Học viện Công nghệ Bưu Viễn thông Khoa Công nghệ thông tin Toán rời rạc Bài toán tồn Ngô Xuân Bách Nội dung  Giới thiệu toán  Phương pháp phản chứng  Nguyên lý Dirichlet  Bài tập http://www.ptit.edu.vn Giới thiệu toán tồn  Bài toán đếm: Đếm tất cấu hình tổ hợp thỏa mãn ràng buộc toán Phương pháp giải mong muốn xây dựng công thức tính nghiệm toán  Bài toán liệt kê: Xem xét tất cấu hình tổ hợp thỏa mãn ràng buộc toán Phương pháp giải thường đưa thuật toán vét cạn (thuật toán sinh, thuật toán quay lui,…)  Bài toán tối ưu: Trong số cấu hình tổ hợp thỏa mãn yêu cầu toán, lựa chọn nghiệm có giá trị sử dụng tốt (tối ưu hàm mục tiêu)  Bài toán tồn Xét có hay không tồn cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước Lời giải toán đơn cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước chứng minh không tồn cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất đặt http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (1/2) Bài toán 36 sĩ quan (Euler): Có lần người ta triệu tập từ trung đoàn, trung đoàn sĩ quan có cấp bậc khác thiếu úy, trung úy, thượng úy, đại úy, thiếu tá, trung tá tham dự duyệt binh sư đoàn Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vuông cho hàng ngang, hàng dọc có đại diện trung đoàn với cấp bậc khác  http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (2/2) Bài toán 36 sĩ quan (Euler): Có lần người ta triệu tập từ trung đoàn, trung đoàn sĩ quan có cấp bậc khác thiếu úy, trung úy, thượng úy, đại úy, thiếu tá, trung tá tham dự duyệt binh sư đoàn Hỏi xếp 36 sĩ quan thành đội ngũ hình vuông cho hàng ngang, hàng dọc có đại diện trung đoàn với cấp bậc khác Dưới lời giải với 𝑛 =  Ab Dd Ba Cc Bc Ca Ad Db Cd Bb Dc Aa Da Ac Cb Bd  Euler tốn nhiều công sức không thành công đưa giả thuyết toán không tồn nghiệm (𝑛 = 6) Giả thuyết Tarri chứng minh năm 1901 cách duyệt toàn  Căn vào trường hợp 𝑛 = 2, 𝑛 = không tồn nghiệm, Euler giả thuyết toán không tồn nghiệm 𝑛 = 4𝑘 + Năm 1960 Bloce Parker lời giải 𝑛 = 10 tổng quát hóa cho trường hợp 𝑛 = 4𝑘 + (k>1) http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (1/2) Bài toán Hình lục giác thần bí (Clifford Adams): Trên 19 ô hình lục giác, điền số từ đến 19 cho tổng theo hướng hình lục giác (38)  http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (2/2) Bài toán Hình lục giác thần bí (Clifford Adams): Trên 19 ô hình lục giác, điền số từ đến 19 cho tổng theo hướng hình lục giác (38)  11 18 14 17 15 13 19 10 12 16 Sau 47 năm Adams tìm lời giải (1957), sau đánh thảo ông tốn thêm năm để khôi phục lại (1962) Đây lời giải nhất!!!   http://www.ptit.edu.vn Nội dung  Giới thiệu toán  Phương pháp phản chứng  Nguyên lý Dirichlet  Bài tập http://www.ptit.edu.vn Phương pháp phản chứng (1/2)  Tư tưởng: Giả thiết điều cần chứng minh sai, từ sử dụng lập luận dẫn tới mâu thuẫn  Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh tìm đoạn ghép thành tam giác http://www.ptit.edu.vn Phương pháp phản chứng (2/2)  Tư tưởng: Giả thiết điều cần chứng minh sai, từ sử dụng lập luận dẫn tới mâu thuẫn Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng có độ dài lớn 10 nhỏ 100 Chứng minh tìm đoạn ghép thành tam giác Gợi ý: Gọi độ dài đoạn thẳng 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎7 (sắp theo thứ tự tăng dần) Giả sử đoạn ghép thành tam giác  𝑎1 + 𝑎2 ≤ 𝑎3 , 𝑎2 + 𝑎3 ≤ 𝑎4 , 𝑎3 + 𝑎4 ≤ 𝑎5 , 𝑎4 + 𝑎5 ≤ 𝑎6 , 𝑎5 + 𝑎6 ≤ 𝑎7 10 Từ 𝑎1 , 𝑎2 > 10 dẫn tới 𝑎7 > 130 Mâu thuẫn với giả thiết 𝑎7 < 100 http://www.ptit.edu.vn Bài tập (PP phản chứng)  Bài tập 1: Các đỉnh thập giác đánh số số nguyên 0,1, … , cách tùy ý Chứng minh tìm ba đỉnh liên tiếp có tổng số lớn 13  Bài tập 2: Chứng minh nối 31 máy vi