PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu (2 điểm): ( )( ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN TOÁN - VÒNG Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 05 câu, 01 trang) ) 2 1) Cho x + x + 2016 y + y + 2016 = 2017 Tính giá trị biểu thức: M = x y + 2016 + y x + 2016 2) Cho số thực a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac = 2015abc 2015 ( a + b + c ) = 2015 2015 2015 Chứng minh rằng: a + b + c = 20152015 Câu ( 2điểm): 1) Giải phương trình: x − 3x + = x 3x + x +  x + y + = x 2) Giải hệ phương trình:  3  x + 12 x + y = x +9 Câu (2 điểm): 1) Chứng minh tồn số tự nhiên chia hết cho 1999 mà tổng chữ số 1999 2) Chứng minh rằng: + + − số vô tỉ Câu ( điểm): 1) Cho hai đường tròn (O) (O’) Kẻ tiếp tuyến chung AB tiếp tuyến chung EF với A, E nằm đường tròn (O); B, F nằm đường tròn (O’) Gọi M giao điểm AB EF a) Chứng minh ∆AOM ∆BMO ' đồng dạng b) Gọi N giao điểm AE BF Chứng minh điểm O, N, O’ thẳng hàng 2) Cho đường tròn (O;R) đường tròn (O’;R’) tiếp xúc A Một góc vuông CAD quay quanh điểm A cho điểm C nằm đường tròn (O) điểm D nằm đường tròn (O’) Hãy tìm vị trí hai điểm C, D để diện tích ∆CAD có giá trị lớn Câu (1 điểm): Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a a2 + + b b2 + + c c2 + - Hết Giám thị 1: Giám thị 2: SBD: Họ tên thí sinh: PHÒNG GD & ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 - 2016 MÔN TOÁN - VÒNG Thời gian làm bài: 150 phút (Hướng dẫn chấm gồm 05 câu, 05 trang) ĐỀ CHÍNH THỨC Câu Ý 1 ( x+ x + 2016 )( y+ Nội dung ) y + 2016 = 2017 Điểm (1) M = x y + 2016 + y x + 2016 Từ (1) ta có 2017 = xy + x y + 2016 + y x + 2016 + ( ⇒ ( 2017 − M ) = xy + (x (x + 2016 ) ( y + 2016 ) + 2016 ) ( y + 2016 ) ) 0,25 ⇔ 2017 − 2.2017.M + M = x y + xy (x + 2016 ) ( y + 2016 ) + ( x + 2016 ) ( y + 2016 ) ⇔ 2017 − 2.2017.M + M = x y + xy (x 0,25 + 2016 ) ( y + 2016 ) + 2016 ( x + y ) + 20162 ( ) Có M = x ( y + 2016 ) + y ( x + 2016 ) + xy M = x y + 2016 ( x + y ) + xy (y (y + 2016 ) ( x + 2016 ) + 2016 ) ( x + 2016 ) ( 3) 0,2 Từ (2) (3) ta có 2017 − 2.2017.M + M = M + 20162 2017 − 20162 4033 ⇒M = = 2.2017 4034 0,25 Cho số thực a, b, c thỏa mãn: ab + bc + ac = 2015abc 2015 ( a + b + c ) = 1 20152015 Từ ab + bc + ac = 2015abc 2015 ( a + b + c ) = ta được: Chứng minh rằng: a 2015 + b 2015 + c 2015 = • ( a + b + c ) ( ab + ac + bc ) = abc ⇔ ( a + b) ( a + c) ( b + c) = 0,25 a + b = ⇔  a + c = b + c = 0,25 1 suy a 2015 + b 2015 + c 2015 = 2015 20152015 Tương tự với trường hợp lại ta a 2015 + b 2015 + c 2015 = (đpcm) 20152015 + Xét a + b = ta c = 0,25 0,25 x − 3x + = x 3x + x + ĐK: x − 3x + = x 3x + x + ( ⇔ ( 2x − 3x + x + ≥ ⇔ x ∈ R 0,25 ) 0,25 ⇔ 3x + x + − x 3x + x + + x + ( x − x + ) = 3x + x + ) + ( x − 2) = 0,25 2 x − x + x + = ⇔ ⇔ x = (tm)  x − = 0,25 KL: Phương trình có nghiệm x = 2  x + y + = x (1)  3  x + 12 x + y = x +9 (2) Từ phương trình (1) ta suy ra: = 12 x − x − y vào phương trình (2) thu gọn ta được: x + y = x3 + y = 3( x − y ) ⇔ ( x + y )( x − xy + y − 3x + y ) = ⇔  2  x − xy + y − 3x + y = * Nếu x + y = ⇔ y = − x ⇒ y = x vào phương trình (1) ta x + = x ⇔ 2( x − 1) + = phương trình vô nghiệm * Nếu x − xy + y − 3x + y = , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta x = được: − xy − x + y − = − x ⇔ xy − x − y + = ⇔ ( x − 3)( y − 1) = ⇔  y =1 + Nếu x = thay vào phương trình (1) ta suy y = suy y = => (x;y) = (3; 0) thoả mãn phương trình (2) + Nếu y =1 thay vào phương trình (1) ta suy (x - 2)2 = => x = => (x;y) = (2; 1) thoả mãn phương trình (2) KL: Vậy nghiệm hệ cho (x; y) = (3;0), (2; 1) 0,25 0,25 0,25 0,25 Chứng minh tồn số chia hết cho 1999 mà tổng chữ số 1999 Thật vậy: Có 3998 = 1999 Xét số A = 199919991999 1999399839983998 3998 gồm x nhóm 1999 0,25 y nhóm 3998 chia hết cho 1999 0,25 Tổng chữ số A x(1+ 9+ 9+9) +y(3+9+9+8) = 28x + 29y Ta cần tìm cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn 28x + 29y = 1999 (1) ⇔ 28 ( x + y ) + y = 1999 (2) Vì x,y số nguyên dương nên từ (1) suy y ≤ 1999 ⇔ y ≤ 68 29 Vì 1999 chia cho 28 dư 11 nên từ (2) ta có y chia cho 28 dư 11 từ 0,25 y ∈ { 11,39, 67} Thế vào (1) ta có y = 11, x = 60 (tm) Vậy tồn số A = 19991999 1999399839983998 3998 gồm 60 nhóm 1999 0,25 11 nhóm 3998 thỏa mãn đề 3) Chứng minh rằng: + + − số vô tỉ 1  n   n −1   n +1 Ta có: x + n +1 =  x + ÷ x + n ÷−  x + n −1 ÷ x x  x   x   1  1 Nếu x + ∈ Q có x + =  x + ÷ − ∈ Q x n + n ∈ Q x x x  x 1 Suy x n + n vô tỉ x + vô tỉ x x 1 = 3− Đặt x = + ⇒ x = 3+ ⇒ x+ = x 3+ + 3− Có x + = số vô tỉ nên x 5 0,25 0,25 0,25 0,25 + + − số vô tỉ (đpcm) B M A I E K 0,25 O N O' F a Có OM ⊥ MO’ ( hai tia phân giác góc kề bù) · ' M (Cùng phụ với BMO · ⇒ ·AMO = BO ' ) ⇒ ∆AOM : ∆BMO '( g g ) (đpcm) b Gọi AE ∩ OM = I ; BF ∩ O ' M = K · · · · Có EMB (góc tam giác cân MAE) = MAE + MEA = 2.MEA · · · ) EMB = 2.EMO ' (vì MO’ tia pg BMF · · mà góc vị trí so le nên AE // MO’ ⇒ EMO ' = MEA Có MO ' ⊥ BF (t/c tiếp tuyến cắt nhau) nên AE ⊥ BF mà MO ⊥ AE Suy MO / / BF ⇒ MK = IN Có ∆AOM : ∆BMO '( g g ) AI, BK đường cao tương ứng OI MK OI IN ⇒ = = lại có MK = IN suy OM MO ' OM MO ' ⇒ ∆OIN : ∆OMO'(c.g.c) · · ⇒ MOO ' = ION 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà tia ON OO’cùng nằm nửa mp bờ chứa tia OM suy tia ON OO’trùng nên O,N,O’ thẳng hàng.(đpcm) 0,25 O A O' H K C D · · ' AD = 900 − α Đặt OAC =α ⇒O Kẻ OH ⊥ AC ; O ' K ⊥ AD Suy H, K trung điểm AC; AD 0,25 ⇒ AH = R.cos α ⇒ AC = R cos α AK = R’.cos(900- α ) = R’.sin α suy AD = R’.sin α 1 S ACD = AD AC = R.2 R '.sin α cos α = RR ' si n α cos α 2 2 Có = sin α + cos α ≥ 2sin α cos α ⇒ sin α cos α ≤ S ACD ≤ RR ' = R.R ' ( không đổi) Dấu xảy ⇔ sin α = cos α ⇔ α = 450 · · ' AD = 450 diện tích tam giác CAD có giá trị lớn KL: Khi OAC =O 0,25 0,25 0,25 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a + b + c ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức: P = a a2 + + b b2 + + c c2 + 1 2 2 Ta có ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  ≥ 1 ( a + b + c ) ≤ = 3 a a a 1 a a  ⇒ ≤ = ≤  + ÷ 2 a +1 a + ab + bc + ca ( a + b) ( c + a)  a + b c + a  ⇒ ab + bc + ca ≤ ( Áp dụng BĐT Cô si cho số dương CMTT có ⇒ 1 b b  ≤  + ÷ b2 +  a + b c + b  b 1 ; ) a+b c+a 0,25 0,25 0,25 1 c c  ≤  + ÷ c2 +  c + b c + a  c Cộng vế BĐT ta 1 a+b a+c b+c  ≤  + + ÷= a +1 b +1 c +1  a + b a + c b + c  Dấu xảy ⇔ a = b = c = 3 KL: GTLN P ⇔a=b=c= P= a + b + c * Chú ý: Học sinh làm cách khác, cho điểm tối đa - Hết - 0,25 ... cho 199 9 mà tổng chữ số 199 9 Thật vậy: Có 399 8 = 199 9 Xét số A = 199 9 199 9 199 9 199 9 399 8 399 8 399 8 399 8 gồm x nhóm 199 9 0,25 y nhóm 399 8 chia hết cho 199 9 0,25 Tổng chữ số A x(1+ 9+ 9+ 9) +y(3 +9+ 9+8)... cho 28 dư 11 từ 0,25 y ∈ { 11, 39, 67} Thế vào (1) ta có y = 11, x = 60 (tm) Vậy tồn số A = 199 9 199 9 199 9 399 8 399 8 399 8 399 8 gồm 60 nhóm 199 9 0,25 11 nhóm 399 8 thỏa mãn đề 3) Chứng minh rằng: + +... +y(3 +9+ 9+8) = 28x + 29y Ta cần tìm cặp số nguyên dương x, y thỏa mãn 28x + 29y = 199 9 (1) ⇔ 28 ( x + y ) + y = 199 9 (2) Vì x,y số nguyên dương nên từ (1) suy y ≤ 199 9 ⇔ y ≤ 68 29 Vì 199 9 chia cho 28