Chương – TÍCH PHÂN ĐƯỜNG & TÍCH PHÂN MẶT ThS LÊ HOÀNG TUẤN Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI Khái niệm : SGK Cách tính Lưu ý : theo nguyên tắc việc tính tích phân đường loại đưa trình tính tích phân xác định, theo biến số pt đường cong lấy tích phân Tích phân đường loại không phụ thuộc vào hướng đường cong lấy tích phân ∫ f ( x, y)dl = ∫ f ( x, y)dl ( AB ) ( BA ) Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI Lưu ý : đưa tích phân đường tích phân xác định cận tích phân xác định bé cận a/ Trường hợp (AB) có pt tham số I= ∫ β f ( x, y )dl = ∫ f [ x(t ), y (t )] ( x' (t )) + ( y ' (t )) dt α ( AB ) Ví dụ  x = x(t ) ;α ≤ t ≤ β   y = y (t ) Tính I= ∫ xydl ( AB ) , với (AB) đoạn thẳng nối A(1,2) với B(3,4) Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI B Phương trình tham số AB + có VTCP AB = ( x B − x A , y B − y A ) = ( 2,2) A + qua A(1,2)  x = + 2t phương trình   y = + 2t có giới hạn đầu mút A(1,2) B(3,4) 1 = + 2t +  A(1,2) 2 = + 2t ⇒t =0 3 = + 2t  4 = + 2t ⇒ t =1 + B(3,4) Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI Như ≤ t ≤1 vậy, Ngoài ra, Suy  x' (t ) = ⇒  y ' (t ) =  x = + 2t   y = + 2t I= 2 xydl = ( + t )( + t ) + dt ∫ ∫ ( AB ) = 2 ∫ (2 + 2t + 4t + 4t )dt  3t 2t  = t + +   0 38 = Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI Phương trình tham số số đường 1/ Đường tròn tâm I ( x0 , y0 ) bán kính  x = x0 + r cos t ;0 ≤ t ≤ 2π   y = y0 + r sin t 2/ Đường ellipse  x = a cos t ;0 ≤ t ≤ 2π   y = b sin t Ví dụ Tính M= ∫ ( x − y)dl ( AB ) r >0 Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI Với (AB) cung tròn, tâm I(1,3), bán kính 2, A(1,5), B(3,3) A Ta có phương trình tham số cung tròn (AB) I B  x = + cos t   y = + sin t Thế tọa độ A(1,5) B(3,3) đầu mút vào, ta có + A(1,5) + B(3,3) 1 = + cos t cos t = ⇒  5 = + sin t sin t = 3 = + cos t cos t = ⇒  3 = + sin t sin t = ⇒t = π ⇒t =0 Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI  x = + cos t Mặt khác,   y = + sin t π  x' (t ) = −2 sin t ⇒  y ' (t ) = cos t ⇒ M = ∫ [ (1 + cos t ) − (3 + sin t )] (−2 sin t ) + (2 cos t ) dt 0π = ∫ [ cos t − sin t − 2] dt π = ∫ [cos t − sin t − 1]dt = 4[ sin t + cos t − t ] π /2 π   = (1 + − ) − (0 + − 0)   = −2π Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI b/ Trường hợp (AB) có pt I= ∫  y = y ( x)  a ≤ x ≤ b b f ( x, y )dl = ∫ f ( x, y ( x)) + ( y ' ( x)) dx ( AB ) a  x = x( y )  c ≤ y ≤ d c/ Trường hợp (AB) có pt I= ∫ , d f ( x, y )dl = ∫ f ( x( y ), y ) + ( x' ( y )) dy ( AB ) c Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI xdl , với (AB) Ví dụ Tính P = parabol ( AB )  y = x2 +1   A(0,1); B(2,5) ∫ B (2,5) Ta có A(0,1) y = x + ⇒ y ' ( x) = x 0≤ x≤2 lúc , nên 17 17 − P = ∫ x + (2 x) dx = 12 Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN MẶT LOẠI z= Ta có pt S a2 − x2 − y2 Do vậy, hình chiếu S xuống mp Oxy ⇒I=∫ Dxy ∫ x2 + y ≤ a Dxy :  z = a − x − y dxdy 2π a 0 = ∫ dϕ ∫ a − r rdr TH2: S mặt cầu x2 + y2 + z = a2 , a > lấy theo phía Chương – TP ĐƯỜNG – TP MẶT Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Lúc này, ta gọi Do vậy, S1 S2 S1 có pt S2 có pt nửa mặt cầu trên, ứng với z >0 nửa mặt cầu dưới, ứng với z