Trờng THCS Định Tờng Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên ngời đề: Lê Thị Thu Các thành viên thẩm định để (đối với môn có từ GV trở lên) Đề thi: Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức x+ y x y x + y + xy : + A= + xy xy + xy a, Rút gọn A b, Tính giá trị A x = 2+ c, Tìm giá trị lớn A Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phơng trình: x + y = xy x + xy = xy + Câu 3: (2 điểm) Cho số x,y,z thoả mãn đồng thời x + y + = y + 2z + = z + 2x + = Tính giá trị biểu thức P = x 2010 + y 2010 + z 2010 Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC có góc nhọn AB = c, AC= b, CB = a Chứng minh rằng: b = a + c 2ac cos B Câu 5: (4 điểm): Cho đờng tròn (O;R) đờng thẳng d cắt (O) điểm A, B Từ điểm M d kẻ tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P tiếp điểm) Gọi K trung điểm AB a, Chứng minh điểm M, N, O, K, P nằm đờng tròn b, Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M di động ( d) e, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vuông Câu 6: (2 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất ớc tự nhiên p4 số phơng Đáp án: Câu 1: a, 1,5 đ Điều kiện để A có nghĩa x 0; y 0; xy (0,5đ) x+ y x y x + y + xy : + + Ta có : A = xy xy + xy x + y + xy + x y = xy (0,25) ( )( ) ( )( ) xy + x + y + xy : xy x + x y + y + y x + x x y y + y x + x + y + xy : xy xy = (0,25) = x + 2y x xy xy (1 + x ).(1 + y ) = x (1 + y ) x = (1 + x )(1 + y ) + x (0,25) (0,25) b, 1,5 đ Ta có : x = (0,25) x= ( ( thoả mãn điều kiện x 2+ ) 2 = 42 = 2+ 3 )( ) (0,25) Thay x vào A ta có: ( ) ( ) 2 3 A= = +1 (0,25) = ( )( )( + 52 5+2 ( (0,25) = ( 25 +652 ( (0,25) = ) ) ( ) ) ) ( ) 3 +1 3 +1 = 25 12 13 (0,25) c, đ Với x ta có (0,25) ( ) x x x +1 x +1 x (0,25) x ( x+1>0) 1+ x x A 1+ x (0,25) Vậy giá trị lớn P = x = x = (0,25) Câu2: đ Hệ phơng trình cho tơng đơng với x + y + xy = x + xy xy = (0,25) ( x + y ) = ( x y ) = (0,25) x + y = x y = (0,25) Ta có trờng hợp sau: x + y = x + y = x + y = x + y = ; ; ; x y = x y = x y = x y = Ta giải trờng hợp: y= x + y = y = x y = x y = x = y 12 (0,5) x + y = y = y = x y = x y = x = (0,5) x + y = y = y = x y = x y = x = (0,5) y = x + y = y = x y = x y = x = 12 (0,5) Vậy hệ phơng trình cho có nghiệm ( x; y ) = 12 ; ; ( 0;1); ( 0;1); 12 ; 5 (0,5) Câu 3: đ 5 x2 + y + = Từ giả thiết ta có: y + z + = z + 2x + = (0,5) Cộng vế đẳng thức ta có: (x ) ( ) ( ) + 2x + + y2 + y + + z + 2z + = (0,25) ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) = (0,25) x + = y +1 = z + = 2 x = y = x = (0,5) P = x 2010 + y 2010 + z 2010 = ( 1) 2010 + ( 1) 2010 + ( 1) 2010 =1+1+1 (0,25) Vậy P = (0,25) Câu4: đ Kẻ AH BC ABC vuông H áp dụng định lí Pi ta go ta có: AC2= AH2+HC2 = AC2+(BC-BH)2 = AH2+ BC2-2BC.BH+BH2 = (AH2+ BH2)+BC2-2BC.BH = AB2+ BC2-2BC.AB cosB = c2+ a2- 2ac cosB (2) Vì tam giác vuông AHB thì: AH2+ BH2=AB2= c2 ; BH = AB cosB Vậy b = a + c 2ac cos B (2) Câu 5: điểm a, Vì MN tiếp (O) (0,25) MN NO; MP OP (0,25) MNO vuông N N nằm đờng kính MO (0,25) MPO vuông P P nằm đờng kính MO (0,25) Vì AK = KB (gt) OK AB K ( đờng kính qua trung điểm dây) (0,25) MKO vuông K K nằm đờng tròn đờng kính MO (0,25) Vậy điểm N, P, K nằm đờng tròn đờng kính MO (0,25) Hay điểm M,N,O,P,K nằm đờng tròn đờng kính MO (0,25) b, đ Ta có K trung điểm AB nên K cố định (0,25) Mà theo câu a) đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đờng tròn đờng kính MO (0,25) Theo câu a) đờng tròn đờng kính MO qua O; K (0,25) Vậy đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định O, K (0,25) c, đ Tứ giác MNOP hình vuông MN= ON, MON = 900 MNO vuông cân N (0,25) OM= ON = R ( R bán kính đờng tròn (O)) (0,25) M giao điểm (O; R ) với đờng thẳng d (0,25) Vậy ta xác định đợc điểm M1; M2 thoả mãn điều kiện đề (0,25) Câu : đ Vì p số nguyên tố nên p4 có ớc 1; p; p2; p3; p4 (0,25) Giả sử + p + p + p + p = n ( n ) 4n = + p + p + p + p > p + p + p = ( p + p ) (1) Mặt khác : 4n = p + p + p + p + < p + p + + p + p + p = ( p + p + ) (2 ) (0,5) Từ (1) (2) 4n = ( p + p + 2) (0,25) 4n = p + p + p + p + < p + p + p + p + (0,25) p p = ( p 3)( p + 1) = (0,25) Vì p N p = ... ON, MON = 90 0 MNO vuông cân N (0,25) OM= ON = R ( R bán kính đờng tròn (O)) (0,25) M giao điểm (O; R ) với đờng thẳng d (0,25) Vậy ta xác định đợc điểm M1; M2 thoả mãn điều kiện đề (0,25)... cho có nghiệm ( x; y ) = 12 ; ; ( 0;1); ( 0;1); 12 ; 5 (0,5) Câu 3: đ 5 x2 + y + = Từ giả thi t ta có: y + z + = z + 2x + = (0,5) Cộng vế đẳng thức ta có: (x ) ( ) ( ) + 2x + + y2 + y