3) Chọn đáp án A 1 5 1 3 Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Gọi H ( −3;5 ) , I  ; − ÷, K  ; ÷, 2 2 2 2 trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp chân đường cao vẽ từ A tam giác ABC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC? Trang 37  A ( 1;1) , B ( 0;1) , C ( −3; −2 ) A   A ( 1;1) , B ( −3; −2 ) , C ( 0;1)  A ( 1;1) , B ( 5;1) , C ( −3; −2 ) B   A ( 1;1) , B ( −3; ) , C ( 0;1)  A ( 1;1) , B ( 0;1) , C ( 3; −2 ) C   A ( 1;1) , B ( −3; −2 ) , C ( 0;1)  A ( 1;1) , B ( 0;1) , C ( 3; ) D   A ( 1;1) , B ( −3; −2 ) , C ( 0;1) Chọn đáp án A Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là: x + 7y − 32 = , hai đỉnh B, D thuộc đường thẳng d1 : x + y − = 0, d : x − 2y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thoi biết diện tích hình thoi 75 đỉnh A có hoành độ âm ?  A ( −11;3)   B ( 0;8 ) A  C ( 10;3)  D 1;1  ( )  A ( 11;3)   B ( 1;8 ) B  C ( 10;3)  D −1;1 )  (  A ( −11;3)   B ( 0;8 ) C  C ( 10;3)  D −1;1 )  (  A ( −9;3)   B ( 0;8 ) D  C ( 10;3)  D −1;1 )  ( Chọn đáp án C Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với AB / / CD có diện   1 1 tích 14, H  − ;0 ÷ trung điểm cạnh BC I  ; ÷ trung điểm AH Viết   4 2 phương trình đường thẳng AB biết đỉnh D có hoành độ dương D thuộc đường thẳng d : 5x − y + = A ( AB ) : x − y− = B ( AB ) : 3x − y − = C ( AB ) : x − y− = D ( AB ) : 3x − y = Chọn đáp án B Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, tính diện tích tam giác ABC Biết hai điểm H ( 5;5 ) , I ( 5; ) trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC phương trình đường thẳng chứa cạnh BC x + y − = A 12 B C D Chọn đáp án D Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông A, B AD = 2BC Gọi H hình chiếu vuông góc A lên đường chéo BD E trung điểm Trang 38 5  đoạn HD Giả sử H ( −1;3) , phương trình đường thẳng AE : 4x + y + = C  ; ÷ Tìm 2  tọa độ đỉnh A, B D hình thang ABCD  A ( −1;1)  A  B ( 3;3)   D ( −2;3)  A ( 1;1)  B  B ( 3;3)   D ( −2;3)  A ( −1;1)  C  B ( 4;3)   D ( −2;3)  A ( −1;1)  D  B ( 3;3)   D ( 2;3) Chọn đáp án A Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A ( 1; ) , tiếp tuyến A · đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác ADB có phương trình x − y + = , điểm M ( −4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB A ( AB ) : x − y + = B ( AB ) : x − 3y + = C ( AB ) : 5x − 3y + = D ( AB ) : 5x − 3y = Chọn đáp án A Bài 20: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân A có đỉnh A ( 6;6 ) ; đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình: x + y − = Tìm tọa độ đỉnh B C biết điểm E ( 1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho  B ( 0; −4 ) , C ( −4;0 ) A   B ( −6; ) , C ( 2; −6 )  B ( 0; ) , C ( −4;0 ) B   B ( −6; ) , C ( 2; −6 )  B ( 0; −4 ) , C ( 4;1) C   B ( −6; ) , C ( 2; −6 )  B ( 0; −4 ) , C ( −4;0 ) D   B ( 6; ) , C ( 2;6 ) Chọn đáp án A Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đường phân giác · góc ABC qua trung điểm M cạnh AD, đường thẳng BM có phương trình x − y + = , điểm D nằm đường thẳng ∆ có phương trình x + y − = Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD biết đỉnh B có hoành độ âm điểm E ( −1; ) nằm cạnh AB?  A ( −1; )   B ( −1;1) A  C ( 2;1)  D 8; )  ( Trang 39  A ( 1; )   B ( −1;1) B  C ( 5;1)  D 5; )  (  A ( −1; )   B ( 1;1) C  C ( 5;1)  D 5; )  (  A ( −1; )   B ( −1;1) D  C ( 5;1)  D 5; )  ( Chọn đáp án D Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi G trọng tâm tam giác ABC Điểm D thuộc tia đối tia AC cho GD = GC Biết điểm G d : 2x + 3y − 13 = tam giác BDG nội tiếp đường tròn thuộc đường thẳng ( C ) : x + y − 2x − 12y + 27 = Tìm tọa độ điểm B viết phương trình đường thẳng BC, biết điểm B có hoành độ âm tọa độ điểm G số nguyên ?  