CHƯƠNG IV KHÔNG GIAN §12 Ì - Định Không KHÔNG Ociit gian véctơ Oclit hữu hạn Không gian Oclit Oclit véctơ kết liên Không gian Oclit à) không ƠCLIT gian kết afin gọi thường chiếu n kết gian Oclit kí với không thông không gian n hiêu v i n ó đ ợ c kí h i ệ u Không lif'n chiếu v i n ó có c h i ế u Oclit liên Vỉ' du: GIAN nghĩa: gian véctơ OCLIT là E không gian E thường E hoe phổ với cáu thõng bi trúc Mỗi không afin gian tác véctơ m ộ t Oclit hữu k h ô n g gian chiếu hạn Oclit, chảng hạn RA c! thành Các không vô h n g không cho phảng Nếu a c a ( t r o n g ã* x é t 78 Oclit không afin thực n chiểu gian chiều n cách liên kết Oclit liên véctơ đểu trang trở bị m ộ t tích với k h ô n g gian afin thi cho d) E) gian gian E tích không c ng vô gian không hướng cảm gian sinh kết Oclii từ với liên tích vô E kết v i C? hướng c a Mục t i ê u trực Múc chiểu dô n E cuông sờ tiêu trúc độ trực chuẩn ẽ\ Gọi c sờ £' chuẩn đối = múc Dê trực tiêu trực chuẩn trực chuẩn: ẽ^p} trản c tiêu chuyển từ trực chuẩn C.C với tiêu múc rùng hai I (ĩ) Khoảng Cho cách = điếm mót hai điếm N đó, trực chuẩn tọa góc) chiều n g ọ i E n luôn có (ì) chuấn { O ; ẽ^, không sỏ gian £ = (ÍT, Oclit [Ì? ẽ^} n n chiêu e, ? E ẽ^} sang trực t r ự c giao c ấ p n Khi công thức = Cx ' ma M, sỏ tiêu hai kí + a trản đ ố i với m ú c điểm n X x ' cách E là: a n n Đè X t r o n g đô n n trản Oclit C c sờ e ' } ma tọa ĩ' } vuông tiêu tiêu hệ é-,, tiêu n h ữ n g mục {e', e nên dô gian thi với ì e hệ góc phảng phảng vuông Nếu điềm Khi ohưang cho dó p suy tháng cùa ta llp PQ|Ị, 2, n Gói chứa sờ a V (u., u , .,m ) chuẩn đối Khi với gian u j trực m i không m sờ V £ véctơ gọi Giả € sù A Oclit ỉ|, véctơ ma e, Uj c ó trân m tọa l ak i ' ' x ID Gr = íũ^, ũ^, ũ^) det(A'.A) = = (ũ* đét (detA ) = up (detA) = đ é t a (detA) Vây định thức Gram Gr ( U Ị , U , k r a k j ) = u ) - luôn không m âm Hệ véctơ {Uj, u , u } chi detA = 0, hay phụ m (detA) = thuộc tuyến tính 0, tức Gr(ũ^, ũb, ũ^,) = Bố đ ế đ ã chứng minh Từ bổ đẽ dễ dàng suy ra: hệ véctơ { U ] , u-,, dóc lập tuyến tính k h i v k h i Gr ( U j , I U K h o ả n g cách t Cho đ i ể m ì phương ã* = ( U j , u , í xuông a SI); SI = u u ) } > m đ i ể m đ ế n m m-phẳng m-phảng a qua đ i ể m s có u ) Gọi J hình chiếu vuông góc m d(I, a) = SJ + J I SJ d(I,J) Xét G r i u j , U n , u , tuyến tố hợp tinh íũỊ,ũ^, , ũ^} (vì SJ e ã) nên: GrtũỊ, ũ^, = ũ^, SI) = G n u , , Gr(ũ^, ũ* , ũ ^ , J ĩ) = ũ^, = m | | J Í | | G r ( ũ ^ ũt, (vi J I trấc giao với véctơ U j , ảHl,a) u SJ + J ì) = ù? ũ^) u ) Vậy m Gr(a[, ũ £ , ^ u r Gr(Uj, u , Ví dụ a đường t h ả n g tức m = thuộc Ịi Lấy véctơ e & 85 Nếu mục tiêu x a cho đ i ế m Sib], b->, ì b ~ l trực chuẩn x _ ~ : a l b cho a _ a a ) n n n co' t h ế l ấ y n ê n có c ô n g n n thức: n at ỵ (xp - bj)2 - 1=1 -, CHI a) b xịp t h ì t a b ) v e = ( a j , a-1, ỵ ~ n có t ọ a đ ộ (xỹ, x^, n x _ có phương, trinh (Sa^'-bi)) 1=1 = = — af i = ị Ì I J , ' ị d-a, a) = T , _ h(xf-b,) > v J -aYxp-b,) F Xi i _ 1=1 • Với n = khoáng cách phổ i hay n từ — 3, ta có t r v ê c c c ô n g đến đường điểm thảng Lhức tinh đ ã học r.hông t r u n g học Vi du a 2-phảng, tức ni = Láy m ó t sà G r ( U j , U n , SI) (ù,, U ^ Ị c a : ã* t h i Theo c h ứ n g (ũ^, ũt, S I ) ) " c a 86 E E d ( I , a) minh (trong = „ — » — — Gr(Uj, bổ đ ề t r ê n sở trực u ) Gr(Uj, chuẩn £ c h ứ a véc t U ị , u-,, S I ) V y u-,, SI) = = 'dety (ẽ^, ẽT, ẽ^) 4etj.(ũ^ũt, SI))' d (I,a) = uf.uj - ( u , u ỵ : Do đ ó khi., n đ i ế m từ = đến ta trờ vẽ công thức phang mật học í inh khoảng cách phổ thông trung học c c h hai K h o ả n g Cho thứ ũ- điếm hai tự thuộc n Ocìít E , s qua hai t r o ng fi T góc R RT trực giao fs G RTI u m g ian = /ì ã* + RT + TS đìa, li) Từ Uị, GriũT, I U , lu,, RS) m ũ * , u UY, m > / mà = llìt.h RS (ì fi t h ì ỹ*= ã* cở u , Í T ã* + ỹ* n ê n m ộ t vuông v i ỹ* = phảng phảng lên Gri.ũỊ", ú t , , Gr k h ô ng chiếu hình RS theo phang ỹ* = với s gọi ỵ gọi / T R, phảng = + TS) RT) = : n RTB Gr(u„ u , u ) m Vây u , R S ) Gr(ũ^, d (a, du Nếu ã* = ịi v m = Vi Ì, a ta P) Gr(ũ^, v /í trờ m hai Ũ ^ , Ũ Ị J đường l i ví d u thẳng Ì phãr, song s o n g 6, 87 C0SCỈ|2 cosa i COSOC-, cosaoi cosa_ cosa cosa C09tz cosa A Troftg §17 lõ gian E n cư f: n E Gọi = f(Aj) chi d(A„ Aj) /VỊ í: Ai) đảng ÍT Cho siêu n — :már phép 19 = í ajj í n n n 180° qua không E n phương với m c = 0, không độc lập ánh ì A| xa đẳng n , A > n SÍA';,, tiêu n cho f G biến thành f(Aị)=A'j.' đối không a đảng cư phải phép f a phép phép M n Ì hình n E = E -^E phảng n+1 n f: điểm rang f i, J đơn siêu với minh điểm a afin n+1 S(A , hai duv i,j đổi À',) moi n ràng chiều phảng minh A cự biến À' ) với d(A'„ í' b i ế n x.ứng Trong có n minh ri Chứng Chứng tí c h phàng n dối ì8 E d(A'j, ohép đống minh n Chứng mót E mà A], n hình N CHA;, E A , = đơn - V ) gọi Chưng góc -» Ả' Hai n E 16 cò n l ] n §19 Cho Oclit 21 = «jj §18, 11 đối trúc đảng xứng chuẩn cự f: E qua n —* E siêu n phảng chon, cho siêu trinh: n a;X, Hãy phảng + viết aiXì biếu + thức + a x n tọa n độ + a = phép với đói 2! a f = xứng Ì qua siêu 20 Hai siêu phảng a Ịỉ gọi dổi vuông góc hai không gian bù vuông góc 5* -)3 vuông góc với Chứng minh r n g tích hai phép đối xứng qua hai, siêu phang a /ỉ phép đ ố i xứng qua phảng a n Ịỉ chi a ậ hai siêu phảng đối vuông góc 21 Gọi ĩị f l ầ n lượt phép dối xứng đường thẳng dị d E Chứng minh rằng: a) Nếu d j song song với dọ tích tịnh t i ế n b) Nếu dị