Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè * T×m giao ®iÓm cña hai ®­êng * ViÕt ph­¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai đường Giả sử hàm số y= f(x) có đồ thị là (C) và hàm số y=g(x) có đồ thị là (C 1 ) . Hãy tìm các giao điểm của (C)và (C 1 ). Giải : M 0 (x 0 ;y 0 ) là giao điểm của (C)và(C 1 ) khi và chỉ khi (x 0 ;y 0 ) là nghiệm của hệ y = f(x) y= g(x) Do đó để tìm hoành độ các giao điểm của (C) và (C 1 ) ta giải phương trình : f(x) = g(x) (1) Nếu x 0 ,x 1 là nghiệm của (1) thì các điểm M 0 (x 0 ; f(x 0 )) ; M 1 (x 1 ; f(x 1 )) là các giao điểm của (C)và (C 1 ) ví dụ 1 : Biện luận theo m số giao điểm của đồ thị các hàm số y = 2x 3x6x 2 + + Và y= x- m Giải : Xét phương trình : mx 2x 3x6x 2 = + + ( X - 2 ) x 2 -6x+3 = (x-m)(x+2) (x - 2 ) x 2 -6x+3 = x 2 + (2-m)x-2m (x - 2 ) (8-m)x-3-2m = 0 (2) (x - 2 ) Biện luận * m=8 : (2) có dạng 0x-19 = 0 (2) vô nghiệm Không có giao điểm * m≠ 8 : ph­¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm duy nhÊt m8 m23 x − + = nghiÖm nµy kh¸c -2 , v× nÕu 2 m8 m23 −= − + ⇔ 3+2m =-16 +2m ⇔ 3= -16 (v« lý ) VËy trong tr­êng hîp nµy , cã mét giao ®iÓm lµ (x;y) víi : m8 m23 x − + = ; y = x- m y x 0 -1 1 -2 -4 -2-3 2 3 1 Ví dụ 2 a, Khảo sát hàm số : y =x 3 + 3x 2 - 4 b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x 3 + 3x 2 - 4 =m (*) Giải a, Ta có đồ thị sau (C) b, Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và đường thẳng y = m y =m y x 0 -1 1 -2 -4 -2-3 2 3 1 KÕt luËn : m> 0 m< -4 ⇒ Cã 1 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 1 nghiÖm y x 0 -1 1 -2 -4 -2-3 2 3 1 + + m = 0 m = - 4 ⇒ Cã 2 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 2 nghiÖm + - 4 < m < 0 ⇒ Cã 3 giao ®iÓm ⇒ (*) cã 3 nghiÖm Bài toán 2 : Viết phương trình tiếp tuyến Cho hàm số y = f(x) . Gọi (C) là đồ thị , viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết : Trường hợp 1 : Tiếp điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) (C) Giải : Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M 0 (x 0 ; y 0 ) là : y - y 0 = f (x 0 ) (x -x 0 ) Trường hợp 2 : Đi qua điểm M 1 (x 1 ; y 1 ) (y 1 f(x 1 ) ) Giải : - Đường thẳng d đi qua M 1 (x 1 ; y 1 ) và có hệ số góc k có phương trình : y-y 1 = k(x-x 1 ) y= k (x-x 1 ) + y 1 - Để cho d là tiếp tuyến của (C) hệ sau có nghiệm : f(x) = k(x-x 1 ) + y 1 f (x) = k + x 0 y 0 ; f(x 0 ) + y 0 x 0 ; f(x 0 ) (Gpt : f(x) =y 0 x 0 ) + f(x 0 ) x 0 ; y 0 ( Gpt : f(x) = f(x 0 ) x 0 ) (y 0 = f(x 0 ) ) VÝ dô 3 : Cho ®­êng cong y=x 3 . ViÕt ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña ®­êng cong ®ã : a, T¹i ®iÓm (-1 ;-1 ) b, BiÕt hÖ sè gãc cña tiÕp tuyÕn b»ng 3 Gi¶i : a, y ’ =3x 2 ⇒ y ’ (-1) = 3 Ph­¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cÇn t×m lµ : y+1 =3(x+1) ⇔ y = 3x +2 b , Gi¶i ph­¬ng tr×nh : 3x 2 = 3 ⇔ x = ± 1 x= 1 ⇒ y(1) = 1 ⇒ pttt : y- 1 =3(x -1 ) ⇔ y = 3x -2 x =-1 ⇒ pttt : y =3x +2 Củng cố Có thể mở rộng xét vấn đề hai đồ thị tiếp xúc với nhau tại một điểm chung : Cho hai hàm số y =f(x) và y =g(x) có đồ thị tương ứng là (C) và(C ) Hai đồ thị (C) và (C ) được gọi là tiếp xúcvới nhau tại một điểm chung ,nếu tại điểm đó chúng có cùng một tiếp tuyến, khi đó diểm chung được gọi là tiếp điểm Như vậy ,hai đồ thị (C ) và (C ) tiếp xúcvới nhau nếu và chỉ nếu hệ phương trình sau có nghiệm : f(x)=g(x) f(x) =g(x) . Mét sè bµi to¸n liªn quan ®Õn kh¶o s¸t hµm sè * T×m giao ®iÓm cña hai ®­êng * ViÕt ph­¬ng tr×nh cña tiÕp tuyÕn Bài toán 1: Tìm giao điểm của hai. 3 1 Ví dụ 2 a, Khảo sát hàm số : y =x 3 + 3x 2 - 4 b, Dùng đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình : x 3 + 3x 2 - 4 =m (*) Giải a, Ta có đồ thị sau