B ( −2;5 )  B ( 2;5 )  B ( −2;5 )  B ( −2;5 ) A  B  C  D   BC : x + y − =  BC : x + y − =  BC : 2x + y − =  BC : x + y+ = Chọn đáp án A Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH là: 3x − y + = , trung điểm cạnh BC M ( 3;0 ) Gọi E F chân đường cao hạ từ B C đến AC AB, phương trình đường thẳng EF là: x − 3y + = Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương ( C A ( + A A + 2;6 + 2;6 + ) ( D A ( − ) 2) B A + 2;6 + ) 2;6 − Chọn đáp án A Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có đỉnh D ( −7;0 ) · · Một điểm M nằm hình bình hành cho MAB Phương trình đường cao chứa = MCB MB, MC ( ∆1 ) : x + y − = 0; ( ∆ ) : 2x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A, biết A thuộc đường thẳng d : y = 3x A có hoành độ nguyên A A ( 2;7 ) B A ( 3;6 ) C A ( 2;6 ) D A ( 1;6 ) Chọn đáp án C Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I, có đỉnh A thuộc đường thẳng d : x + y − = 0, D ( 2; −1) chân đường cao tam giác ABC hạ từ đỉnh A Gọi điểm E ( 3;1) chân đường vuông góc hạ từ B xuống AI; điểm P ( 2;1) thuộc đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC Trang 40   A ( 6; )    17  A  B  ; − ÷ 7  7   26  C  ; ÷   7   A ( 0; )    17  B  B  ; − ÷ 7  7   26  C  ; ÷   7   A ( 1; )    15  C  B  ; − ÷   7   26  C  ; ÷   7   A ( 3; )    17  D  B  ; ÷   7   26  C  ; ÷   7 Chọn đáp án B Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A ( 2; −2 ) , trọng tâm 1  G ( 0;1) trực tâm H  ;1÷ Tìm tọa độ đỉnh B, C tính bán kính đường tròn 2  ngoại tiếp tam giác ABC   B ( −4;1)  A C ( 2; )   R = 15    B ( 4;1)  B C ( 2; )   R = 15    B ( −4;1)  C C ( 2;3)   R = 15    B ( 7;1)  D C ( 2; )   R = 15  Chọn đáp án A Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD tâm I ( 1; −1) Điểm M nằm cạnh AB cho MA = 2MB Đường thẳng ( CM ) : 2x − y − = Tìm tọa độ đỉnh hình vuông ABCD biết đỉnh C có hoành độ nguyên  A ( 1;1)   B ( 5; −1) A  C ( 9; −3)  D −1; −1 )  (  A ( 2;1)   B ( 3; −1) B  C ( 1; −3)  D −1; −1 )  ( A ( 1;1)  B ( 3; −1) C  C ( 1; −3) D 1;1  ( )  A ( 1;1)   B ( 3; −1) D  C ( 1; −3)  D −1; −1 )  ( Chọn đáp án D Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có A ( 5; −7 ) , điểm C thuộc đường thẳng có phương trình x − y + = Đường thẳng qua D trung điểm đoạn thẳng AB có phương trình 3x − 4y − 23 = Tìm tọa độ điểm B C, biết B có hoành độ dương ?   33 21  B  ; ÷ A   5  C ( 1;5 )  Trang 41   13 21  B  ; ÷ B   5  C ( 1;5 )    33 21  B  ; ÷ C   5  C ( 1; )    33 21  B  ; ÷ D    C ( 1;5 )  Chọn đáp án A Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình ABCD có đường chéo AC nằm đường thẳng d : x + y − = Điểm E ( 9; ) nằm đường thẳng chứa cạnh AB, điểm F ( −2; −5 ) nằm đường thẳng chứa cạnh AD, AC = 2 Xác định tọa độ đỉnh hình thoi ABCD biết điểm C có hoành độ âm  A ( 3;1)   B ( −3;0 ) A  C ( −2;3)  D 1;  ( )  A ( 0;1)   B ( 3;0 ) B  C ( −2;3)  D 1;  ( )  A ( 0;1)   B ( −3;0 ) C  C ( −2;3)  D 1;  ( )  A ( 0;1)   B ( 3;0 ) D  C ( 2;3)  D 1;  ( ) Chọn đáp án C Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A ( 1; ) , tiếp tuyến A · đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC D, đường phân giác ADB có phương trình x − y + = , điểm M ( −4;1) thuộc cạnh AC Viết phương trình đường thẳng AB A ( AB ) : 5x − 3y + = B ( AB ) : 5x + 3y + = C ( AB ) : x − 3y + = D ( AB ) : 5x + 3y − = Chọn đáp án A Bài 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có M trung điểm BC Biết D ( 2; −4 ) đường thẳng AM có phương trình 7x − y + = Tìm tọa độ điểm A?  A ( −1; −5 )  A   11  A − ;−   5 ÷  Chọn đáp án A Trang 42  A ( 1;5 )  B   11  A − ;−   5 ÷   A ( −1; −5 )  C   11  A ;   5 ÷   A ( −1; −4 )  D   11  A − ;−   5 ÷  ... THỨC HÌNH HỌC PHẲNG Định lý hàm số cos: Cho tam giác ABC ta có: AB2 = AC2 + BC2 − 2AC.AB.cos ∠C Trang AC2 = AB2 + BC2 − 2AB.AC.cos ∠B BC2 = AC2 + AB2 − 2AC.AB.cos ∠A Định lý hàm số sin: Cho tam... dạng a ( x − 1) + b ( y − ) = với a + b > Tam giác ABC cân A nên uu r uu r uur uu r cos B = cos C ⇔ cos n1; n = cos n ; n ( ⇔ a + 2b a + b2 = ) 2a + b a +b 2 ( ) a = −b ⇔ a = b  1 Với a = −b... tính cạnh lại theo x, sau tính · cos BDN Lời giải Đặt AD = x ( x > ) ⇒ AB = 3x, AN = 2x, NB = x, DN = x 5, BD = x 10 Trang Xét tam giác BDN theo định lý cos có: · cos BDN = BD + DN − NB2 = 2BD.DN