A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I BỘ SỐ: ( x + y)2 x + y ≤ (" = " ⇔ x = y ) x y ≤ (Với x, y) x + xy + y ≥ ( x + y ) 2 x − xy + y ≥ (x + y) (" = " ⇔ x = y ) 1 + 2≥ y ( x + y)2 x (" = " ⇔ x = y ) 1 1 ≤ ( + ) x + y x y (" = " ⇔ x = y ) 1 (x + y)( + ) ≥ x y (" = " ⇔ x = y ) x + y ≥ xy ( x + y ) x + y ≥ xy ( x + y ) x5 + y ≥ x y ( x + y ) (" = " ⇔ x = y ) x+ y ≤ xy (x, y ≥ 1," = " ⇔ x = y = 1) ab a+b ≤ a + b (" = " ⇔ a = b = c) Hằng đẳng thức Lagrange: (a + b )(c + d ) = ( ac + bd ) + (ad − bc) II BỘ SỐ: a + b + c ≥ ab + bc + ca ⇒ a + b + c 2 (" = " ⇔ a = b = c) 2 ( a + b + c) ≥ ≥ ab + bc + ca a + b + c + ≥ 2( a + b + c ) (" = " ⇔ a = b = c ) a + b3 + c3 ≥ ab + bc + ca a + b3 + c3 ≥ 3abc a + b3 + c3 − 3abc ≥ (a + b + c)(a + b + c − ab − bc − ca ) a + b + c ≥ abc(a + b + c) a 2b2 + b c + c a ≥ abc(a + b + c ) (" = " ⇔ a = b = c) 1 a b c + + ≤ + + a b c bc ac ab bc ac ab a+b+c ≤ + + a b c 2 a b c a b c2 + + ≤ + + (a, b, c > 0) b c a b2 c2 a (" = " ⇔ a = b = c) (ab + bc + ca)(a + b + c ) ≥ 9abc (" = " ⇔ a = b = c) (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca) (" = " ⇔ a = b = c ) 1 1 ≤ ( + + ) a + b + c a b c (" = " ⇔ a = b = c ) Bất đẳng thức tam giác: abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c+ a − b) (" = " ⇔ a = b = c) III CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: • Các đại lượng trung bình hai số không âm: Với hai số không âm a, b Kí hiệu: a+b  A= trung bình cộng hai số a, b  G = ab trung bình nhân hai số a, b a2 + b2 trung bình toàn phương hai số a, b 2 H=  trung bình điều hòa hai số dương a, b 1 + a b Ta có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H  Q=  Chứng minh: Từ ( a− b ( a − b) ) ≥ ⇒ a − ab + b ≥ ⇒ a+b ≥ ab hay A ≥ G (1) ≥ ⇒ a − 2ab + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2ab hay ⇒ ( a + b ) ≥ ( a + b ) ⇒ a2 + b2 a + b hay Q ≥ A ≥ 2 (2)  1 1 2 Mặt khác  a − b ÷ ÷ ≥ ⇒ a + b ≥ ab ⇒ ab ≥ 1 hay G ≥ H (3)   + a b Kết hợp (1), (2), (3) ta có Q ≥ A ≥ G ≥ H Dấu “=” bất đẳng thức xảy a = b • Mở rộng cho n số không âm a1 , a2 , a3 , , an ta có: a + a + a + + an A= trung bình cộng n số a1 , a2 , a3 , , an n G = n a1a2 a3 an Q= H= trung bình nhân n số a1 , a2 , a3 , , an a12 + a2 + a32 + an trung bình toàn phương n số a1 , a2 , a3 , , an n n 1 1 trung bình điều hòa n số dương a1 , a2 , a3 , , an + + + ×××+ a1 a2 a3 an Ta có bất đẳng thức Q ≥ A ≥ G ≥ H Dấu “=” xảy a1 = a2 = a3 = = an * Chú ý: A, G, Q, H theo thứ tự viết tắt từ Arithmetic mean (trung bình cộng), Geometric mean (trung bình nhân), Quadratic mean (trung bình toàn phương) Harmonic mean (trung bình điều hòa) Các bất đẳng thức phụ: n = 2: ∀ x, y ≥ đó: n = 3: ∀ x, y, z ≥ đó: 2.1 x+ y ≥ xy x+ y+ z ≥ xyz 2.2 x + y ≥ xy x + y + z ≥ 3 xyz 2.3  x+ y  ÷ ≥ xy    x+ y+ z  ÷ ≥ xyz   2.4 ( x + y ) ≥ xy ( x + y + z ) ≥ 27 xyz n = 2: ∀ x, y ≥ đó: n = 3: ∀ x, y, z ≥ đó: 2.5 1 + ≥ x y x+ y 1 + + ≥ x y z x+ y+z 2.6 ≥ xy ( x + y ) ≥ xyz ( x + y + z ) IV CÁC PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: Kỹ thuật ghép đối xứng: Trong kỹ thuật ghép đối xứng cần nắm số kiểu thao tác sau: 2 ( x + y + z ) = ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x )  Phép cộng:  x+ y y+ z z+ x + + x + y + z = 2  Phép nhân: x y z = ( xy ) ( yz ) ( zx ) ; xyz= xy yz zx ( x, y, z ≥ 0) Kỹ thuật chọn điểm rơi: Trong kỹ thuật chọn điểm rơi, việc sử dụng dấu “ = ” BĐT Côsi quy tắc tính đồng thời dấu “ = ”, quy tắc biên quy tắc đối xứng sử dụng để tìm điểm rơi biến Kỹ thuật thêm bớt số Kỹ thuật tách nghịch đảo + ghép cặp nghịch đảo: Trong kỹ thuật tách nghịch đảo kỹ thuật cần tách phần nguyên theo mẫu số để chuyển sang TBN phần chứa biến số bị triệt tiêu lại số Tuy nhiên kỹ thuật tách nghịch đảo toán có điều kiện ràng buộc ẩn việc tách nghịch đảo học sinh thường bị mắc sai lầm Một kỹ thuật thường sử dụng kỹ thuật tách nghịch đảo, đánh giá từ TBN sang TBC kỹ thuật chọn điểm rơi Kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân: Kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng: Nếu đánh giá từ TBC sang TBN đánh giá với dấu “ ≥ ”, đánh giá từ tổng sang tích, hiểu nôm na thay dấu “ + ” dấu “ ” ngược lại đánh giá từ TBN sang trung bình cộng thay dấu “ ” dấu “ + ” Và cần phải ý biến tích thành tổng, tổng phải triệt tiêu hết biến, lại số Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo: Nội dung cần nắm bất đẳng thức sau: 1 1 ≥ ∀x, y, z > ( x + y + z )  + + ÷ ÷ x y z 1 + + ÷ ≥ n2 ∀x , x , , x >  x + x + + x + (1 n n)  x1 x2 xn ÷  Kỹ thuật đổi biến số: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu: 10 Kỹ thuật cộng mẫu: Các bất đẳng thức hay dùng: a) ∑ i =1 ≥ n n2 ∑ n a i =1 i b) 1 1 ≤ ( + ) a+b a b c) 1 + 2≥ x y ( x + y)2 (Dấu “=” xảy a1 = a2 = = an ) 11 Kỹ thuật chia tách hạng tử thích hợp: 12 Sử dụng điều kiện đưa bất đẳng thức không đồng bậc đồng bậc để dụng bất đẳng thức cổ điển quen thuộc: B BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ: Với a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn số thực tùy ý: (a1b1 + a2b2 + + an bn ) ≤ (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 , , bn2 ) Đẳng thức xảy (*) a a1 a2 = = = n (Quy ước mẫu tử b1 b2 bn 0) Trong (*), ta chọn = xi , bi = yi yi , với xi , yi ∈ R, yi > , ta thu bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức: Nếu x1 , x , , x n số thực y1 , y , , y n số thực dương thì: xn2 ( x1 + x + + x n ) x12 x22 + + + ≥ y1 y2 yn y1 + y + + yn Đẳng thức xảy x x1 x2 = = = n y1 y2 yn Với a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn số thực tùy ý: a1b1 + a2b2 + + anbn ≤ (a12 + a22 + + an2 )(b12 + b22 , , bn2 ) Đẳng thức xảy 0) (*) a a1 a2 = = = n (Quy ước mẫu tử b1 b2 bn ... ⇔ a = b = c ) Bất đẳng thức tam giác: abc ≥ (a + b − c)(b + c − a )(c+ a − b) (" = " ⇔ a = b = c) III CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ HAY SỬ DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: • Các đại lượng... chia tách hạng tử thích hợp: 12 Sử dụng điều kiện đưa bất đẳng thức không đồng bậc đồng bậc để dụng bất đẳng thức cổ điển quen thuộc: B BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY – SCHWARZ: Với a1 , a2 , , an ; b1 , b2... , bn2 ) Đẳng thức xảy (*) a a1 a2 = = = n (Quy ước mẫu tử b1 b2 bn 0) Trong (*), ta chọn = xi , bi = yi yi , với xi , yi ∈ R, yi > , ta thu bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức: Nếu