Chương 3.Các đặc trưng đại lượng ngẫu nhiên véctơ ngẫu nhiên §1 Kỳ vọng Định nghĩa Định nghĩa 1.1: Giả sử Ρ ( Χ = xi ) = pi ⇒ Ε ( Χ ) = ∑ xi pi i Định nghĩa 1.2: Giả sử X liên tục có hàm mật độ fX ( x) ⇒ Ε ( Χ) = +∞ ∫ x f ( x ) dx X −∞ Ý nghĩa:kỳ vọng E(X) giá trị trung bình X Tính chất: (1) E(C) = C,(2) E(CX) = C.E(X) ,C số (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (4) X, Y độc lập suy E(XY) = E(X).E(Y) §2: PHƯƠNG SAI 1.Định nghĩa 2.1:Phương sai đại lượng ngẫu nhiên X  D ( Χ) = Ε ( Χ − Ε ( Χ) )  là:   2 Định lý 2.1 : D( Χ) = Ε ( Χ ) − ( Ε ( Χ ) ) + Ε Χ = x p X rời rạc ( ) ∑ i i i + Ε ( Χ2 ) = +∞ ∫ X liên tục x f Χ ( x ) dx −∞ Tính chất: (1) D(C) = ; (2) D(CX) = C D ( Χ ) (3) X,Y độc lập suy D(X+Y) = D(X)+D(Y) (4) D(C+ X) = D(X), với C số Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ) §3.Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X(giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3.1: Giả sử X rời rạc vàΡ ( Χ = xi ) = pi ⇒ Mod Χ = xi0 , pi0 = Maxpi f X ( x ) , ta Định nghĩa 3.2: Giả sử X liên tục có hàm có ⇒ Mod Χ = x0 ; f X ( x0 ) = Maxf X ( x ) Med X(medium –Χ trung vị ΡX)( Χ < m ) ≤ 1/ 2, Ρ ( X > m ) ≤ 1/ Med =m⇔ m Định nghĩa 3.3: MedX = m ⇔ ∫ f X ( x ) dx = −∞ Định lý 3.1: Nếu X liên tục 3.Moment Định nghĩa 3.4: Moment cấp k cuả đại lượng ngẩu k  Ε X − a nhiên X số( a )  a = 0: moment gốc a = E(X):moment trung tâm Hệ số nhọn hệ số bất đối xứng(xem SGK) Ví dụ 3.1: cos x, x ∈ [ 0, π / 2] Χ ~ fX ( x) =  0, x ∉ [ 0, π / 2] Ε ( Χ) = ∫ π /2 π x.cos xdx = − π  D ( X ) = ∫ x cos xdx −  − 1÷ = π − 10 44 43   π /2 ( ) Ε X2 Mod X =0 Med X ⇔ ∫ m −∞ m f X ( x ) dx = ∫ cos xdx = 1/ ⇔ sin m = 1/ ⇔ m = π / Ví dụ 3.2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau Χ Ρ k p k −1 m −1 m pq pq pq m−2 pq m + m −1 pq m ∞ E ( X ) = ∑ kp.q k −1 = p k =1 ( 1− q) = p 1 D ( X ) = ∑ k pq − ÷ k =1  p 43 +∞ k −1 Ε( Χ ) 2 1 1+ q 1+ q q = p − = − =  ÷ (1 − q )3  p  p2 p2 p2 Mod X =  p ( + q + + q m − ) ≤ /  ⇔  Med X =m m−2 m −1 p + q + + q + q ( ) ≥ 1/    m −1 q ≥ m −1   − q ≤ /   ⇔  m   q ≤ / q m ≤   ⇔ m ln q ≤ − ln 2, ( m − 1) ln q ≥ − ln  − q m −1 ≤ 1/  p 1− q ⇔ ⇔ 1 − q m ≥ /  − ln − ln ⇔ +1 ≥ m ≥ ln q ln q .Ví dụ 