Chương I : Cơ sở logic Gọi P,Q,R mệnh đề: P:=”Bình học Toán” Q:=”Bình học Tin học” R=:”Bình học Anh văn” Hãy viết lại mệnh đề dạng hình thức sử dụng phép toán a) b) c) d) e) a) b) c) d) e) Phủ định mệnh đề sau: Ngày mai trời mưa hay trời lạnh không 15 chia hết cho không chia hết cho Hình tứ giác hình chữ nhật mà hình thoi Nếu An không làm ngày mai bị đuổi việc Mọi tam giác có góc 60 độ Cho p:”trời lạnh”, q:”trời mưa” Hãy nêu 3 Bình học Toán Anh văn không học Tin học Bình học Toán Tin học không học lúc Tin học Anh văn Không Bình học Anh văn mà không học Toán Không Bình học Anh văn hay Tin học mà không học Toán Bình không học Tin học lẫn Anh văn học Toán ”trời không mưa” ” trời lạnh mưa” ”trời lạnh trời mưa” ”trời mưa trời không lạnh” ”trời không lạnh trời không mưa”=”Trời không lạnh không mưa” ” không cho trời không mưa”=”thật sai cho trời không mưa Cho p, q r mệnh đề: p: Bạn nhận điểm giỏi kỳ thi cuối khoá q: Bạn làm hết tập giáo trình r : Bạn đạt giỏi lớp Hãy dùng kí hiệu p, q, r ký hiệu phép toán logic để viết mệnh đề sau: a) Bạn đạt giỏi lớp không làm hết tập giáo trình b) Bạn nhận điểm giỏi kỳ thi cuối khoá, bạn làm hết tập giáo trình bạn đạt loại giỏi lớp c) Để công nhận loại giỏi lớp bạn cần phải điểm giỏi kỳ thi cuối khoá d) Bạn đạt loại giỏi lớp bạn làm hết tập giáo trình nhận điểm giỏi kỳ thi cuối khoá Ba sinh viên A, B, C bị nghi gian lận làm thi Khi bị thầy hỏi họ khai sau: A: “B chép C vô tội” : B: “Nếu A có tội C có tội” C: “Tôi vô tội” Đặt mệnh đề: P:”B chép bài”, Q:”C vô tội “, R:”A có tội” A: P∧Q B:R→¬Q C:Q Hãy trả lời câu hỏi sau: Nếu A nói thật B nói láo vô tội chép Nếu người vô tội nói thật nói láo Nếu A nói láo, B C nói thật có tội Gọi P,Q,R mệnh đề sau: P: ABC tam giác cân Q: ABC tam giác R: Tam giác ABC có ba góc Hãy viết mệnh đề sau theo ngôn ngữ thông thường a) Q → P b) P→Q P˄ Q R→P c) d) Chứng minh [()(r˄s)] r Hãy kiểm tra suy luận sau: p→q p → (q → r) p → (r ˄ q) ˅ r p˄q →q p˅q p p → r → (s ˅ t) (q ˄ r) → s t→r a) Cho b) p,q,r biến mệnh đề Chứng minh Phủ định tìm chân trị mệnh đề 10 a) Cho b) p,q,r biến mệnh đề Chứng minh Phủ định tìm chân trị mệnh đề 11 a) Chứng minh b) Phủ định tìm chân trị mệnh đê 12 a) Chứng minh b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề 13 a) b) Cho p,q,r biến mệnh đề, đặt hay sai? Tại sao? Phủ định tìm chân trị mệnh đề Hỏi E 14 a) b) 15 16 Cho p,q,r biến mệnh đề Chứng minh Phủ định tìm chân trị mệnh đề Không lập bảng chân trị chứng minh hàm sau đúng: (P ∧ Q) → Q Chứng minh ¬ (q → p )∨(p ∧q ) q a) cho p,q,r biến mệnh đề, đặt c) Hỏi E đứng hay sai? Tại sao? Phủ định tìm chân trị mệnh đề 17 a) Cho dạng mệnh đề Tìm chân trị q r biết E đúng, p sai b) Phủ định tìm chân trị mệnh đề 18 a) Cho p,q,r biến mệnh đề Chứng minh b) Phủ định tìm chân trị 19 Cho p q mệnh đề: p: Tôi bắt đầu học môn Toán rời rạc q: Tôi bắt đầu học môn Toán rời rạc vào hôm thứ Hãy diễn tả mệnh đề sau câu thông thường 20 Lập bảng giá trị chân lý mệnh đề phức hợp sau 21 