Chương I: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài 1.1: a) Gọi A biến cố “xuất mặt sáu chấm gieo xúc xắc” Số kết cục đồng khả n = Số kết cục thuận lợi cho biến cố A m =1 Vậy: P(A)= = b) Gọi B biến cố “mặt có số chẵn chấm xuất hiện” Số kết cục thuận lợi cho B n = Vậy: P(B) = = = 0.5 Bài 1.2: a) Gọi A biến cố “lấy bìa có xuất chữ số 5” biến cố khơng xuất chữ số Vì số kết cục đồng khả 100, số kết cục thuận lợi cho A 19, nên số kết cục thuận lợi cho 81 Vậy P ( ) = 0.81 b) từ đến 100 có 50 số chẵn nên có 50 số chia hết cho Có 20 số chia hết cho 5, 10 số vừa chia hết cho vừa chia hết cho Do số kết cục thuận lợi cho biến cố lấy lên bìa có số chia hết cho 2, chia hết cho 5, chia hết cho 50 +20-10 = 60 Vậy P(A)= =0.6 Bài 1.3: a) A = “quả cầu thứ trắng” Số kết cục đồng khả tất phương pháp để lấy cầu khỏi (a+b) cầu Vậy n = a+b Số kết cục thuận lợi lấy cầu thứ màu trắng a Vậy xác suất P(A) = b) Nếu thứ trắng chọn thứ cịn a+b-1 kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi để thứ màu trắng a-1 Vậy xác suất P(B) = c) tương tự câu b), thứ hai trắng nên số kết cục đồng khả chọn thứ a+b-1 số kết thuận lợi a-1 Vậy P(C) = Bài 1.4 a) Số kết đồng khả thực hoán vị a + b cầu nên m = (a+b)! cầu thứ trắng số kết thuận lợi cho biến cố chỉnh hợp chập a+b-1 phần tử a+b phần tử Vậy xác suất P(A) = b) gọi B biến cố cầu cuối trắng Khi tương tự câu a), ta có xác suất P(B) = Bài 1.5 Sấp (S) Ngửa (N) Sấp (S) SS NS Ngửa (N) SN NN a) Dựa vào bảng trên, thấy số kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi cho biến cố A = “Hai mặt sấp xuất hiện” Vậy P (A) = = 0,25 b) Số kết cục thuận lợi cho biến cố B = “Một sấp ngửa” Vậy xác suất P(B) = = 0,5 c) Số kết cục thuận lợi cho biến cố C = “Có mặt sấp” Vậy P(C) = 0,75 Bài 1.6 Gieo đồng thời xúc xắc số kết cục đồng khả 6.6=36 a) có kết cục thuận lợi cho biến cố A=”hai mặt có tổng số chấm 7” cặp 1&6, 2&5, 3&4, 4&3, 5&2, 6&1 nên P(A) = = b) B = “hai mặt có tổng số chấm nhỏ 8” Bi =”hai mặt có số chấm nhỏi i”, với i=2,3,…7 (nhỏ 2) B2 có kết cục thuận lợi B3 có kết cục thuận lợi B4 có kết cục thuận lợi B5 có kết cục thuận lợi B6 có kết cục thuận lợi B7 có kết cục thuận lợi Vậy số kết cục thuận lợi biến cố B 21 Nên P(B) = = c) D = “ hai mặt có mặt chấm” số kết cục thuận lợi cho D 11 Vậy P(D) = Bài 1.7 Số cách trả mũ xảy A =6 d) Để người trả mũ có kết cục thuận lợi nên P(D)= c) Khơng thể có khả có người trả mũ, chắn người thứ mũ, nên P( C) = b) số kết cục thuận lợi để có người trả mũ Vậy P(B) = = 0,5 a) xác suất để người bị trả sai mũ là: P(A) = - - 0,5 = Bài 1.8 Ta có biểu đồ tập hợp sau: a) Số học sinh học ngoại ngữ 50% + 10% + 15% + 5% = 80% Vậy xác suất biến cố P(A) = 0,8 b) Số học sinh học tiếng Anh tiếng Đức 10% Vậy P(B) = 0,1 c) Số học sinh học tiếng Pháp 15% Vậy xác suất P( C) = 0,15 Bài 1.9 Số kết cục đồng khả chỉnh hợp chập 10 số tự nhiên, nên m = A = 720 Chỉ có kết cục thuận lợi cho việc gọi điện số điện thoại, xác suất P= Bài 1.10 Số kết cục đồng khả thực phép thử lấy ngẫu nhiên sản phẩm tổ hợp