PHẠM NGUN (Giáo viên chun luyện thi Tốn Tp Huế) CHINH PHỤC TỐN BẰNG SƠ ĐỒ TƯ DUY ĐẠI SỐ TẬP SOẠN THEO CẤU TRÚC CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO    Luyện thi vào lớp 10, chun Dành cho học sinh lớp Tài liệu tham khảo dành cho giáo viên Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 LỜI NĨI ĐẦU Nhằm giúp cho em học sinh chuẩn bị tốt cho kì thi vào 10 tuyển sinh vào trường THPT chất lượng Chúng tơi biên soạn : “ CHINH PHỤC TỐN BẰNG SƠ ĐỒ TƯ DUY” Nội dung sách trình bày theo dạng tốn, Ví dụ minh họa minh họa BÀI TẬP TỰ LUYỆN áp dụng Mỗi gồm phần: A Tóm tắt kiến thức cần học B Phương pháp giải dạng tốn: a Phần trình bày theo vấn đề: - Mỗi vấn đề khái qt sơ đồ tư duy, hướng giải nhanh minh họa - Mỗi dạng tốn có phương pháp giải, Ví dụ BÀI TẬP TỰ LUYỆN tự luyện có hướng dẫn giải hay đáp số nhằm giúp người đọc tự triểm tra lại kết - Đề kiểm tra cuối chương b Các BÀI TẬP TỰ LUYỆN chọn lọc tổng hợp từ Sách giáo khoa, đề thi vào 10 tỉnh nước, đề thi học sinh giỏi,… Chúng tơi hy vọng sách tài liệu tham khảo hữu ích giúp người đọc dễ dàng tiếp cận, nắm vững trau dồi kiến thức mơn Tốn Dù cố gắng q trình biên soạn, song khó tránh khỏi thiếu sót đình Chúng tơi xin đón nhận ý kiến phản hồi chân thành cảm ơn góp ý q độc giả để lần tái sau sách hồn thiện Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 SƠ ĐỒ – NỘI DUNG TRỌNG TÂM CHƯƠNG Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 Chương – CĂN THỨC I CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI Kiến thức trọng tâm a Căn bậc hai số học Căn bậc hai số khơng âm a số x cho • x =a Số dương a có hai bậc hai hai số đối nhau: • Số dương kí hiệu , số âm kí hiệu − a a Số có bậc hai số 0, ta viết • 0= Với số dương a, số • gọi bậc hai số học a a Số gọi bậc hai số học • Với hai số khơng âm a, b, ta có: a < b  a< b b Căn thức bậc hai Với A biểu thức đại số, ta gọi • thức bậc hai A A xác định (hay có nghĩa) • A A≥ A nế u A≥ Các dạng tốn A = A =  − A nế u A<  a Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa có nghĩa Ví dụ minh họa Tìm điều kiện biểu thức sau: a) −7x 2x+ b) Hướng dẫn giải: Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen c) −3x + Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 −7x a) Biểu thức Vậy x≤ xác định khi: biểu thức 2x+ b) Biểu thức −7x ≥ ⇔ x ≤ −7x xác định 2x + ≥ ⇔ 2x ≥ −6 ⇔ x ≥ −3 xác định khi: 2x+ x ≥ −3 biểu thức xác định −3x + c) Biểu thức xác định khi: Vậy ≥ ⇔ −3x + > ⇔ 3x < ⇔ x < −3x + x< Vậy biểu thức −3x + xác định Ví dụ minh họa Tìm điều kiện biểu thức sau: A = x2 − 6x + Hướng dẫn giải: A = x2 − 6x + = Biểu thức ( x − 1) ( x − 5) xác định khi:   x − 1≥  x ≥ ⇔ ⇔ x≥  x − ≥ x ≥   ⇔ ( x − 1) ( x − 5) ≥ ⇔    x − 1≤  x ≤  ⇔ ⇔ x≤   x − ≤  x ≤ Vậy x≥ x≤1 (Dạng biểu thức A xác định Ví dụ minh họa Tìm điều kiện xác định biểu thức: P= a+4 a+4 a +2 + 4−a 2− a Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen A.B ) Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 Hướng dẫn giải: Biểu thức P xác định Vậy a≥ a ≥ a ≥ a ≥ ⇔ ⇔ ⇔ 2 − a ≠  a ≠  a ≠ a≠ biểu thức P xác định Chú ý: Trong vừa có thức, vừa có mẫu thức nên cần tìm điều kiện để biểu thức khơng âm, đồng