TÍCH PHÂN MẶT LOẠI VÀ TÍCH PHÂN MẶT TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Xét hàm R3 xác định mặt cong S không gian với hệ trục Các tính chất Cách tính Oxyz : tương tự tích phân đường I = ∫ ∫f ( x, y, z )dS S : theo nguyên tắc mặt cong lấy tích phân : dựa vào pt TÍCH PHÂN MẶT LOẠI z = z ( x, y ) a/ Trường hợp S có pt Giả sử S có hình chiếu lên mp Oxy Dxy , diện tích Dxy khác Khi đó, I = ∫ ∫f [ x, y, z ( x, y )] + ( z ' x ) + ( z ' y ) dxdy Dxy b/ Trường hợp S có pt x = x( y, z ) tương tự, ta có I = ∫ ∫f [ x( y, z ), y, z )] + ( x' y ) + ( x' z ) dydz D yz TÍCH PHÂN MẶT LOẠI y = y ( x, z ) c/ Trường hợp S có pt I = ∫ ∫f [ x, y ( x, z ), z ] + ( y ' x ) + ( y ' z ) dxdz Dxz Ta có Ví dụ Tính I = ∫ ∫zdS S , với S phần mặt nón nằm mp z = x2 + y z=2 Hình chiếu S xuống mp Oxy Dxy = prjOxy S : x + y = TÍCH PHÂN MẶT LOẠI z'x = Và đồng thời 2x x2 + y , ⇒I= ∫∫ x + y ≤4 = ∫∫ x + y ≤4 x2 + y2 = x x2 + y2 z' y = 2y x2 + y2 = y x2 + y x2 y2 1+ + dxdy 2 x +y x +y x + y ( )dxdy 2π 0 = ∫ dϕ ∫ r dr = ⋅ 2π TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Ví dụ Tính I =∫ S x ∫x + y dS , với S 1/8 mặt cầu x2 + y2 + z = x≤0 z≤0 y≤0 góc Hình chiếu mặt cầu lên mp Oxy 1/4 hình tròn Dxy = prjOxy S Pt S lúc z = − − x2 − y2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Suy z'x = x − x2 − y2 x ⇒I = ∫ ∫ 2 x + y x2 + y ≤4 3π / r cos ϕ = ∫ dϕ ∫ r π = 3π / 2 ∫π cos ϕdϕ 2∫ − r2 z' y = dr = − ∫ − x2 − y2 4− x − y rdr 4−r π /2 y cos tdt − sin t đặt dxdy r = sin t π /2 = −2 ∫ dt = −π TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Ví dụ Tính I = ∫ ∫xdS x2 + y2 = , với S phần mặt trụ S nằm mp z=0 z=4 không chứa mặt đáy Khi chiếu S xuống mp Oxy ta nhận đường tròn Nên diện tích hình chiếu mp Oxy =  Không chiếu xuống mp Oxy x2 + y2 = TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Vì vậy, chiếu xuống mp Oyz ta x = ± 1− y2 Pt S lúc S1 ứng với x > Do đó, ta chia S thành phần S2 ứng với x < I =0 ⇒ prjOyz S1 = D yz = prjOyz S ⇒I =∫ D yz S2 ∫ 1− y + ( x' y ) + ( x' z ) dydz 2 S1 + ∫ ∫− − y + ( x' y ) + ( x' z ) dydz D yz TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Ví dụ Tính diện tích mặt Paraboloic y = 1− x2 − z y =  y =1 y nằm mp Diện tích hình lúc S = ∫ 1∫dS S ∫ = 2 + x + z dxdz ∫ x + z ≤1 2π 0 = ∫ dϕ ∫ + 4r rdr x z TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Suy ra, I =∫ S1 =∫ Dxy ∫ +∫ ∫ S2 ∫ = 2∫ Dxy a − x − y dxdy − ∫ ∫− a − x − y dxdy Dxy ∫ 2π a 0 a − x − y dxdy = ∫ dϕ ∫ a − r rdr = Ví dụ Tính I = ∫ ∫xdydz + y dxdz + z dxdy S x2 + y + z = a  z ≥ , với S phía nửa mặt cầu TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I1 = ∫ ∫xdydz Tính S Lúc này, ta tách S thành S1 S2 S1 1/4 mặt cầu  S1 có hướng dương S2 1/4 mặt cầu x2 + y + z = a  z ≥ x ≥  ( xét theo góc x2 + y + z = a  z ≥ x <  α = (nM , Ox)  S2 mang dấu âm ) TÍCH PHÂN MẶT LOẠI D yz Hình chiếu S1 S2 lên mp Oyz I1 = ∫ Do vậy, D yz ∫a KL: I = I1 + I + I − y − z dydz − ∫ ∫− a − y − z dydz D yz = 2∫ D yz ∫ a − x − y dydz  có hướng π a 0 = ∫ dϕ ∫ Tương tự, tính cho ý hàm z ( ) a − r rdr I = ∫ ∫y dxdz S ý hàm y  I2 = “+” = , I = ∫ ∫z dxdy S TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Mối liên hệ tích phân mặt tích phân lớp Công thức Gauss - Ostrogradski P ( x, y , z ) Q ( x, y , z ) Cho ĐHR cấp liên tục R ( x, y , z ) tập mở chứa khối Lúc này, Ω có biên mặt cong kín S I = ∫ ∫Pdydz + Qdxdz + Rdxdy S = ± ∫ ∫( P ∫ 'x +Q' y + R'z )dxdydz Ω lấy dấu “+” , xét S phía ngoài, ngược lại, lấy dấu “-” TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Ví dụ I = ∫ ∫yzdydz + xzdxdz + xydxdy Tính S , với S phía tứ diện OABC, có đỉnh B(0,1,0) A(1,0,0) C (0,0,1) O(0,0,0) C O B A ⇒ I = ∫ ∫ (0∫ + + 0)dxdydz = Ω Ví dụ Tính I = ∫ ∫( x + y − z )dydz + xzdxdz + (2 x + y − z )dxdy S , với S ví dụ TÍCH PHÂN MẶT LOẠI I = ∫ ∫( P ∫ 'x +Q' y + Rz )dxdydz Ta có Ω = ∫ ∫(1∫− 3)dxdydz Ω = −2VOABC = −2 ⋅ SOAB ⋅ OC 1 = −2 ⋅ ⋅ ⋅1 ⋅1 ⋅1 = − 3 Ví dụ Tính I =∫ S , với S phía xdydz + ydxdz + zdxdy ∫ Ω x2 + y + z xác định ≤ x2 + y2 + z2 ≤ TÍCH PHÂN MẶT LOẠI x P ( x, y , z ) = Lúc này, ta đặt x2 + y2 + z y Q ( x, y , z ) = x2 + y + z R ( x, y , z ) = hàm số liên tục có ĐHR liên tục z x2 + y2 + z R \ {(0,0,0)}  nên liên tục ⇒I =∫ Ω ∫ Ω x2 + y2 + z ∫x + y + z − có biên S ( x2 x2 + y2 + z ) + TÍCH PHÂN MẶT LOẠI  2 2 2  y + z + x + z + x + y   ⇒ I = ∫ ∫ ∫ dxdydz  2  Ω  x + y + z   ) ( = 2∫ Ω Đổi sang tọa độ cầu ∫ ∫x dxdydz + y2 + z2  x = r sin θ cos ϕ   y = r sin θ sin ϕ  z = r cos θ  π 2π , với r sin θ ⇒ I = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ dr r 0 1 ≤ r ≤  0 ≤ ϕ ≤ 2π 0 ≤ θ ≤ π  TÍCH PHÂN MẶT LOẠI π π = 6π (− cos θ ) ⇒ I = ⋅ ⋅ 2π ∫ sin θdθ = 6π (1 + 1) = 12π Định lý Stokes Q ( x, y , z ) Nếu hàm số P ( x, y , z ) mặt cong S ∫ Pdx + Qdy + Rdz = ∫ ∫( R ' −Q' (C ) y S z ĐHR cấp liên tục R ( x, y , z ) có biên đường cong kín (C) , )dydz + ( P ' z − R ' x )dxdz + (Q' x − P ' y )dxdy TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Lưu ý: tích phân lấy theo hướng dương (C) S Cách nhớ ( Pdx Qdy Q' x P' y ( Rdz Pdx )dxdy R' y Q' z ( P' z )dydz R' x )dxdz TÍCH PHÂN MẶT LOẠI Ví dụ I= Tính ∫ ( y + x)dx + (2 z − y)dy + (3x − z )dz (C ) , với (C) đường tròn x2 + y + z = a  z = ngược chiều kim đồng hồ, nhìn từ hướng dương Oz Cách 1: đưa pt tham số x2 + y = a2 Ta có pt (C) lúc , nên  z = dx = −a sin tdt  x = a cos t  ;0 ≤ t ≤ 2π ; z = ⇒ dy = a cos tdt   y = a sin t dz =  TÍCH PHÂN MẶT LOẠI ⇒I = 2π ∫ [− a (sin t + cos t ) sin t + a (− sin t ) cos t ]dt 2 = −a ⋅ ⋅ 2π = −πa 2 Cách 2: sử dụng công thức Stokes Gọi S hình tròn Đặt P = y + x  Q = z − y R = 3x − z  x2 + y ≤ a  z = S có biên (C)  thỏa điều kiện định lý Stokes TÍCH PHÂN MẶT LOẠI ⇒ I = ∫ ∫(0 − 1)dxdy + (0 − 2)dydz + (0 − 3)dxdz S = ∫ ∫− dxdy − 2dydz − 3dxdz S = I1 + I + I Trong đó, I1 = − ∫ ∫dxdy = − S Dxy = −πa Dxy z =  dz = ⇒ I = I1 + I + I = −πa ⇒ I = I3 = Thân chào ban! Cảm ơn bạn theo dõi phần trình bày nhóm Những người thực hiện: Huỳnh Thanh Huy Phạm Huỳnh Thanh Tú Nguyễn Thị Tình Huỳnh Hồ Thị Mộng Trinh Trần Quốc Thái Vũ Văn Thuận Trần Phúc Hiền Huỳnh Văn Hoa Xuân Trong slide có sử dụng số tài liệu trường ĐH Công Nghệ Thông Tin ... : x + y = TÍCH PHÂN MẶT LOẠI z'x = Và đồng thời 2x x2 + y , ⇒I= ∫∫ x + y ≤4 = ∫∫ x + y ≤4 x2 + y2 = x x2 + y2 z' y = 2y x2 + y2 = y x2 + y x2 y2 1+ + dxdy 2 x +y x +y x + y ( )dxdy 2 0 = ∫ dϕ... r rdr TH2: S mặt cầu x2 + y2 + z = a2 , a > lấy theo phía TÍCH PHÂN MẶT LOẠI S1 nửa mặt cầu trên, ứng với z > S2 nửa mặt cầu dưới, ứng với z < Lúc này, ta gọi S1 có pt z = a2 − x2 − y2  có hướng... S thành S1 S2 S1 1/ 4 mặt cầu  S1 có hướng dương S2 1/ 4 mặt cầu x2 + y + z = a  z ≥ x ≥  ( xét theo góc x2 + y + z = a  z ≥ x <  α = (nM , Ox)  S2 mang dấu âm ) TÍCH PHÂN MẶT LOẠI