WELCOME TO PRESENTATION Thành viên: Group Phạm Trường An Bùi đức An Nguyễn Anh Trường Lại Hồng Thiên Phạm phúc Chương 3: QUAN HỆ Quan hệ hai tập hợp tính chất Biểu diễn quan hệ hai Quan hệ tương đương Lớp tương đương Sự phân hoạch thành lớp tương đương Chương QUAN HỆ Quan hệ hai tập hợp tính chất Định nghĩa Một quan hệ hai ngơi từ tập A đến tập B là tập tích Đề R ⊆ A x B Chúng ta viết a R b thay cho (a, b) ∈ R   A B a1 b1 a2 b2 a3 b3 R= { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Chương QUAN HỆ Quan hệ hai tập hợp tính chất Ví dụ: Cho A= {1, 2, 3, 4} và R= {(a, b) | a là ước b} Khi 1 2 3 R= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 4 Chương QUAN HỆ Quan hệ hai tập hợp tính chất b Các tính chất Quan hệ  R la mơt quan ngơi tâp hơp A va khác 1.Tính Phản Xạ:   Ví dụ: Trên tập A= {1, 2, 3, 4}, quan hệ: R1= {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} khơng phản xạ (3, 3) ∉R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) ∈ R2 Chương QUAN HỆ Quan hệ hai tập hợp tính chất b Các tính chất Quan hệ Quan hệ ≤ Trên Z phản xạ a ≤ a với a ∈ Z Quan hệ > Trên Z khơng phản xạ > + Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z là phản xạ số ngun a là ước Chú ý Quan hệ R tập A là phản xạ chứa đường chéo A ×A : ∆ = {(a, a); a ∈ A} 1 Chương Quan hệ hai tập hợp QUAN HỆ tính chất b Các tính chất Quan hệ Định nghĩa Quan hệ R A gọi đối xứng ∀ a,b ∈ A ,(a R b) → (b R a) Quan hệ R đươc gọi là khơng đối xừng   Quan hệ R gọi phản xứng ∀ a,b ∈ A ,(a R b) ∧ (b R a) → (a = b) Ví Dụ: Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} tập A = {1, 2, 3, 4} đối xứng Quan hệ ≤ Z khơng đối xứng nhiên phản xứng (a ≤ b) ∧ (b ≤ a) → (a = b) Chương Quan hệ hai tập hợp QUAN HỆ tính chất b Các tính chất Quan hệ + Quan hệ“ | ” (“ước số”) Z khơng đối xứng,tuy nhiên có tính phản ứng (a | b) ∧ (b | a) → (a = b) Chú ý Quan hệ R A đối xứng đối xứng qua đường chéo ∆ A × A Quan hệ R phản xứng có phần tử nằm đường chéo đối xứng qua ∆ A × A - - - - 3 * - - - - - - - - - - - - * * Chương Quan hệ hai tập hợp QUAN HỆ tính chất b Các tính chất Quan hệ Định nghĩa: Quan hệ R A có tính bắc cầu (truyền) ∀ a, b,c ∈ A,(a R b) ∧ (b R c) → (a R c) Ví dụ: Quan hệ R = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (1, 3), (2, 3)} tập A = {1, 2, 3, 4} có tính bắc cầu Quan hệ ≤ “|”trên Z có tính bắc cầu (a ≤ b) ∧ (b ≤ c) → (a ≤ c) (a | b) ∧ (b | c) → (a | c) Chương QUAN HỆ Biểu diễn quan hệ hai a Ma trận Cho R là quan hệ từ A = {1,2,3,4} đến B = {u,v,w}: R = {(1,u),(1,v),(2,w),(3,w),(4,u)} Dòng và cột tiêu đề bỏ Khi R biễu diễn sau qua khơng gây hiểu nhầm Dòng và cột tiêu đề bỏ u v w 1 0 0 0 qua khơng gây hiểu nhầm Đây là ma trận cấp 4×3 biễu diễn cho quan hệ R 10 Chương QUAN HỆ Biểu diễn quan hệ hai b.Định nghĩa Cho R là quan hệ từ A = {a1, a2, …, am} đến B = {b1, b2, …, bn} Ma trận biểu diễn R là ma trận cấp m ×n MR = [mij] xác định (ai , bj) ∉ R mij= 1nếu (ai , bj) ∈ R Vídụ : Nếu R là quan hệ từ A = {1, 2, 3} đến B = {1, 2} cho a R b a > b Khi ma trận biểu diễn R là: 0 1 11 Chương QUAN HỆ Biểu diễn quan hệ hai  Ví dụ: Cho R là quan hệ từ A = {a1, a2, a3} đến B = {b1, b2, b3, b4, b5} đươc biễu diễn ma trận b1 b2 b3 b4 b5 MR = 0 a1 1 a2 1 a3 Khi R gồm cặp: {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)} 12 Chương QUAN HỆ Biểu diễn quan hệ hai Cho R là quan hệ tập A, MR là ma trận vng R là phản xạ tất phần tử đường chéo MR bằng1: mii=1 với i u v w u 1 v 1 w 0 13 Chương QUAN HỆ Biểu diễn quan hệ hai R phản xứng MR thỏa: R đối xứng MR đối xứng mij = mji for all i, j u v w mij = or mji = if i ≠ j u v - -0 - 1 u v u -1 - v 0 w - w w - - 14 Chương 3 Quan hệ tương đương QUAN HỆ  Ví dụ Cho S = { sinh viên lớp }, gọi R = { (a,b): a có họ với b } Hỏi R bắc cầu? Yes Mọi sinh viên có R đối xứng? Yes họ thuộc nhóm R phản xạ? Yes 15 Chương 3 Quan hệ tương đương QUAN HỆ Định nghĩa Quan hệ R tập A đươc gọi là tương đương có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu Vídụ Quan hệ R chuỗi ký tự xác định a R b a và b có độ dài Khi R là quan hệ tương đương Ví dụ Cho R là quan hệ R cho a R b a –b ngun Khi R là quan hệ tương đương Cho a và b là hai số ngun A đươc gọi là ước b hay b chia hết cho tồn số ngun k a = kb 16 Chương 3 Quan hệ tương đương QUAN HỆ Vídụ Cho m là số ngun dương va R quan hệ Z cho a R b a –b chia hết m, R là quan hệ tương đương -Rõ ràng quan hệ này có tính phản xạ và đối xứng -Cho a, b, c cho a – b b – c chia hết cho m, a – c = a – b + b – c chia hết cho m Suy R có tính chất bắc cầu -Quan hệ này đươc gọi là đồng dư modulo m và viết A ≡ b (mod m) thay a R b 17 Chương Lớp tương đương QUAN HỆ Định nghĩa Cho R là quan hệ tương đương A và phần tử a ∈ A Lớp tương đương chứa a đươc ký hiệu [a] R [a] là tập [a]R = {b ∈ A|b R a} Ví dụ Giải Tìm lớp tương đương modulo chứa và 1? Lớp tương đương modulo chứa gồm tất số ngun achia hết cho Do [0] 8={ …, –16, –8, 0, 8, 16, … } Tương tự [1] 8= {a | a chia dư 1} = { …, –15, –7, 1, 9, 17, … } 18 Chương Lớp tương đương QUAN HỆ Chú ý Trong ví dụ cuối, lớp tương đương [0]8 và [1]8 là rời Tổng qt, có Định lý Cho R là quan hệ tương đương tập A và a, b ∈ A, Khi (i) a R b [a]R = [b]R (ii) [a]R ≠ [b]R [a]R ∩ [b]R = ∅ Chú ý Các lớp tương đương theo quan hệ tương đương A tạo nên phân họach A, nghĩa là chúng chia tập A thành tập rời 19 Chương Lớp tương đương QUAN HỆ Ví Dụ Cho m là số ngun dương, có m lớp đồng dư modulo m là [0]m , [1]m , …, [m –1]m Chúng lập thành phân họach Z thành tập rời Chú ý 0]m= [m]m = [2m]m = … [1]m= [m + 1]m = [2m+1]m = … ………………………………… [m –1]m= [2m–1]m = [3m–1]m = … Mỗi lớp tương đương này đươc gọi là số ngun modulo m Tập hơp số ngun modulo m đươc ký hiệu Zm Zm= {[0]m, [1]m, …, [m –1]m } 20 Chương Lớp tương đương QUAN HỆ Chú ý Cho {A1, A2, … }là phân họach A thành tập khơng rỗng, rời Khi có quan hệ tương đương A cho Ai là lớp tương đương Thật với a, b ∈ A, ta đặt a R b có tập Ai cho a, b ∈ Ai Dễ dàng chứng minh R là quan hệ tương đương A và [a]R = Ai a ∈ Ai a A2 A1 A4 A3 b A5 21 ... b2, b3, b4, b5} đươc biễu diễn ma trận b1 b2 b3 b4 b5 MR = 0 a1 1 a2 1 a3 Khi R gồm cặp: {(a1, b2), (a2, b1), (a2, b3), (a2, b4), (a3, b1), (a3, b3), (a3, b5)} 12 Chương QUAN HỆ Biểu diễn quan. .. (2, 2), (3, 3) , (4, 1), (4, 4)} phản xạ (1,1), (2, 2), (3, 3) , (4, 4) ∈ R2 Chương QUAN HỆ Quan hệ hai tập hợp tính chất b Các tính chất Quan hệ Quan hệ ≤ Trên Z phản xạ a ≤ a với a ∈ Z Quan hệ... nghĩa Một quan hệ hai ngơi từ tập A đến tập B là tập tích Đề R ⊆ A x B Chúng ta viết a R b thay cho (a, b) ∈ R   A B a1 b1 a2 b2 a3 b3 R= { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Chương QUAN HỆ Quan hệ