Kiểm tra xem biểu thức sau có phải hay không: 22 23 Chứng minh cặp biểu thức sau tương đương logic: Lập bảng chân trị cảu dạng mệnh đề sau: E(p,q,r)=p˄(q˅ r)↔ F(q,p)= (p˄q)˄p q 24 Cho p,q,r biến mệnh đề Chứng minh rằng: ( p→r)˄(q→r)(p) 25 Lập bảng chân trị mệnh đề phức hợp sau: (p∨q)∧¬(p∧q) (x∧y→z)∨(x∨ ) (p ∧ q) ∨ ( ∨ q) 26 27 Chứng minh 1+3+ +(2n-1)= với số nguyên dương n a Nếu biết mệnh đề P→Q sai, cho biết chân trị mệnh đề sau: P∧Q ¬P ∨ Q Q→P b Cho biểu thức mệnh đề sau: (( P∧Q)∧R) → (S∨M) ( P∧(Q∧R)) → (S⊕M) Xác định chân trị biến mệnh đề P, Q, R, S, M biểu thức mệnh đề sai 28 29 Chứng minh (p˄( q˄q)) tương đương logic với Hãy kiểm tra suy luận sau t p˄ q r ( )→r () p Cho Q(x,y,z) hàm mệnh đề xác định câu =+ xác định giá trị chân lý mệnh đề Q(3,2,1), Q(5,4,3) 31 Cho hàm mệnh đê P(x)=+X+41 nguyên tố Xác định giá trị chân lý mệnh đề P(x) với x thuộc không gia bao gồm số tự nhiên[0 39] 32 Cho P(x) hàm mệnh “x+1>x” Xác định giá trị chân lý mệnh đề x P(x), không gian số thực 33 Cho P(x) hàm mệnh đề “x>3” Hãy tìm giá trị chân lý mệnh đề x P(x) không gian số thực 34 Cho Q(x) “x+1>x” Hãy tìm giá trị chân lý mệnh đề x Q(x) không gian số số thực 35 Dịch câu “Bạn không lái xe máy bạn cao 1.5 mét bạn 18 tuổi” thành biểu thức logic 36 Dịch câu “Tất sinh viên học tin học học môn toán học rời rạc” 37 Dịch câu “Có sinh viên lớp tất phòng nhà ký túc xá” 38 Các mệnh đề sau hay sai 30 “x “x “x “x 39 40 41 R, R, R, R, + 3x + 1” + 3x + 1” +1” +1” Mệnh đề “x R, “y R, x+ 2y ” hay sai? Mệnh đề “x R, “y R, x+ 2y ” hay sai? Kiểm tra tính suy luận sau: x R() 42 a) b) Có cặp tập hợp A,B tập hợp phần tử cho A B= Có cặp tập hợp A,B tập hợp phần tử cho: 43 44 45 Tìm f ,g = + 1, g(x)= , g(x)=2x+1 Chứng minh 1+3+ (2n-1)= với số nguyên dương n Chứng minh 1+2+3+ +(n-1)+n= n1 Chương 2: Phần Đếm Có cách phân công cho người người làm việc khác công việc có n ô khác n hạt khác nhau, hỏi có cách bỏ hạt vào ô biết ô chứa hạt? phân công người trực nhật hàng tuần, hỏi có cách phân công ngày người trực? trắc nghiệm gồm 100 câu hỏi, sinh viên chọn câu trả lời cho câu hỏi a) có tất cách để sinh viên trả lời câu hỏi trắc nghiệm tất câu hỏi trả lời? b) có tất cách để sinh viên trả lời câu hỏi trắc nghiệm sinh viên trả lời không trả lời câu hỏi? lớp học có 30 sinh viên dự định chụp hình kỉ niệm hỏi có cách xếp vị trí khác nhau? Biết lớp xếp thành hàng ngang, hàng có sinh viên, hàng 10 sinh viên hàng có 11 sinh viên Nếu lần xếp hàng phút thời gian cần thiết để chụp kiể hình bao nhiêu? a) có chuỗi bit có độ dài nhỏ b) có chuỗi bit có bit đầu cuối có độ dài n nguyên dương a) tập A có n phần tử hỏi tập An có phần tử? b) đa giác lồi 32 cạnh có đường chéo? a) có bảng số xe bắt đầu 50A theo sau chữ số ( -> 9) ? b) có số điện thoại mà gồm chữ số chữ số trùng nhau? a) ném 10 trái bóng vào rổ có khả xảy biết rổ chứa tối đa quả? b) có khả để tổ chức họp khác tuần, cho ngày tổ chức họp? 10 có khả để chọn số từ số nguyên 1, 2, 3, … , 100 cho tổng chúng số