Chương Bất đẳng thức trung bình cộng nhân Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân • BÀI GIẢNG Trong chương liên quan đến: - Chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng (TBC) trung bình nhân (TBN) - Nêu ứng dụng bất đẳng thức TBC TBN vào toán cụ thể - Xét lớp toán đặc biệt khảo sát tính chất đa thức phân thức quy ứng dụng việc tính toán toán cực trị cho biểu thức có lũy thừa khác Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân • BÀI GIẢNG Trong việc xây dựng bất đẳng thức TBC TBN yếu tố quan thiết kế mô hình để chứng minh bất đẳng thức Theo ngôn từ Toán học - TBC trung bình số học - TBN trung bình hình học ⇒Đây bất đẳng thức nêu lên mối quan hệ TB số học TB hình học dấu đẳng thức xảy số số tức tất số hạng chúng xem xét hàm tuyển tập số không âm Đây định lý TBC TBN Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân • BÀI GIẢNG Gọi bất đẳng thức Cauchy Lý thứ nhất: - Phương pháp quy nạp Cauchy sáng tạo xây dựng quy nạp chiều, quy nạp tiến lùi: tiến bước lùi bước => Được phép quy nạp không theo kiểu thông thường để chứng minh bất đẳng thức cho số cách chứng minh bất đẳng thức đơn giản cho số số Chọn: Số hạng thứ TBC số hạng đằng trước ta bất đẳng thức TBC TBN cho số Tương tự ta bất đẳng thức TBC TBN cho m số cách tùy ý Do Cauchy đề xuất gọi Bất đẳng thức Cauchy Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân • BÀI GIẢNG Đến số sách VN bắt đầu thay đổi gọi theo tên định lý TBC TBN hay bất đẳng thức TB số học TB hình học Lý thứ hai: - Chương I ta gọi bất đẳng thức tam thức bậc bất đẳng thức Cauchy - tên gọi thống giới - Ta lại gọi bất đẳng thức BĐT Cauchy ⇒Tên gọi trùng Vì số nước Đông Âu Liên Xô trước gọi BĐT Bunhiacoski thực chất BĐT Bunhiacoski BĐT tích phân Gọi tên : Bất đẳng thức Trung bình cộng Trung bình nhân Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân • BÀI GIẢNG Phương pháp sử dụng quy nạp Cauchy phương pháp dễ trình bày học sinh dễ biến đổi Nhưng sáng tạo phương pháp chứng minh lại vấn đề lớn Nghĩ việc đặt xn = Để biến đổi bất đẳng thức cấp thứ n bất đẳng thức thức cấp thứ n-1 sáng tạo không dễ dàng suy => Không thể coi phương pháp chứng minh BĐT Cauchy phương pháp sơ cấp thông thường mà có ý tưởng sử dụng định lý trung bình tổng quát hàm số Phương pháp có giá trị lớn chứng minh quy nạp thông thường gặp khó khăn Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Bài toán 3.1 [Bất đẳng thức Ky Fan] Giả sử dương số Khi Dấu đẳng thức xảy Nếu chứng minh theo phương pháp quy nạp thông thường gặp nhiều khó khăn sử dung phương pháp quy nạp Cauchy BĐT Ky Fan BĐT TBC TBN cách chứng minh kết tương tự Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Còn sử dụng để chứng minh bất đẳng thức liên quan đến trung bình đồng bậc Bài toán 3.2 Giả sử số không âm Khi đó: Dấu đẳng thức xảy Đây bất đẳng thức quan trọng chứng minh phương pháp quy nạp theo kiểu Cauchy chứng minh phương pháp quy nạp thông thường Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Bên cạnh bất đẳng thức TBC TBN hay BĐT trung bình số học trung bình nhân ta có bất đẳng thức trung bình nhân trung bình điều hòa Nếu nhìn nhận mặt hình học ta có trung bình hình học trung bình điều hòa có bất đẳng thức liên quan a Nếu xét số P Q a < b dựng hình thang M MN- Trung bình cộng - Đường trung bình hình thang - Đây trung bình số học PQ - Trung bình điều hòa N b Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Phương pháp phương pháp biểu diễn đa thức đối xứng Đây tư tưởng sử dụng nhiều xét cấu trúc muốn mở rộng công thức quen biết Chẳng hạn xem xét khai triển nhị thức Newtơn Khi ta coi ta thấy tích tích thừa số: mở rộng thành thấy rằng: Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Khi ta có nhị thức Newtơn viết dạng: - trung bình cộng, - trung bình nhân số Các hệ số khác trung bình đồng bậc tương ứng Giữa TBC TBN loạt trung bình khác nữa, tên chúng chưa gọi thức Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Khi cho số dương liên quan ta sử dụng cách mô tả BĐT cách sử dụng định lý: “Một đa thức có tất nghiệm thực đạo hàm chúng có nghiệm thực” Vì đa thức có nghiệm thực, ta muốn tam thức bậc sinh đa thức khúc liên quan đến: - số ta cần đạo hàm cấp n-2 tam thức bậc có nghiệm ∆ ≥ ta so sánh hệ số với - số cuối ta cần đặt ta đa thức có hệ số cao chuyển số tự ta đạo hàm đến cấp n-2 - số liền khúc ta đạo hàm tới cấp bắt đầu xuất số sau thay ta đạo hàm bậc thứ Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân 3.1 ĐỊNH LÝ VỀ CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ NHÂN • BÀI GIẢNG Vì ta có kết luận: Từ ta có dãy bất đẳng thức tiếng Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân hệ bất đẳng thức ... chứng minh bất đẳng thức cho số cách chứng minh bất đẳng thức đơn giản cho số số Chọn: Số hạng thứ TBC số hạng đằng trước ta bất đẳng thức TBC TBN cho số Tương tự ta bất đẳng thức TBC TBN cho...Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân • BÀI GIẢNG Trong chương liên quan đến: - Chứng minh bất đẳng thức trung bình cộng (TBC) trung bình nhân (TBN) - Nêu ứng dụng bất đẳng thức TBC TBN vào... chất đa thức phân thức quy ứng dụng việc tính toán toán cực trị cho biểu thức có lũy thừa khác Chương 3: Bất đẳng thức trung bình cộng nhân • BÀI GIẢNG Trong việc xây dựng bất đẳng thức TBC TBN