chập 15 phần tử, n = C = 455 a) A = “ chi tiết lấy đạt tiêu chuẩn” số kết cục thuận lợi cho A C =120 P(A) = = 0,264 b) B = “chỉ có chi tiết đạt tiêu chuẩn” số kết cục thuận lợi cho B C = 225 P (B) = = 0,495 Bài 1.11: Số kết đồng khả năng: P(6) = 6! A= “Xếp chữ NGHÊNH” Chữ N có cách chọn Chữ H có cách chọn Chữ G, Ê, N chữ có cách chọn Số kết đồng khả xảy A là: m = 2.2.1.1.1 = P(A) = = Bài 1.12 a) Mỗi khách có khả để tầng cịn lại tịa nhà Do số kết cục đồng khả n = 63 =216 A = “Tất tầng 4”, m=1 P(A) = b) B= “Tất tầng” Tất có khả để tầng cịn lại tịa nhà Do đó: P(B) = 6P(A) = = c) C = “Mỗi người tầng khác nhau” P(C) = = Bài 1.13 Số khả xảy ra: P(12) =12! A = “Các tập xếp thứ tự từ phải sang trái hặc từ trái sang phải” nên m = P(A) = Bài 1.14 Số khả xảy ra: a) A= “Lấy quân át” m= =4 = 22100 P(A) = = b) B= “Lấy quân át” P(B) = = = Bài 1.15 Chia ngẫu nhiên lô hàng thành phần tức lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ 10 sản phẩm Do số khả xảy là: n = = 252 Mỗi phần có số phẩm tức phần có phẩm, phế phẩm Do đó, m = = 120 A = “Mỗi phần có số phẩm nhau” P(A) = = Bài 1.16 Mỗi vị trí nhận giá trị từ đến 10 Số khả xảy là: n = 105 a) A= “Có chữ số khác nhau” P(A) = = 0.3024 b) B= “Có chữ số lẻ” vị trí nhận giá trị 1, 3, 5, ,9 Do đó: m= 55 P(B) = =0.03125 Bài 1.17 Số khả xảy ra: P(5) = 120 a) A= “C ngồi giữa” m=1.P(4) = 24 P(A) = = 0.2 b) B= “A B ngồi đầu ghế” P(B) = = 0.1 Bài 1.18 Số khả xảy ra: A= “Lấy có số hiệu nhỏ k có số hiệu lớn k” m= P(A) = = 1.19 Số kết đòng khả là:n= 6n A = “Tổng số chấm n+1” Số kết thuận lợi cho A m=n P(A) = Bài 1.20 f= 0,85 n=200 → k = f.n = 0,85 200 =170 Bài 1.21 Gọi A biến cố “ Sinh trai” Theo ta được, xác suất sinh trai : P ( A)  45600 0,517 88200 Bài 1.23 Gọi A biến cố sản phẩm chọn phẩm Gọi A1 A2 biến cố sản phẩm bị phẩm phế phẩm Vậy u cầu tốn tính xác suất có điều kiện P(A1/A) Ta có A1, A2 hệ đầy đủ xung khắc với đôi Ta có: a a b b P ( A2)  a b P ( A1)  Theo công thức Bayes ta có: [P( A1).P ( A / A1)] P ( A1/ A)  P ( A) a Với P( A / A1)  a b  a P ( A / A2)  a b  P(A)= P(A1).P(A/A1) + P(A2).P(A/A2) a (a  1) a.b = (a  b)(a  b  1)  (a  b)(a  b  1) Vậy: P(A1/A)= (a-1)(a+b-1) Bài 1.24 Theo bảng số liệu ta có, tổng số nhân viên công ty : 120 + 170 + 260 + 420 + 400 + 230 = 1600 ( nhân viên) Khi lấy ngẫu nhiên người cơng ty a Xác suất để nhân viên từ 40 tuổi trở xuống : 120  170  260  420 0, 61 1600 b Xác suất để nam nhân viên 40 : 400 0, 25 1600 c Xác suất để nữ nhân viên từ 40 tuổi trở xuống : 170  420 0,37 1600 Bài 1.25 Gọi A biến cố ‘ bóng điện lấy hộp có bóng hỏng tốt ’’ Số kết hợp đồng khả xảy số tổ hợp chập từ 12 phần tử Như ta có : n C123 220 Số kết cục thuận lợi cho A xảy số tổ hợp chập ( bóng điện tốt) từ 8( hộp có bóng điện bị hỏng) Vậy m= C83 56 Do xác suất để hộp bóng đèn chấp nhận có bóng bị hỏng : P ( A)  56 0, 254 220 Bài 1.26 Ta có n=8 kết cục khả GGG, GGT, GTG, TTT, TGG, TGT, TTG a Gọi A biến cố ‘’ Gia đình có hai gái’’ Có kết thuận lợi cho A nên ta có : P ( A)  b Gọi B biến cố ‘’ Gia đình có gái ‘’ Số kết thuận lợi cho B nên ta có : P ( B)   c Gọi C biến cố ‘’ Gia đình có hai gái biết đứa đầu lịng gái’’ Số kết thuận lợi cho C nên ta có : P (C )  d Gọi D biến cố ‘’ Gia đình có đứa gái biết gia đình có đứa gái’’ Nếu gia đình có đứa gái số kết cục đồng khả Số kết cục thuận lợi cho D nên ta có : P ( D)  Bài 1.27 Gọi A biến cố ‘’ Cả người có ngày sinh nhật trùng nhau’’ Số kết cục đồng khả tổ hợp chập 30 nên ta có : n C303 4060 Số kết cục có lợi cho biến cố A 30( tháng có 30 ngày) nên ta có P ( A)  30 0, 008 4060 Gọi B biến cố ‘’ Cả người có ngày sinh nhật khác nhau’’ Do A B biến cố đối nên ta có P(B) = – P(A) = 0.992 Bài 1.28 Phân tích từ liệu đề ta có : sản phẩm bị vỡ nắp sản phẩm bị vỡ vòi sản phẩm bị mẻ miệng sản phẩm vừa bị mẻ miệng vừa bị vỡ nắp sản phẩm vừa bị sứt vòi vừa mẻ miệng sản phẩm vừa bị sứt vòi vừa bị vỡ nắp sản phẩm có tất khuyết điểm a Gọi A biến cố ‘’ sản phẩm có khuyết tật’’ Số sản phẩm bị khuyết tật : 7+4+1+5+3+7+1=28 Vậy : 28 P ( A)  0, 28 100 b Gọi B biến cố ‘’ sản phẩm bị sứt vòi’’ Số sản phẩm bị sứt vòi Như : P ( B)  0, 04 100 c Gọi C biến cố ‘’ sản phẩm bị sứt vịi biết vỡ nắp’’ Gọi D biến cố ‘’ sản phẩm vừa bị sứt vịi vừa bị vỡ nắp’’ Gọi E biến cố ‘’ sản phẩm bị khuyết tật’’ Như C=D+E Do D E độc lập với nên ta có : P(C)= P(D) + P( E) Với P(D)=0,07 P(E)= 0,01 nên ta P(C)= 0,08 Bài 1.29 Gọi A biến cố ‘’ Khơng có ngày có q vụ tai nạn lao động’’ Số kết cục đồng khả số chỉnh hợp lặp chập từ 92 phần tử n B926 Số kết cục thuận lợi số chỉnh hợp chập từ 92 phần tử m  A926 Vậy : P(A)  A926 0,85 B926 Bài 1.30 a Có n người xếp thành hang ngang có n! cách xếp Gọi A biến cố m người trùng tên đứng cạnh họ xếp hàng ngang Nếu coi m người đứng trùng tên cạnh lag người ta có (n – m +1 ) ! cách xếp Có m! cách xếp cho m người trùng tên Vậy xác suất để m người trùng tên đứng cạnh họ xếp hàng là: P ( A)  m !( n  m  1)! n! b Có n người xếp thành vịng trịn có ( n-1) cách xếp Gọi B biến cố có m người trùng tên đứng cạnh họ xếp thành vòng tròn Nếu coi m người trùng tên đứng cạnh người xếp n người thành vịng trịn ta có (n-m)! cách xếp Số kết thuận lợi cho B m!(n-m)! Vậy ta có : P ( B)  m !(n  m)! (n  1)! Bài 1.31: Ta có 4=4+0+0=3+1+0=2+1+1=2+2+0 a.Gọi M biến cố chị A đánh vỡ chén chị B đánh vỡ chén Số trường hợp đồng khả năng: n=3+ C23.2!.C34+3.C24.2!+C23.C24=81 ... thứ P(A)=P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1A2).P(A4/A1A2A3)=8/9.7/8.6/7 .1/ 6 =1/ 9 Kết luận xác suất để mở cửa kho lần thứ 1/ 9 Bài 1. 51: cách vẽ sơ đồ ven ra, ta có hình 15 % 24% 10 % Vậy xác suất để chọn ngẫu nhiên... viên bi P= (7   15 ). (10   9) = 625 cách Khi xác suất để lấy bi màu từ hộp khác là: P= P(A)+P(B)+P(C) = Vậy P = 1 C 31 C10  C 71 C 61  C15 C 91 207  625 625 207 625 Bài 1. 42: a Gọi A biến... d biến cố “có người bắn trúng mục tiêu” Bài 1. 35 a) A=A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10 b) A=A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10 c) A= d) A= 1 2 A7A8A9A10 A7 A9 10 Bài 1. 36 Gọi A biến cố “Sinh gái” B biến cố