: PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT CHUYÊN ĐỀ Người xuất sắc vượt trội: Lớp : Chào mừng bạn đến với chuyên đề Để bắt đầu xem học phần PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ – LOGARIT Hàm mũ Hàm logarit Các công thức Phương trình , bất phương trình mũ logarit Nào tìm hiểu phần Hàm số mũ Hàm số logarit Đạo hàm hàm số mũ: (với u hàm số) (với u hàm số) Hàm số mũ Đồ thị hàm số mũ Tập xác định : Tập giá trị : ( Dạng : ( a > , a1 ) Tính đơn điệu: *a>1 : đồng biến * < a < : nghịch biến Tập xác định : Tập giá trị Hàm số logarit Đạo hàm hàm số lôgarit: và (với u hàm số) (với u hàm số) Đồ thị hàm số lôgarít Chúng ta phần ba quãng đường Bây cá phần học Công thức Công thức lũy thừa ho Khi đó: Công thức lôgarit Với điều kiện thích hợp ta có: log a b = α ⇔ aα = b log a = log a a = log a aα = α a loga b = b log a bα = α log a b log aα b = log a b α log am b n = log a log a (m.n) = log a m + log a n log a b = log c b log c a n log a b m m = log a m − log a n n log a b = log b a CÁC CÔNG THỨC GỐC CẦN NHỚ ! Bài toán Phương trình bất phương trình mũ logarit Dạng có phương pháp giải Hãy tớ tìm hiểu phương pháp giải Phương pháp đưa số CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP : a Cho số dương khác Ta có: a) b) a f ( x) = a g ( x) ⇔ f ( x ) = g ( x ) b > x af( ) = b ⇔   f ( x ) = log a b * Lưu ý: Với c) af( - Với - Với x) b a g ( x ) (*) a >1 a f ( ) > a g ( x) ⇔ f ( x ) > g ( x ) x < a a g ( x) ⇔ f ( x ) < g ( x ) x DẤU HIỆU NHẬN BIẾT  Cơ số :  Số mũ : Một số ví dụ để bạn hiểu phương pháp Bài (TN) Giải phương trình sau: 2 a)5 x +3x = 625 b) x −3 x −6 = 16 c) x +1.5 x = 200 Lời giải a)5 x +3 x = 625 ⇔ x +3 x = 54 ⇔ x + x = x = ⇔ x + 3x − = ⇔   x = −4 Vậy phương trình có nghiệm x = x = -4 b) x −3 x − = 16 ⇔ x −3 x − = 24 ⇔ x − x − = x = ⇔ x − 3x − 10 = ⇔   x = −2 Vậy phương trình có nghiệm x = x = -2 c) x +1.5 x = 200 ⇔ 2.2 x.5 x = 200 ⇔ 10 x = 100 ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = Bài (TN) Giải bất phương trình sau: − x2 +7 x +2 a) x2 +3x− 3 b)  ÷ 5 ≤ 49 > 25 Lời giải 2 a) 76 x +3 x−7 ≤ 49 ⇔ x +3 x −7 ≤ ⇔ x + 3x − ≤ ⇔ x + x − ≤ x = VT = ⇔ x + x − = ⇔   x = −3 Xét dấu VT ta tập nghiệm bất phương trình S = [-3; 1] − x2 +7 x +  3 b)  ÷ 5 − x2 +7 x +2  3 > ⇔ ÷ 25 5 Tập nghiệm bất phương trình  3 >  ÷ ⇔ − x2 + x + < ⇔ − x2 + 7x < 5 S = ( −∞;0 ) ∪ ( 7; +∞ ) 23 x − x −10 Bài (ĐH) Giải phương trình: Lời giải Phương trình tương đương: 23 x − x −10 + 22 x 2 − x −8 − 2x + x+ + 4x − 16 = ⇔ 23 x 2 −x−4 − x −14 − 2x + 22 x 2 + x+2 − x −12 − 16 = − 2x + x−2 −1 = ⇔ (22 x −2 x −12 − 1)(2 x + x −2 + 1) = ⇔ 22 x −2 x −12 − = ⇔ 22 x − x −12  x = −2 = 20 ⇔ x − x − 12 = ⇔  x = Vậy phương trình có nghiệm x = −2, x = 2log3 ( 4x − 3) + log1 ( 2x + 3) ≤ Bài 4: Giải bất phương trình Bài giải 4x − > ⇔  2x + >  ♥ Điều kiện: ♥ Khi đó: x >  ⇔ x>  x > −  (1) (*) ( 1) ⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ + log3 ( 2x + 3) ⇔ log3 ( 4x − 3) ≤ log3 [ 9( 2x + 3) ] ⇔ ( 4x − 3) ≤ 9( 2x + 3) ⇔ 16x2 − 42x − 18 ≤ ⇔− ≤x≤3 ♥ So với điều kiện ta nghiệm bpt(1) (1) ⇔ log x + log 22 x + log 23 x = 11 1 ⇔ log x + log x + log x = 11 11 ⇔ log x = 11 ⇔ log x = ⇔ x = 26 = 64 ( nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = 64 b) log5 x + log 25 x = log 0,2 (2) Điều kiện: x > (2) ⇔ log x + log52 x = log 5−1 ⇔ ( ) −1 ⇔ log5 x + log x = log5 3 log x = log ⇔ log x = log 3 ⇔ log x = log5 ( 3) ⇔ log x = log 3 ⇔x=33 Vậy phương trình có nghiệm c ) log x − log x − = 2 x=33 (3) Điều kiện: x > Đặt t = log x  PT (3) trở thành t = t2 − t − = ⇔  t = t = ⇔ log x = ⇔ x = 23 = (thỏa mãn) t = ⇔ log x = ⇔ x = =  (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm x = x = d ) 4log 22 x + log x = (4) Điều kiện x > (4) ⇔ 4log 22 x + log x = ⇔ 4log 22 x + 2log x − = 22 (4’) t = −1 4t + 2t − = ⇔  t =  2 Đặt t = log x PT (4’) trở thành t = −1 ⇔ log x = −1 ⇔ x = 2−1 =  (t / m)  1 t = ⇔ log x = ⇔ x = = (t / m) 2 x= Vậy phương trình có nghiệm e) 3log 32 x = 10 log x − x= (5) Điều kiện x > t = 3t = 10t − ⇔ 3t − 10t + = ⇔  t =  Đặt t = log x   ta t = ⇔ log3 x = ⇔ x = 33 = 27 (nhan) 1 t = ⇔ log x = ⇔ x = 33 = 3 (nhan) 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27 f ) ln( x − x + 7) = ln( x − 3) Điều kiện x=33 (6) x2 − 6x + >  x − >  x = (loai) (6) ⇔ x − x + = x − ⇔ x − x + 10 = ⇔   x = ( nhan) Vậy phương trình có nghiệm x = Bài (TN) Giải bất phương trình sau: a) log (4 x − 3) < b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 Lời giải a) log (4 x − 3) < 10 4x − > ⇔ x > Điều kiện log (4 x − 3) < ⇔ x − < 32 ⇔ x < 12 ⇔ x < 3  S =  ;3 ÷ 4  Kết hợp điều kiện, bất phương trình có nghiệm b) log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 Điều kiện x < x2 − 5x + > ⇔  x > log 0,5 ( x − x + 6) ≥ −1 ⇔ x − x + ≤ ( 0,5 ) Kết −1 hợp điều kiện bất phương trình có nghiệm ⇔ x2 − 5x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ S = [ 1;2 ) ∪ ( 3;4]  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài tập Giải phương trình x − x +1 a 2x 2x 2 +3 x − − x+8 = 2−2 b 1  ÷ 3 x +2 =3 c 7  ÷  11  x2  11  = ÷ 7 = 41 − x d Bài tập Giải phương trình a c x +1 + x − = 36 2.3 x +1 − 6.3 x −1 b −3 = x d 3x +1 − 2.3x − = 25 e Bài tập 3: Giải phương trình log ( x + ) = log x a f log ( x − x + ) = log ( x − ) log ( x − 1) = log ( x − 1) x +1 + x−1 + x = 28 x +1 + 6.5 x − 3.5 x −1 = 52 2.5 x + − x +3 + 375 = log (5 x + 3) = log (7 x + 5) c log ( x − x + 3) + log (3x + 21) = d e f log3( x2 - 5x +6) - log3(x - 3) = ĐÚC RÚT KINH NGHIỆM 11 Phương pháp đặt ẩn phụ  CƠ SỞ KHOA HỌC  Đặt t = ax, t >  Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t  Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối chiếu điều kiện Nếu có nghiệm thỏa thay t = ax để tìm x kết luận Dấu hiệu nhận biết   Cơ số : Số mũ : Sau số ví dụ Bài (TN) Giải phương trình sau: a ) x − 10.3x + = b) 25 x + 3.5 x − 10 = c ) x − 3− x − = d ) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = Lời giải 12 a ) x − 10.3x + = ⇔ 32 x − 10.3x + = Đặt t = 3x , t > Phương trình trở thành: t = ⇔ 3x = ⇔ x = t = (nhan) t − 10t + = ⇔  t = ( nhan) t = ⇔ xx = ⇔ x = Vậy phương trình có hai nghiệm x = x = b) 25x + 3.5 x − 10 = ⇔ 52 x + 3.5 x − 10 = Đặt t = 5x , t > Phương trình trở thành: t = 2( nhan) t + 3t − 10 = ⇔  t = −5(loai ) t = ⇔ x = ⇔ x = log x = log Vậy phương trình cho có nghiệm c) x − 23− x − = ⇔ x − x − = ⇔ 2 x − 2.2 x − = Đặt t = 2x , t > Phương trình trở thành: t = ( nhan) t − 2.t − = ⇔  t = −2 (loai ) t = ⇔ 2x = ⇔ x = Vậy phương trình có nghiệm x = x x 2x x 9 6 3 3 d ) 6.9 − 13.6 + 6.4 = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = ⇔  ÷ − 13  ÷ + = 4 4 2 2 x x x x Đặt 3 t = ÷ , t >0 2 Phương trình trở thành  t = 6t − 13t + = ⇔  t =  13 (nhan) 2 (nhan) x 3 3 t = ⇔  ÷ = ⇔ x =1 2 2 x 2 3 t = ⇔  ÷ = ⇔ x = −1 3 2 Vậy phương trình có nghiệm x = -1 x = Bài (TN) Giải bất phương trình: Lời giải Bất phương trình Đặt x − 3.2 x + < x − 3.2 x + < ⇔ 22 x − 3.2 x + < t = 2x , t > t − 3t + < ⇔ < t < ⇔ < x < ⇔ < x < Bất phương trình trở thành: Vậy bất phương trình có nghiệm S = (0; 1) ( ) 10 + log x − ( ) 10 − log3 x Bài (ĐH) Giải phương trình: Lời giải Điều kiện: x > ( ) 10 + log3 x − ( = 2x ) 10 − log3 x Ta có phương trinhg tương đương với: log3 x  10 +  ⇔ ÷   log3 x  10 −  − ÷   Phương trình trỏ thành: log3 x = Đặt  10 +  t = ÷   t − = ⇔ 3t − 2t − = t + 10 a) log x +x 2log x − 20 ≤ 14 (t > 0)  + 10 t = ⇔  − 10 t =  Với t = ta giải x = Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 Bài (ĐH) Giải bất phương trình 2 = 3log3 x (loại) (2 + 3) x − x +1 + (2 − 3) x − x −1 2− ≤ b) Lời giải 4log 22 x Điều kiện: x> ; BPT ⇔ t = log x x = 2t Đặt Khi +x 2log x − 20 ≤ y = 22 t 42t + 22t − 20 ≤ BPT trở thành Đặt BPT trở thành y2 + y - 20 ≤ ⇔ - ≤ y ≤ ; y ≥ Đối chiếu điều kiện ta có: Do - ≤ log x ( ⇔ 2+ b) Bpt ( t = 2+ Đặt ) ≤1⇔ ) x2 −2 x x2 −2 x 22t ≤ ⇔ 2t ≤ ⇔ t ≤ 1 ≤x≤2 ( + 2− ) ⇔ - ≤ t ≤ x2 −2 x ≤4 (t > 0) t + ≤ ⇔ t − 4t + ≤ ⇔ − ≤ t ≤ + t BPTTT: ( 2− ≤ 2+ ) x2 −2 x (tm) ≤ + ⇔ −1 ≤ x − x ≤ ⇔ x − 2x −1 ≤ ⇔ 1− ≤ x ≤ + 2  BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Giải phương trình a 32 x +1 − 9.3x + = 2x+1 d − 8.7 + 1= − 3.2 2x b 25 x − 2.5 x − 15 = x x+ 2.16 − 15.4 − = x e + 32 = x x+1 g h - 4.3 +27 = Bài 2: Giải phương trình 3x + 9.3− x − 10 < a b Bài 3: Giải phương trình a 3.4 x − 2.6 x = x b c x f i 25x − 6.5 x + = 64 x − 8x − 56 = 34 x +8 − 4.32 x +5 + 27 = x + 2.71− x − = 6.4 x − 13.6 x + 6.9 x = 15 c 2 15.25 x − 34.15 x + 15.9 x = d 1 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = e 25x − x + 15x = f 3.8 x + 4.12 x − 18 x − 2.27 x = Chúc mừng chiến binh vượt qua dạng phổ biến đề thi Đại học năm gần ! bạn tự rút số nhận xét cho dạng thứ !    Phương pháp lôgarít hóa  Khi hệ số vế phương trình khác ta mũ hóa logarit hóa vế theo hệ số Sau số ví dụ Bài : Giải phương trình sau: 3x.2 x = a Lấy logarit hai vế với số 3, ta 2 3x.2 x = ⇔ log (3 x.2 x ) = log 16 x = ⇔ 1 + x log = ⇔ x + x log = ⇔ x ( + x log ) = x = x = ⇔ ⇔ x = −  x = − log log3  Vậy phương trình có nghiệm: x.5x −1 b = x = 0, x = − log 8 x.5 x Lấy logarit hai vế với số 8, ta ⇔ log8 x + log x ( −1 ( −1 = 1 ⇔ log8 (8x.5 x −1 ) = log8 ( ) 8 ) = log8 8−1 ⇔ x + x − log = −1 ) ⇔ x + + x − log8 = ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) ( x − 1) log8 = x +1 = ⇔ ( x + 1) 1 + ( x − 1) log8 5 = ⇔  1 + ( x − 1) log8 =  x = −1  x = −1 ⇔ ⇔  x.log8 = log −  x = − log Vậy phương trình