Đang tải... (xem toàn văn)
Đây là tài liệu chủ đề 1: Tính đơn điệu của hàm số, nằm trong chuyên đề 1: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Thuộc bộ tài liệu đặc biệt, chất lượng cao: TINH TUYỂN TOÁN File word .doc, Mathtypye 100% kí hiệu toán học Có lời giải chi tiết Bản đẹp chính xác duy nhất hiện nay (Xem thêm tại http:banfileword.com Website chuyên cung cấp tài liệu giảng dạy, học tập, giáo án, đề thi, sáng kiến kinh nghiệm... file word chất lượng cao tất cả các bộ môn)
Chuyên đề ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM KHẢO SÁT 1 TÍNH BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Chủ đề 1.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f ( x) xác định K , với K khoảng, nửa khoảng đoạn • Hàm số y = f ( x) đồng biến (tăng) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) • Hàm số y = f ( x) nghịch biến (giảm) K ∀x1 , x2 ∈ K , x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) > f ( x2 ) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng K • Nếu hàm số đồng biến khoảng K f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K • Nếu hàm số nghịch biến khoảng K f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y = f ( x) có đạo hàm khoảng K • Nếu f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K hàm số đồng biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) < 0, ∀x ∈ K hàm số nghịch biến khoảng K • Nếu f ′ ( x ) = 0, ∀x ∈ K hàm số không đổi khoảng K Chú ý Nếu K đoạn nửa khoảng phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y = f ( x) liên tục đoạn nửa khoảng đó” Chẳng hạn: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đoạn [ a; b] có đạo hàm f ′ ( x ) > 0, ∀x ∈ K khoảng ( a; b ) hàm số đồng biến đoạn [ a; b] Nếu f ′ ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ K ( f ′ ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ K ) f ′ ( x ) = số điểm hữu hạn K hàm số đồng biến khoảng K ( nghịch biến khoảng K ) B KỸ NĂNG CƠ BẢN Lập bảng xét dấu biểu thức P ( x ) Bước Tìm nghiệm biểu thức P ( x ) , giá trị x làm biểu thức P ( x ) không xác định Bước Sắp xếp giá trị x tìm theo thứ tự từ nhỏ đến lớn Bước Sử dụng máy tính tìm dấu P ( x ) khoảng bảng xét dấu Xét tính đơn điệu hàm số y = f ( x ) tập xác định Bước Tìm tập xác định D Bước Tính đạo hàm y ′ = f ′( x) Bước Tìm nghiệm f ′( x) giá trị x làm cho f ′( x) không xác định Bước Lập bảng biến thiên Bước Kết luận Tìm điều kiện tham số m để hàm số y = f ( x ) đồng biến, nghịch biến khoảng ( a; b ) cho trước Cho hàm số y = f ( x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D : Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (a; b) a1 x + b1 : cx + d Hàm số nghịch biến (a; b) ⇔ y ' < 0, ∀x ∈ (a; b) Hàm số đồng biến (a; b) ⇔ y ' > 0, ∀x ∈ (a; b) Chú ý: Riêng hàm số y = * Nhắc lại số kiến thức liên quan: Cho tam thức g ( x) = ax + bx + c (a ≠ 0) a > a) g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ a < c) g ( x) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ ≤ a < b) g ( x) > 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ > a < d) g ( x) < 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ∆ < Chú ý: Nếu gặp toán tìm m để hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) khoảng (a; b) : Bước 1: Đưa bất phương trình f ′( x) ≥ (hoặc f ′( x) ≤ ), ∀x ∈ ( a; b) dạng g ( x) ≥ h(m) (hoặc g ( x) ≤ h( m) ), ∀x ∈ (a; b) Bước 2: Lập bảng biến thiên hàm số g ( x) (a; b) Bước 3: Từ bảng biến thiên điều kiện thích hợp ta suy giá trị cần tìm tham số m Sử dụng tính đơn điệu cửa hàm số để giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình: Đưa phương trình, bất phương trình dạng f ( x ) = m f ( x ) ≥ g (m) , lập bảng biến thiên f ( x) , dựa vào BBT suy kết luận C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM x +1 Khẳng định khẳng đinh đúng? 1− x A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) Câu Cho hàm số y = B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ∪ ( 1; +∞ ) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) D Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) Câu Cho hàm số y = − x + x − 3x + Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) ( 1; +∞ ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng ( 1; +∞ ) D Hàm số đồng biến ¡ Câu Cho hàm số y = − x + x + 10 khoảng sau: (I): ( −∞; − ) ; (II): (− ) 2;0 ; (III): ( 0; ) ; Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? A Chỉ (I) B (I) (II) C (II) (III) D (I) (III) 3x − Khẳng định sau khẳng định đúng? −4 + x A Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ( 2; +∞ ) Câu Cho hàm số y = D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) ( −2; +∞ ) Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến ¡ ? A h( x) = x − x + B g ( x) = x3 + 3x + 10 x + C f ( x ) = − x + x − x D k ( x) = x3 + 10 x − cos x x2 − 3x + nghịch biến khoảng ? x +1 A (−∞; −4) (2; +∞) B ( −4; ) Câu Hỏi hàm số y = C ( −∞; −1) ( −1; +∞ ) Câu Hỏi hàm số y = A (5; +∞) Câu Hỏi hàm số y = A (−∞;0) D ( −4; −1) ( −1; ) x3 − 3x + x − nghịch biến khoảng nào? B ( 2;3) C ( −∞;1) x − x + x − đồng biến khoảng nào? B ¡ C (0; 2) D ( 1;5 ) D (2; +∞) Câu Cho hàm số y = ax + bx + cx + d Hỏi hàm số đồng biến ¡ nào? a = b = 0, c > A a > 0; b − 3ac ≤ a = b = 0, c > B a > 0; b − 3ac ≥ a = b = 0, c > C a < 0; b − 3ac ≤ a = b = c = D a < 0; b − 3ac < Câu 10 Cho hàm số y = x3 + 3x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ¡ C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng ( 5; +∞ ) Câu 11 Cho hàm số y = 3x − x Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số đồng biến khoảng ( 0;2 ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) C Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;0 ) ; ( 2;3) D Hàm số nghịch biến khoảng ( 2;3) x + sin x, x ∈ [ 0; π ] Hỏi hàm số đồng biến khoảng nào? 7π 11π 7π 11π ; π ÷ ; A 0; B ÷và ÷ 12 12 12 12 Câu 12 Cho hàm số y = C 0; 7π 12 7π 11π ; ÷và 12 12 D 7π ; 11π 12 12 ÷ 11π ÷và 12 ; π ÷ Câu 13 Cho hàm số y = x + cos x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số đồng biến ¡ π π B Hàm số đồng biến + kπ ; +∞ ÷và nghịch biến khoảng −∞; + kπ ÷ 4 π C Hàm số nghịch biến + kπ ; +∞ ÷và đồng biến khoảng 4 D Hàm số nghịch biến ¡ π −∞; + kπ ÷ Câu 14 Cho hàm số sau: (I) : y = x − x + 3x + ; (II) : y = x −1 ; x +1 (III) : y = x + (IV) : y = x + x − sin x ; (V) : y = x + x + Có hàm số đồng biến khoảng mà xác định? A B C D Câu 15 Cho hàm số sau: (I) : y = − x + 3x − 3x + ; (III) : y = − x + ; (II) : y = sin x − x ; (IV) : y = x−2 1− x Hỏi hàm số nghịch biến toàn trục số? A (I), (II) B (I), (II) (III) C (I), (II) (IV) D (II), (III) Câu 16 Xét mệnh đề sau: (I) Hàm số y = −( x − 1)3 nghịch biến ¡ x (II) Hàm số y = ln( x − 1) − đồng biến tập xác định x −1 x (III) Hàm số y = đồng biến ¡ x +1 Hỏi có mệnh đề đúng? A B C D Câu 17 Cho hàm số y = x + ( x − ) Khẳng định sau khẳng định sai? 1 A Hàm số nghịch biến khoảng −1; ÷ 2 B Hàm số nghịch biến khoảng (−∞; −1) 1 C Hàm số đồng biến khoảng (−∞; −1) ; +∞ ÷ 2 1 1 D Hàm số nghịch biến khoảng −1; ÷ đồng biến khoảng ; +∞ ÷ 2 2 Câu 18 Cho hàm số y = x + + 2 − x Khẳng định sau khẳng định đúng? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; −2 ) đồng biến khoảng ( −2; ) B Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; −2 ) nghịch biến khoảng ( −2; ) C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞;1) nghịch biến khoảng ( 1; ) D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;1) đồng biến khoảng ( 1; ) π π Câu 19 Cho hàm số y = cos x + sin x.tan x, ∀x ∈ − ; ÷ Khẳng định sau khẳng 2 định đúng? π π A Hàm số giảm − ; ÷ 2 π π B Hàm số tăng − ; ÷ 2 π π C Hàm số không đổi − ; ÷ 2 π D Hàm số giảm − ;0÷ Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = khoảng mà xác định ? A m < −3 B m ≤ −3 C m ≤ x−m+2 giảm x +1 D m < Câu 21 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau nghịch biến ? y = − x − mx + (2m − 3) x − m + A −3 ≤ m ≤ B m ≤ C −3 < m < D m ≤ −3; m ≥ x − ( m + 1) + 2m − Câu 22 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = tăng x−m khoảng xác định nó? A m > B m ≤ C m < D m ≥ Câu 23 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = f ( x) = x + m cos x đồng biến ¡ ? A m ≤ B m > C m ≥ D m < Câu 24 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = (m − 3) x − (2m + 1) cos x nghịch biến ¡ ? A −4 ≤ m ≤ B m ≥ m > C m ≠ D m ≤ Câu 25 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số sau đồng biến ¡ ? y = x3 − 3(m + 2) x + 6(m + 1) x − 3m + A B –1 C D x3 Câu 26 Tìm giá trị nhỏ tham số m cho hàm số y = + mx − mx − m đồng biến ¡ ? A m = −5 B m = C m = −1 D m = −6 Câu 27 Tìm số nguyên m nhỏ cho hàm số y = khoảng xác định nó? A m = −1 B m = −2 (m + 3) x − nghịch biến x+m C m = D Không có m mx + giảm khoảng Câu 28 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y= x+m ( −∞;1) ? A −2 < m < B −2 ≤ m ≤ −1 C −2 < m ≤ −1 D −2 ≤ m ≤ Câu 29 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − x + mx + đồng biến khoảng ( 0; +∞ ) ? A m ≤ B m ≤ 12 C m ≥ D m ≥ 12 Câu 30 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − 2(m − 1) x + m − đồng biến khoảng (1;3) ? A m ∈ [ −5; ) B m ∈ ( −∞; 2] C m ∈ ( 2, +∞ ) D m ∈ ( −∞; −5 ) Câu 31 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = x − mx + 2mx − 3m + nghịch biến đoạn có độ dài 3? A m = −1; m = B m = −1 C m = D m = 1; m = −9 Câu 32 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = π khoảng 0; ÷ ? 4 tan x − đồng biến tan x − m B m ≤ 0;1 ≤ m < A ≤ m < Câu 33 Tìm tất giá trị thực D m ≤ C m ≥ tham số m cho hàm số mx3 y = f ( x) = + 7mx + 14 x − m + giảm nửa khoảng [1; +∞) ? 