chẵn? số lẻ? 11 có khả để chia 2n người thành n cặp? 12 cho 2n đối tượng, n đối tượng giống hệt nhau, có khả để chọn n đối tượng khác từ 2n đối tượng trên? 13 có khả để chọn số nguyên số 1, 2, …, n-1 cho tổng chúng lớn n 14 a có cách khác để phân công 3n người thực n công việc khác nhau, biết nhóm gồm người thực việc? b có cách khác để phân công kn (k>=3) người thực n công việc khác nhau, biết nhóm gồm người thực việc? 15 người ta phân loại học tập học sinh theo thứ tự A, B, C, D E hỏi lớp phải có học sinh để chắn có học sinh thứ tự bậc học tập 16 giả sử password chuỗi có chiều dài từ 1-> 12 kí tự, chọn 36 kí tự gồm 26 chữ tiếng Anh 10 kí số 0->9 Hỏi phải chọn password để chắn có password trùng 17 cho d số nguyên dương Chứng minh tập số gồm d+1 số nguyên dương có số có số dư chia cho d 18 a) cần chọn bao nhiê người để người chọn chắn có người tháng sinh b) cần chọn bao nhiê người để người chọn chắn có 12 người ngày sinh 19 Có dãy có chữ số thập phân: a Không chứa chữ số lần b Có chữ số c Chữ số chữ số không đứng cạnh 20 Cô dâu rể mời người bạn đứng thành hàng để chụp ảnh chung với Có cách nếu: a Cô dâu đứng cạnh chủ rể b Cô dâu không đứng cạnh rể c Cô dâu đứng bên trái rể 21 Một mạng máy tính gồm máy Mỗi máy nối trực tiếp với máy khác Chứng minh có hai máy mà số máy khác nối với chúng 22 Có nữ nam a Có cách chọn tổ có người cho có nữ b Có cách chọn tổ có người cho có nam nữ 23 Cam, táo, lê, mận loại có Có cách chon tùy ý từ số này? 24 Cho phương trình x + y + z + t = 20 Phương trình có nghiệm nguyên thỏa x≥1, y≥2, z≥3, t≥4 25 Có số 1, số 2, số Có cách xếp số thành số có 12 chữ số 26 Cho chữ số: 2,3,4,5,7,9 Có số tự nhiên gồm chữ số khác chọn từ chữ số nếu: a Không có ràng buộc b Các số tự nhiên phải số chẵn c Các số tự nhiên phải số lẻ d Các số tự nhiên phải lớn 400 27 Có bé trai bé gái Tìm số cách để bé ngồi hàng nếu: a Không có ràng buộc b Các bé trai ngồi cạnh bé gái ngồi cạnh c Hai bé gái ngồi cạnh 28 Nếu hoán vị chữ từ MISSISSIPPI từ khác (không kể đến nghĩa) 29 Có 12 sách, chia cho đứa trẻ Hỏi có cách chia khác nếu: a Mỗi đứa trẻ b Hai đứa lớn, đứa quyển, hai đứa nhỏ, đứa quyển.12 Có byte có bit 30 Trong lớp học có học sinh nam học sinh nữ Có cách chọn ban cán lớp gồm người: lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Biết rằng: a Không có ràng buộc b Lớp trưởng phải nam c Lớp trưởng phải nam thủ quỹ phải nữ 31 Xâu thuận nghịch độc xâu viết theo thứ tự ngược lại Hãy đếm số xâu nhị phân có độ dài n thuận nghịch độc 32 Có xâu nhị phân độ dài 10 có năm số liền năm số liến 33 Có xâu nhị phân độ dài có số liền số liền 34 Mỗi sinh viên lớp toán học rời rạc giỏi toán giỏi tin học giỏi hai môn Trong lớp có sinh viên 38 người giỏi tin (kể người giỏi hai môn), 23 người giỏi toán (kể người giỏi hai môn), người giỏi hai môn 35 Chứng tỏ rằng, n+1 số nguyên dương không vượt 2n tồn số chia hết cho số khác 36 Chứng minh rằng, dãy gồm n + số thực phân biệt có dãy dài n+1 thực tăng, thực giảm 37 