có nghiệm: x = −1, x = − log  BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài (TN) Giải phương trình: x +1 1) x2 = x 2) 2  ÷ 5 3x+2 1 = ÷ 7 17 x 3) 58 x −1 x = 500 Dấu hiệu nhận biết Phương pháp hàm số  Một vế dạng logarit ( mũ ) vế dạng đa thức    Cơ sở khoa học phương pháp Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f(x)=k (k∈R) có không nghiệm khoảng (a;b) Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v ta có Tính chất 3: Nếu hàm f tăng g hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f(x)=g(x) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) VÍ DỤ log Bài (ĐH) Giải phương trình Lời giải x2 + x + = x − 3x + 2 2x − 2x + 18 Đặt u = x + x + 1; v = x − x + ( u > 0, v > ) log PT cho trở thành v – u = x − 3x  +2 suy u = v − u ⇔ log u − log v = v − u ⇔ log u + u = log v + v v f ( t ) = log t + t , t > (1) Xét hàm đặc trưng: f ' (t ) = + > 0, ∀t > t.ln Ta có nên hàm số đồng biến t > Từ (1) ta có f(u) = f(v), suy u = v hay v-u=0, tức x2-3x+2=0 x = 1, x = Phương trình có nghiệm u log a = v − u v Lưu ý: Với phương trình dạng với u > 0, v > < a, ta thường biến đổi ⇔ logau - logav = v – u logau + u = logav Vì hàm số f(t) = logat + t đồng biến t > 0, suy u = v Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải 1  log (4 x − x + 1) − x > − ( x + 2) log  − x ÷  2  1  x <  −x>0 x <  ⇔ x (2 x − 1) > x ≠     ( *) ĐK: Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: 2log (1 − x) − x > + ( x + 2) [ log (1 − x) − 1] ⇔ x [ log (1 − x) + 1] <  x >  x >  x >     log (1 − x) + < log 2(1 − x ) < 2(1 − x) <  x >    ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x <  x <  x <     x <  log (1 − x) + >  log 2(1 − x ) >  2(1 − x) > Kết hợp với điều kiện (*) ta có: 1 < x< Bài (ĐH) Giải bất phương trình Lời giải x < x(3log x − 2) > 9log x − 19 ⇔ 3( x − 3) log x > 2( x − 1) x>0 Điều kiện: Bất phương trình Nhận thấy x=3 không nghiệm bất phương trình x −1 log x > x>3 x−3 ⇔ TH1 Nếu BPT f ( x) = log x ( 0;+∞ ) Xét hàm số: đồng biến khoảng biến khoảng Với x4 :Ta có f ( x) > f (4) = 3  g ( x) < g (4) =  ⇒ x −1 x −3 Bpt có nghiệm nghịch x>4 0< x1 :Ta có đồng biến ( 0; +∞ ) f ( x ) > f (1) =   g ( x ) < g (1) =  ⇒ ; Bpt vô nghiệm * Với x g (4) =  ⇒ x −1 x −3 g ( x) = *Với g ( x) = :Ta có f ( x) < f (1) = 0  g ( x ) > g (1) =  ⇒ Bpt có nghiệm < x 0 < x <  Các bạn nhóm giải nhanh số tập sau Bài 1: Giải phương trình bất phương trình: 20 Bài 2: Giải phương trình logarit sau: Chúc mừng bạn hoàn thành xong chặn đường tìm hiểu thứ chảu Nếu bạn người hèn nhát, cỏi không muốn thành công bạn tới đủ , anh tin học trò anh người vậyp hải không ! Hãy nỗ lực làm tập sau để rèn luyện bạn thân cảm ơn bạn ! Bài : Giải phương trình bất phương trình sau 1) 32 x + 42 x = 25 x 1− x x2 −2 1− x x2 3) 5) x−2 = 2x 4) x −1 < − x 6) 21− x − x +  Thay vào phương trình bất phương trình để biến đổi phương trình theo t  Giải phương trình, bất phương trình tìm t, đối... Giải bất phương trình: Lời giải Bất phương trình Đặt x − 3.2 x + < x − 3.2 x + < ⇔ 22 x − 3.2 x + < t = 2x , t > t − 3t + < ⇔ < t < ⇔ < x < ⇔ < x < Bất phương trình trở thành: Vậy bất phương trình