14 A −∞; − ÷ 15 14 B −∞; − 15 14 C −2; − 15 14 D − ; +∞ ÷ 15 Câu 34 Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = − x + (2m − 3) x + m nghịch p p biến khoảng ( 1; ) −∞; , phân số tối giản q > Hỏi tổng q q p + q là? A B C D x − 2mx + m + Câu 35 Hỏi có giá trị nguyên tham số m cho hàm số y = đồng x−m biến khoảng xác định nó? A Hai B Bốn C Vô số D Không có Câu 36 Hỏi có giá trị nguyên dương tham số m x + (1 − m) x + + m đồng biến khoảng (1; +∞) ? x−m A B C cho hàm số y= Câu 37 Tìm tất giá trị thực tham số α D β cho hàm số − x3 + (sin α + cosα )x − x sin α cosα − β − giảm ¡ ? 2 π π + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ A 12 π 5π + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ B 12 12 π C α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 5π + kπ , k ∈ Z β ≥ D α ≥ 12 y = f ( x) = Câu 38 Tìm mối liên hệ tham số a b cho hàm số y = f ( x) = x + a sin x + bcosx tăng ¡ ? 1 A + = a b B a + 2b = C a + b ≤ D a + 2b ≥ 1+ Câu 39 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x − x − x − m = có nghiệm? A −27 ≤ m ≤ B m < −5 m > 27 C m < −27 m > D −5 ≤ m ≤ 27 Câu 40 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình x + = x + m có nghiệm thực? A m ≥ B m ≤ C m ≥ D m ≤ Câu 41 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình có nghiệm dương? A ≤ m ≤ B −3 < m < x2 − x + = m + 4x − x2 D −3 ≤ m < C − < m < Câu 42 Tìm tất giá trị thực tham số m cho nghiệm bất phương trình: x − x + ≤ nghiệm bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ? B m ≤ − A m ≤ −1 Câu 43 Tìm tất giá trị thực C m ≥ − tham số D m ≥ −1 m cho phương trình: log 32 x + log 32 x + − 2m − = có nghiệm đoạn 1;3 ? A −1 ≤ m ≤ B ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D −1 ≤ m ≤ Câu 44 Tìm tất giá trị thực tham số m cho phương trình hai nghiệm thực? A m ≥ − Câu 45 Tìm tất B m ≥ giá trị thực C m ≥ tham số x + mx + = x + có D ∀m ∈ ¡ m x − + m x + = x − có hai nghiệm thực? 1 A ≤ m < B −1 ≤ m ≤ C −2 < m ≤ cho phương trình D ≤ m < Câu 46 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình (1 + x)(3 − x) > m + x − x − nghiệm với x ∈ − ;3 ? A m > B m > C m < D m < Câu 47 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình ( ) + x + − x − (1 + x)(3 − x) ≥ m nghiệm với x ∈ [ − 1;3] ? A m ≤ B m ≥ C m ≥ − Câu 48 Tìm tất giá trị thực tham số m D m ≤ − cho bất phương trình + x + − x − 18 + x − x ≤ m − m + nghiệm ∀x ∈ [ −3, 6] ? A m ≥ −1 B −1 ≤ m ≤ C ≤ m ≤ D m ≤ −1 m ≥ Câu 49 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình m.4 x + ( m − 1) x + + m − > nghiệm ∀x ∈ ¡ ? A m ≤ B m ≥ C −1 ≤ m ≤ D m ≥ Câu 50 Tìm tất giá trị thực tham số m cho bất phương trình: − x + 3mx − < − nghiệm ∀x ≥ ? 2 A m < B m ≥ 3 C m ≥ x3 D − ≤ m ≤ Câu 51 Tìm giá trị lớn tham số m cho bất phương trình 2cos x + 3sin x ≥ m.3cos nghiệm? A m = B m = C m = 12 D m = 16 2 x có x + x + x + 16 − − x ≥ có tập nghiệm [ a; b ] Hỏi tổng a + b có giá trị bao nhiêu? A −2 B C D Câu 52 Bất phương trình x − x + − x − x + 11 > − x − x − có tập nghiệm ( a; b ] Hỏi hiệu b − a có giá trị bao nhiêu? A B C D −1 Câu 53 Bất phương trình D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN D A D B C D D B A 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B B A A C A A B C C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A B A A A C D C D B A B B C C D B C C B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 