Trương Trọng Khánh_THPT Chuyên Sư Phạm SĐT: 0989.245.256 Góc tiếp tuyến dây cung Dạng 1: Sử dụng tính chất góc tiếp tuyến dây cung để giải số toán Dạng 1.1: Sử dụng số đo góc để chứng minh 1.Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O) Vẽ đường tròn (O’) tiếp xúc với (O) A tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Cmr: a) EF song song với BC · b) AD phân giác góc BAC Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc với A (R > R’) Qua A kẻ đường thẳng d1 cố định cắt (O’), (O) B, C tương ứng (khác A) Một đường thẳng d thay đổi cắt (O’), (O) D, E tương ứng (khác A) ( d ≠ d1 ) a) Cmr: BD//CE AD AC + b) Biết AB = 2, AC = Tìm GTNN biểu thức AC AE Cho đường tròn (O) dây cung MN Trên tiếp tuyến với (O) M, ta lấy điểm T cho MT = MN Tia TN cắt (O) điểm thứ hai S CMR: a) SM = ST b) TM = TN TS Từ điểm A đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến AB tới (O) (B tiếp điểm) cát tuyến · ADC không qua O (D nằm A C) Phân giác DBC cắt DC E Cmr: AB = AE Cho hình vuông ABCD Vẽ cung tròn AC thuộc đường tròn tâm D bán kính DA lấy điểm P Gọi K giao điểm DP với nửa đường tròn đường kính AD (nằm hình vuông), gọi I hình chiếu vuông góc P lên AB Cmr: PK = PI Cho đường tròn (O; R) hai đường kính AB, CD vuông góc với Trên tia đối tia CO lấy điểm S Đường thẳng SA cắt đường tròn điểm thứ hai M Tiếp tuyến với (O;R) M cắt CD P, BM cắt CD T a) Cmr: PT MA = MT OA, PS = PM = PT b) Biết PM = R Hãy tính TA.SM theo R Cho hai đường tròn (O) (O') Đường thẳng OO' cắt (O) (O') tương ứng theo thứ tự A, B, C, D Kẻ tiếp tuyến chung EFcủa hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O')) Gọi M, N giao điểm cặp đường thẳng AE,DF EB,FC tương ứng CMR: a) MENF hình chữ nhật b) MN vuông góc với AD c) ME.MA = MF MD Từ điểm C đường tròn (O) ta kẻ hai tiếp tuyến CA, CB tới (O) ( A, B tiếp điểm) Vẽ đường tròn (O’) qua C tiếp xúc với AB B (O’) cắt (O) điểm M (khác B) Cmr: AM qua trung điểm BC (HD: Kéo dài AM cắt (O’) D, ta có ABDC hình bình hành) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B tiếp tuyến chung tiếp xúc với (O), (O’) C, D tương ứng Đường thẳng AB cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD E ( khác B) Cmr: ACED hình bình hành 10 Cho hai đường tròn (O) (O’) tiếp xúc với A Một tiếp tuyến (O) B cắt (O’) hai điểm phân biệt C, D (C nằm B D) Các tia CA, DA cắt (O) tai E, F tương ứng a) Cmr: EF//CD · b) Gọi M điểm cung CD không chứa A Tính số đo BAM 11 Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định không đường kính Xét điểm C di chuyển cung lớn AB (C khác A, B) Gọi M, N hình chiếu vuông góc C lên hai tiếp tuyến với (O) A, B tương ứng, H hình chiếu vuông góc C lên AB a) Cmr: CM CN = CH Trương Trọng Khánh_THPT Chuyên Sư Phạm SĐT: 0989.245.256 b) Tìm điều kiện để CM + CN = 2.CH 12 Cho đường tròn (O) dây cung AB cố định không đường kính Xét điểm C di chuyển cung nhỏ AB (C khác A, B) Gọi M, N hình chiếu vuông góc C lên hai tiếp tuyến với (O) A, B tương ứng, H hình chiếu vuông góc C lên AB Tìm vị trí C để biểu thức CM CN CH nhỏ 13 Cho tam giác ABC vuông A có đường tròn ngoại tiếp (O) bán kính 10 Phân giác góc B cắt AC tiếp tuyến C (O) D, E tương ứng Biết BD = a) Cmr: tam giác CDE cân C b) Tính độ dài BE 14* Cho đường tròn (O) hai đường tròn nhỏ (O1 ), (O2 ) nằm (O) tiếp xúc với (O) M, N tương ứng, (O1 ), (O2 ) cắt tai hai điểm A, B O2 ∈ (O1 ) Hai tia MA, MB cắt lại (O1 ) tương ứng C, D Cmr: CD tiếp xúc với (O2 ) (HD: Một tiếp tuyến chung (O1 ), (O2 ) · qua C tiếp xúc với (O2 ) X Cm: AB / / CD; ·XCO = DCO dựa vào 1) 2 15* Dạng 1.2: Sử dụng tính chất: MT = MA.MB Bài toán bản: Cho đường tròn (O: R) điểm M (O) Từ M kẻ tiếp tuyến MT cát tuyến MAB tới (O) Khi MT = MA.MB = MO − R Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O) Tiếp tuyến với (O) A cắt BC D Cmr: DB AB AB DB AB DB DB (HD: ∆DAB ~ ∆DCA ⇒ ) = = ⇒ = = DC AC AC DA AC DA2 DB.DC Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B tiếp tuyến chung tiếp xúc với (O), (O’) C, D tương ứng Gọi M giao điểm đường thẳng AB đường thẳng CD Cmr: M trung điểm CD Cho góc xAy đường tròn (O) tiếp xúc với hai tia Ax, Ay B, C tương ứng Từ C kẻ đường thẳng (d) song song với Ax cắt (O) điểm thứ hai D; AD cắt (O) điểm thứ hai M, CM cắt AB N CMR: a) ∆ANC : ∆MNA b) AN=BN Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B Từ điểm M thay đổi (O) (M MC (O’)) kẻ tiếp tuyến MC tới (O’) (C thuộc (O’)) Cmr: không đổi MA.MB Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B tiếp tuyến chung tiếp xúc với (O), (O’) C, D tương ứng (B gần đường thẳng CD A) Từ A kẻ đường thẳng song song với CD cắt (O), (O’) điểm thứ hai M, N tương ứng, hai đường thẳng MC, ND cắt E Hai đường thẳng BC, BD cắt MN P, Q tương ứng Cmr: a) A E đối xứng qua CD b) Tam giác EPQ cân E (HD: Sử dụng kết bổ đề hình thang) Cho hai đường tròn (O) (O’) nằm tiếp tuyến chung tiếp xúc với (O) (O’) A, B tương ứng Gọi C điểm đối xứng B qua OO’ đường thẳng AC cắt (O) (O’) điểm thứ hai D, E tương ứng Cmr: AD = CE (HD: Kẻ tiếp tuyến chung CF) Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B Tiếp tuyến với (O’) B cắt (O) điểm thứ hai C Gọi I trung điểm BC, đường thẳng AI cắt đường tròn (O), (O’) điểm thứ hai tương ứng D, E Cmr: BDCE hình bình hành Trương Trọng Khánh_THPT Chuyên Sư Phạm SĐT: 0989.245.256 Cho tam giác ABC nhọn (O) đường tròn đường kính BC Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN tới (O) (M, N thuộc (O)) Gọi D hình chiếu vuông góc A lên BC, E giao điểm MN AD a) Cmr: E trực tâm tam giác ABC (HD: Gọi F giao điểm thứ hai AB (O) Cm: EF ⊥ MB ) · b) Cmr: DA phân giác góc MDN Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Một đường tròn (O) thay đổi qua B, C Từ A kẻ hai tiếp tuyến AD, AE với (O) (D, E thuộc (O)) a) Cmr: D chạy đường tròn cố định b) Cmr: đường thẳng DE qua điểm cố định c) Gọi MN đường kính (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) điểm thứ hai K Cmr: AB, DE, KN đồng quy Dạng 2: Sử dụng tính chất góc tiếp tuyến dây cung để chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn Bài toán 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Kẻ tia Ax khác phía với AB · đường thẳng AC CMR: xAC = ·ABC Ax tiếp xúc với (O) Bài toán 2: Cho tam giác ABC có đường tròn ngoại tiếp (O) Trên tia đối tia CB lấy điểm D CMR: AD tiếp xúc với (O) DA2 = DB.DC Bài tập áp dụng Cho tam giác ABC cân A Đường trung trực AB cắt tia đối tia CB D CMR: AB tiếp xúc với (ACD) Cho hình thang ABCD với hai đáy AB,CD CMR: BC tiếp xúc với đường tròn (ABD) BD = AB.CD Cho tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo cắt O CMR: Đường tròn ngoại tiếp tam giác OCD tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB AB PCD Cho hình bình hành ABCD, µA ≤ 900 Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD cắt AC E CMR: BD tiếp xúc với