Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG 3.1.3 Quy nạp kiểu Ehlers Tiếp theo, xét loại quy nạp đặc biệt, thường sử dụng quy nạp theo kiểu chuẩn hóa Bình thường chứng minh BĐT TBC TBN theo quy nạp cách thông thường gặp khó khăn Vì theo cách chuẩn hóa, không tính tổng quát ta xét số dương mà Ta chứng minh Và việc thêm số hạng đảm bảo Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Vì vậy, tích =1 cho ta số Như có tính chất Và ta so sánh Từ áp dụng quy nạp bình thường Vậy cách chuẩn hóa tích ta thực chứng minh bất đẳng thức TBC TBN theo quy nạp thông thường mà không cần viện trợ quy nạp Cauchy Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG 3.1.4 Đồng thức Hurwitz Đồng thức xuất phát từ cấu trúc biến đổi đơn thức đa thức Thực chất biến đổi hàm lớp hàm ta xét lớp hàm đặc biệt Nếu ta sử dụng ký hiệu thông thường toán học ta coi có hàm số biến thực Ký hiệu P áp lên hàm số đối số Ví dụ xoay hết vòng tất hoán vị Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Với cách viết ta dễ dàng viết biểu thức ứng với đa thức đặc biệt Nhận xét thức không âm biểu nhận giá trị không âm Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Vì biến đổi luôn số không âm Vì tổng ta thu Vế trái Nhìn góc độ biến đổi sơ cấp tư tưởng đồng thức Hurwitz thực cao cấp Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG 3.1.5 Đẳng thức (phương trình) hàm Đây phương pháp mô tả quan hệ hàm số ta chuẩn hoá điều kiện tổng Nghĩa coi a phần tử cố định, tuỳ ý Như ta coi biểu thức Và xem xét tích Và cách tính lớn Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Từ ta xây dựng hệ thức hàm biểu thức Thực đổi biến ta suy Từ suy Từ hệ thức minh ta thu điều phải chứng Vậy ta thu định lý TBC TBN cách đơn giản Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG 3.1.6 Đồng thức Jacobsthal Đây đồng thức tư tưởng biểu diễn thông qua hệ thức quen biết đẳng thức đáng nhớ Sử dụng kiến thức đẳng thức đáng nhớ Thì ta viết Từ có bất đẳng thức Becluni Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Khi ta gọi trung bình cộng, trung bình nhân số sử dụng đồng thức thu hệ thức Đồng thức cho ta hệ thức xuất phát từ bất đẳng thức nêu Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Thế vào ta thấy Hệ Đây phưong pháp hay chứng minh chênh lệch mà đo với So sánh độ chênh lệch tính toán thông qua hệ số Đó phân thức Ước lược lớn dần tiến đến Định lý trung bình cộng nhân hệ ngày Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG 3.1.7 Cực trị hàm số Khi sử dụng cực trị hàm số thông thường khó khăn ta xem xét số Với cố định, ta xem hàm số theo t Khi t biến thiên ta khảo sát hàm số hàm đồng biến số cho trước Như ta tính toán đạo hàm hàm số Ta thấy Và phương trình có nghiệm đạt Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Vì giá trị điểm giá trị nhỏ hàm Từ ta Đây bất đẳng thức cần tìm Như dẫn bất đẳng thức quen biết so sánh hiệu với Và chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân tăng dần theo số Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG 3.1.8 Hàm exponent Trong cấu trúc tất hàm xét sử dụng giải tích coi mẫu hàm luỹ thừa Đặc thù mẫu hàm đơn giản tính chất quan trọng đạo hàm cấp giữ nguyên Chính ta dừng khai triển Dừng cấp ta có Dấu đẳng thức xảy chuỗi Taylor điểm Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Khi ta có ta có Từ ta thay giá trị trung bình cộng Thì ta có bất đẳng thức tương ứng Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Tổ hợp vào ta tích Từ ta bất đẳng thức cần tìm Đây phương pháp sơ cấp, phép biến đổi thông thường, lợi dụng vào tính chất đạo hàm hàm tính toán luôn không đổi ta Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG 3.1.9 Hoán vị số Việc hoán vị kỹ thuật đặc biệt Có thể dễ dàng chứng minh bất đẳng thức TBC TBN: Nếu , thấy Vì dễ dàng suy Nếu hoán vị ngược lại Như vậy, không tính tổng quát, ta coi Khi Vì vậy: Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Tiếp theo, ta xem xét trung bình nhân số Ta đặt Thì, theo nhận xét ta có Ở phương pháp đơn giản cách sử dụng tính chất hoán vị số chứng minh bất đẳng thức TBC TBN cho số dương tuỳ ý ... Đồng thức Jacobsthal Đây đồng thức tư tưởng biểu diễn thông qua hệ thức quen biết đẳng thức đáng nhớ Sử dụng kiến thức đẳng thức đáng nhớ Thì ta viết Từ có bất đẳng thức Becluni Chương 3: Bất đẳng. .. cộng Thì ta có bất đẳng thức tương ứng Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Tổ hợp vào ta tích Từ ta bất đẳng thức cần tìm... bất đẳng thức cần tìm Như dẫn bất đẳng thức quen biết so sánh hiệu với Và chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân tăng dần theo số Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1