B C B C D D D D B A A C A II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn D > 0, ∀x ≠ (1 − x) Hàm số đồng biến khoảng (−∞;1) (1; +∞) TXĐ: D = ¡ \ { 1} Ta có y ' = Câu Chọn A TXĐ: D = ¡ Ta có y ' = −3 x + x − = −3( x − 1) ≤ , ∀x ∈ ¡ Câu Chọn D x = TXĐ: D = ¡ y ' = −4 x + x = x(2 − x ) Giải y ' = ⇔ x = ± ( ) ( ) Trên khoảng −∞; − 0; , y ' > nên hàm số đồng biến Câu Chọn B TXĐ: D = ¡ \ { 2} Ta có y ' = − 10 < 0, ∀x ∈ D (−4 + x)2 Câu Chọn C Ta có: f '( x ) = −4 x + x − = −(2 x − 1)2 ≤ 0, ∀x ∈ ¡ Câu Chọn D TXĐ: D = ¡ \ { −1} y ' = x = x2 + x − y ' = ⇒ x + x − = ⇒ Giải x = −4 ( x + 1) y ' không xác định x = −1 Bảng biến thiên: –– Hàm số nghịch biến khoảng ( −4; −1) ( −1; ) Câu Chọn D x =1 TXĐ: D = ¡ y ' = x − x + = ⇔ x = Trên khoảng ( 1;5 ) , y ' < nên hàm số nghịch biến Câu Chọn B TXĐ: D = ¡ y ' = 3x − 12 x + 12 x = x ( x − 2) ≥ , ∀x ∈ ¡ Câu Chọn A a = b = 0, c > y ' = 3ax + 2bx + c ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ a > 0; b − 3ac ≤ Câu 10 Chọn B TXĐ: D = ¡ Do y ' = 3x + x − = 3( x − 1)( x + 3) nên hàm số không đồng biến ¡ Câu 11 Chọn B HSXĐ: x − x ≥ ⇔ x ≤ suy D = ( −∞;3] y ' = x = Giải y ' = ⇒ y ' không xác định x = Bảng biến thiên: 02||0||00 x − 3x 2 3x − x3 x = x = Hàm số nghịch biến (−∞;0) (2;3) Hàm số đồng biến (0; 2) Câu 12 Chọn A , ∀x ∈ ( −∞;3) π x = − + kπ 1 12 TXĐ: D = ¡ y ' = + sin x Giải y ' = ⇔ sin x = − ⇔ ,( k ∈¢) 2 x = 7π + kπ 12 7π 11π Vì x ∈ [ 0; π ] nên có giá trị x = x = thỏa mãn điều kiện 12 12 Bảng biến thiên: ||00|| 7π Hàm số đồng biến 0; 12 11π ;π ÷ ÷và 12 Câu 13 Chọn A TXĐ: D = ¡ ; y ′ = − sin x ≥ ∀x ∈ ¡ suy hàm số đồng biến ¡ Câu 14 Chọn C (I): y ′ = x − x + = ( x − 1) + > 0, ∀x ∈ ¡ ( ) x − ′ (II): y ′ = > 0, ∀x ≠ −1 ÷= x + ( x + 1) (III): y ′ = (IV): y ′ = x + − cos x > 0, ∀x ∈ ¡ (V): y ′ = x + x = x(2 x + 1) ′ x2 + = x x2 + Câu 15 Chọn A (I): y ' = (− x + 3x − 3x + 1) ' = −3 x + x − = −3( x − 1) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ; (II): y ' = (sin x − x) ' = cos x − < 0, ∀x ∈ ¡ ; (III) y ′ = − ( ) ′ x3 + = − 3x 2 x +2 ( ) ≤ 0, ∀x ∈ − 2; +∞ ; x − ′ x − ′ (IV) y ' = < 0, ∀x ≠ ÷ = ÷ =− (1 − x) 1− x −x +1 Câu 16 Chọn A ( ) (I) y ′ = −( x − 1)3 ′ = −3( x − 1) ≤ 0, ∀x ∈ ¡ x ′ x > 0, ∀x > (II) y ′ = ln( x − 1) − ÷= x − ( x − 1) (III) y′ = x + − x ( x2 + x +1 ) ′ = x x + − x ÷ > 0, ∀x ∈ ¡ ÷= x +1 x + x2 + x2 + ( ) 11 Câu 17 Chọn B x − y′ = −2 x + x ≥ −1 ; y′ = ⇔ x = x < −1 ||0 Câu 18 Chọn C TXĐ: D = ( −∞; 2] Ta có y ′ = − x −1 , ∀x ∈ ( −∞; ) 2− x Giải y ′ = ⇒ − x = ⇒ x = ; y ' không xác định x = Bảng biến thiên: 12 0||65 Câu 19 Chọn C π π Xét khoảng − ; ÷ 2 Ta có: y = cos x + sin x.tan x = cos x.cos x + sin x.sin x = ⇒ y′ = cos x π π Hàm số không đổi − ; ÷ 2 Câu 20 Chọn D Tập xác định: D = ¡ \ { −1} Ta có y ′ = m −1 ( x + 1) Để hàm số giảm khoảng mà xác định ⇔ y′ < 0, ∀x ≠ −1 ⇔ m < Câu 21 Chọn A Tập xác định: D = ¡ Ta có y ′ = − x − 2mx + 2m − Để hàm số nghịch biến ¡ −1 < (hn) a y′ < y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ ⇔ ⇔ −3 ≤ m ≤ ′ ∆ ≤ m + m − ≤ Câu 22 Chọn B Tập xác định: D = ¡ \ { m} Ta có y ′ = x − 2mx + m − m + ( x − m) Để hàm số tăng khoảng xác định 1 ≥ (hn) ⇔ m ≤1 ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ x − 2mx + m − m + ≥ 0, ∀x ∈ D ⇔ m − ≤ Câu 23 Chọn A Tập xác định: D = ¡ Ta có y ′ = − m sin x Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ m sin x ≤ 1, ∀x ∈ ¡ Trường hợp 1: m = ta có ≤ 1, ∀x ∈ ¡ Vậy hàm số đồng biến ¡ 1 Trường hợp 2: m > ta có sin x ≤ , ∀x ∈ ¡ ⇔ ≥ ⇔ m ≤ m m 1 Trường hợp 3: m < ta có sin x ≥ , ∀x ∈ ¡ ⇔ ≤ −1 ⇔ m ≥ −1 m m Vậy m ≤ Câu 24 Chọn A Tập xác định: D = ¡ Ta có: y ' = m − + (2m + 1)sin x Hàm số nghịch biến ¡ ⇔ y ' ≤ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ (2m + 1) sin x ≤ − m, ∀x ∈ ¡ ta có ≤ ,∀x∈ Vậy hàm số nghịch biến ¡ 2 3− m 3− m , ∀x ∈ ¡ ⇔ ≤ −1 Trường hợp 2: m < − ta có sin x ≥ 2m + 2m + ⇔ − m ≥ −2m − ⇔ m ≥ −4 Trường hợp 3: m > − ta có: Trường hợp 1: m = − sin x ≤ 2 3− m 3− m , ∀x ∈ ¡ ⇔ ≥ ⇔ − m ≥ 2m + ⇔ m ≤ Vậy m ∈ −4; 3 2m + 2m + Câu 25 Chọn A x =1 Tính nhanh, ta có f ′( x ) = ⇔ x − ( m + ) x + ( m + 1) = ⇔ x = m +1 Phương trình f ′( x) = có nghiệm kép m = , suy hàm số đồng biến ¡ Trường hợp m ≠ , phương trình f ′( x) = có hai nghiệm phân biệt (không thỏa yêu cầu toán) Câu 26 Chọn C Tập xác định: D = ¡ Ta có y ′ = x + 2mx − m 1 > (hn) ⇔ −1 ≤ m ≤ Hàm số đồng biến ¡ ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ m + m ≤ Vậy giá trị nhỏ m để hàm số đồng biến ¡ m = −1 Câu 27 Chọn D Tập xác định: D = ¡ \ { −m} Ta có y ′ = m + 3m + ( x + m) 13 Yêu cầu đề ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ D ⇔ m + 3m + < ⇔ −2 < m < −1 Vậy số nguyên m thuộc khoảng ( −2; −1) Câu 28 Chọn C Tập xác định D = ¡ \ { −m} Ta có y ′ = m2 − ( x + m) Để hàm số giảm khoảng ( −∞;1) m2 − < ⇔ y′ < 0, ∀x ∈ ( −∞;1) ⇔ ⇔ −2 < m ≤ −1 1 ≤ − m Câu 29 Chọn D Cách 1:Tập xác định: D = ¡ Ta có y ′ = x − 12 x + m • Trường hợp 1: 3 > ( hn) ⇔ m ≥ 12 Hàm số đồng biến ⇔ y′ ≥ 0, ∀x ∈ ¡ ⇔ 36 − 3m ≤ • Trường hợp 2: Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ y′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x1 < x2 ≤ (*) Trường hợp 2.1: y ′ = có nghiệm x = suy m = Nghiệm lại y ′ = x = (không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y ′ = có hai nghiệm x1 , x2 thỏa 36 − 3m > ∆′ > x1 < x2 < ⇔ S < ⇔ 4 < 0(vl ) ⇒ m Vậy m ≥ 12 P > m >0 3 Cách 2:Hàm số đồng biến ( 0; +∞ ) ⇔ m ≥ 12 x − x = g ( x), ∀x ∈ (0; +∞) Lập bảng biến thiên g ( x) ( 0; +∞ ) x +∞ + g′ – 12 g –∞ Câu 30 Chọn B Tập xác định D = ¡ Ta có y ' = x3 − 4(m − 1) x Hàm số đồng biến (1;3) ⇔ y ' ≥ 0, ∀x ∈ (1;3) ⇔ g ( x) = x + ≥ m, ∀x ∈ (1;3) Lập bảng biến thiên g ( x) (1;3) x g′ + 10 g Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x ) ⇔ m ≤ Câu 31 Chọn A Tập xác định: D = ¡ Ta có y ′ = x − mx + 2m Ta không xét trường hợp y ′ ≤ 0, ∀x ∈ ¡ a = > Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài ⇔ y′ = có nghiệm x1 , x2 thỏa ∆ > ⇔ m − 8m > m = −1 m > hay m < x1 − x2 = ⇔ ⇔ ⇔ m = 2 m − 8m = ( x1 − x2 ) = ⇔ S − P = Câu 32 Chọn B π +) Điều kiện tan x≠ m Điều kiện cần để hàm số đồng biến 0; ÷ m∉ 0;1 4 ( ) +) y' = 2− m cos x(tan x− m)2 +) Ta thấy: π > 0∀x∈ 0; ÷;m∉( 0;1) 4 cos x(tan x− m) y' > −m+ > π ⇔ ⇔ m≤ ≤ m < +) Để hs đồng biến 0; ÷ ⇔ 4 m∉(0;1) m≤ 0;m≥ Câu 33 Chọn B Tập xác định D = R , yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình −14 ≥ m (1) mx + 14mx + 14 ≤ 0, ∀x ≥ , tương đương với g ( x) = x + 14 x Dễ dàng có g ( x) hàm tăng ∀x ∈ [ 1; +∞ ) , suy g ( x) = g (1) = − x ≥1 Kết luận: (1) ⇔ g ( x) ≥ m ⇔ − x ≥1 14 15 14 ≥m 15 Câu 34 Chọn C Tập xác định D = ¡ Ta có y ′ = −4 x3 + 2(2m − 3) x = g ( x), ∀x ∈ (1; 2) Lập bảng biến thiên g ( x) (1; 2) g ′( x) = x = ⇔ x = Bảng biến thiên x g′ + Hàm số nghịch biến (1; 2) ⇔ y′ ≤ 0, ∀x ∈ (1; 2) ⇔ m ≤ x + 15 g 11 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m ≤ g ( x ) ⇔ m ≤ Vậy p + q = + = Câu 35 Chọn C x − 2mx + 2m − m − g ( x) = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến khoảng xác định g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ D Tập xác định D = ¡ \ { m} Ta có y ′ = m ≤ −1 Điều kiện tương đương ∆ g ( x ) = − m + m + ≤ ⇔ m ≥ Kết luận: Có vô số giá trị nguyên m thỏa yêu cầu toán Câu 36 Chọn D x − 4mx + m − 2m − g ( x) = ( x − m) ( x − m) Hàm số đồng biến (1; +∞) g ( x) ≥ 0, ∀x > m ≤ (1) Tập xác định D = ¡ \ { m} Ta có y ′ = Vì ∆ g ′ = 2(m + 1) ≥ 0, ∀m nên (1) ⇔ g ( x ) = có hai nghiệm thỏa x1 ≤ x2 ≤ g (1) = 2( m2 − 6m + 1) ≥ ⇔ m ≤ − 2 ≈ 0, Điều kiện tương đương S = m ≤1 2 Do giá trị nguyên dương m thỏa yêu cầu toán Câu 37 Chọn B Điều kiện xác định: β ≥ Yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình Kết luận: ≤ sin 2α ≤ π 5π + kπ ≤ α ≤ + kπ , k ∈ Z β ≥ 12 12 Câu 38 Chọn C Tập xác định D = R Ta có: y ′ = + acosx − b sin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có − a + b ≤ y ′ ≤ + a + b Yêu cầu toán đưa đến giải bất phương trình y ′ ≥ 0, ∀x ⇔ − a + b ≥ ⇔ a + b ≤ Câu 39 Chọn C (1) ⇔ m = x − x − x = f ( x) Bảng biến thiên f ( x) ¡ 3005 Từ suy pt có nghiệm m < −27 m > Câu 40 Chọn B Đặt t = x + 1, t ≥ Phương trình thành: 2t = t − + m ⇔ m = −t + 2t + Xét hàm số f (t ) = −t + 2t + 1, t ≥ 0; f ′(t ) = −2t + Bảng biến thiên f ( t ) : 02 Từ suy phương trình có nghiệm m ≤ Câu 41 Chọn B Đặt t = f ( x) = x − x + Ta có f ′( x) = x−2 x2 − 4x + f ′( x) = ⇔ x = Xét x > ta có bảng biến thiên 01 Khi phương trình cho trở thành m = t + t − ⇔ t + t − − m = (1) Nếu phương trình (1) có nghiệm t1 , t2 t1 + t2 = −1 (1) có nhiều nghiệm t ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm dương phương trình (1) có ( ) nghiệm t ∈ 1; Đặt g (t ) = t + t − Ta tìm m để phương trình g (t ) = m ( ) ( ) có nghiệm t ∈ 1; Ta có g ′(t ) = 2t + > 0, ∀t ∈ 1; Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy −3 < m < giá trị cần tìm Câu 42 Chọn C Bất phương trình x − x + ≤ ⇔ ≤ x ≤ 2 Bất phương trình mx + ( m + 1) x + m + ≥ ⇔ m( x + x + 1) ≥ − x − ⇔ m ≥ Xét hàm số f ( x ) = −x − x + x +1 −x − x + 4x + ′ f ( x ) = > 0, ∀x ∈ [1;2] với ≤ x ≤ Có x2 + x + ( x + x + 1)2 17 f ( x) ⇔ m ≥ − Yêu cầu toán ⇔ m ≥ max [1;2] Câu 43 Chọn B Đặt t = log 32 x + Điều kiện: t ≥ Phương trình thành: t + t − 2m − = (*) Khi x ∈ 1;3 ⇒ t ∈ [1; 2] (*) ⇔ f (t ) = t2 + t − = m Bảng biến thiên : 2 02 Từ bảng biến thiên ta có : ≤ m ≤ Câu 44 Chọn C Điều kiện: x ≥ − Phương trình 2 x + mx + = x + ⇔ x + x − = mx (*) Vì x = không nghiệm nên (*) ⇔ m = 3x + x − x 3x + x − 3x + 1 Ta có f ′( x) = > ∀x ≥ − ; x ≠ x x Bảng biến thiên 0++ Xét f ( x) = Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm m ≥ Câu 45 Chọn D Điều kiện : x ≥ x −1 x −1 x −1 x −1 +m=2 Pt ⇔ ⇔ + m = 2 x +1 x +1 x +1 ( x + 1) x −1 với x ≥ ta có ≤ t < Thay vào phương trình ta m = 2t − 