tính thành mạng cho máy nối với máy khác 11 http://www.ptit.edu.vn Nội dung  Giới thiệu toán  Phương pháp phản chứng  Nguyên lý Dirichlet  Bài tập 12 http://www.ptit.edu.vn Phát biểu nguyên lý Dirichlet  Nguyên lý Dirichlet (Nhốt thỏ vào lồng) o  Nguyên lý Dirichlet o  Không thể nhốt thỏ vào lồng cho lồng chứa không thỏ Nếu đem xếp nhiều 𝑛 đối tượng vào 𝑛 hộp, tìm hộp chứa không đối tượng Nguyên lý Dirichlet (tổng quát) o 13 Nếu đem xếp 𝑛 đối tượng vào 𝑘 hộp, tìm hộp chứa không 𝑛/𝑘 đối tượng http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (1/2)  Bài toán: Chứng minh nhóm 367 người tìm người có ngày sinh nhật giống 14 http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (2/2)  Bài toán: Chứng minh nhóm 367 người tìm người có ngày sinh nhật giống Giải: Số ngày năm 365 366 (năm nhuận) Vậy có tất 366 ngày sinh nhật khác Có 367 người 366 ngày sinh nhật khác nhau, theo nguyên lý Dirichlet tồn người ngày sinh nhật  15 http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (1/2)  Bài toán: Có loại học bổng khác Hỏi phải có sinh viên để chắn có người nhận loại học bổng (giả thiết tất sinh viên nhận học bổng!!!)? 16 http://www.ptit.edu.vn Ví dụ (2/2)  Bài toán: Có loại học bổng khác Hỏi phải có sinh viên để chắn có người nhận loại học bổng (giả thiết tất sinh viên nhận học bổng!!!)?  Giải: Gọi 𝑛 số sinh viên để đảm bảo có sinh viên nhận loại học bổng Như n số nguyên nhỏ thỏa mãn 𝑛 > 25 Vậy cần 𝑛 = 25 + = 26 sinh viên 17 𝑛 > 5, hay http://www.ptit.edu.vn Bài tập (Dirichlet)  Bài tập 1: Chứng minh phòng họp tìm hai người có số người quen số người dự họp  Bài tập 2: Trong mặt phẳng cho điểm nối với đôi cung màu xanh đỏ Chứng minh tìm điểm cho cạnh nối chúng có màu  Bài tập 3: Trong tháng gồm 30 ngày đội bóng chuyền thi đấu ngày trận, tháng chơi không 45 trận Chứng minh tìm giai đoạn gồm số ngày liên tục tháng cho giai đoạn đội chơi 14 trận 18 http://www.ptit.edu.vn Nội dung  Giới thiệu toán  Phương pháp phản chứng  Nguyên lý Dirichlet  Bài tập 19 http://www.ptit.edu.vn Bài tập (tổng hợp)      Bài tập 1: Chứng minh đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ phải số chẵn Bài tập 2: Một trung tâm máy tính có 151 máy vi tính đánh số số nguyên khoảng từ đến 300 Chứng minh có máy đánh số nguyên liên tiếp Bài tập 3: 17 nhà bác học viết thư trao đổi với chủ đề, cặp trao đổi với chủ đề Chứng minh tìm nhà bác học đôi viết thư trao đổi với chủ đề Bài tập 4: Chứng minh (𝑛 + 1) số nguyên dương, số không lớn 2𝑛, tìm số cho số chia hết cho số Bài tập 5: Một lớp gồm 45 học sinh nam 35 học sinh nữ xếp thành hàng ngang Chứng minh hàng tìm hai học sinh nam mà họ có người đứng xen vào 20 http://www.ptit.edu.vn Bài tập (tổng hợp)    Bài tập 6: Chứng minh số 10 người tìm người có tổng số tuổi chia hết cho 16, người có hiệu số tuổi chia hết cho 16 Bài tập 7: Trong không gian cho điểm tọa độ nguyên Chứng tồn điểm mà đoạn thẳng nối chúng qua điểm tọa độ nguyên khác Bài tập 8: Cần có thứ tự gồm số nguyên (a,b) cho chọn hai (c,d) (e,f) thoả mãn c-e d-f số tận chữ số 0? 21 http://www.ptit.edu.vn ... tính nghiệm toán  Bài toán liệt kê: Xem xét tất cấu hình tổ hợp thỏa mãn ràng buộc toán Phương pháp giải thường đưa thuật toán vét cạn (thuật toán sinh, thuật toán quay lui,…)  Bài toán tối ưu:...  Giới thiệu toán  Phương pháp phản chứng  Nguyên lý Dirichlet  Bài tập http://www.ptit.edu.vn Giới thiệu toán tồn  Bài toán đếm: Đếm tất cấu hình tổ hợp thỏa mãn ràng buộc toán Phương pháp... thỏa mãn yêu cầu toán, lựa chọn nghiệm có giá trị sử dụng tốt (tối ưu hàm mục tiêu)  Bài toán tồn Xét có hay không tồn cấu hình tổ hợp thỏa mãn tính chất cho trước Lời giải toán đơn cấu hình