Trờng THCS Định Long Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên ngời đề: Trịnh Đình Thanh Các thành viên thẩm định đề: Phạm Ngọc Toàn Đề bài: Bài ( điểm ): Cho biểu thức: P= x x x2 x 2( x 3) x +1 + x +3 x 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị P với x = 14-6 3) Tìm giá trị nhỏ P Bài ( điểm ): Giải phơng trình: 1) 1 + + x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x 36 2) x + y = 28 x y =1 Bài ( điểm ): 1) Cho biểu thức A = x x + 20 Tìm giá trị nhỏ A 2) Cho (x+ x + )(y+ y + ) = Tìm giá trị biểu thức P = x + y Bài ( điểm ): 1) Chứng minh rằng: x = Khi P = 3) P = x+8 x +1 14 + +1 x 1+ = x +1 = 22 5 0,25 x+8 58 11 = x +1 + x +1 0,25 = = x 1+ 0,5 x +1 -2 0,5 - = ( áp dụng BĐT Côsi cho hai số dơng Dấu " = " sảy x +1 = thoả mãn đk Vậy P = x = 1) Giải phơng trình: x +1 x + 1; x +1 ) x = Bài 1 + + = đk: x x+3 + x+2 x + + x +1 x +1 + x điể m x+3 x+2 x + x +1 ( x + + x + )( x + x + ) + x +1 x ( x + + x )( x + x ) + ( x + + x + 1)( x + x + 1) 0,25 + =1 ( x + - x + ) + ( x + - x + ) + ( x + x + = x + x) = 0,5 x + = x + x + x = x = x = thoả mãn đk Vậy pt có nghiệm x = 0,5 0,25 2) đk để phơng trình 36 x2 + y = 28 x y (1) có nghiệm là: x > 2; y > (1) 36 + 4( x 2) x2 (6 x ) x2 + + + ( y 1) y (2 y 1) y =0 28 = (2) (6 x ) (2 y 1) Với x > 2; y > => (3) x y (6 x ) = (6 x ) = Từ (2) (3) => (2 y 1) = (2 y 1) = = x x = 11 y = = y Thử lại: x = 11; y = nghiệm pt Vậy pt có nghiệm (x,y) = (11,5) Bài 1) A = x x + 20 A = ( x x + 4) + 16 = ( x 2) + 16 16 = điể A = x - = x = m Vậy Min A = 2) Xét biểu thức (x+ x + )(y+ y + ) = (1) Nhân vế (1) với (x- x + ) ta đợc: -3(y+ y + ) = 3(x- x + ) -(y+ y + ) = (x- x + ) (2) Nhân vế (1) với (y- y + ) ta đợc: -3(x+ x + ) = 3(y- y + ) -(x+ x + ) = (y- y + ) (3) Lấy (2) cộng với (3) ta đợc: -(x+y) = x+y => x+y = 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy A = x+y = 0,5 1 Bài + + + + 1) < + 4 1 + + + + đặt S = + điể 1 m + + + + ta có: S > 50 50 50 < 10 50 0,25 50 50 = 50 50 = 0,5 (1) Mặt khác ta có: = = < 2 < 1+ ; ; ; 2 2+ 2 = < 50 50 50 + 49 0,5 Cộng vế ta đợc: S< + + + 1+ 2+ 50 + 49 = 2{( - )+( - )+ +( 50 - 49 )} = 50 = 10 (2) Từ (1) (2) suy ra: < S < 10 (đpcm) 2) Tìm giá trị nhỏ P = x2 + y2 + z2 Biết x + y + z = 2007 áp dụng BĐT Bu nhiacôpxki ta có: (x+y+z)2 (x2+y2+z2).(1+1+1) x2+y2+z2 (x+y+z)2 /3 = 2007/3 = 669 Vậy giá trị nhỏ P là: 669 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Bài điể m Kẻ Ax tia phân giác góc BAC, kẻ BM Ax CN Ax Từ hai tam giác vuông AMB ANC, ta có: Sin MAB = Sin A BM A = => BM = c.sin AB 0,5 A CN A = => CN = b.sin AC A Do BM + CN = sin (b+c) Mặt khác ta có BM + CN BD + CD = BC = a A A => sin (b+c) a, sin < 2 1 Do b+c bc nên b + c bc a A Hay sin ( đpcm) 2 bc SinNAC = sin 0,5 0,5 0,5 Bài điể m 0,5 GT: Tam giác ABC: AB = BC = AC = 60 cm, BD = 20 cm KL: DE = ?; DF = ?; EF = ? Đạt DE = AE = x, DF = AF = y Kẻ DI AB, DK AC Ta có BI = BD.cos60 = 20 = 10 2 DI = BD BI = 20 10 = 300 = 10 Ta có: EI = 50 - x, áp dụng định lý pitago tam giác vuông DEI ta có: ED2 = EI2 + ID2 = (50 x)2 + (10 )2 => x2 = 2500 - 100x + x2 +300 100x = 2800 => x = 28 = 20; DK = 1200 = 20 0,25 0,5 0,25 0,25 0,5 Ta có: CK = CD cos600 = 40 DC CK = 40 20 = Ta có: FK = 40 - y; áp dụng định lí pitago tam giác vuông DFK ta có: DF2 = DK2 + FK2 = (40y)2 + (20 )2 y2 = 1600 - 80y + y2 + 1200 80y = 2800 => y = 35 0,5 0,25 0,25 0,25 Kẻ EK AF, ta có: AH = EA cos600 = 28 = 14 HF = y-14 = 35 - 14 = 21 EH = x.sin600 = 28 = 14 Suy ra: EF = EH + HF = (14 ) + 212 = 1029 = 21 Vậy: DE = 28, DF = 35, EF = 21 0,25 0,25 ... (1) Mặt khác ta có: = = < 2 < 1+ ; ; ; 2 2+ 2 = < 50 50 50 + 49 0,5 Cộng vế ta đợc: S< + + + 1+ 2+ 50 + 49 = 2{( - )+( - )+ +( 50 - 49 )} = 50 = 10 (2) Từ (1) (2) suy ra: < S < 10 (đpcm) 2) Tìm... nhiacôpxki ta có: (x+y+z)2 (x2+y2+z2).(1+1+1) x2+y2+z2 (x+y+z)2 /3 = 2007/3 = 6 69 Vậy giá trị nhỏ P là: 6 69 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 Bài điể m Kẻ Ax tia phân giác góc BAC, kẻ BM Ax CN Ax Từ... 28 = 14 HF = y-14 = 35 - 14 = 21 EH = x.sin600 = 28 = 14 Suy ra: EF = EH + HF = (14 ) + 212 = 10 29 = 21 Vậy: DE = 28, DF = 35, EF = 21 0,25 0,25