3t = f (t ) x +1 Ta có: f ′(t ) = − 6t ta có: f ′(t ) = ⇔ t = t= Bảng biến thiên: 00 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm ≤ m < Câu 46 Chọn D 2 Đặt t = (1 + x)(3 − x) x ∈ − ;3 ⇒ t ∈ 0; Thay vào bất phương trình ta f (t ) = t + t > m Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có : m < Câu 47 Chọn D Đặt t = + x + − x ⇒ t = + (1 + x)(3 − x) ⇔ (1 + x)(3 − x) = t − Với x ∈ [ − 1;3] => t ∈ [2; 2] Thay vào bất phương trình ta được: m ≤ −t + 3t + Xét hàm số f (t ) = −t + 3t + 4; f ′(t ) = −2t + ; f ′(t ) = ⇔ t = < 2 - Từ bảng biến thiên ta có m ≤ − thỏa đề Câu 48 Chọn D Đặt t = + x + − x > ⇒ t = ( + x + − x ) = + ( + x ) ( − x ) ⇒ ≤ t = + ( + x ) ( − x ) ≤ + ( + x ) + ( − x ) = 18 ⇒ 18 + x − x = ( + x ) ( − x ) = ( t − ) ; t ∈ 3;3 19 f ( t ) = f ( 3) = Xét f ( t ) = − t + t + ; f ′ ( t ) = − t < 0; ∀t ∈ 3;3 ⇒ max 3;3 f ( t ) = ≤ m − m + ⇔ m − m − ≥ ⇔ m ≤ −1 m ≥ ycbt ⇔ max 3;3 Câu 49 Chọn B Đặt t = x > m.4 x + ( m − 1) x + + m − > , ∀x ∈ ¡ ⇔ m.t + ( m − 1) t + ( m − 1) > 0, ∀t > ⇔ m ( t + 4t + 1) > 4t + 1, ∀t > ⇔ g ( t) = 4t + < m, ∀t > t + 4t + Ta có g ′ ( t ) = −4t − 2t < nên g ( t ) nghịch biến [ 0; +∞ ) ( t + 4t + 1) g ( t ) = g ( 0) = ≤ m ycbt ⇔ t max ≥0 Câu 50 Chọn A 1 Bpt ⇔ 3mx < x − + 2, ∀x ≥ ⇔ 3m < x − + x = f ( x ) , ∀x ≥ x x (x ) −2 >0 Ta có f ′ ( x ) = x + 45 − 22 ≥ 2 x 45 − 22 = suy f ( x ) tăng x x x x f ( x ) = f ( 1) = > 3m ⇔ > m Ycbt ⇔ f ( x ) > 3m, ∀x ≥ ⇔ x ≥1 Câu 51 Chọn A cos x (1) ⇔ ÷ 3 cos x 1 + 3 ÷ 9 t ≥ m Đặt t = cos x, ≤ t ≤ t t t 2 1 2 1 (1) trở thành ÷ + ÷ ≥ m (2) Đặt f (t ) = ÷ + ÷ 3 9 3 9 Ta có (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0;1] ⇔ m ≤ Max f (t ) ⇔ m ≤ t∈[0;1] Câu 52 Chọn C Điều kiện: −2 ≤ x ≤ Xét f ( x) = x3 + x + x + 16 − − x đoạn [ −2; 4] Có f ′( x) = ( x + x + 1) x + x + x + 16 + > 0, ∀x ∈ ( −2; ) 4− x Do hàm số đồng biến [ −2; 4] , bpt ⇔ f ( x) ≥ f (1) = ⇔ x ≥ So với điều kiện, tập nghiệm bpt S = [1; 4] ⇒ a + b = Câu 53 Chọn A Điều kiện: ≤ x ≤ ; bpt ⇔ ( x − 1) + + x −1 > Xét f (t ) = t + + t với t ≥ Có f '(t ) = t ( − x) + + 3− x > 0, ∀t > t +2 t Do hàm số đồng biến [0; +∞) (1) ⇔ f ( x − 1) > f (3 − x ) ⇔ x − > ⇔ x > So với điều kiện, bpt có tập nghiệm S = (2;3] + 2 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa Giải tích 12 – Chương trình chuẩn – Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Sách giáo khoa Giải tích 12 – Chương trình nâng cao – Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Sách tập Giải tích 12 – Chương trình chuẩn – Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam Sách tập Giải tích 12 – Chương trình nâng cao – Nhà xuất Giáo Dục Việt Nam 21 ... x A Hàm số nghịch biến ¡ B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến khoảng ( −∞; ) ( 2; +∞ ) Câu Cho hàm số y = D Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞; − ) ( −2; +∞ ) Câu Hỏi hàm số. .. π π A Hàm số giảm − ; ÷ 2 π π B Hàm số tăng − ; ÷ 2 π π C Hàm số không đổi − ; ÷ 2 π D Hàm số giảm − ;0÷ Câu 20 Tìm tất giá trị thực tham số m cho hàm số y = khoảng... 3ac < Câu 10 Cho hàm số y = x3 + 3x − x + 15 Khẳng định sau khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng ( −3;1) B Hàm số đồng biến ¡ C Hàm số đồng biến ( −9; −5 ) D Hàm số đồng biến khoảng