TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2014 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Đặt vấn đề Cho hàm số z = f (x, y ) đường cong C mặt phẳng tọa độ Oxy Hãy tính diện tích "hàng rào" dọc theo đường C có chiều cao điểm (x, y ) f (x, y ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Đặt vấn đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Đặt vấn đề Diện tích "hàng rào" cần tìm n S≈ f (xi , yi ).∆ i i=1 Đây tổng Riemann lấy giới hạn tổng ∆ i → ta tích phân đường loại I TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Định nghĩa Định nghĩa Nếu f (x, y ) hàm số xác định đường cong trơn C = AB tích phân đường loại I f dọc theo C n f (x, y )d = lim λ→0 AB f (xi , yi ).∆ i i=1 giới hạn tồn tại, với λ = max ∆ i i TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Định nghĩa Định nghĩa Nếu f (x, y ) hàm số xác định đường cong trơn C = AB tích phân đường loại I f dọc theo C n f (x, y )d = lim λ→0 AB f (xi , yi ).∆ i i=1 giới hạn tồn tại, với λ = max ∆ i i Chú ý f (x, y )d = AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d BA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB α.f (x, y )d = α AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d AB TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB α.f (x, y )d = α AB f (x, y )d AB 30 [f (x, y ) + g (x, y )]d = AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d + AB TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT g (x, y )d AB TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB α.f (x, y )d = α AB f (x, y )d AB 30 [f (x, y ) + g (x, y )]d = AB f (x, y )d + AB g (x, y )d AB 40 Nếu C = C1 ⊕ C2 f (x, y )d = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y )d + C1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT f (x, y )d C2 TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại không gian Định lý Cho hàm số f (x, y , z) liên tục cung AB Khi f (x, y , z)d = AB b f (x(t), y (t), z(t)) (x (t))2 + (y (t))2 + (z (t))2 dt = a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 30 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính I = Tính phân đường loại khơng gian y sin zd , với C C : x = cos t, y = sin t, z = t, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT t 2π TP HCM — 2014 31 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính I = Tính phân đường loại khơng gian y sin zd , với C C : x = cos t, y = sin t, z = t, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT t 2π TP HCM — 2014 31 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x (t) = − sin t; y (t) = cos t; z (t) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 32 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x (t) = − sin t; y (t) = cos t; z (t) = 2π sin t sin t (− sin t)2 + (cos t)2 + 12 dt = y sin zd = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 32 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Từ phương trình đường cong C : x = cos t, y = sin t, z = t ta có x (t) = − sin t; y (t) = cos t; z (t) = 2π sin t sin t (− sin t)2 + (cos t)2 + 12 dt = y sin zd = C = √ √ 2π sin tdt = t − sin 2t 2 2π 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT = √ 2π TP HCM — 2014 32 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính tích phân I = Tính phân đường loại không gian xzd , với C giao tuyến C mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y lấy phần x, z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 33 / 37 Tích phân đường loại Ví dụ Tính tích phân I = Tính phân đường loại khơng gian xzd , với C giao tuyến C mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y lấy phần x, z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 33 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại không gian Giải Viết phương trình tham số hóa giao tuyến Giao tuyến mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y thỏa x2 + y2 + z2 = ⇒ z2 = x2 + y2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x2 + y2 + x2 + y2 = z2 = x2 + y2 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 34 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Giải Viết phương trình tham số hóa giao tuyến Giao tuyến mặt cầu x + y + z = mặt nón z = x + y thỏa x2 + y2 + z2 = ⇒ z2 = x2 + y2 ⇒ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x2 + y2 + x2 + y2 = z2 = x2 + y2 x2 + y2 = z2 = TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 34 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Vì giao tuyến lấy phần z nên z = 1, x π π nên đặt x = cos t ta lấy phần t ∈ − , 2 Vậy giao tuyến C cần tìm có phương trình tham số   x = cos t   x (t) = − sin t π π t ⇒ y = sin t, − y (t) = cos t   2 z (t) = z =1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 35 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Khi I = xzd = C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 36 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Khi I = xzd = C π/2 = cos t.1 (− sin t)2 + (cos t)2 + 02dt = −π/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 36 / 37 Tích phân đường loại Tính phân đường loại khơng gian Khi I = xzd = C π/2 = cos t.1 (− sin t)2 + (cos t)2 + 02dt = −π/2 π/2 = [sin t]−π/2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 36 / 37 Kết thúc THANK YOU FOR ATTENTION TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 37 / 37 ... TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1d = L AB TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường. .. TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Đặt vấn đề TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Đặt vấn đề Diện tích. .. ta tích phân đường loại I TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT TP HCM — 2014 / 37 Tích phân đường loại Định nghĩa Định nghĩa Nếu f (x, y ) hàm số xác định đường cong trơn C = AB tích