LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TP HỒ CHÍ MINH TOANMATH.com LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC – MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG” biên soạn với mục đích cung cấp, bổ sung kiến thức cho học sinh THPT số bạn đọc quan tâm đến mảng kiến thức trình học tập làm việc Trong tập “PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC” này, xoáy vào trọng tâm “PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC”, dạng toán quen thuộc đề thi THPT, đặc biệt đề thi tuyển sinh Đại Học Ở chương chính, chia làm phần : Phần I : Nêu lý thuyết ví dụ minh họa sau đó, giúp bạn đọc hiểu biết cách trình bày Đồng thời đưa dạng toán bản, thường gặp trình làm lớp học sinh THPT Ở phần này, trình bày số để bạn đọc nắm vững hơn, tránh sai sót Phần II : Trong trình tham khảo tổng hợp tài liệu, đưa vào phần dạng toán khó nhằm giúp cho học sinh bồi dưỡng, rèn luyện kĩ giải LƯỢNG GIÁC thành thạo gặp phải dạng toán Phần III : Chúng đưa lời giải gợi ý cho số bài, qua bạn đọc kiểm tra lại đáp số, lời giải tham khảo thêm Trong trình biên soạn, cố gắng việc tham khảo lượng lớn tài liệu có sẵn tiếp thu có chọn lọc ý kiến từ bạn đồng nghiệp để dần hoàn thiện sách này, khó tránh khỏi thiếu sót tầm hiểu biết kinh nghiệm hạn chế, mong nhận ý kiến đóng góp quý báu bạn đọc gần xa Chi tiết liên hệ : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH TOANMATH.com LỜI CẢM ƠN Trong trình biên soạn, xin cám ơn đến bạn cung cấp tài liệu tham khảo vui lòng nhận kiểm tra lại phần thảo đánh máy, tạo điều kiện hoàn thành sách : - Ngô Minh Nhựt (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) Mai Ngọc Thắng (ĐH Kinh Tế Tp.HCM) Nguyễn Thị Thanh Huyền (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) Nguyễn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hồng Phong Tp.HCM) Trần Lam Ngọc (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) Vương Tuấn Phong (THPT Chuyên Trần Đại Nghĩa Tp.HCM) Lê Quang Hiếu (THPT Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai) Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) số thành viên diễn đàn MathScope