TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẾ VINH – QUẢNG NAM TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008     CHUYÊN ĐỀ : TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM Giáo viên thực hiện: Ngô Tỵ ĐẠI SỐ HOÁ MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC Bài toán : " Cho tam giác ABC thoả 2A+ 3B = π . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp " ( Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Tỉnh Quảng nam - 1999 - 2000 ) Tìm hiểu lời giải bài toán : Ta thử xác lập hệ thức liên hệ giữa độ dài các cạnh từ các dữ kiện của bài toán .Ta có : acbc Csin.AsinBsinCsin Csin)BCsin()BCsin()BCsin( Csin)BCsin( BC2 B3A2 CBA 22 22 =−⇒ =−⇒ +=−+⇒ =−⇒    =−⇒ =+ =++ π π π Từ giả thiết : 2A+ 3B = π với A,B,C là 3 góc tam giác ta suy ra : c 2 - ac - b 2 = 0 Bài toán được phát biểu lại : " a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c 2 - b 2 = ac . Tính độ dài các cạnh của tam giác biết chúng là ba số tự nhiên liên tiếp “ Từ dữ kiện a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác và c 2 - b 2 = ac ta suy ra : c > a , c> b + Trường hợp : c > b > a . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ a = n , b = n +1 , c= n +2 ( n ∈ N*) , kết hợp với c 2 - b 2 = ac suy ra (n+2) 2 – (n+1) 2 = n.(n+2) ⇒ 2n + 3 = n 2 + 2n ⇒ 3 = n 2 (!) + Trường hợp : c> a > b . a , b; c là ba số tự nhiên liên tiếp ⇒ b = n , a = n +1 , c= n +2 ( n ∈ N*) , kết hợp với c 2 - b 2 = ac suy ra (n+2) 2 – n 2 = (n+1).(n+2) ⇒ 4n + 4 = n 2 + 3n +2 ⇒ n 2 -n -2 = 0 ⇒ n = 2 , n = -1 ( loại ) Vậy độ dài các cạnh của tam giác là b = 2 , a = 3 , c = 4 Bài toán đề nghị :" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B = π . a/ Chứng minh a + b ≤ 4 5 c b/ Chứng minh 10 c ≥ 9a + 6b VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH Bài toán : Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x < 2 33 ( Đề thi học sinh giỏi lớp 11 Tỉnh quảng nam 2001-2002.)  Lời giải khác với đáp án VT = 2 sin2x cosx + sin2x = 2 sin2x cosx+ 2 cosx sin x (#) 1 ( )( ) xxxx 2222 sincoscos42sin4 ++≤ ( Bu nhia cốp xki ) = ( ) 1sin4cos4 22 +xx 2 1sin4cos4 22 ++ ≤ xx ( bđt Cô si ) 2 33 2 5 <= Bất đẳng thức được chứng minh . ♦ Khai thác lời giải: + Từ lời giải trên ta có bất đẳng thức chặt hơn : " Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin2x + sin3x < 2 5 " + Ở dòng (#) nếu thay x bởi 2x ( hoặc -x , . ) ta xác lập bất đẳng thức : " Chứng minh với mọi x ta có : sinx + sin3x + sin4x < 2 5 " + Ở dòng(#) nếu hoán đổi cosx và sinx cho nhau ta xác lập bất đẳng thức : " Chứng minh với mọi x ta có : cosx + cos2x - cos3x < 2 1 " BẮT ĐẦU TỪ ĐÂU ? Bài tuán : a,b,c∈ (0,1] -chứng minh : ( )( )( ) c1b1a1 3 1 cba 1 −−−+≥ ++ (đề thi hs giỏi lớp 12 - Quảng nam ) Tìm tòi lời giải : Ta thử làm chặt hơn bất đẳng thức cần chứng minh . Giữa 2 biểu thức a+b+c và (1-a) (1-b) (1-c) có bđt liên hệ : ( )( )( ) ( ) 3 cba3 3 c1b1a1 c1b1a1 3 ++− = −+−+− ≤−−− (bđt Cô Si ) Ta đi chứng minh bất đẳng thức chặt hơn bất đẳng thức ban đầu : cba 1 ++ ≥ + 3 1 ( ) 3 3 cba3       ++− (♦ ) Bất đẳng thức bây giờ chỉ chứa mỗi một biến ” a + b + c” Đặt S = a+b+c , 0 < S ≤ 3 . Bất đẳng thức (♦ ) viết lại : ( ) ( ) 3 3 S3SS39 3 S3 S3 S3 −≥−⇔       − ≥ − 0])S3(S9)[S3( 2 ≥−−−⇔ (♥) . Vì 3-S ≥ 0 , để chứng minh (♥) ta chứng minh : 9 - S(3-S) 2 ≥ 0 với 0 <S ≤ 3 Ta có : S(3-S) 2 = 4) 3 )S3()S3(S2 ( 2 1 )S3)(S3.(S2 2 1 3 = −+−+ ≤−− (bất đẳng thức Cô si) ⇒ 9 - S(3-S) 2 ≥ 9 - 4 > 0 ⇒.(♥) được chứng minh ⇒ bất đẳng thức (♦ ) được chứng minh ⇒ bất đẳng thức ban đầu được chứng minh . Dấu '' = ''xảy ra ⇔1-a =1-b = 1-c , S = a+b+c = 3 ⇔ a = b = c =1                  2 . THẾ VINH – QUẢNG NAM TỔ TOÁN TIN – NĂM HỌC 2007 – 2008     CHUYÊN ĐỀ : TÌM HIỂU XUNG QUANH VÀI BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH QUẢNG NAM Giáo viên. Bài toán đề nghị :" Cho tam giác ABC thoả 2A+3B = π . a/ Chứng minh a + b ≤ 4 5 c b/ Chứng minh 10 c ≥ 9a + 6b VỀ MỘT BÀI TOÁN THI HỌC SINH GIỎI TỈNH