SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP – THCS Năm học 2016 – 2017 ĐỀ THI THỬ SỐ Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài I (2,0 điểm)    x x 1 x x 1  x  x 1  Cho biểu thức A   : x 1 x  x   x x Rút gọn A Tìm x để A  Tìm giá trị nguyên x để A số nguyên Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình hệ phương trình: Hai công nhân sơn cửa cho công trình ngày xong công việc Nếu người thứ làm ngày người thứ hai làm tiếp ngày xong công việc Hỏi người làm sau xong công việc? Bài III (2,0 điểm)  3x  x 1   Giải hệ phương trình   2x    x 1 4 y2 5 y2 Cho parabol y  x  P  đường thẳng y  2mx  1 d  a Chứng minh parabol  P  cắt đường thẳng  d  hai điểm phân biệt b Tính giá trị biểu thức T  x1  x2  x12  2mx2  , với x1 , x2 hoành độ giao điểm  P   d  Bài IV (3,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn  O; R  Hai đường cao AD BE  D  BC, E  AC  tam giác ABC cắt đường tròn  O  điểm thứ hai M N Chứng minh bốn điểm A, E , D, B nằm đường tròn Xác định tâm I đường tròn Chứng minh MN song song DE Cho  O  dây AB cố định Chứng minh độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE không đổi điểm C di động cung AB lớn Tìm vị trí điểm C cung lớn AB cố định để diện tích tam giác CDE đạt giá trị lớn Bài V (0,5 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức Q  a  b  c   b2  c  b   c 1  c  Hết Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi không cần giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: Họ tên, chữ ký cán coi thi số 1: Họ tên, chữ ký cán coi thi số 2: SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP – THCS Năm học 2016 – 2017 ĐỀ THI THỬ SỐ Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Ý Điểm 1,0 0,25 Rút gọn Điều kiện: x  ; x       :  x  1       x  1 x  1 3  x 1 x 1 A   x x 1 x x 1        x  x 1 x  x 1  x 1    x 1 x  x 1  :  x x 1       x 1  x 1  0,25  x 1  x  x  x  x   x 1 x  x  1 x  x 1 x 1      : x x x 1 x x 1    Bài I (2,0 điểm) x x 1  x x 1     x 1 x 1 0,25 Tìm x để A0 0,5 x 1   x 1   x    x  x 1 Kết hợp với điều kiện   x  Tìm giá trị A x 1  x 1 0,25 0,25 0,25 0,5 x 1  2  1 x 1 x 1 A nhận giá trị nguyên    x 1    x   1; 2 x 1 0,25  x  0; 4;9 Kết hợp với điều kiện  x  4;9 Bài II (2,0 điểm) 0,25 Giải toán Gọi x, y (ngày) thời gian để người thứ người thứ hai làm 2,0 xong công việc  x, y   0,25 Trong ngày, người thứ làm được (công việc) y (công việc) người thứ hai làm x 0,25 Trong ngày hai người làm  (công việc) 1   (1) x y (công việc) x Vì người thứ làm ngày người thứ hai làm tiếp 0,25 Trong ngày, người thứ làm ngày xong công việc    (2) x y 1 1 x  y   Từ (1) (2) ta có hệ phương trình    1  x y 0,25  x  12 Giải ta  (thỏa mãn điều kiện) y  0,5 Vậy người thứ làm 12 ngày làm xong công việc người thứ hai làm ngày xong công việc 0,25 Giải hệ phương trình Điều kiện x  1; y  2 Đặt 0,25 1,0 3 X  2Y  x  X  Y vào hệ phương trình   x 1 y2 2 X  Y  0,25 3 X  2Y  3 X  2Y  X  