TOANMATH.com MỤC LỤC TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC CHƯƠNG : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BÀI TẬP TỰ LUYỆN 13 II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 20 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 20 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 35 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO •‹ ‫ ݔ‬VÀ …‘• ‫ ݔ‬ 41 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 50 PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO •‹ ‫ ݔ‬VÀ …‘• ‫ ݔ‬ 53 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 60 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THUẦN NHẤT ĐỐI VỚI •‹ ‫ ݔ‬ǡ …‘• ‫ ݔ‬ 61 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 67 a CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÁC 73 TỔNG HỢP 73 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 95 TOANMATH.com b PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 100 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 103 c PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 107 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 127 d PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ 131 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 148 CHƯƠNG : HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 154 I II TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 154 CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 155 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 171 CHƯƠNG : BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 175 I II TÓM TẮT MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG GẶP 175 CÁC BÀI TẬP MINH HỌA 176 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 186 ĐỌC THÊM : TẢN MẠN VỀ SỐ PI 189 TÀI LIỆU THAM KHẢO 194 TOANMATH.com Chương : Sơ lược hàm lượng giác ngược CHƯƠNG SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”…•‹ ‫ ݔ‬là hàm lượng giác ngược hàm số ‫ ݔ‬ൌ •‹ ‫ݕ‬, có số tính chất sau ߨ ߨ ‫ א ݕ‬ቂെ Ǣ ቃ ‫ۓ‬ ʹ ʹ ۖ ߨ ߨ ƒ”…•‹ሺ•‹ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ቂെ Ǣ ቃ ʹ ʹ ‫۔