PHÒNG GD & ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN VÒNG I ĐỀ CHÍNH THỨC NĂM HỌC: 2012 – 2013 Môn thi: TOÁN (Đề gồm trang) Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm ) Rút gọn biểu thức sau a b c A = 3x + x − x + B = 3+ − 3− − C = (1+ tan2α)(1- sin2α) + (1+cotan2α)(1-cos2α) Bài 2: (2.0 điểm) Giải phương trình a x x − x − x = b x − x + 36 = x + Bài 3: (2.0 điểm) a Cho số nguyên dương a; b; c đôi nguyên tố nhau, thỏa mãn: (a + b)c = ab Xét tổng M = a + b có phải số phương không? Vì sao? b Cho x; y > x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: P= 20 11 + x +y xy Bài 4: ( 2,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn Các đường cao AD; BE; CF cắt H Gọi M trung điểm HC; N trung điểm AC AM cắt HN G Đường thẳng qua M vuông góc với HC đường thẳng qua N vuông góc với AC cắt K Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC · Từ suy SAEF = SABC cos BAC b BH.KM = BA.KN c GA5 + GB + GH =4 GM + GK + GN Bài 5: (1 điểm) Điểm M cố định thuộc đoạn thẳng AB cho trước.Vẽ phía AB tia Ax By vuông góc với AB Qua M có hai đường thẳng Mt Mz thay đổi vuông góc với M cắt Ax, By theo thứ tự C D tạo góc ·AMC = α Xác định số đo α để tam giác MCD có diện tích nhỏ Hết./ Họ tên thí sinh…………………………………… ……….SBD………….………… Bài Ý a 0.75 b 0.75 2.5 b 1.0 2a 1.0 2.0 2b 1.0 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt 4 x − 2; = x + ( x − 2) = x + x − =  2 x + 2; neu x ≥ neu x < B = + − − − = ( + 1) − ( − 1) − = | + 1| − | − 1| −2 = + − + − = Suy A = x = ⇔ x ( x − 2)( x + 1) = ⇔  x = −4 ĐKXĐ: x ≥ ( x − x + 16) + (3x + − 3x + 4.4 + 16) = ⇔ ( x − 4) + ( x + − 4) = Gọi UCLN a-c b-c d ⇒ c Md ⇒ c Md ⇒ a Md ; b Md mà a; b; c số đôi nguyên tố nên d = Do a-c b-c hai số phương Đặt a-c = p2; b-c = q2 ( p; q số nguyên) c2 = p2q2 ⇒ c = pq ⇒ a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 số phương 20 10 20 20 80 P= + + Ta có + ≥ 20 = 2 2 x +y xy xy x +y xy x + y + xy ( x + y ) Mà x + y ≤ 20 20 + ≥ 20 2 Nên x +y xy 3b 1.0 0.5 0.25 ; Học sinh đối chiếu ĐK kết luận nghiệm (a + b)c = ab ⇒ ( a − c)(b − c) = c 2.0 0.25x3 0.2x5 sin α cos α 2 = C = (1 + )(1 − sin α ) + (1 + )(1 − cos α ) cos α sin α sin α cos α = (1 + )(cos α ) + (1 + )(sin α ) = cos α sin α 1 sin α + cos α cos α + sin α cos α + sin α =2 = cos α + sin α = = 2 cos α sin α cos α sin α 0.25x4 ĐK: x ≥ x x − x − x = ⇔ x (x − − x ) = ⇔ x − = 3x + − = ⇔ x = 4(tm) 3a 1.0 Điểm Mặt khác : xy ≤ 0.25 0.25 0.25 0.25 0,25 0.25 0.5 0,25 0,25 Dấu x = y =1 ( x + y ) 22 ≤ = Nên ≥ Dấu xảy xy 4 x = y =1 Vậy giá trị nhỏ P 21 x = y =1 0.25 0.25 0.25 A F E H K N G B D M C AE AF vuông F nên · cos CAF = ∆ACF ; AB AC Tư chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC (c.g.c) Vì tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC nên S AEF AE · · = = cos BAC ⇒ S AEF = S ABC cos BAC S ABC AB · · · ; ·ABH = MKN (Góc có cạnh tương ứng song song) ∆ABH ∆MNK có BAH = NMK ∆AEB 2.5 4a 1.0 4b 0.75 vuông E nên · cos BAE = Suy ∆AHB đồng dạng với ∆MNK ( g.g); ⇒ ∆AHB đồng dạng với ∆MNK nên AHC); Lại có: 4c 0.75 1.0 BA BH = ⇒ BA.KN = BH KM KM KN 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 0.25 AB AH = = ( Vì MN đường TB tam giác MK MN AG HG = 2; = ( G trọng tâm tam giácAHC) MG NG AB AG · · = = Mặt khác BAG ( so le trong) = GMK MK MG ⇒ ∆ABG đồng dạng với tam giác ∆MKG (c.g.c) GB GA GH GB GA5 GH GB + GA5 + GH ⇒ = = =2⇒ = = = = 32 GK GM GN GK GM GN GK + GM + GN ⇒ 0.25 GB + GA5 + GH ⇒ =4 GK + GM + GN 0.25 · · MC.MD ; Đặt MA = a , MB = b, Ta có AMC = BDM =α ; a b MC = , MD = ; SMCD = y cosα sin α D ab x α cosα.sin α Ta có : SMCD = Do a,b số nên SMCD nhỏ ⇔ 2sinα.cosα lớn Theo bất đẳng thức 2xy ≤ x2 +y2 ta có : 2sinα.cosα ≤ sin2α +cos2α = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin(900−α) ⇔ α = 900−α ⇔ α = 450 0.5 C A a α( 0.5 M b B ⇔ ∆AMC ∆BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi α = 450 ; C,D xác định tia Ax ; By cho AC = AM , BD = BM ...Bài Ý a 0.75 b 0.75 2.5 b 1.0 2a 1.0 2.0 2b 1.0 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG KHỐI MÔN: TOÁN Bản hướng dẫn chấm gồm có 02 trang Nội dung cần đạt 4 x − 2; = x + ( x − 2) = x +... +y xy xy x +y xy x + y + xy ( x + y ) Mà x + y ≤ 20 20 + ≥ 20 2 Nên x +y xy 3b 1.0 0.5 0.25 ; Học sinh đối chiếu ĐK kết luận nghiệm (a + b)c = ab ⇒ ( a − c)(b − c) = c 2.0 0.25x3 0.2x5 sin α cos... +y2 ta có : 2sinα.cosα ≤ sin2α +cos2α = nên SMCD ≥ ab SMCD = ab ⇔ sinα = cosα ⇔ sinα = sin (90 0−α) ⇔ α = 90 0−α ⇔ α = 450 0.5 C A a α( 0.5 M b B ⇔ ∆AMC ∆BMD vuông cân Vậy SMCD = ab Khi α = 450 ;