X      4 X  2Y  10 7 X  14 3 X  2Y  Y  0,25  x  x   x    (thỏa mãn điều kiện)    y  1  y  0,25 Vậy hệ phương trình có cặp nghiệm  x; y    2; 1 0,25 Chứng minh 0,25 Bài III Xét phương trình hoành độ giao điểm x  2mx   (*) (2,0 điểm) 2a   m   0m   (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2 m  0,25  Parabol  P  cắt đường thẳng  d  nghiệm phân biệt m  Tính giá trị biểu thức 0,75  x1  x2  2m Theo hệ thức Vi-ét ta có   x1 x2  1 0,25 Vì x1 nghiệm phương trình (*)  x12  2mx1 1   x12  2mx1  2b Xét x12  2mx2   2m  x1  x2    2m.2m   4m  (1) Xét x1  x2    x1  x2  x  x2  0,25  x12  x22  x1 x2  x1 x2  x1 x2  4m  (2) Từ (1) (2)  T  4m2   4m2   0,25 Chứng minh bốn điểm Vẽ hình đến câu 1,0 0,25 Do AD, BE đường cao ABC 0,25  ADB  900 AEB  900 Xét tứ giác AEDB có ADB  AEB  900  Bốn điểm A, E , D, B thuộc đường 0,25 tròn đường kính AB Tâm I đường tròn trung điểm AB 0,25 Chứng minh MN song song DE 1,0 Xét đường tròn  I  ta có D1  B1 (cùng chắn cung AE ) 0,25 Xét đường tròn  O  ta có M  B1 (cùng chắn cung AN ) 0,25  D1  M  MN // DE (do có hai góc đồng vị nhau) 0,5 Chứng minh độ dài bán kính Gọi H trực tâm ABC 1,0 Xét tứ giác CDHE ta có CEH  900 (do AD  BC ) CDH  900 (do BE  AC ) Bài IV (3,5 điểm)  CEH  CDH  1800 , CDHE nội tiếp đường tròn đường kính CH  đường tròn ngoại tiếp CDE đường tròn đường kính CH , có bán kính 0,25 CH Kẻ đường kính CK , ta có: KAC  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  O  )  KA  AC Mà BE  AC nên KA // BH (1) Chứng minh tương tự  BK // AH (2) Từ (1) (2)  AKBH hình bình hành 0,5 Vì I trung điểm AB  I trung điểm KH CH Lại có O trung điểm CK  OI  (tính chất đường trung bình) Do AB cố định  I cố định  OI không đổi 0,25 Vậy điểm C di động cung AB lớn độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp CDE không đổi Tìm vị trí điểm C 0,5 Chứng minh CDE  S  CD  CAB  CDE     cos ACB SCAB  CA   không đổi 0,25 AB cố định Bài V (0,5 điểm) S CDE max  S ABC max  CH max  C điểm cung BC 0,25 Tìm giá trị lớn 0,5 Từ  a  b  c   a  b  c   Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: 0,25 1  b  b  2c  2b  4c3 b  c  b   b.b  2c  2b      2  27  2 4c 23  23   54  23c 23c  23  Q  c 1  c   c  c  c 1  c     1  c  27 27  27   23  54 54  27  23   23c 23c  1 c    54   54    108 54 54 27             23     23    529     a  a  b  c     12  Dấu đẳng thức xảy  b  2c  2b  b  23  23c  23c 18    1 27  54 c  23 Vậy Q đạt giá trị lớn 108  12 18   a; b; c    0; ;  529  23 23  0,25 ... HÀ NỘI ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH LỚP – THCS Năm học 2016 – 2017 ĐỀ THI THỬ SỐ Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Đáp án Ý Điểm... 54   54    108 54 54 27             23     23    529     a  a  b  c     12  Dấu đẳng thức xảy  b  2c  2b  b  23  23c  23c 18    1 27  54. ..  2c  2b  4c3 b  c  b   b.b  2c  2b      2  27  2 4c 23  23   54  23c 23c  23  Q  c 1  c   c  c  c 1  c     1  c  27 27  27   23  54 54  27  23