‬ ሺ ሻ ሾ •‹ ƒ”…•‹ ‫ݔ‬ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ݔ‬ ‫א‬ െͳǢ ͳሿ ۖ ‫‹•…”ƒ ە‬ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ െ ƒ”…•‹ ‫ݔ‬ Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”……‘• ‫ ݔ‬là hàm lượng giác ngược hàm số ‫ ݔ‬ൌ …‘• ‫ݕ‬, có số tính chất sau ‫ א ݕ‬ሾͲǢ ߨሿ ƒ”……‘•ሺ…‘• ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ሾͲǢ ߨሿ ൞ …‘•ሺƒ”……‘• ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ሾെͳǢ ͳሿ ƒ”……‘•ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ ߨ െ ƒ”……‘• ‫ݔ‬ Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”…–ƒ ‫ ݔ‬là hàm lượng giác ngược hàm số ‫ ݔ‬ൌ –ƒ ‫ݕ‬, có số tính chất sau ߨ ߨ ‫ݕ‬ ‫א‬ ቀെ Ǣ ቁ ‫ۓ‬ ʹ ʹ ۖ ߨ ߨ ƒ”…–ƒሺ–ƒ ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ቀെ Ǣ ቁ ʹ ʹ ‫۔‬ ሺ ሻ ۖ –ƒ ƒ”…–ƒ ‫ ݔ‬ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬Թ ‫ ƒ–…”ƒ ە‬ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ െ ƒ”…–ƒ ‫ݔ‬ Hàm số ‫ ݕ‬ൌ ƒ”……‘– ‫ ݔ‬là hàm lượng giác ngược hàm số ‫ ݔ‬ൌ …‘– ‫ݕ‬, có số tính chất sau ‫ א ݕ‬ሺͲǢ ߨሻ ƒ”……‘–ሺ…‘– ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬ሺͲǢ ߨሻ ൞ …‘–ሺƒ”……‘– ‫ ݔ‬ሻ ൌ ‫ݔ‬ǡ ‫ א ݔ‬Թ ƒ”……‘–ሺെ‫ ݔ‬ሻ ൌ ߨ െ ƒ”……‘– ‫ݔ‬ TOANMATH.com Chương : Sơ lược hàm lượng giác ngược BÀI TẬP VÍ DỤ VỀ HÀM LƯỢNG GIÁC NGƯỢC ߨ ξʹ ƒǤ ൌ •‹ ቆ ൅ ƒ”…•‹ ቆ ቇቇ ͳʹ ʹ II ߨ ξʹ •‹ ൌ ߨ ξʹ Ͷ ʹ ² ƒ”…•‹ ቆ ቇ ൌ Ǥ‘¯×ǡ ¿ ൞ ߨ ߨ ߨ Ͷ ʹ ‫ א‬ቂെ Ǣ ቃ Ͷ ʹ ʹ ߨ ߨ ߨ ξ͵  ൌ •‹ ቀ ൅ ቁ ൌ •‹ ൌ ͳʹ Ͷ ͵ ʹ „Ǥ ൌ ƒ”…•‹ ൬•‹ ‘ ʹߨ ൰ ͵ ߨ ߨ ʹߨ ʹߨ ʹߨ ‫ ב‬ቂെ Ǣ ቃ ² ƒ”…•‹ ൬•‹ ൰ ് Ǥ—›˜ậ› ʹ ʹ ͵ ͵ ͵ •‹ ʹߨ ߨ ߨ ൌ •‹ ቀߨ െ ቁ ൌ •‹ ͵ ͵ ͵ Do đó,  ൌ ƒ”…•‹ ൬•‹ …Ǥ ൌ ƒ”……‘• ൬…‘• ߨ ߨ ʹߨ ൰ ൌ ƒ”…•‹ ቀ•‹ ቁ ൌ ͵ ͵ ͵ Ͷߨ ൰ ͵ Ta thấy : …‘• Ͷߨ ߨ ߨ ൌ …‘• ቀߨ ൅ ቁ ൌ െ …‘• ͵ ͵ ͵ Do đó,  ൌ ƒ”……‘• ൬…‘• Ͷߨ ߨ ߨ ߨ ʹߨ ൰ ൌ ƒ”……‘• ቀെ …‘• ቁ ൌ ߨ െ ƒ”……‘• ቀ…‘• ቁ ൌ ߨ െ ൌ ͵ ͵ ͵ ͵ ͵ TOANMATH.com Chương : Phương trình lượng giác CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I - PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ ƒǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ •‹ ‫ ݒ‬฻ ቂ  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ‫ ݑ‬ൌ ߨ െ ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ „Ǥ …‘• ‫ ݑ‬ൌ …‘• ‫ ݒ‬฻ ቂ ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ ሺ  ݇ ‫ א‬Ժሻ ‫ ݑ‬ൌ െ‫ ݒ‬൅ ݇ʹߨ ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ߨ ߨ …Ǥ –ƒ ‫ ݑ‬ൌ –ƒ ‫ ݒ‬฻ ቊ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ‫ ് ݑ‬൅ ݇ߨ ʹ †Ǥ …‘– ‫ ݑ‬ൌ …‘– ‫ ݒ‬฻ ቄ - ‫ ݑ‬ൌ ‫ ݒ‬൅ ݇ߨ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ‫ߨ݇ ് ݑ‬ CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN ĐẶC BIỆT ͳǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ Ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ʹǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ Ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ߨ ൅ ݇ߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ʹ ͵Ǥ •‹ ‫ ݑ‬ൌ ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ʹ ͶǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ͷǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ െͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ െ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ʹ ͸Ǥ …‘• ‫ ݑ‬ൌ െͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ ߨ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ߨ ൅ ݇ʹߨ ͳ ͸ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ͹Ǥ •‹ ‫ ݑ‬ൌ ฻ ൦ ͷߨ ʹ ‫ݑ‬ൌ ൅ ݇ʹߨ ͸ ‫ݑ‬ൌ ͺǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ ߨ ͳ ฻ ‫ ݑ‬ൌ േ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ͵ ʹ TOANMATH.com Chương : Phương trình lượng giác ߨ ൅ ݇ʹߨ ξ͵ ͵ ฻൦ ͻǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ʹߨ ʹ ‫ݑ‬ൌ ൅ ݇ʹߨ ͵ ‫ݑ‬ൌ ͳͲǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ ߨ ξ͵ ฻ ‫ ݑ‬ൌ േ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ͸ ʹ ߨ ൅ ݇ʹߨ ͳ ͸ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ͳͳǤ •‹ ‫ ݑ‬ൌ െ ฻ ൦ ͹ߨ ʹ ൅ ݇ʹߨ ‫ݑ‬ൌ ͸ ‫ݑ‬ൌെ ͳ ʹߨ ͳʹǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ െ ฻ ‫ ݑ‬ൌ േ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ʹ ͵ ߨ ൅ ݇ʹߨ ‫ݑ‬ ൌ െ ξ͵ ͵ ͳ͵Ǥ •‹ ‫ ݑ‬ൌ െ ฻൦ ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ Ͷߨ ʹ ൅ ݇ʹߨ ‫ݑ‬ൌ ͵ ͳͶǤ …‘• ‫ ݑ‬ൌ െ ͷߨ ξ͵ ฻‫ݑ‬ൌേ ൅ ݇ʹߨሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ʹ ͸ Chú ý rằng: ߨ ߨ ͳሻŠươ‰–”¿Š •‹ ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬ሾെͳǢ ͳሿሻ…ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ… ቂെ Ǣ ቃǤ ʹ ʹ ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”…•‹ ݉Ǥ ʹሻŠươ‰–”¿Š …‘• ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬ሾെͳǢ ͳሿሻ …ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ…ሾͲǢ ߨሿǤ ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”……‘• ݉Ǥ ߨ ߨ ͵ሻŠươ‰–”¿Š –ƒ ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬Թሻ…ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ… ቀെ Ǣ ቁǤ ʹ ʹ ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”…–ƒ ݉Ǥ ͶሻŠươ‰–”¿Š …‘– ‫ ݔ‬ൌ ݉ሺ݉ ‫ א‬Թሻ…ׯộ–‰Š‹ệ–Š—ộ…ሺͲǢ ߨሻǤ ƒÀŠ‹ệ—‰Š‹ệ¯×Ž ƒ”……‘– ݉Ǥ Chúng ta sử dụng công thức biến đổi lượng giác nêu Chương 2, phân tích phương trình thành nhân tử để xuất dạng phương trình TOANMATH.com Chương : Hệ phương trình lượng giác ݂ ᇱ ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ െ •‹ ‫ ݐ‬െ ͳ ൑ Ͳ Vậy hàm số nghịch biến Do đó, ‫ ݔ‬ൌ ʹ‫ݕ‬ Thay vào ሺʹሻ ta : –ƒ ʹ‫ ݕ‬ൌ ͵ –ƒ ‫ݕ‬ ฻ –ƒ ‫ ݕ‬ሺͳ െ ͵ –ƒଶ ‫ ݕ‬ሻ ൌ Ͳ –ƒ ‫ ݕ‬ൌ Ͳ ͳ ฻ ൥ ଶ –ƒ ‫ ݕ‬ൌ ͵ ‫ ݕ‬ൌ ݇ߨ ߨ  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ฻ ൥ ‫ ݕ‬ൌ േ ൅ ݇ߨ ͸ Từ đó, kết hợp với điều kiện ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm hệ : ߨ ߨ ‫ݔ‬ ൌ െ ൅ ݇ߨ ൅ ݇ߨ ‫ ݔ‬ൌ ʹ݇ߨ ͵ ͵ ൞ ൜ ‫ש‬൞  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ  ‫ש‬  ߨ ߨ ‫ ݕ‬ൌ ݇ߨ ‫ ݕ‬ൌ െ ൅ ݇ߨ ‫ ݕ‬ൌ ൅ ݇ߨ ͸ ͸ ‫ݔ‬ൌ Bài 12: Giải hệ phương trình sau : ߨ –ƒ ‫ ݔ‬൅ …‘– ‫ ݔ‬ൌ ʹ •‹ ቀ‫ ݕ‬൅ ቁ ሺͳሻ Ͷ ൞ ߨ –ƒ ‫ ݕ‬൅ …‘– ‫ ݕ‬ൌ ʹ •‹ ቀ‫ ݔ‬െ ቁ ሺʹሻ Ͷ Giải: Điều kiện ݇ߨ ʹ  ሺ݇ǡ ݈ ‫ א‬Ժሻሺ‫כ‬ሻ ൞ ݈ߨ ‫്ݕ‬ ʹ ‫്ݔ‬ Ta có : ȁ–ƒ ‫ ݔ‬൅ …‘– ‫ݔ‬ȁ ൌ ȁ–ƒ ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ…‘– ‫ݔ‬ȁ ൒ ʹ ߨ ൝ ʹ ቚ•‹ ቀ‫ ݕ‬൅ ቁቚ ൑ ʹ Ͷ 164 TOANMATH.com Chương : Hệ phương trình lượng giác Nên ሺͳሻ tương đương với ሺ ሻ ቊ –ƒ ‫ ݔ‬൅ …‘– ‫ ݔ‬ൌ െʹ –ƒ ‫ ݔ‬൅ …‘– ‫ ݔ‬ൌ ʹ ߨ ߨ  ‫ ש‬ሺ ሻ ቊ •‹ ቀ‫ ݕ‬൅ ቁ ൌ െͳ •‹ ቀ‫ ݕ‬൅ ቁ ൌ ͳ Ͷ Ͷ Giải ሺ ሻ : ቊ –ƒ ‫ ݔ‬ൌ ͳ ߨ •‹ ቀ‫ ݕ‬൅ ቁ ൌ ͳ Ͷ ߨ ൅ ‫ߨ݌‬ Ͷ ൞  ሺ‫݌‬ǡ ‫ א ݍ‬Ժሻ ฻ ߨ ‫ ݕ‬ൌ ൅ ‫ߨʹݍ‬ Ͷ ‫ݔ‬ൌ Nghiệm thỏa điều kiện hệ, ta vào ሺʹሻ: ߨ ߨ  ൌ –ƒ ‫ ݕ‬൅ …‘– ‫ ݕ‬ൌ –ƒ ቀ ൅ ‫ߨʹݍ‬ቁ ൅ …‘– ቀ ൅ ‫ߨʹݍ‬ቁ ൌ ʹ Ͷ Ͷ ߨ  ൌ ʹ •‹ ቀ‫ ݔ‬െ ቁ ൌ ʹ •‹ ‫ ߨ݌‬ൌ Ͳ Ͷ Do đó, nghiệm không nghiệm hệ Giải ሺ ሻ : –ƒ ‫ ݔ‬ൌ െͳ ߨ ቊ •‹ ቀ‫ ݕ‬൅ ቁ ൌ െͳ Ͷ ߨ ‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ‫ߨ݌‬ Ͷ  ሺ‫݌‬ǡ ‫ א ݍ‬Ժሻ ฻ ൞ ͵ߨ ൅ ‫ߨʹݍ‬ ‫ݕ‬ൌെ Ͷ Nghiệm thỏa điều kiện hệ, ta vào ሺʹሻ:  ൌ –ƒ ‫ ݕ‬൅ …‘– ‫ ݕ‬ൌ –ƒ ൬െ ͵ߨ ͵ߨ ൅ ‫ߨʹݍ‬൰ ൅ …‘– ൬െ ൅ ‫ߨʹݍ‬൰ ൌ ʹ Ͷ Ͷ ߨ ߨ െʹǢ ế—‫Š…݌‬ẵ  ൌ ʹ •‹ ቀ‫ ݔ‬െ ቁ ൌ ʹ •‹ ቀെ ൅ ‫ߨ݌‬ቁ ൌ ቊ ʹ Ͷ ʹǢ ế—‫Ž݌‬ẻ Do đó, kết hợp với điều kiện ሺ‫כ‬ሻ, ta nhận nghiệm hệ 165 TOANMATH.com Chương : Hệ phương trình lượng giác ߨ ൅ ሺʹ݉ ൅ ͳሻߨ Ͷ  ሺ݉ǡ ‫ א ݍ‬Ժሻ ͵ߨ ‫ݕ‬ൌെ ൅ ‫ߨʹݍ‬ Ͷ ‫ݔ‬ൌെ ൞ Bài 13: Giải hệ phương trình sau : ሺ‫כ‬ሻ ൜ •‹ ‫ ݔ‬൅ •‹ ‫ ݕ‬ൌ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ Giải: ሺ‫כ‬ሻ ฻ ൝ ʹ •‹ ‫ݔ‬െ‫ݕ‬ ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ …‘• ൌ ʹ •‹ …‘• ʹ ʹ ʹ ʹ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ ‫ݔ‬െ‫ݕ‬ ൌͲ ൌ …‘• …‘• ฻ ሺͳሻ ൝ Š‘ặ…ሺʹሻ ൝ ʹ ʹ  ʹ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ •‹ Giải ሺͳሻ : ൜ ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ݇ʹߨ  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ Vì ȁ݇ʹߨȁ ൌ ȁ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ȁ ൑ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ nên ݇ ൌ Ͳ Suy ൜ ‫ݔ‬൅‫ ݕ‬ൌ Ͳ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ Do đó, nghiệm hệ : ͳ ͳ ͳ ͳ ሺ‫ݔ‬Ǣ ‫ݕ‬ሻ ‫ א‬൜൬ Ǣ െ ൰ ǡ ൬െ Ǣ ൰ൠ ʹ ʹ ʹ ʹ Giải ሺʹሻ : ‫ݔ‬െ‫ݕ‬ ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ ൌേ ൅ ݇ʹߨ  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ൝ ʹ ʹ ȁ‫ ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ ȁ‫ݔ‬ȁ ൅ ȁ‫ݕ‬ȁ ൌ ͳ  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ‫ ݕ‬ൌ െ݇ʹߨ ฻ ൦ ‫ ݔ‬ൌ ݇ʹߨ ൜ȁ‫ݔ‬ȁ ȁ‫ݕ‬ȁ  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ൅ ൌͳ ൜ 166 TOANMATH.com Chương : Hệ phương trình lượng giác Đánh giá tương tự trên, ta có nghiệm hệ : ሺ‫ݔ‬Ǣ ‫ݕ‬ሻ ‫ א‬ሼሺͳǢ Ͳሻǡ ሺെͳǢ Ͳሻǡ ሺͲǢ ͳሻǡ ሺͲǢ െͳሻሽ Bài 14: Giải hệ phương trình sau : ‫͵ۓ‬ξ͵‫ݔ‬ଵ ൌ …‘• ߨ‫ݔ‬ଶ ۖ͵ξ͵‫ ݔ‬ൌ …‘• ߨ‫ݔ‬ ଶ ଷ ‫͵۔‬ξ͵‫ݔ‬ଷ ൌ …‘• ߨ‫ݔ‬ସ ۖ ‫͵ە‬ξ͵‫ݔ‬ସ ൌ …‘• ߨ‫ݔ‬ଵ Giải: Vì hàm số …‘• ‫ ݐ‬có chu kỳ tuần hoàn ʹߨ ta thấy ͲǢ ʹߨ không nghiệm hệ nên ta xét hệ ሺͲǢ ʹߨሻ തതതത Đặt ‫ݐ‬௜ ൌ ߨ‫ݔ‬௜ ǡ ݅ ൌ ͳ Ǣ Ͷത Khi ‫ݐ‬௜ ‫ א‬ሺͲǢ ʹߨሻ hệ tương đương với ͵ξ͵ ‫ۓ‬ ‫ݐ‬ଵ ۖ ߨ ۖ͵ξ͵ ۖ ‫ݐ‬ ߨ ଶ ‫͵۔