BÀI THƠ, BÀI VÈ, MẸO HỌC NHANH CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Mẫn Tiệp sưu tầm* 2013 Tóm tắt nội dung Bộ sưu tập số mẹo học nhanh công thức Lượng Giác cách sử dụng nghệ thuật thơ dân gian Mục lục Bài 1.1 1.2 1.3 thơ, vè, mẹo học nhanh công thức lượng Định nghĩa giá trị lượng giác (LG) Giá trị LG thông dụng Tính chất 1.3.1 Cung liên kết 1.3.2 Dấu 1.4 Công thức LG 1.4.1 Công thức cộng 1.4.2 Công thức biến tích thành tổng 1.4.3 Công thức biến tổng thành tích 1.4.4 Công thức nhân ba 1.4.5 Đẳng thức LG tam giác 1.4.6 Bốn công thức tổng quát hữu dụng: giác Kết luận * Hội 2 2 3 5 trưởng Hội Học sinh Long Mỹ (Hậu Giang); email: mvphuo@gmail.com 1 Bài thơ, vè, mẹo học nhanh công thức lượng giác 1.1 Định nghĩa giá trị lượng giác (LG) sin = cos = tan = cot = đối huyền kề huyền đối kề kề đối , , , Sao học (sin = đối/ huyền) Cứ khóc hoài (cos = kề/ huyền) Thôi đừng khóc (tan = đối/ kề) Có kẹo (cot = kề/ đối) Hoặc: Tìm sin lấy đối chia huyền Cosin lấy cạnh kề, huyền chia Còn tang ta tính sau: Đối trên, kề chia liền Cotang dễ ăn tiền, Kề trên, đối chia liền 1.2 Giá trị LG thông dụng sin 30◦ = cos 60◦ = , cos 30◦ = sin 60◦ = Sin cos 6: nửa phần Cos sin 6: nửa phần ba 1.3 Tính chất 1.3.1 Cung liên kết Cos đối: cos(−a) = cos a Sin bù: sin(π − a) = sin a Hơn pi tang: tan(π + a) = tan a, cot(π + a) = cot a Phụ chéo1 : π −a π −a cos π tan −a π cot −a sin = cos a, = sin a, = cot a, = tan a Hơn nửa pi thì: đối chéo2 sin a + π = cos(−a) = + cos a 1.3.2 Dấu Ta gọi cung thứ I, II, III, IV góc phần tư thứ I, II, III, IV (ngược chiều kim đồng hồ) mặt phẳng tọa độ Ox y Khi dấu hàm lượng giác tuân thủ theo quy luật sau: Nhất đủ, nhì sin, tam tang, tứ cos Nghĩa cung I sin, cos, tang3 dương Đối với cung II có sin dương, cos hay tang âm 1.4 Công thức LG 1.4.1 Công thức cộng sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b, cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b Hai góc phụ sin góc = cos góc kia, tan góc = cot góc (và ngược lại) Đúng phải “chéo đối” đúng! Tức đổi chéo cung sin thành cos, tan thành cot đồng thời góc bên bị đổi dấu Cotang giống dấu tang nên khỏi xét Sin sin cos cos sin Cos cos cos sin sin “coi chừng” (dấu trừ) tan(a ± b) = tan a ± tan b ∓ tan a tan b Tang tổng lấy tổng tang Chia trừ với tích tang, liền Hoặc: Tang tang cộng tang Nhớ chia cho mà trừ tang tang cot(a + b) = cot a cot b − cot a + cot b Cotang có phiền hà Tích cô trừ 1, mẫu tổng cô4 1.4.2 Công thức biến tích thành tổng [cos(a + b) + cos(a − b)] , sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] , sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] cos a cos b = Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ Sin sin nửa cos-trừ trừ cos-cộng Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ Hoặc: Nhớ hiệu trước, tổng sau; phần hai phải nhân vào Sin sin, cos tổng lao xao dấu trừ5 Cos cos hết Sin sin cos cos, sin cos sin sin tan a tan b = tan a + tan b cot a + cot b Tang ta nhân với tang mình, tổng tang chia tổng cotang thui mà Chú ý: Công thức áp dụng cho cotang tổng Dấu trừ phía trước cos(a + b) tính sin a sin b 1.4.3 Công thức biến tổng thành tích a +b a −b cos , 2 a +b a −b cos a − cos b = −2 sin sin , 2 a +b a −b sin a + sin b = sin cos , 2 a +b a −b sin a − sin b = cos sin 2 cos a + cos b = cos Góc chia đôi: trước cộng, sau trừ Cos cộng cos cos cos Cos trừ cos trừ sin sin Sin cộng sin sin cos Sin trừ sin cos sin tan a ± tan b = sin(a ± b) cos a cos b Tổng tang ta lấy sin tòng (sin tổng) Chia cho cos cos khó lòng lại sai Hoặc: Tang ta cộng với tang Bằng sin hai đứa cos mình, cos ta π , π sin a ± cos a ∓ cos a ± sin b = sin a ± cos b = Cos cộng sin hai cos, a trừ cho pi6 Sin cộng cos hai sin, a cộng cho pi 1.4.4 Công thức nhân ba sin 3a = sin a − sin3 a, cos 3a = cos3 a − cos a Trong công thức này, “tính theo cos dấu phải coi chừng” Sin sin trừ xỉn, Cos cổ trừ cô7 Hoặc: Cos cos, sin sin; Sin 3, 4; cos 4, Dấu trừ phân Lập phương chỗ bốn, ok tan a − tan3 a tan 3a = − tan2 a Ba tang trừ tang lập Một trừ ba tang bình Tang ba đứa (tan 3a ) Đã tường minh đó! 1.4.5 Đẳng thức LG tam giác A B C cos cos , 2 sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sinC , sin A + sin B + sinC = cos sin2 A + sin2 B + sin2 C = + cos A cos B cosC Tổng sin: bốn tích cos-chia8 Tổng sin-hai được: bốn-lần tích-sin Hai-lần tích-cos cộng hai, Tổng bình-sin tức tổng thằng sin sin A B C sin sin , 2 cos 2A + cos 2B + cos 2C = −1 − cos A cos B cosC , cos A + cos B + cosC = + sin cos2 A + cos2 B + cos2 C = − cos A cos B cosC Cos-một tích sin-chia, Cos-hai, bình-cos tích cờ ót (Cos-hai với cos-bình Cái vế phải cos nhân).9 Từ có dấu hỏi lũy thừa ba “Cos chia” hay “Cos góc chia” góc chia Bài thơ chưa thể hết vế phải công thức A B , ; góc nguyên A, B, 2 Riêng đẳng thức cos2 A + cos2 B + cos2 C = − cos A cos B cosC ta đọc Tổng bình ba cos ta ghi Một trừ cho tích-cos nhân hai tan A + tan B + tanC = tan A tan B tanC , tan A B B C C A tan + tan tan + tan tan = 2 2 2 Tổng tang giống tích tang (góc nguyên) Tích tan cặp tổng (góc chia) 1.4.6 Bốn công thức tổng quát hữu dụng: cos2 a + cos2 b + cos2 c + cos2 (a + b + c) = + cos(a + b) cos(b + c) cos(c + a), sin2 a + sin2 b + sin2 c + sin2 (a + b + c) = − cos(a + b) cos(b + c) cos(c + a) Tổng bình cộng góc xoay vòng10 Nhân phía trước, cộng vào số 2, Nhưng mà sin phải sửa sai11 b +c c +a a +b cos cos 2 a +b b +c c +a sin a + sin b + sin c = + sin(a + b + c) + sin sin sin 2 cos a + cos b + cos c + cos(a + b + c) = cos Trái cộng cos-tổng, phải sin12 Xong cộng hàm giữ nguyên Góc bên vế phải xoay vòng cộng Chia hai xong (là xong liền) 10 a + b, b + c, c + a gọi cách “cộng xoay vòng” Công thức tổng bình sin nhân với −2 12 Công thức (1) vế trái cộng cos(a + b + c), công thức (2) vế phải cộng sin(a + b + c) 11 (1) (2) Kết luận Mặc dù thơ không cách học công thức hiệu nhất, song vần nhịp sắc thái dân gian phương pháp ghi nhớ đáng để nghiên cứu phát triển Bộ sưu tập xin tạm kết thúc đây, tác giả mong tìm nhiều thơ hay nữa, nhằm giúp đỡ em phần việc học tập môn Lượng Giác (nổi tiếng với nhiều công thức khó nhớ) Tài liệu tham khảo [1] Long Mỹ Học sinh Hội, Bí kiếp học môn toán (2010), THPT Long Mỹ, Hậu Giang [2] Facebook Hội Học sinh Long Mỹ: www.facebook.com/pages/Long-Mỹ-Học-sinh-Hội/189503244530006 ...1 Bài thơ, vè, mẹo học nhanh công thức lượng giác 1.1 Định nghĩa giá trị lượng giác (LG) sin = cos = tan = cot = đối huyền kề huyền đối kề kề đối , , , Sao học (sin = đối/ huyền)... xoay vòng” Công thức tổng bình sin nhân với −2 12 Công thức (1) vế trái cộng cos(a + b + c), công thức (2) vế phải cộng sin(a + b + c) 11 (1) (2) Kết luận Mặc dù thơ không cách học công thức hiệu... phần việc học tập môn Lượng Giác (nổi tiếng với nhiều công thức khó nhớ) Tài liệu tham khảo [1] Long Mỹ Học sinh Hội, Bí kiếp học môn toán (2010), THPT Long Mỹ, Hậu Giang [2] Facebook Hội Học sinh