cắt d đường thẳng thỉ tích ? f of[ 2 phép phép quay quanh c) Nếu d j cát d v ù n g góc với d phép đối xứng qua đường thẳng d) Nếu d] d f.ofj chéo fiofj tích fiofj là m ộ t phép xoắn ốc 22 Chứng minh r ằ n g ba đường thẳng dị, cụ d E có đường vuông góc chung tích ba phép đối xứng qua ba đường thảng phép đối xứng qua đường thẳng 3 23 Chứng minh rằng: a) Mọi biến đối đẳng cổ E đ i ể m bất đông thi phải có đường thảng bất động (tức: đường thảng biến thành nó) n b) Có biến đổi đẳng cổ E (n si 2) đông đường thảng bất động n 24 Cho phép đẳng cổ f: đông Chứng minh ì với M e E (ở ta kí đường thảng qua ì r n n có đ i ể m bất n E —* E điếm bất điểm mà đ(I,I"i í d(M,M') hiệu r = f ( I ) , M ' = f(M) đường thảng bất động 153 25 Chứng minh điểm bất động thỉ f: E n -» E m ọ i đường n phép thẳng bất đẳng cự dộng đểu song s o n g với n h a u 26 Cho tự* : fotụ3f" n E 27 có a n — E —» E Trong E phảng n n p h é p phép đảng cự tiến tịnh Chứng phép tịnh t i ế n với vectơ tịnh t i ế n là f: E n với mục tiêu trực chuẩn minh V* = chọn, ffvT cho siêu trình: Dhương n SịX) + a x + + a x n n + a = n v i 2] SLị - Ì i=i V i ế t b i ế u thức tọa độ 28 gi Trong E a) Tích b) Tích siêu p h ả n g a hỏi: hai -phép q u a y mót phép (quay đ i ể m ) auay p h é p phép gi? tiếr tinh p p qua mót 29 điếm ba Trong lập Có cho đo' vậy? thành •31 Trong phương trinh: E góc phép qhính ĩ elíp 54 tất thành đảng cự Có đảng bao cu nhiêu biến biến tập phép hình tọa độ trực chuẩn cho elíp có -J x H—- = Tim G ọ i f p h é p hệ -) — ã- thảng nó? với x đường thành phương ba vuông thảng nnau 30 E ỉni m ộ t đương khác ì p h é p đ ệ i x ứ n g qua chinh b phép Ì với a biến đổi í b đảng cự E biến §20 32 Cho tam giác ABC E Mỗi canh chìa t h n h ba đoạn t h ẳ n g nối đ i ế m với đỉnh đối diện với cạnh Ta đường t h ả n g t h n h hình lục giác Chứng minh r n g đường hỉnh lục giác đống qui t i điếm chia làm chéo n 33 Cho tam giác ABC E Tr ê n canh BC, CA, AB ta lẩn lươt lữy đ i ế m A', B', c cho Ì [A'CB] = [B'AC] = [C'BA] = ó Chứng minh đoạn thảng ba t h ả n g AA', BB' cc bị hai đoạn chắn t h n h ba t h ẳ n g có độ dài tì l ệ với 3: 3: đoạn đoạn 34 Trong E Chứng minh ràng: hỉnh bình h n h nội tiếp elip thỉ tâm hỉnh binh h n h t r ù n g với t â m elip cạnh hình bình h n h song song với hai đường kỉnh liên hơp elip 35 Trong E chứng minh rằng: mót hỉnh h n h ngoại tiếp m ộ t elip đường chéo hình h n h dường kính liên hơp elip bình bình §21 n n 36 Chứng minh ràng: Dhép đông dạng f: E —* E với t i số k ^ Ì đêu có đ i ể m bữt động nhữt Từ suy ra: moi phép dông dang tích phép vi tư tâm í t i sò k mót phép đảng cư nhận ì đ i ế m bữt đông, cách phân tích duv nhát có t h ể giao hoán 37 Chứng minh ràng: a) Nếu f: —» E phép dang thuận (tức phép đống dạng mà đét f > 0) phép dời hình f tích c ủ a ' p h é p vị tư t â m ì (tỉ 155 số k > 0, khác t í c h đ ó f: < đét f phép đối 0) vị xứng nhát E quay giao h o n qua -» E phải tâm ì v giao h o n Giả sử f: E Nếu a; ì thảng E k > chứa ì Nêu f 0, * Cách đống phân dạng k 0, * > ì Cách phép 1) (tức f phân đống thì phân tích tích dạng phép ià mà không tích k Cách nghịch chiếu thuận 1) ì phản Chứng minh f đ ố n g d n g ( t i số quanh phép thảng -» cự phép ( t i số đường 'là p h é p đ ẳ n g tâm phép không tự một 38 phải Nếu b) 1) f t í c h phép quav quanh vị tư đường giao hoán đươc b) rư ĩ tâm đống ( t i số k 0, ^ phảng v u ô n g góc với d t a i có phép hình rl.'ii b) rĩ H' = c) H H' = S22, 40 a) 156 với mót f phép tích (H') gểi dạng biến hỉnh phàng a p h ả n g a' {hai siêu §23, §24, trình phép của phép đối quay xứng vị quanh qua mát t n g (lường đống dang thành hình kì ' C Ó đô d i hay khác Xét không? 0) đ i ế m A } đ i ể m p h ả n g a, p h n g a', A'} Ịỉ) (ỉ'} §25 biến đối đường tểa bác độ hai trúc chuẩn lí để + 8xị - 32xj - 56x + 80 = cưa vế sau tác ÕXỴ + x , x mót ì {hai siêu Dùng phương thảng bất {siêu {siêu = ì 1) đ ã v có t n g đ n g d õ n g d n g đoan = (H) sau chinh hình qua k thảng Hai nghịch đường 39 d > dạng dang b) 5xf + c) d) - 12x^0 22X( - - 4xjX-, + 4x* + 4xj - 5XJX-, + 4x5 + Xj xf e) x f - x , x - , + 9x5 - n 4xjX 9xf - 41 Dùng phương phép trình bi ế n mật - - 19 3XT + 2x - 16xj - đối bậc hai = 2 độ = 8x tọa = - x j 4- x + 6x3 + 12xo - ^ - = trục E chuẩn để vẽ sau đưa dạng tác a) X? + 4xt + 6x3 + x , x o b) x f + 2x, c) + d) + 16x 4XỶ e) - 2x + + xí + + 45 = xị 4x5 - xị ~~ - 7xì - đường + 7xị X X = Ì 0 = + 2x|Xọ Tùy bậc = 4x-,X3 - - SXỊXỊ 4X|X- - 28X| 2x,x-5 4- x ; -r - 2XT lOxi theo hai s 43 Dùng E giá trị E bất có b i ến, a) 9x + 24x y + b) 3x z + x y c) x - 5x : 12x y + 6x y 2y - + õy a, 8x-,x-Ị : 5x - - 8x3X1 - 16x, - định + xác bời xị định phương = dang trinh: Ì đinh dạng đường bậc sau: 230x + llOy + õy - - + 30y + 16 lũy = 20x 6x xác trình - + 9y xác 16y 2aXjXo phương - 10x,x-> + d) + + 16x X d) 2x 5y + y + -r z + 2z 2xy + + 2vz + 6zx 2yz + 4x - 2x + 6v + 2z = í) 45 dường "ác a) Tim bác hai - điều 2xy + vẽ kiện hvpebol + = biến bất Viết vuông 4z Jị, -J , J ? phương trình để bi bão điều Tìm hai '.