‬ξ͵ ۖ ߨ ‫ݐ‬ଷ ۖ ۖ͵ξ͵ ‫ݐ ߨ ە‬ସ ൌ …‘• ‫ݐ‬ଶ  ሺͳሻ ൌ …‘• ‫ݐ‬ଷ  ሺʹሻ ൌ …‘• ‫ݐ‬ସ  ሺ͵ሻ ൌ …‘• ‫ݐ‬ଵ  ሺͶሻ Cộng theo vế phương trình hệ, ta ସ ସ ௜ୀଵ ௜ୀଵ ͵ξ͵ ෍ ‫ݐ‬௜ ൌ ෍ …‘• ‫ݐ‬௜ ߨ ସ ฻ ෍ ቆ…‘• ‫ݐ‬௜ െ ௜ୀଵ ế—‫ݐ‬ଵ ൏ ͵ξ͵ ‫ݐ‬ቇൌͲ ߨ ௜ ߨ ξ͵ –Šìở’Šươ‰–”쐊ሺͳሻ–ƒđượ… …‘• ‫ݐ‬ଶ ൏ ͸ ʹ ì‫ݐ‬ଵ ˜à …‘• ‫ݐ‬ଶ …ù‰†ấ—Ǣ ‫ݐ‬ଵ ‫ א‬ሺͲǢ ʹߨሻê‫ݐ‬ଶ ൏ ߨ ͸ 167 TOANMATH.com Chương : Hệ phương trình lượng giác ߨ ươ‰–ự˜ậ›ǡ –ƒđượ…‫ݐ‬௜ ൏  ሺ‫כ‬ሻ ͸ Mặt khác, ta xét hàm số : ݂ ሺ‫ݑ‬ሻ ൌ …‘• ‫ ݑ‬െ ͵ξ͵ ‫ݑ‬ǡ ‫ א ݑ‬Թ ߨ ݂ ᇱሺ‫ݑ‬ሻ ൌ െ •‹ ‫ ݑ‬െ ͵ξ͵ ൏Ͳ ߨ Do đó, hàm số nghịch biến Kết hợp với ሺ‫כ‬ሻ, suy : ସ ෍ ቆ…‘• ‫ݐ‬௜ െ ௜ୀଵ ươ‰–ự˜ớ‹–”ườ‰Šợ’‫ݐ‬ଵ ൐ ͵ξ͵ ‫ ݐ‬ቇ ൐ ͲሺǨሻ ߨ ௜ ߨ ǡ –ƒđượ… ͸ ߨ ͸ ସ ‫۔‬෍ ቆ…‘• ‫ݐ‬௜ െ ͵ξ͵ ‫ݐ‬௜ ቇ ൏ ͲሺǨሻ ۖ ߨ ‫ ە‬௜ୀଵ ‫ݐ‬௜ ൐ ‫ۓ‬ ۖ ‘‫ݐ‬௜ ൌ ߨ ߨ –Šỏƒ Šệ’Šươ‰–”¿Šǡ ²–ƒŠậ‫ݐ‬௜ ൌ Ž‰Š‹ệ ͸ ͸ Khi đó, ‫ݔ‬ଵ ൌ ‫ݔ‬ଶ ൌ ‫ݔ‬ଷ ൌ ‫ݔ‬ସ ൌ ͳ ͸ Bài 15: Giải hệ phương trình sau : ͳ •‹ ‫‹• ݕ •‘… ݔ‬ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൅ ൌ Ͳሺͳሻ ቐ ͺ ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ‫ݖ‬ሺʹሻ Giải: Ta có : ሺͳሻ ฻ 168 ͳ ͳ ሾ•‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൅ •‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻሿ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൅ ൌ Ͳ ʹ ͺ TOANMATH.com Chương : Hệ phương trình lượng giác ଶ ͳ ͳ ͳ ฻ ൤•‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൅ •‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ൨ ൅ െ •‹ଶ ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ͳ ʹ Ͷ Ͷ ଶ ͳ ͳ ฻ ൤•‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൅ •‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ൨ ൅ …‘• ଶሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ͳ Ͷ ʹ ͳ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൌ െ •‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ ฻ ൝ ʹ ሺ …‘• ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ ൌ Ͳ ͳ ͳ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൌ െ •‹ሺ‫ ݔ‬൅ ‫ݕ‬ሻ ൌ ฻ ൝ ʹ‫ש‬൝ ʹ •‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ ൌ ͳ •‹ሺ‫ ݔ‬െ ‫ݕ‬ሻ ൌ െͳ ߨ ߨ ‫ ݔ ۍ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ൅ ݇ʹߨ ‫ ݔ ۍ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ െ ൅ ݇ʹߨ ͸ ͸ ‫ێ‬൞ ‫ێ‬൞ ߨ ߨ ‫ ݔ ێ‬െ ‫ ݕ‬ൌ ൅ ݈ʹߨ ‫ ݔ ێ‬െ ‫ ݕ‬ൌ െ ൅ ݈ʹߨ ʹ ʹ  ‫ێ  ש‬ ฻ ‫ێ‬  ሺ݇ǡ ݈ ‫ א‬Ժሻ ‫ ݔ ێ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͹ߨ ൅ ݇ʹߨ ‫ ݔ ێ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ ͷߨ ൅ ݇ʹߨ ‫ێ‬൞ ‫ێ‬൞ ͸ ͸ ߨ ߨ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ ൌ ൅ ݈ʹߨ ‫ݔ‬ െ ‫ݕ‬ ൌ െ ൅ ݈ʹߨ ‫ۏ‬ ‫ۏ‬ ʹ ʹ ߨ ߨ ൅ ሺ݇ ൅ ݈ ሻߨ ‫ݔ‬ ൌ ‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ሺ݇ ൅ ݈ ሻߨ ‫ۓۍ‬ ‫ۍ‬ ‫ۓ‬ ͸ ͸ ‫ۖێ‬ ‫ۖێ‬ ߨ ߨ ‫ ݕ ێ‬ൌ െ ൅ ሺ݇ െ ݈ ሻߨ ‫ ݕ ێ‬ൌ ൅ ሺ݇ െ ݈ ሻߨ ͵ ͵ ‫۔