Giả sử nhóm người cặp hai bạn, thù Chứng tỏ nhóm có ba người bạn kẻ thù 10 3), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 5), (5, 1), (5, 2) (5, 4) Tìm: a) R2 b) R3 c) R4 d) R5 10 Biểu diễn quan hệ tập {1, 2, 3} ma trận (với phần tử liệt kê theo thứ tự tăng dần) a) {(1, 1), (1, 2), (1, 3)} b) {(1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} c) {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)} d) {(1, 3), (3, 1)} 11 Liệt kê cặp thứ tự quan hệ tập {1, 2, 3} tương ứng với ma trận (trong hàng cột tương ứng với số nguyên liệt kê theo thứ tự tăng) a) b) c) 12 Hãy xác định xem quan hệ biểu diễn ma trận cho tập 11 có phản xạ, đối xứng, phản đối xứng và/hoặc bắc cầu hay không? 13 Cho R quan hệ biểu diễn ma trận MR= , tìm ma trận biểu diễn: a) R-1 b) b c) c.R2 14 14 Cho R1 R2 hai quan hệ tập A biểu diễn ma trận: MR1 = MR2 = Tìm ma trận biểu diễn: a) R ∪ R b) R ∩ R c) R o R d) R o R 16 Vẽ đồ thị có hướng biểu diễn quan hệ tập 10 17 Vẽ đồ thị có hướng biểu diễn quan hệ tập 11 Trong tập 18 – 20 liệt kê cặp đuợc quan hệ biểu diễn bới đồ thị có hướng a 18 Cho đồ thị: c b 19 Cho đồ thị: a c b d 20 Cho đồ thị: a b 15 c d 21 Cho R quan hệ tập {0, 1, 2, 3} chứa cặp gồm có (0, 1), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2) (3, 0) Tìm: a) Bao đóng phản xạ R b) Bao đóng đối xứng R 22 Cho R quan hệ {(a, b) | a ≠ b}trên tập số nguyên Tìm bao đóng phản xạ R 23 Cho R quan hệ {(a, b) | a chia hết cho b}trên tập số nguyên Tìm bao đóng đối xứng R 24 Xác định dãy đỉnh sau có đường đồ thị có hướng không? a c b d e a) a, b, c, e b) b, e, c, b, e c) a, a, b, e, d, e d) b, c, e, d, a, a, b 16 e) b, c, c, b, e, d, e, d f) a, a, b, b, c, c, b, e, d 25 Tìm tất chu trình có chiều dài đồ thị có hướng cho 24 26 Dùng thuật toán Warshall tìm bao đóng quan hệ sau cho tập {1, 2, 3, 4} a) {(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 4), (4, 1)} b) { (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 4), (4, 1), (4, 3)} c) {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)} d) {(1, 1), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (4, 2)} 27 Các quan hệ số quan hệ tập {0, 1, 2, 3} cho quan hệ tương đương? Xác định tính chất quan hệ tương đương mà quan hệ khác không có? a) {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 3)} b) {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)} c) {(0, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)} d) {(0, 0), (1, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)} e) {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 2), (3, 3)} 28 Các quan hệ số quan hệ tập người cho quan hệ tương đương a) {(a, b) | a b tuổi} b) {(a, b) | a b có bố mẹ} c) {(a, b) | a b gạp nhau} d) {(a, b) | a b có thứ tiếng} 29 Xác định quan hệ sau biểu diễn ma trận cho có quan hệ tương đương không? a) b) C) 30 Xác định lớp tương đương quan hệ tương đương cho tập 27 17 31 Cho A = {2, 3, 4}; B = {2, 4, 8} Định nghĩa quan hệ A B sau: x ∈A, y∈B; xRy ⇔ x