3.3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,4 0,3 0,3 Ε ( Χ ) = 2.0, + 5.0,3 + 7.0,3 = 4, D ( Χ ) = 21 0.4 2.0,3 4+44 +474.0,3 43 − ( 4, ) 2 2 ( ) Ε Χ2 σ ( Χ ) = D( X ) = 2,017 Cách dùng máy tính bỏ túi ES • Mở tần số(1 lần): Shift Mode • Nhập: Mode Stat 1-var xi Stat On(Off) ni 0,4 0,3 0,3 AC: báo kết thúc nhập liệu Cách đọc kết quả: Shift Stat Var x =→ Ε ( Χ ) xσ n =→ σ ( Χ ) Cách dùng máy tính bỏ túi MS:Vào Mode chọn SD Xóa liệu cũ: SHIFT CLR SCL = Cách nhập số liệu : 2; 0,4 M+ 5; 0,3 M+ 7; 0,3 M+ Cách đọc kết quả:  x =→ Ε ( Χ ) SHIFT S – VAR   xσ n =→ σ ( Χ ) 10 Ví dụ 3.4: Tung cùng lúc xúc xắc cân đối,đồng chất Gọi X là tổng số điểm nhận được Hãy tính E(X), D(X) Giải: Gọi Xi là số điểm của xúc xắc thứ i Χ = Χ1 + Χ + + Χ Ε ( Χ ) = Ε ( Χ1 ) + + Ε ( Χ ) = 5Ε ( Χ1 ) Xi độc lập ⇒ D ( Χ ) = D ( Χ1 ) + D ( Χ ) + + D ( Χ ) = 5D ( Χ1 ) X1 P 1…………6 1/6………1/6 ⇒ Ε ( Χ1 ) = , D ( Χi ) = 35 12 11 §4: Kỳ vọng hàm Y = ϕ ( Χ ) 1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi ) = pi , ⇒ Ε ( Y ) = ∑ ϕ ( xi ) pi +∞ i 2.Trường hợp liên tục: Χ : f X ( x ) ⇒ Ε ( Y ) = ∫ ϕ ( x ) f X ( x ) dx −∞  π   Ví dụ 4.1: cos x, x ∈ 0,     Χ : f x = ( ) Cho  X  π x ∉  0,   2 0   Tìm kỳ vọng phương sai Y= sinX Ε( Y ) = Ε( Y ∫ π /2 ) =∫ sin x sin x cos xdx = π /2 π /2 sin x sin x cos xdx = D( Y ) = Ε( Y ) − Ε( ( Y ) ) = = = 1 − = 12 12 §5: Kỳ vọng hàm Ζ = ϕ ( Χ,Y ) 1.Trường hợp rời rạc: Ρ ( Χ = xi , Y = y j ) = pij Ví dụ 5.1: ⇒ Ε ( Ζ ) = ∑ ϕ ( xi , y j ) pij i, j Ε ( ΧY ) = ∑ xi y j pij i, j 2.Trường hợp liên tục:(X,Y)liên tục có hàm mật độ f(x,y) ⇒ Ε ( Ζ ) = ∫∫ ϕ ( x, y ) f ( x, y ) dxdy R2 8 xy ≤ x ≤ y ≤1 f ( x, y ) =  0 ,nếu Ví dụ 5.2: ,nếu trái lại 13 HÌNH 5.1 y ↑ Ω X → 14 Ε ( Χ) = ∫∫ x f ( x, y ) dxdy = ∫ R Ε( Y ) = ∫∫ y f ( x, y ) dxdy = ∫ R Ε( Y ) = Ε( X ) = 1 ∫∫ y2 f y dy ∫ x8 xydx y dy ∫ y8 xydx ( x, y ) dxdy R2 x ∫∫ f Ε ( X Y ) = ( x, y ) dxdy ∫∫ xy f ( x, y ) dxdy R2 15 §6: Các đặc trưng vectơ ngẫu nhiên 1.Kỳ vọng: E(X,Y) = (E(X),E(Y)) Hiệp phương sai (covarian): Định nghĩa 6.1: cov(X,Y) = E[(X - E(X)).