Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HÀM SỐ HỢP: u  u( x) HÀM SỐ CƠ BẢN  0dx  C  0du  C 14  cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a  1.dx  x  C  1.du  u  C 15  sin(ax  b)dx   cos(ax  b)  C a  u.du  u  C 16  dx  ln ax  b  C ax  b a x 1  x dx   C (  1)  1  dx  ln x  C , x  x u 1  u du   C (  1)  1  du  ln u  C (u  0) u 17  eaxb dx  eaxb  C a  sin xdx   cos x  C  sin udu   cos u  C 19  sin kxdx   cos kx  C k  cos xdx  sin x  C  cos udu  sin u  C 20  cos kxdx  sin kx  C k  e x dx  e x  C  eu du  eu  C 21  ekx dx  ekx  C k  e x dx  e  x  C  eu du  eu  C 22  dx  ln kx  C kx k 23  x.dx  x C  dx    C x 11  dx  tan x  C cos x 12  dx   cot x  C sin x ax C 13  a x dx  ln a 10 x  10  12 du    C (u  0) u u  1 18  (ax  b) dx  (ax  b) a  1 11  12 du  tan u  C cos u 12  du   cot u  C s im u u 13  au du  a  C ln a b I Công thức tích phân: I   f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a) b a II Tích phân đổi biến: 1) Đặt: u  u( x)  ax  b 2) Đặt: u  u ( x )  ax  b  u  ax  b  2udu  adx Thích phân Trang C Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 3) Đặt: u  u( x )  n ax  b  un  ax  b  nun1du  adx 4) Đặt: u  u( x )  f ( x)  u2  f ( x)  2udu  f ' ( x)dx 5) Đặt: u n f ( x)  u  f ( x) n  nu n 1du  f ' ( x )dx 6) I   sin n x.cos xdx Đặt: u  sin x  du  cos xdx 7) I   cosn x.sin xdx Đặt : u  cos x  du   sin xdx 8) kk b b III Công thức tích phân phần: I   udv  (uv) a   vdu b a IV Các dạng hay gặp tích phân phần: b a) I   f ( x).sin xdx a Đặt: du  f ' ( x)dx u  f ( x)   dv  sin xdx  v   cos x b b) I   f ( x).cos xdx a du  f ' ( x)dx u  f ( x)  Đặt:  dv  cos xdx v  sin x b x c) I   f ( x).e dx a Thích phân Trang a Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn du  f ' ( x)dx u  f ( x)  Đặt:  x x dv  e dx v  e b d) I   f ( x).a x dx a du  f ' ( x)dx u  f ( x)   Đặt:  ax x dv  a dx v  ln a  b  e) I  f ( x).ln x dx a  du  dx  u  ln x   x Đặt: dv  f ( x)dx     v  f ( x)dx   CÁC BÀI TOÁN TÍCH PHÂN …………………   I   x(1  cos x)dx (Đề TN THPT: 2009) 111) I   sin xdx  I   (2 x  xe x )dx 112) I   esin x sin xdx  (đổi biến đặt: u  sin2 x )  I   x (1  x ) dx ( đổi biến u   x ) etan x dx cos2 x ( đổi biến u  tan x ) x 114) I   dx (đổi biến)  x  1 113) I   1 I   (1  e x ) xdx (từng phần)   I   sin x cos xdx 115) I =  (cos x  1) cos xdx ĐHKA-2009 I  2x x2  1 116) I   dx đổi biến u  x  ; Trang   x dx (đổi biến) 2x  Đặt: u  x  Thích phân KQ: Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn KQ:( 2(  2)  e ln x dx ( đặt: u  ln x  du  dx ) x x I  dx cos x 117) I   KQ:  118) I   ( x  3) ( x  x  8dx I   cos2 x.sin xdx 0 Đặt: u  x  x  Đặt: u  cos x  du   sin xdx KQ:  119) I   x3 ( x  1)5 dx (đổi biến) I   (2sin x  3) cos xdx 0 Đặt: u  sin x  du  cos xdx Đặt: u  x4  KQ:  10 x7 dx (đổi biến)  x  x 120) I   sin x dx (đặt: u   cos2 x )  cos x KQ: ln I  11 I   (2 x  1)e dx (từng phần) KQ: e+1 121 I   x dx (đổi biến) x  1 Đặt: u  x  12    2 0 e I   ( x  sin x ) cos xdx   x cos xdx   sin x cos xdx KQ:   122 I   x ln xdx  13 I   (e  2)dx x KQ: e+1 123 I   (tan x  cot x)2 dx 0  14 e ln x dx ( x  1) 124 I   I   x cos xdx (từng phần) KQ:  15 I sin 2x  sin x  cos x KQ: dx HD: 34 27 e sin x  sin x  (2cos x  1)sin x đặt: u   3cos x  16 sin 2x cos x I dx (HD: sin x  2sin x cos x )  cos x Thích phân Trang KQ: 2ln2 1 Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn  17  KQ: e   I   e sin x  cos x cos xdx  1 18 I3 x2 x 1 dx đổi biến u  x  KQ:  19 141 10 KQ: ln  I   sin x tan xdx  20 KQ: ln  e  I    tan x  esin x cos x  dx KQ: e  9 KQ: 8 e 21 I   x ln xdx 1 22 I   x x  3dx (đổi biến u  x  ) 23 I x3 3 x 1  x  1 24 KQ: 6ln3  dx (đổi biến u  x  ) I   x  x dx (đổi biến u   x ) KQ: 3  25 3.e  KQ: 34 I   e 3x sin 5xdx 26 I 105  x  1.x dx (đổi biến u  x  ) KQ: 848 105 KQ: ln 2 KQ: 3 18  27  sin x I dx (HD:  2sin x  cos2 x )  sin 2x 28 I dx 1 x  2x  2 HD: x  x    x  1  , đặt x   tan t e 29 ln x dx x KQ:  I HD: tích phân phần 30 I3 x 1 3x  KQ: dx (đổi biến u  3x  )  ln x 1 x  12 dx - ĐHKB-2009 31 I= Thích phân KQ: Trang e 46 15 27 (3  ln ) 16 Gia sư Thành Được   32 www.daythem.com.vn I  x sin xdx J  sin x cos x sin xdx sin x  cos x.cos x I   x ln xdx 2 34 I  J e2  KQ: e 33 KQ: I  ln KQ: x sin x dx 2 4 x  2x  4x  dx x  KQ:  xdx đổi biến u  x  x  1 KQ: KQ:  35 I 36 I 37 I e x dx  ln x  38 KQ: sin x I dx  cos x  39 sin 2x I cos2 x  4sin x KQ: dx dx (đổi biến u  x  ) 2x   4x  40 I 41 I    x   e2x dx (từng phần) KQ: ln  3e2 KQ:  1 KQ:  ln 4  I   ( x  1)sin xdx (từng phần)  12 KQ: 42  43 I    x   ln x dx (từng phần) 44 I ln5 dx x x ln3 ex  2ex  (đổi biến u  e  du  e dx ) 10 45 I 46 I e  dx x  x 1 (đổi biến u  KQ: 2ln2  x 1 )  ln x dx x  ln x KQ: (đổi biến u   2ln x  u2   2ln x ) Thích phân KQ: ln Trang 10 11 2 3   Gia sư Thành Được 47  KQ: ln  I   x ln  x2 dx (từng phần) 48  www.daythem.com.vn I ln 1  x  x2 KQ: 3ln  dx (từng phần) 49 KQ: 51 x dx (đổi biến u   x ) 1 x I   KQ: ln sin x  cos x I dx  sin 2x  52   I   x ln x2  dx KQ: 14 ln14  5ln  9 KQ: 32  53 cos 2x I  sin x  cos x  3 dx  54 KQ: I    x  1 cos x dx  55 cos2x I dx đặt: u   2sin x  2sin 2x 56 I ln2  e2x ex  ln 2 1 ln KQ: I   x x2  1dx (đổi biến u  x  ) 50 KQ:  1 ln KQ:  dx đổi biến u  e x  57  58 I x dx cos2 x KQ: 59 60 e  x3   I    ln x dx x  1 I   x2  x3 dx đặt : u   x  u   x  62  ln 2 468 KQ: 2e3 11  18 KQ: 3 2  12     1 2  KQ:  I   2x  1 cos2 xdx Thích phân KQ:  I   x  x dx đặt : u   x  x   u3 61  Trang  Gia sư Thành Được  63 I  x e 2x www.daythem.com.vn   x  dx KQ: 64   KQ: ln  I   x ln  x2 dx 32  10 ln 3 KQ:  KQ: ln KQ: 24ln3 14 x x 1 dx Đặt: u  x   u2  x  x5 I  66 68   I   x  cos3 x sin x dx 67 cos x I dx đặt: u   2sin x  2sin x J    2x  7 ln  x  1 dx 69 70 KQ: 18ln2  7ln3  KQ:  4x  dx x  3x  I sin 3x  sin3 3x I dx  cos3x 72 73 3 3  22  I    cos4 x  sin x  dx KQ:  cos2x I dx  2sin 2x KQ: ln KQ: ln x  ln x dx đặt : u   ln x x I Đặt u   2sin x  74 1  ln KQ: e 71 I   sin x sin 2xdx  75 I 76 x  x  3 KQ : ln dx Đặt: u  x   KQ: I   x cos xdx e 77 KQ: 65 e2  14 dx x  ln x I  Thích phân KQ:  Trang 2  4  2  Gia sư Thành Được 78 www.daythem.com.vn  KQ: ln sin x  cos x I dx  sin 2x   79 KQ: I   sin 2x 1  sin x  dx đặt: u   sin x 15 e KQ:  e ln x dx x 80 I 81 I 1 dx Đặt : x  2x  KQ: x   tan u  dx  (1  tan2 u)du 82 83 84 85 I I 2x  1  2x   I x2 x1 e   x ln x  dx đặt : u  x   u2  x  dx đặt: u  x   u3  x  dx KQ:  ln2 KQ: 231 10 KQ: 5e3  27 KQ: 3 2   384 32    x sin x  dx    86 KQ: 3  x x  1dx đặt: u  x  1 87   2x  x e  x  dx 1 ln x dx x3 88  89 I  90  du  dx u  ln x    x  đặt :  dv  x dx v    x2 x dx x 1 2 31 e  60 KQ:  ln 16  (CĐ: 2012) đặt u  x  125 ĐS: 2x 1 I  dx (CĐ: 2010) x 1 I=  sin x dx 126 I= 2  x  x dx 1 2x 1  2 Phân tích: x 1 x 1 Thích phân KQ: Trang Gia sư Thành Được www.daythem.com.vn 91 I   (e2 x  x)e x dx (CĐ: 2009) 127 I= 1 e 92 2  x  x dx I   (2 x  ) ln xdx x (D: 2010) 128 e2x I =  x dx e   93 x sin x  ( x  1) cos x I  dx x sin x  cos x 94 I  4x 1 dx 2x 1  (A: 2011)   x sin x dx cos x Từng phần  I  cos x dx  5sin x  sin x (B: 2011) 131 I =   96 I   x(1  sin x)dx 98 99 Từng phần x3 I  dx x  3x  1  ln( x  1) dx x2 Từng phần (B : 2012) (A, A1 : 2012) 134 135 I =  ln e I  101 136 e I  x  3x  I = dx x  (e x  1)2 e x dx (Đề TN THPT: 2012) ĐS: x4 dx x2 x2 (Đề TN GDTX: 2012) ĐS: 100 dx x 9x dx I = x   x 2 I   ( x  2)2 xdx  133 I = I   x  2x  x  dx 132 I = (D: 2012) 97  x dx 130 I =  (D: 2011) Đổi biến u  x  95 x dx 2x  2x 129 I =  Lấy tử chia mẫu  5ln x dx (Đề TN THPT: 2011) x 137 I =  x  x dx Đổi biến: u   5ln x ĐS: Thích phân 15 Đặt : u  x  Trang 10 ĐS: (1  2) 30 Gia sư Thành Được 102 www.daythem.com.vn 1 x dx  x I   x ( x  1) dx (Đề TN THPT: 2010) 138 I =  30 ĐS: 103 ĐS:  I   (2 x  3) cos xdx (Đề TN GDTX: 2011) 139 104 1 x  x3 dx I = x I   (3x  x  1)dx 141 I   (5 x  2)3 dx (Đề TN GDTX: 2009) 142 I = 107 x (1  x )6 dx 140 I =  106 x4 I= dx x  1 I   3x  1dx (Đề TN THPT: 2008) 105 ln ln ex (e  1) e   x I   (6 x  x  1)dx 143 I = e x x dx dx 1 ĐHKD-2009 KQ: ln(e2+e+1) – 108 x  e x  x 2e x 0  2e x dx I   (4 x  1)e x dx 144: I = ĐHKA-2010 KQ: 109  e 145: I = I   (1  x ) cos xdx (THPT: 2013) 146: (GDTX: 2013) 112 I   x  x dx (B: 2013) Đổi biến: u   x 113 114 ( x  1)2 I  dx x 1 (D: 2013)  x2   I     ln xdx x  1 (A, A1: 2013) Thích phân ĐHKB-2010 KQ:   ln I   ( x  x  1)dx ln xdx  x(2  ln x) 110 1   2e   ln     Trang 11 Gia sư Thành Được 115 I  116 2x  dx x ( x  1) www.daythem.com.vn (CD: 2011) dx 1  2x 1 I  Thích phân (CD: 2013) Trang 12 ... x2 Từng phần (B : 2 012) (A, A1 : 2 012) 134 135 I =  ln e I  101 136 e I  x  3x  I = dx x  (e x  1)2 e x dx (Đề TN THPT: 2 012) ĐS: x4 dx x2 x2 (Đề TN GDTX: 2 012) ĐS: 100 dx x 9x... xdx   x cos xdx   sin x cos xdx KQ:   122 I   x ln xdx  13 I   (e  2)dx x KQ: e+1 123 I   (tan x  cot x)2 dx 0  14 e ln x dx ( x  1) 124 I   I   x cos xdx (từng phần) KQ: ... x dx v    x2 x dx x 1 2 31 e  60 KQ:  ln 16  (CĐ: 2 012) đặt u  x  125 ĐS: 2x 1 I  dx (CĐ: 2010) x 1 I=  sin x dx 126 I= 2  x  x dx 1 2x 1  2 Phân tích: x 1 x 1 Thích phân