Nông Văn Đàm Tài liệu tham khảo Hàm số lợng giác của một số cung đặc biệt Góc sin Cos tan cot 0(0 o ) 0 1 0 P ( ) 0 6 30 1 2 3 2 3 3 3 ( ) 0 4 45 2 2 2 2 1 1 ( ) 0 3 60 3 2 1 2 3 3 3 ( ) 0 2 90 1 0 P 0 ( ) 0 2 3 120 3 2 1 2 3 3 3 ( ) 0 3 4 135 2 2 - 2 2 -1 -1 ( ) 0 5 6 150 1 2 - 3 2 - 3 3 3 ( ) 0 180 0 -1 0 P Công thức lợng giác I- Công thức lợng giác 1. Công thức cộng = + + = = + = + = + + + = . cos(a b) cosa.cosb sina.sin b (1) . cos(a b) cosa.cosb sina.sin b (2) . sin(a b) sin a.cosb cosa.sin b (3) . sin(a b) sin a.cosb cosa.sin b (4) tana tan b . tan(a b) (5) 1 tana.tanb tana tan b . tan(a b) (6) 1 tana.tanb a,b 2 + + + ữ k ; a b k 2 1 N«ng V¨n §µm 2 . C«ng thøc nh©n ®«i . C«ng thøc nh©n ®«i = = − = − = − π π π   = ± + π ≠ +  ÷ −   2 2 2 a 2 b 2 . sin2a 2sin a.cosa (7) . cos2a cos a sin a (8) 2cos a 1 (8 ) 1 2sin a (8 ) 2tana . tan2a (9) a k ,a k 1 tan a 2 4 2 . C «ng thøc h¹ bËc III. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng, tæng thµnh tÝch. 1. C«ng thøc biÕn ®æi tÝch thµnh tæng. [ ] 1 cosa.cosb cos(a b) cos(a b) (13) 2 = − + + [ ] 1 sina.sin b cos(a b) cos(a b) (14) 2 = − − + [ ] = − + + 1 sina.cosb sin(a b) sin(a b) (15) 2 2. C«ng thøc biÕn ®æi tæng thµnh tÝch. *) C«ng thøc: .cos cos 2cos .cos (16) 2 2 .cos cos 2sin .sin (17) 2 2 . sin sin 2sin .cos (18) 2 2 . sin sin 2cos .sin (19) 2 2 α +β α −β α + β = α +β α −β α − β = − α + β α −β α + β = α + β α − β α − β = + 2 1 cos2a cos a (10) 2 + = + 2 1 cos2a sin a (11) 2 − = 2 2 2 sin a 1 cos2a tan a (12) cos a 1 cos2a − = = + §K: a k 2 π ≠ + π 2 Nông Văn Đàm *) Các hệ thức cơ bản a. 2 2 1 1 tan , k ,k cos 2 + = + Z . b. 2 2 1 1 cot , k ,k sin + = Z . c. tan .cot 1, k ,k 2 = Z . 3. Giá trị LG của cung có liên quan đặc biệt. 3.1- Cung đối nhau: & . . cos( ) cos = . = tan( ) tan . sin( ) sin = . = cot( ) cot 3.2- Hai cung bù nhau & . . sin( ) sin = . tan( ) tan = . cos( ) cos = . cot( ) cot = 3.3-Cung hơn kém : & + . sin( ) sin + = . tan( ) tan + = . cos( ) cos + = . cot( ) cot + = 3.4- Cung phụ nhau: & 2 ữ . sin cos 2 = ữ . cos sin 2 = ữ . tan cot 2 = ữ . cot tan 2 = ữ I- Các công nghiệm phơng trình lợng giác cơ bản thức 1) sinu = sinv 2 ( ) 2 u v k k u v k = + = +  2) cosu = cosv 2 ( ) 2 u v k k u v k = + = +  3) tanu =tanv u v k = + ( k  ) 4) cotu =cotv ( )u v k k = +  *) chú ý: các trờng đặc biệt a. sinu = 0 ( )u k k =  b. sinu =1 2 ( ) 2 u k k = +  c. sinu =-1 2 ( ) 2 u k k = +  d. cosu = 0 ( ) 2 u k k = +  e. cosu =1 2 ( )u k k =  f. cosu =-1 2 ( )u k k = +  g. tanu = 1 ( ) 4 u k k = +  h. tanu = 0 ( )u k k =  i. tanu = -1 ( ) 4 u k k = +  k. cotu =1 ( ) 4 u k k = +  3 Nông Văn Đàm II-phơng pháp giải một số phơng trình lợng giác thờng gặp 1. Phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác *)Dạng1 : cos 2 u + b cos u +c = 0 ; asin 2 u +bsinu + c = 0 (a 0 ; u là biểu thức theo x ) Đặt t= cosu ( hoặc t= sinu ) với điều kiện t [ ] 1;1 ta đợc phơng trình : at 2 + bt +c = 0 . Giải phơng trình này và chọn nghiệm thích hợp và ta có phơng trình t o = cosu ( hoặc t o = sinu) *)Dạng2 : a tan 2 u + b tanu + c = 0 ; a cot 2 u + b cotu + c = 0 (a 0 ; u là biểu thức theo x ) Đặt t=tan u (a) ( hoặc t= cot u ) (b) ta đợc phơng trình : at 2 + bt +c = 0 Giải phơng trình này sau đó thay vào (a) hoặc (b) ta đ- ợc phơng trình lợng giác cơ bản từ đó tìm đợc nghiệm của phơng trình đã cho. 2. Phơng trình bậc nhất đối với sinu và cosu (u là biểu thức theo x) Dạng tổng quát : asinu + bcosu = c (1) (a 2 +b 2 0) +) Điều kiện để phơng trình có nghiệm : a 2 +b 2 c 2 +)Điều kiện để phơng trình vô nghiệm : a 2 +b 2 p c 2 Cách giải : chia cả hai vế phơng trình (1) cho 2 2 a b+ Ta đợc : 2 2 a b a + sinu + 2 2 b a b+ cos u = 2 2 c a b+ Đặt cos = 2 2 a b a + ; sin = 2 2 b a b+ Khi đó ta có : cos sinu + sin cos u = 2 2 c a b+ sin( u + ) = 2 2 c a b+ 3. Phơng trình thuần nhất bậc hai đối với sinu và cosu ( u là biểu thức theo x) Dang tổng quát : asin 2 u +bsinu.cosu + ccos 2 u = d (a,b,c Ă ) (1) Cách giải 1 : chia cả hai vế của phơng trình cho cos 2 u 0 ta đợc phơng trình bậc hai : (a-d)tan 2 u + b tanu + c d = 0 sau đó thử u= 2 k + xem có nghiệm không . Cách 2: Dùng công thức hạ bậc : + = 2 1 cos2a cos a 2 ; = 2 1 cos2a sin a 2 ; sin2x = 2sinxcosx Thay vào phơng trình (1) ta đợc : Asin2x + Bcos2x = C (với A= b, B = c- a, C= 2da - c) 4) Phơng trình đối xứng đối với sinx và cosx. a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c (2) Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2 sin(x + 4 ) t 2 = 1+2sinxcosx, t 2 (2) At 2 + Bt + C = 0 ( với A = b ; b =2a ; C = -b- 2c) Giải ra t, suy ra phơng trình cơ bản. Chú ý: Trờng hợp a(sinx cosx )+ bsinxcosx = c Ta đặt t=sinx cosx và giải tơng tự 4 Nông Văn Đàm III-Các bài tập cơ bản. A. Phơng trình lợng giác cơ bản Bài 1: Giải các phơng trình sau đây : a. cos(x+ 4 ) = 0 b. tan( 3 - 2x) = 0 c. Cot(4x + 3 ) = 1 d. sin(2x - 4 ) = 0 e. ( ) sin sin 2 1x = f. 2 cos cos( ) 2 4 2 x = Bài 2. Giải các phơng trình sau đây : a. 2cos(3x- 3 ) = 3 b. 3tan(x- 3 ) - 3 = 0 c. sin(2x + 4 ) + sinx = 0 d. cos(3x- 3 ) + cosx = 0 Bài 3. Giải các phơng trình sau đây : a. tan( 4x + 3 ) + cot(2x + 4 ) = 0 b. sin 2 (3x- 3 ) = cos 2 ( 4 - x) c. sin(3x + 3 ) + sin( 3 2 - 3x) = 3 d. cos(3x + 3 ) + sin(3x + 6 5 ) = 2 Bài 4. Giải các phơng trình sau: a. sin 5 cos5 0 sin cos x x x x = b. tan( ) tan 2 3 tan 2 tan( ) 3 x x x x = c. cos6x.cos2x = sin7x.sin3x d. cos 2 x + cos 2 3x + cos4x = 2 B. Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx Bài 5: Giải các phơng trình sau ; a. Sin2x + 3 cos2x = 1 b. 2sin 2 x + 3 Sin2x = 3 c. sinx + 3 cosx + 2sin( 6 - x) = 2 ( x [ ] 3;0 ); C. phơng trình bậc hai đối với một hàm số lợng giác Bài 6 : Giải phơng trình a. sin 2 2x + 3sin2x 4 = 0 b. 4 cos 2 2x -2(cos 2 x - 2 )cos2x - 6 = 0 c. 2 cos 2 (3x - 3 ) sin (3x - 3 ) = 0 d. 3tan 2 (3x - 3 ) - 4 3 tan(3x - 3 ) = 0 D . Phơng trình đẳn cấp đối với sinx và cosx. Bài 7: Giải các phơng trình sau: a. 4sin 2 x + 3 Sin2x + 2 cos 2 x = 4 b. 3sin 2 x - 3 cosxsinx +2cos 2 x 2 = 0 c. 2 3 cos 2 x + 6sinx.cosx = 3 + 3 5 Nông Văn Đàm Các hệ thức lợng trong tam giác và giải tam giác A. Kiến thức cần nhớ: Cho tam giác ABC có BC =a, CA =b, AB =c; đờng cao AH =h a và các đờng trung tuyến AM =m a , BN =m b , CP=m c 1. Định lí côsin a 2 =b 2 +c 2 -2bc cos A b 2 =a 2 +c 2 -2ac cos B c 2 =a 2 +b 2 -2ab cos C Hệ quả: Cos A = bc acb 2 222 + Cos B = ac bca 2 222 + Cos C = ab cba 2 222 + 3.Độ dài đờng trung tuyến của tam giác m 2 a = 2 22 cb + - 4 2 a = 4 )(2 222 acb + ; m 2 b = 2 22 ca + - 4 2 b = 4 )(2 222 bca + ; m 2 c = 2 22 ba + - 4 2 c = 4 )(2 222 cba + . 6 Nông Văn Đàm 2. Định lí sin A a sin = B b sin = C c sin =2R (R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC). 4.Các công thức tính diện tích tam giác S = 2 1 ab sin C = 2 1 bc sin A = 2 1 ca sin B; S = R abc 4 với R là đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC; S = pr với p = 2 1 (a+b+c) và r là bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác ABC; S = ))()(( cpbpapp với p = 2 1 (a+b+c) (công thức Hê-rông). 2. Một số bài tập cơ bản Bài 1. Cho tam giác ABC có b =7 cm, c =5 cm và cos A = 5 3 . a) Tính a, sin A và diện tích S của tam giác ABC. b) Tính đờng cao h a xuất phát từ đỉnh A và bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 2. Cho tam giác ABC biết  =60 0 , b =8 cm, c =5 cm. Tính đờng cao h a và bán kính R của đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Bài 4. Cho tam giác ABC biết a =21 cm, b =17 cm, c =10 cm. a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao h a . b) Tính bán kính đờng tròn nội tiếp r của tam giác. c) Tính độ dài đờng trung tuyến m a xuất phát từ đỉnh A của tam giác. phơng trình elip 1 .xác định các yếu tố của (e) (Với a>b>0 và b 2 =a 2 - c 2 ) -Trục lớn của (E) nằm trên ox A 1 A 2 =2a; -Trục nhỏ của (E)nằm trên oy ,B 1 B 2 =2b -Hai tiêu điểm: F 1 (- c;0); F 2 (c;0) -Tiêu cự F 1 F 2 =2c -Bốn đỉnh: A 1 (-a;0) , A 2 (a;0) B 1 (0;-b), B 2 (0;b) ví dụ : Trong các phơng trình sau phơng trình nào là phơng trình elip, phơng trình nào là phơng trình chính tắc của (E) . Hãy xác định độ dài các trục , tọa độ tiêu điểm , tọa độ đỉnh và vẽ (E) đó. 1) 2 2 x y 1 9 4 + = . 2) 2 2 5x 10y 50+ = . 3) 2 2 x y 1 9 4 = . 4) 2 2 x y 1 16 25 + = PTCT của (E): 2 2 2 2 x y 1 a b + = 7 N«ng V¨n §µm 8 . + + = . cos(a b) cosa.cosb sina.sin b (1) . cos(a b) cosa.cosb sina.sin b (2) . sin(a b) sin a.cosb cosa.sin b (3) . sin(a b) sin a.cosb cosa.sin b. tæng thµnh tÝch. *) C«ng thøc: .cos cos 2cos .cos (16) 2 2 .cos cos 2sin .sin (17) 2 2 . sin sin 2sin .cos (18) 2 2 . sin sin 2cos .sin (19) 2 2 α +β α −β