á kiện elip Biểu bất biến diện tích vé thị -L J-, hình để -ĩì elip tri eo đường J|, J\ •ỉ : 46 điếm 'lốn Chứng thi hypebol 47 hai s vuông b) Viết với elip đường = độ s 3x^ cho bậc hepobol hai đường trưc vuông qua thảng chuớn giao vuông cát E- điếm đường bác góc cho trình: phương s, hai cặp toa XT) Chứng- tỏ xứng 158 a) ràng h'oặc phương í'(x,, cua Trong có minh - 2x|X-) đường trinh có xí + 6x, - = elip + đường bán trúc elip có gấp dôi trục' đối bán trục 48 cặp Chứng mát tò ràng phảng xác phương định trinh phương sau trinh xác cáo định mát phảng đó: y b) X = 2 + 2xy + 4y + 4zx + 9z + 2yz - - 4xy - 4x - 2y 6xz + = 12yz - + X 2y + 3z - 20y - d 14z 3x - - 24 49 4y = + 3z + 4xy + 10xz - 4yz + 6x - Chứng minh ràng: tập DTGj c ủ a JK> g m ma tập biến với (l 0) trân A ma trận moi c = có giao) 50 tràn A K ^ ì = r Chứng 0, trẽn 51 0, Jj = Trong Chứng bi Với giá 52 Với X" Tỉm - y mà tỏ 2xy + Thiết hypebol + mát lập sau nón phương + j ? A = > r bất trân r = phép là dang ả ch ma biến bất Jj (tức ri ma JK>' 0, JK> g ố m r với biến dối A j > r —» A A C biến hai 2axy a, (C bậc = r # r vớimọi kz với K bất nào-của trị J mặt trị hạng tập với ị •+• z giá tr c r + rằng: cho + a) táp biến K CÁC 49) bất táp A minh đường A X 53 = đối: (xem A * r biến phép trưc J l mà + s có 2axz a, s s mặt k thi phương -í- a y z mặt mat elipxòit có mặt tròn xoay đo': trinh mật trinh: = tròn tròn phương nón bậc Ì tròn hai xoay xoay trinh: xoay s chứa đây: 159 Xác định dạng mặt tắc a = b = c = 54 Viết phương p h n g đưa trình mặt nón chứa hai trình đường tròn sau: 2 [ y + z - 2by = x = O v f x + Z - 2íix = y = S26 n 55 Trong không gian E cho p đ i ể m Aị, A i , Áp họ hệ sò À J, A 2, Áp Tìm tập hợp điểm M cho p ỵ A,d (M, Aị) = k, i= Ì k sò thúc cho trước 56 Trong E , cho biết tọa Ễ Ìác Tim toa độ t â m v i ế t ngoai tiếp tam giác độ ba đỉnh tam p h n g trinh đường tròn 57 Trong E cho biết p h n g t r i n h ba cạnh tam giác Tìm toa độ tâm viết phương trinh đường tròn nôi tiếp bàng tiếp tam giác n 58 Trong E cho lươt có phương trinh: ty 2(x,-a,)2 = r 1=1 n la ): 1=1 160 A,x, + A - siêu ; cần (£) siêu phảng is) lán điếu a) Tim - Không - Cát - Tiếp kiện đ ố i v i hệ sổ a A;, r v để (S) phảng (cò ui: bi kính 59 với cáu phân chùm cầu biêt siêu bát Tìm chùm mót chùm :ổng quát minh siêu câu tâm tim bán E K h i n họ siêu cho hai cáu có siêu áy gọi siêu viết phân siêu cầu hai "ổng biệt: cấu siêu phương quát chùm tens; q u t câu trình thuộc tổng quát mót siêu cầu trực giao chùm hợp hai siêu cẩu không 61 Trong E" cho tâm siêu t â m bốn mạt cáu cho cấu E n trước có p h n g trinh: = + z X- + (X + õ) + (y - (X + Ì) + + (y Viết ( « ' đảng phương tống quát hăv táp + phảng trình cấu, t ù v ý quát chùm cấu phương siêu phảng siêu ( & ' ) tổng họ !'