Chương – TÍCH PHÂN BỘI ThS LÊ HOÀNG TUẤN Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Định nghĩa Cách tính : SGK I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy D Định lý Fubini a/ Nếu D xác định f ( x)  f2 ( x)  ⇒ I = ∫  ∫ f ( x, y )dy  dx  a   f1 ( x ) b D a a ≤ x ≤ b   f1 ( x) ≤ y ≤ f ( x) f1 ( x) b b f2 ( y ) a f1 ( x ) = ∫ dx ∫ f ( x, y)dy Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP c ≤ y ≤ d   g1 ( y ) ≤ x ≤ g ( y ) b/ Nếu D xác định d g1 ( y ) c Ví dụ D Tính g ( y) d g2 ( y) c g1 ( y ) ⇒ I = ∫ dy ∫ f ( x, y)dx I = ∫ ∫( xy + y )dxdy D , với D miền phẳng xác định y = x D: y = − x Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Lúc này, miền D biểu diễn lại 2− x ⇒ I = ∫ dx ∫ ( xy + y )dy −2 x2 − ≤ x ≤ D: x ≤ y ≤ − x 2− x  xy y  = ∫ +  dx  x2 −2   (2 − x) (2 − x) ( x )3 ( x )  = ∫ x + −x − dx 3  −2  = Ví dụ Tính I = ∫ ∫( xy + y)dxdy D , với D tam giác OAB O(0,0) , A(1,1) B (2,0) Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Cách ( nhìn theo phương đứng ) lúc 0 ≤ x ≤ D: 0 ≤ y ≤ ? nên ta tách D thành 0 ≤ x ≤ D1 :  0 ≤ y ≤ x D = D1  D2 , O A D1 D2 B 1 ≤ x ≤ D2 :  0 ≤ y ≤ − x ⇒ I = ∫ ∫( xy + y )dxdy + ∫ ∫( xy + y )dxdy D1 D2 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Hay ta có Cách x 2− x 0 I = ∫ dx ∫ ( xy + y )dy + ∫ dx ∫ ( xy + y )dy ( nhìn theo phương ngang ) Lúc này, ta có 0 ≤ y ≤ D: y ≤ x ≤ − y 2− y A O B 2− y x y  ⇒ I = ∫ dy ∫ ( xy + y )dx = ∫  + xy  dy y  y Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Phương pháp đổi biến a/ Tọa độ cực M (r , ϕ ) tọa độ cực r ϕ M , với Ví dụ x = r cos ϕ y = r sin ϕ Từ phương trình r Do r = sin ϕ = sin ϕ ta tìm ngược lại miền D ⇒ r = r sin ϕ ⇒ x + y = r sin ϕ = y 1  ⇒ x + y−  = 2  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP ϕ − ϕ1 Như vậy, ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ D: r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ ) ⇒ I = ∫ ∫f ( x, y )dxdy D Lưu ý Ví dụ ϕ2 ϕ2 r2 (ϕ ) ϕ1 r1 ( ) = ∫ dϕ ϕ1 ∫ϕ f (r cos ϕ , r sin ϕ )rdr Ta áp dụng công thức D có dạng , hình tròn hay phần hình tròn 2 Tính I =∫ D ∫x + y dxdy , với x + y ≤ D:  y ≥ 0; y ≥ x Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Lúc này, ta có Dùng PP đổi biến:  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ π ≤ϕ ≤π ⇒ D:4 0 ≤ r ≤ ⇒I= = π π /4 π π /4 d ϕ r ∫ ∫ rdr d ϕ r ∫ ∫ dr 8 π =  π −  = 2π 3 4 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN KÉP Ví dụ Tính I = ∫ ∫(2 x + y )dxdy D , với 1 ≤ x + y ≤  D :  y ≥ 3x x ≥  Lúc này, miền D tương đương với π π  ≤ϕ ≤ D:3 1 ≤ r ≤ π 2 ⇒ I = ∫ dϕ ∫ (2 cos ϕ + sin ϕ )r dr π Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI a, b Trong số y1 ( x), y2 ( x) hàm số theo biến x Lúc này, I =∫ Ω b y2 ( x ) z2 ( x , y ) a y1 ( x ) z1 ( x , y ) ∫ f∫( x, y, z )dxdydz = ∫ dx ∫ dy ∫ f ( x, y, z )dz ( phụ thuộc nhiều tính trước ) ( ngang cấp xét biến trước ) Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Ví dụ Tính I = ∫ ∫ zdxdydz ∫ , với Ω y2 xy ( ) y ≤ x ≤ y2  Ω : 1 ≤ y ≤ 0 ≤ z ≤ xy  ⇒ I = ∫ dy ∫ dx ∫ zdz = ∫ y − y dy 61 y 1y y  =  −  6 1 Ví dụ Tính I = ∫ ∫ xdxdydz ∫ Ω , với 1 ≤ x ≤  Ω : − ≤ y ≤  x + y ≤ z ≤ 2( x + y )  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BA Suy BỘI 2( x + y ) −1 x2 + y2 I = ∫ dx ∫ dy Ω b/ Trường hợp miền  z = z ( x, y )   z = z1 ( x, y ) ∫ xdz miền xác định mặt cong , D hình chiếu Ω xuống mp Oxy z2 ( x , y ) Lúc ∫ ∫ f∫( x, y, z )dxdydz = ∫ ∫dxdy ∫ f ( x, y, z )dz Ω Ví dụ Tính I = ∫ ∫ zdxdydz ∫ Ω D z1 ( x , y ) , với z = − x2 − y  2 z = x + y  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Trước hết, ta xác định giao tuyến mặt cong z = − x − y  t = x + y ≥  2 ⇔  z = x + y  − t =t   ⇔ t = ⇔ z = ⇔ x2 + y2 = x +y Vậy giao tuyến mặt cong đường tròn Suy : hình chiếu Ω lên mp Oxy hình tròn 2 x2 + y ≤ D: z = ⇒ I = ∫ ∫dxdy D 2− x − y ∫ zdz x2 + y2 =1 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI [( ) ( 2 ⇒ I = ∫ ∫dxdy − x − y − x + y 2 D )] 0 ≤ r ≤ Đổi sang tọa độ cựcD :  0 ≤ ϕ ≤ 2π 1 11  ⇒ I =  = ⋅ 2π  − +  = ⋅ π 6 12  Ví dụ Tín h I =∫ Ω ∫ 2 x + z dxdydz ∫ , với x2 + z ≤  Ω : y = y =  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Vì Ω bị giới hạn y = 0; y , nên hình chiếu =2 Ω x2 + z ≤ D: y = ⇒ I = ∫ ∫dxdz ∫ x + z dy D lên mp Oxz hình tròn Suy = 2∫ D ∫ x + z dxdz 0 ≤ r ≤ Đổi sang tọa độ cựcD :  ≤ ϕ ≤ 2π  2π 32π ⇒ I = ∫ dϕ ∫ r dr = 0 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BiẾN I =∫ Xét tích phân Đặt Ω u = u ( x, y, z )  v = v( x, y, z ) w = w( x, y, z )  ∫ f∫( x, y, z )dxdydz x'u x 'v x'w ⇒ J = y 'u y 'v y 'w z 'u z 'v z 'w ⇒ J = x'u y 'v z 'w + x'v y 'w z 'u + x'w y 'u z 'v − ( x'w y 'v z 'u + x'v y 'u z 'w + x'u y 'w z 'v ) Khi I =∫ ∫ f∫( x(u, v, w), y(u, v, w), z (u, v, w)) J dudvdw Ω1 Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Ví dụ Tính I = ∫ ∫ 2∫dxdydz , với Ω Đặ t x 3 = u  y  =v 2 z = w   x2 y2 z2  + + ≤1 Ω:  z ≥ x'u x 'v x'w 0 ⇒ J = y 'u y 'v y 'w = z 'u z 'v z 'w 0 = 3.2.1 = 12  