đường tròn (AEB) Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O) ta kẻ hai cát tuyến MAB, MCD (theo thứ tự đó); kẻ dây CE song song với AB · · a) CMR: ECA = CDB b) CMR: AD.MB= MD.AE c) CMR: EA tiếp xúc với đường tròn (MAD) d) Cho AB= EC CMR: gọi I giao điểm EC BD hai đường tròn (MAD)và (IED) tiếp xúc D Cho tam giác ABC có phân giác AD Xét đường tròn (O) qua A tiếp xúc với BC D Giả sử (O) cắt cạnh AB, AC E, F (E, F không trùng với A) CMR: a) EF // BC b) BD = BA.BE; AD = AC AE = AB AF c) DF tiếp xúc với (ABD) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AH Gọi M, N tương ứng trung điểm AB, AC a) MN tiếp xúc với hai đường tròn (HBM) (HCN) b) CMR: Các đường tròn (HBM), (HCN), (AMN) qua điểm K c) Đường thẳng HK qua trung điểm MN Trương Trọng Khánh_THPT Chuyên Sư Phạm SĐT: 0989.245.256 Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC điểm A nửa đường tròn (A khác B, C) Gọi H hình chiếu A lên BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A, dựng hai nửa đường tròn đường kính HB, HC, chúng cắt AB, AC E, F (E khác B, F khác C) a) CMR: AE.AB=AF.AC b) CMR: EF tiếp tuyến chung hai nửa đường tròn đường kính HB, HC c) Gọi I, K tương ứng điểm đối xứng với H qua AB, AC CMR: I, A, K thẳng hàng AK tiếp xúc với (O) d) Gọi M giao điểm đường thẳng IK tiếp tuyến (O) B CMR: MC, AH, EF đồng quy Cho đường tròn (O) hai điểm A, B cố định cho AB không đường kính Gọi M điểm cung nhỏ AB Trên đoạn AB lấy hai điểm phân biệt C, D cho C A, D C, D khác A, B Các tia MC, MD cắt (O) E, F tương ứng(E, F khác M) CMR a) CEFD tứ giác nội tiếp b) MA tiếp xúc với đường tròn (ACE) c) Nếu gọi O1 , O2 tâm đườn tròn (ACE), (BDF) C, D thay đổi, thỏa mãn điều kiện cho, hai đường thẳng AO1 , BO2 cắt điểm cố định 10 Cho tam giác ABC vuông cân A có đường tròn ngoại tiếp (O) Xét điểm M thay đổi cung nhỏ AC (M khác A, C) Gọi D giao điểm hai đường thẳng AM BC a) CMR: AM.AD không đổi b) Giả sử 2.AM = BC Tính số đo góc ·ADB, ·AMB c) Tìm M để (2.AM + AD) nhỏ d) CMR: Đường tròn (MCD) tiếp xúc với đường thẳng cố định e) CMR: Tâm I đường tròn (MCD) chạy đường thẳng cố định 11 Cho tam giác ABC cân A Gọi (I) đường tròn tiếp xúc với AB B tiếp xúc với AC C Gọi D trung điểm AB Tia CD cắt (I) E (ABE) K (K khác E) CMR a) AK//BC, BK//AC b) BC tiếp xúc với (ABE) 12 Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt A B Kẻ tiếp tuyến chung CC’(C thuộc (O), C’ thuộc (O’), A gần CC’ B ) kẻ đường kính CD (O) Gọi E, F theo thứ tự giao điểm OO’ với C’D CC’ · a) CMR: EAF = 900 b) CMR: FA tiếp xúc với đường tròn (CAC’) 13 Cho hai đường tròn (O) (O') cắt hai điểm phân biệt A B Kẻ tiếp tuyến chung EF hai đường tròn (E thuộc (O), F thuộc (O') E,A,F nằm phía đường thẳng OO') cắt OO' I CMR: AI tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ... tròn (O) dây cung AB cố định không đường kính Xét điểm C di chuyển cung nhỏ AB (C khác A, B) Gọi M, N hình chiếu vuông góc C lên hai tiếp tuyến với (O) A, B tương ứng, H hình chiếu vuông góc C lên... đường kính (O) vuông góc với BC, đường thẳng AM cắt (O) điểm thứ hai K Cmr: AB, DE, KN đồng quy Dạng 2: Sử dụng tính chất góc tiếp tuyến dây cung để chứng minh đường thẳng tiếp xúc với đường tròn... ngoại tiếp (O) Tiếp tuyến với (O) A cắt BC D Cmr: DB AB AB DB AB DB DB (HD: ∆DAB ~ ∆DCA ⇒ ) = = ⇒ = = DC AC AC DA AC DA2 DB.DC Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A, B tiếp tuyến chung tiếp