(Y – E(Y))] Định lý 6.1: cov(X,Y) = E(XY) – E(X).E(Y) Tính chất: (1) X,Y độc lập cov(X,Y) = (2) cov(X,X) = D(X) n  m  m n (3) cov  ∑ Χ i , ∑ Y j ÷ = ∑∑ cov ( Χ i , Y j ) j =1  i =1  i =1 j =1 m  m  m Χ i , ∑ Χ k ÷ = ∑ D ( Χ i ) + ∑ cov ( Χ i , X k ) (4) cov  ∑ i =1 k =1 i≠k  i =1 16 Hệ số tương quan Định nghĩa 6.2: RXY = cov ( Χ, Y ) σ ( Χ ) σ ( Y ) Tính chất: (1) X,Y độc lập ⇒ RΧY = (2) RXY ≤ 1, ∀Χ, Y (3) RXY = ⇔ ∃a, b, c : aΧ + bY = c Ý nghĩa: Hệ số RXY đặc trưng cho sự ràng buộc tuyến tính giữa X và Y: RXY càng gần1, thì X,Y càng gần có quan hệ tuyến tính  cos ( Χ, Χ ) ,cos ( Χ, Y )  Ma trận tương quan: D ( Χ, Y ) =  ÷  cov ( Y , Χ ) ,cov ( Y , Y ) ÷   17 Ví dụ 6.1: • Cho các biến ngẫu nhiên Χ1 , Χ , Χ m ; Y1 , Y2 .Yn có phương sai đều bằng 1: cov Χi , Χ j = p1 ;cov Yi , Y j = p2 ;cov Χi , Y j = p3 Tìm hệ số tương quan của biến ngẫu nhiên: U = ( Χ1 + Χ + + Χ m ) và V = ( Y1 + Y2 + + Yn ) m n m n Giải: cov ( U ,V ) = cov  Χ , Y  = cov ( Χ , Y ) = m.n p ( ∑  i =1 i ) ∑ j =1 i ÷  ( ∑∑ i =1 j =1 ) i ( j ) n  m  m D ( U ) = cov  ∑ Χ i , ∑ X k ÷ = ∑ D ( Χi ) + ∑ cov ( Χ i , Χ k ) = m + m(m − 1) p1 k =1 j ≠k  i =1  i =1 D ( V ) = n + n(n − 1) p2 RUV = cov ( U ,V ) m.n p3 = σ ( U ) σ ( V ) m + m ( m − 1) p1 n + n ( n − 1) p2 18 Cách dùng máy tính bỏ túi a)Loại ES: MODE STAT a+bx xi yi pij AC Cách đọc kết quả: SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT VAR SHIFT STAT REG SHIFT STAT SUM x =→ Ε ( X ) xσ n =→ σ ( X ) y =→ Ε ( Y ) yσ n =→ σ ( Y ) r =→ RXY ∑ xy =→ Ε ( XY ) 19 b) Loại MS: MODE REG LIN Cách xóa dữ liệu cũ : SHIFT CLR SCL = Cách nhập dữ liệu : xi , y j ; pij M+ Cách đọc kết quả: x =→ Ε ( X ) SHIFT S-VAR xσ n =→ σ ( X ) SHIFT S-VAR y =→ Ε ( Y ) SHIFT S-VAR yσ n =→ σ ( Y ) SHIFT S-VAR r =→ RXY SHIFT S-VAR SHIFT S-SUM ∑ xy =→ Ε ( XY ) 20 ... ⇔ +1 ≥ m ≥ ln q ln q .Ví dụ 3. 3 : Cho X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,4 0 ,3 0 ,3 Ε ( Χ ) = 2.0, + 5.0 ,3 + 7.0 ,3 = 4, D ( Χ ) = 21 0.4 2.0 ,3 4+44 +474.0 ,3 43 − ( 4, ) 2 2 ( ) Ε Χ2 σ ( Χ... với C số Độ lệch: σ ( Χ) = D ( Χ) 3. Các đặc trưng khác đại lượng ngẫu nhiên 1.Mod X(giá trị X ứng với xác suất lớn nhất) Định nghĩa 3. 1: Giả sử X rời rạc và ( Χ = xi ) = pi ⇒ Mod Χ = xi0 ,... Ví dụ 3. 2 :Cho X có bảng phân phối xác suất sau Χ Ρ k p k −1 m −1 m pq pq pq m−2 pq m + m −1 pq m ∞ E ( X ) = ∑ kp.q k −1 = p k =1 ( 1− q) = p 1 D ( X ) = ∑ k pq − ÷ k =1  p 43 +∞ k