4πr  1  = 8π ⇒ I = ∫ ∫ 2∫.6dudvdw = 12 V =  2  2 Ω Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BA a/ Tọa độ trụ BỘI ( miền có dạng trụ tròn hay trụ ellipse ) Lúc này, tọa độ trụ M  M ( x, y , z ) M (r , ϕ , z ) ϕ r  cách đặt x 'r ⇒ J = y 'r z 'r x'ϕ y 'ϕ z 'ϕ x' z y'z = r z'z  x = r cos ϕ = x(r , ϕ , z )   y = r sin ϕ = y (r , ϕ , z ) z = z  Sau đó, ta xét tiếp Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN Nếu BỘI ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ  r1 (ϕ ) ≤ r ≤ r2 (ϕ )  z (r , ϕ ) ≤ z ≤ z (r , ϕ )  Ví dụ r2 z2 ϕ1 r1 z1 prjOxy Ω I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ f (r cos ϕ , r sin ϕ , z )rdr Lưu ý ϕ2 suy từ hình chiếu Nếu hình trụ tròn chạy dọc theo Tính Ox I = ∫ ∫( x∫ + y )dxdydz Ω đặ t x = x   y = r cos ϕ  z = r sin ϕ  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN Với BỘI x2 + y =  Ω : z = x2 + y  z = 2( x + y )  Ta đặt  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ z = z  prjOxy Ω = x + y ≤ Mặt khác, nên cận chạy z 0 ≤ ϕ ≤ 2π D: 0 ≤ r ≤ x + y = r ≤ z ≤ r = 2( x + y ) 2π 2r 0 r2 ⇒ I = ∫ dϕ ∫ dr ∫ (r cos ϕ + r cos ϕ )rdr Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BỘI BA Ví dụ Tính I = ∫ ∫( x∫ + 1)dxdydz Ω , với Ta có x2 + z =  2 x + z = Ω: y =1  y = + x + z 0 ≤ ϕ ≤ 2π  Ω : 1 ≤ r ≤ 1 ≤ y ≤ + r   x = r cos ϕ   z = r sin ϕ y = y  2π 1+ r 2π 1 ⇒ I = ∫ dϕ ∫ dr ( r cos ϕ + ) rdy = d ϕ r ∫ ∫ ∫ (r cos ϕ + 1)dr Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH PHÂN BA b/ Tọa độ cầu θ ϕ BỘI OM = r ≥ θ góc  M ( x, y , z ) M 1M = r cos θ OM = r sin θ  M1 ϕ  x = r sin θ cos ϕ   y = r sin θ sin ϕ  z = r cos θ  OM chiều dương Oz góc OM ≤θ ≤π lệch tâm chiều dương Ox  x − x0 = r sin θ cos ϕ   y − y0 = r sin θ sin ϕ  z − z = r cos θ  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI Lúc Và miền Ω θ2 ϕ2 r2 θ1 ϕ1 r1 x'ϕ x'θ x 'r J = y 'ϕ z 'ϕ y 'θ z 'θ y 'r = r sin θ z 'r θ1 ≤ θ ≤ θ  Ω : ϕ1 ≤ ϕ ≤ ϕ r (ϕ , θ ) ≤ r ≤ r (ϕ , θ ) 1 viết lại thành ⇒ I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ f (r sin θ cos ϕ , r sin θ sin ϕ , r cos θ )r sin θdr Ví dụ I = ∫ ∫ zdxdydz ∫ Ω , với x2 + y + z ≤ Ω: 2 z ≥ x + y  Chương – TÍCH PHÂN BỘI Trường ĐH Công Nghệ Thông Tin – ĐHQG Tp.HCM – http://www.uit.edu.vn TÍCH BA PHÂN BỘI Đặt  x = r sin θ cos ϕ   y = r sin θ sin ϕ  z = r cos θ  π  0 ≤ θ ≤  0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ r ≤   vớ i π 2π 0 ⇒ I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r cos θr sin θdr