&) cát quát Tim độ t â m siêu 60 X siêu ràng siêu y cáu tổng hợp cấu tọa tạp y siêu kì cầu C! K h i b i ế t với (&') la) đ ị n h b i hai mệt hợp họ s i ê u phàng Chứng bi trường siêu Cho siêu xác xúc (&') v tim mót a) chung Trong theo 'à có đ i ể m Ì) + + 2) ú + íz + 3V- = Ì) phương + (z trình - 2) mạt cáu = 53 39 10 trúc giao với bốn mát cấu đo 161 62 Chứng không siêu gian cấu 63 ràng N Oclit E f Cho minh m + phép biến phép đống Ì điểm aim siêu cầu u A(M„, M , o E N -* N E N thành E dạng M , Mị, , M ' í': i E m N , đát l Ì dẳ, Ì d?, Hì Ì ị ái, ",; ni M M ) ; M Ị , chiếu, rối xét múc gian đó: xoi ( X ; J r định ts> • chức -d€'tA(M,„ ọm M , o e ; ỏ m coi khôn? li gọi ( dẫn: Oe lít M ,M , (-1) M nằm m tiêu trực toa M, chuẩn đô không (í é,, điểm M, :j véctơ ì (M M ; M ,M-, ( ; M„M ); : n detGr(.M„M 64 Chứng n+1 điếm bán kính Mị 162 M n minh dóc láp siêu câu M M l! n ràng afin có cho ngoai trước tiếp n Ẫ2 .M„M^ ? + chì Ì mót không điểm độc là: ỵ detr^^M,, ^ d e t A ( M , M Ị , M ) N N siêu cáu gian láp E afin qua N M„, 65 Trong b = Q(C.A) tròn c tiếp ngoại r = = E cho d(A.B) tam giác tam Chứng ABC giác ABC minh Đát bán a = kính d(B,C), đường abc Vía + b +c)(a + b - c ) ( a - b + c ) ( - a + b + c) 163 Ml V ^— L yV- Trang T H Ư Ơ N G ì K Ị Ĩ Ô N G G I A N A F I N §1- Đinh nghĩa k h ô n g gian a f i n §2 Toa đô a f i n §3 Các p h n g k h ô n g gian a f i n $4- VỊ trí t n g đ ố i p h n g 14 Sô Tâm t i cự 17 §6 Táp l i k h ô n g gian a f i n thực 20 Bài tập CHƯƠNG Gõ l i Á N H XẠ A F I N VÀ B I Ế N Đ ổ i A F I N s7 Ánh xa a f i n " §8 Dẳng câu a f i n - Biến 27 dổi afin 35 so Nhóm p h é p biến đ ổ i hỉnh hoe Bài tập Định MẬT BẬC H A I nghĩa siêu m t bác hai - Tâm 49 §11 Dạng chuẩn tác siêu m t bác hai Bài tập IV K H Ô N G 59 74 GIAN ƠCLÍT 78 §12 Không gian Oclit §13 Sư t r ú c giao p h ả n g E 164 43 49 phương t i ệ m cân CHƯƠNG ~\ CHƯƠNG H I SIÊU 510 27 78 n so Trang §14 Khoảng cách hai §15 Góc t r o n g E phảng 82 n 90 §16 T h ế tích t r o n g E n §17 Ánh xạ đảng cự 91 k h ô n g gian Oclit 93 §18 P h â n loai phép b i ế n đ ố i đ ẳ n g cự E 100 §19 P h â n loai p h é p b i ế n đ ố i đ ẳ n g cự E loi §20 H ì n h học Oclit 104 §21 Nhóm đống dạng h ì n h học dạng 106 §22 Siêu m ặ t bậc hai t r o n g E §23 Bất biến §26 Siêu cấu Bài tập MÚC LỤC in h m đa thức bậc §24 Nghiên cứu đường bậc §25 Nghiên cứu n mật bậc hai hai nhờ bất biến hai nhờ bất biến 120 127 132 13S 149 164 16Ỉ ... đến H a n tính hình afin có tính học nói bất nhóm afin trẽn n E sử tính có chất qua học biết cấn Giả đểu hình chất biến Oclit niệm) a afin bất Oclit Nếu a afin tỉnh biến afin Vậy hình gian khái... có Hê quả: Nế u a v /í) bù trực giao E chúng l E nế u n điểm thi tống n 3- Đ ị n h l i : Nêu a trực giao ươi ịi va V bù VÓI Ị3 thi a V hai phang song song true giao Chứng minh G ọ i ó t ậ v 7*1... í * t r ú c giao với /3' 7*là phấn bù trực giao Ịị E nên ca suy ã* c v f ù' song song n với / Hê 1: Hai phang bù trực giao ươi phảng ba thi nong song vói (và có số chiêu) thứ Hẻ 2: Qua điềm dã