Chương Lý thuyết ước lượng §1 Khái niệm chung ước lượng -Ký hiệu θ a,p, σ -Việc dùng kết mẫu để đánh giá tham số θnào tổng thể dược gọi ước lượng θ 1.Ước lượng điểm: Chọn G=G(W),sau lấy θ ≈ G E (G ) = θ 1.Không chệch: 2.Vững: lim G = θ n →∞ D(G ) → 3.Hiệu quả: 4.Ước lượng có tính hợp lý tối đa( ứng với xác suất lớn nhất-xem SGK) Kết quả: a ≈ x :có đủ tính chất p ≈ f : σ ≈ S có : đủ tính chất ∧ Không chệch 2 σ ≈S : Hợp lý tối đa 2.Ước lượng khoảng: θ ,θ Định nghĩa: khoảng ( )được gọi khoảng ước lượng γ = 1− α θ tham số với độ tin cậy nếu: Ρ ( θ1 < θ < θ ) = − α I = θ − θ1 -độ dài khoảng ước lượng hay khoảng tin cậy Sơ đồ giải: Chọn G ( W, θ ) cho G có quy luật phân phối xác suất biết, tìm số g1 , g cho Ρ ( g1 < G < g ) = − α ⇒ g1 < g ( w, θ ) < g ⇔ θ1 < θ < θ §2 Ước lượng khoảng tỷ lệ tổng thể p Bài toán: từ tổng thể lấy mẫu kích thước n có tỷ lệ mẫu f Với độ tin cậy γ ,hãy tìm khoảng tin cậy p f − p) n ( G =U = ≈ Ν ( 0,1) f ( 1− f ) Xét α1 , α ≥ : α1 + α = α Giải: Chọn ( ) ⇒ Ρ uα1 < U < u1−α = − α ⇒ − Z 2α1 = uα1 ⇔ f− f − p) n ( < < u1−α f ( 1− f ) f ( 1− f ) n Z 2α < p < f + = Z 2α f (1− f ) n Z 2α1 Ta xét trường hợp riêng quan trọng: f ( 1− f ) 1)α1 = α , α = ⇒ −∞ < p < f + tốiđa) 2)α1 = 0, α = α ⇒ f − f ( 1− f ) n α 3) α = α = ⇒ε = thiểu)1 2 n Z 2α (Ước lượng Z 2α < p < +∞ f ( 1− f ) n Zα (Ước lượng tối ⇒ f −ε < p < f +ε ⇒ I = 2ε (Độ xác) (Đối xứng)  f ( 1− f )  n= Z + tin cậy) (Độ dài α khoảng  ε  .Quy ước: Nếu đề không nói rõ ta xét ước lượng đối xứng Ví dụ 2.1: Để diều tra số cá hồ ,cơ quan quản lý đánh bắt 300 con,làm dấu thả xuống hồ,lần bắt ngẫu nhiên 400 thấy 60 có dấu Hãy xác định số cá hồ với đô tin cậy 0.95 Gọi N số cá hồ P tỷ lệ cá bị đánh dấu hồ 300 Ρ= N n = 400, m = 60 → f = 0,15 0,15.0,85 0,15.0,85 ε= Z 0,05 = 1,96 400 400 300 → f −ε < Ρ = < f +ε ⇒ ? < N < ? N Ví dụ 2.2:Cần lập mẫu ngẫu nhiên với kích thước để tỷ lệ phế phẩm mẫu 0,2 ;độ dài khoảng tin đối xứng 0,02 độ tin 0.95 Bài giải: γ = 0,95, I = 0, 02, f = 0, ⇒ n I = 0, 02 ⇒ ε = 0, 01  0, 2.0,8  n= 1,96 )  + (  ( 0, 01)  §3 Ước lượng khoảng trung bình tổng thể a Bài toán:Từ tổng thể lấy mẫu kích thước n có trung bình mẫu x phương sai điều chỉnh mẫu S Với độ tin cậy γ ,hãy tìm khoảng ước lượng trung bình tổng thể a Bài giải.Ta xét trường hợp: TH1 Đã biết phương sai tổng thể Chọn Xét x − a) ( G =U = σ σ n : N ( 0,1) α1,2 ≥ 0; α1 + α = α ⇒ − Z 2α x − a) ( < σ n < Z 2α σ 1.α1 = α , α = ⇒ −∞ < a < x + Z 2α n (Ước lương trung bình tối đa) σ 2.α1 = 0, α = α , → x − Z 2α < a < +∞ n thiểu) 3.α1 = α = α →ε = σ n Zα → x −ε < a < x +ε  δ   n =  Zα ÷  + 1,    ε (Ước lượng tối (Độ xác) (Đối xứng) I = 2ε 10 TH2 Chưa biết phương sai tổng thể σ , n ≥ 30 Chọn: x − a) ( G =U = S n : N ( 0,1) S S α1,2 ≥ 0; α1 + α = α ⇒ x − Z 2α < a < x + Z 2α1 n n Kết tương tự TH1: thay σ S σ , TH3.Chưa biết phương sai tổng thể Chọn Xét x − a) ( G =T = α1,2 n S ≥ 0; α1 + α = α n < 30 : T ( n − 1) 11 ( ⇒ Ρ tα1 ( ) < T < t1−α ( ⇒ −T2α1 ( n −1) x − a) ( < S ) ) = 1− α n < T2α ( n −1) S S ( n −1) ( n −1) ⇔ x− T2α