‬ ‫ێ‬ ‫۔ێ‬ ߨ ۖ ‫ ݖ‬ൌ െ ߨ ൅ ݈ʹߨ ‫ݖ‬ ൌ ൅ ݈ʹߨ ‫ۖێ‬ ‫ێ‬ ‫ە‬ ‫ە‬ ʹ ʹ ‫ێ‬  ሺ݇ǡ ݈ ‫ א‬Ժሻ  ‫ש‬  ฻ ‫ێ‬ ߨ ͷߨ ‫ێ‬ ‫ ݔۓ ێ‬ൌ ሺ ሻ ൅ ሺ݇ ൅ ݈ ሻߨ ‫ ݔ ۓ‬ൌ ͸൅ ݇൅݈ ߨ ‫ۖێ‬ ‫ۖێ‬ ͸ ʹߨ ߨ ‫ێ‬ ‫ێ‬ ൅ ሺ݇ െ ݈ ሻߨ ‫ݕ‬ൌ ‫ ݕ‬ൌ ൅ ሺ݇ െ ݈ ሻߨ ‫۔ێ‬ ‫۔ێ‬ ͵ ͵ ߨ ߨ ‫ۖێ‬ ‫ۖێ‬ ൅ ݈ʹߨ ‫ݖ‬ ൌ െ ൅ ݈ʹߨ ‫ݖ‬ ൌ ‫ەۏ‬ ‫ەۏ‬ ʹ ʹ Bài 16: Giải hệ phương trình sau : ‫ݔ‬൅‫ݕ‬ ‫ݔ‬െ‫ݕ‬ ൅ …‘• െʹ •‹ଶ ‫ ݔ‬െ ʹ •‹ ‫ ݕʹ •‘… ݔ‬ൌ …‘• ሺ‫כ‬ሻ ൝ ʹ ʹ …‘• ‫ ݔ‬൅ …‘• ‫ ݕ‬െ ʹ •‹ଶ ʹ‫ ݕ‬ൌ Ͳ 169 TOANMATH.com Chương : Hệ phương trình lượng giác Giải: ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ •‹ଶ ‫ ݔ‬െ ʹ •‹ ‫ ݕʹ •‘… ݔ‬ൌ ʹ …‘• …‘• െ ʹሺͳሻ ʹ ʹ ሺ‫כ‬ሻ ฻ ൞ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ʹ …‘• ଶ ʹ‫ ݕ‬൅ …‘• ଶ ൅ …‘• ଶ െ ʹ ൌ Ͳሺʹሻ ʹ ʹ Lấy ሺͳሻ ൅ ሺʹሻ theo vế, ta ሺ•‹ ‫ ݔ‬െ …‘• ʹ‫ݕ‬ ሻଶ ‫ݔ‬ ‫ ݕ‬ଶ ൅ ቀ…‘• െ …‘• ቁ ൌ Ͳ ʹ ʹ •‹ ‫ ݔ‬ൌ …‘• ʹ‫  ݕ‬ሺ͵ሻ ‫ݔ‬ ‫ݕ‬ ฻ ൝ …‘• ൌ …‘•  ሺͶሻ ʹ ʹ Giải ሺͶሻ : ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ݇Ͷߨ ൤  ሺ݇ ‫ א‬Ժሻ ‫ ݔ‬ൌ െ‫ ݕ‬൅ ݇Ͷߨ Với ‫ ݔ‬ൌ ‫ ݕ‬൅ ݇Ͷߨ, ta thay vào ሺ͵ሻ : •‹ሺ‫ ݕ‬൅ ݇Ͷߨሻ ൌ …‘• ʹ‫ݕ‬ ߨ ฻ …‘• ʹ‫ ݕ‬ൌ …‘• ቀ െ ‫ݕ‬ቁ ʹ ߨ െ ‫ ݕ‬൅ ݈ʹߨ ʹ  ሺ݈ ‫ א‬Ժሻ ฻ ൦ ߨ ʹ‫ ݕ‬ൌ ‫ ݕ‬െ ൅ ݈ʹߨ ʹ ʹ‫ ݕ‬ൌ ߨ ݈ʹߨ ൅ ͸ ͵  ሺ݈ ‫ א‬Ժሻ ฻ ൦ ߨ ‫ ݕ‬ൌ െ ൅ ݈ʹߨ ʹ ‫ݕ‬ൌ Do đó, ta có : ሺ ሻ ൞ ߨ ݈ʹߨ ߨ ൅ ൅ ݇Ͷߨ ‫ ݔ‬ൌ െ ൅ ሺ݈ ൅ ʹ݇ ሻʹߨ ͵ ͸ ʹ  ሺ݇ǡ ݈ ‫ א‬Ժሻ  ‫ ש‬ሺ ...VÕ ANH KHOA – HOÀNG BÁ MINH LƯỢNG GIÁC MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ VÀ ỨNG DỤNG TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TP HỒ CHÍ MINH TOANMATH.com LỜI NÓI ĐẦU Cuốn sách “LƯỢNG GIÁC... nhận nghiệm nghiệm phương trình II CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI - Phương trình bậc hai theo hàm số lượng giác phương trình có dạng sau:... Nai) Hoàng Minh Quân (ĐH Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội) số thành viên diễn đàn MathScope TOANMATH.com MỤC LỤC TẬP : PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CHƯƠNG : SƠ LƯỢC VỀ HÀM LƯỢNG