thời tìm điều kiện để mẫu biểu thức khác Riêng biểu thức a+2 ln dương nên khơng cần tìm điều kiện Để đơn giản hố việc nhận dạng tìm điều kiện, em tham khảo sơ đồ bên SƠ ĐỒ 2: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 SƠ ĐỒ 3: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIỂU THỨC CHỨA CĂN Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) c) e) − 3x b) −3x + d) 9x − f) − 2x 3x + 6x − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) x + x−2 x−2 x c) e) x −4 b) + x− d) 2x + f) x + x− x+ − 2x −2 x+ Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) c) e) x2 + b) 9x2 − 6x + d) − x+ f) 4x2 + − x2 + 2x − −2x2 − Bài Với giá trị x biểu thức sau có nghĩa: a) c) e) 4− x2 b) x2 − d) x(x + 2) f) x2 − 16 x2 − 2x − x2 − 5x + HƯỚNG DẪN GIẢI 10 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 Ta có: ∀x ≥ ⇒ VT = x − ≥ 0; VP = −20 < ⇒ Phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử : 3− + 15 − = a) Biểu thức ( 3( = = ) ( − 1) ( 1− 5) ( b) Biểu thức c) Biểu thức ) với ( 1− a) ( 1+ a) −1< a < a3 − b3 + a2b − ab2 với a > 0; b > =  a3 − ab2 ÷+  a2b − b3 ÷     = a  a2 − b2 ÷+ b  a2 − b2 ÷     = a ( a − b) + b ( a − b) = ( a − b) ( =( = ( a+ b )( b) ( a− b a− d) Biểu thức ( ) )( b) a+ b a+ a+ b ) x − y + xy2 − y3 = ( x − y) + y x − y y ) 84 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen với x > 0; y > ) 3− 3−1 1− a + 1− a2 = 1− a + ( ( ) − − = 1− a 1+ 1+ a ) 3−1 + Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 ( =( = )( y) ( ) ( y + y) x− y x+ y + y x− x+ x− y ) Bài Khử mẫu biểu thức dấu rút gọn (nếu được) : = a) Biểu thức ( 20 3− = ) = d) Biểu thức = 7 = = 21 7 5 = 35 10 11 11 11 11 33 = = = = 12 12 3 c) Biểu thức 3− = 7 = 20 b) Biểu thức = ( 3− ) 3 = ( 3− ) 3− Bài Khử mẫu biểu thức dấu rút gọn (nếu được) : − xy a) Biểu thức = − xy y xy = − xy = − xy x x x2 xy = − y xy x b) Biểu thức với xy x > 0; y ≥ −3x3 −3x2.x.35 x x = = −105x = − −105x 35 35 35 35 85 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen với x< Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 5a3 = 49b 5a2.ab 49b c) Biểu thức = −7xy xy −7xy Biểu thức = −7xy a = 7b 3xy = 3xy ( − xy) a 5ab 7b với 3xy ( xy) 5ab = = −7xy 3xy xy x < 0; y < với Bài 10 Trục thức mẫu : 2− a) = 2+ ( 2− 3) 6 = b) = ( ( 2) − ( 3) 2 2−3 )( 2+ = c) = ) 2− 2+ 3 ( 2 − 3) ( 2 + 3) ( 2) − ( 3) = 2+ 3 8− 27 2+ 3 −19 1+ a d) − 18 − = 18 18 2− = 3− −1 = 2+ 3 = 2− 2− = a = ( 1+ a) a a a = a+ a a 86 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen với a> a ≥ 0; b > d) Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 Bài 11 Trục thức mẫu : ( = 5+1 ( )( + 1) ( 5−1 5−1 a) Biểu thức ) − 1) 5−1 ( − 1) = 6− = 3− = ( 5) − 2 37 7+ = b) Biểu thức = ( ( ( 7+ 3) ( 7− 3) ) = 37( 7− 3) = 7− 37 7− ( ) 72 − 37 10 − − 10 = ( 10 − 5) ( 4+ 10) ( 4− 10) ( 4+ 10) = 10 10 = c) Biểu thức = 10 + 20 − 20 − 10 42 − 10 1+ a 2− a d) Biểu thức = ) 37 7− 2+ a + a + a 22 − ( a) = = ( 1+ a) ( 2+ a) ( − a ) ( 2+ a ) 2+ a + a 4− a với a > 0; a ≠ Bài 12 Rút gọn biểu thức sau : 60.3 15 a) Biểu thức 15 50.2 18 = 15 60.15 30 50.18 87 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen = 4.15.15 50.2.9 = 2.15 = 2.10.3 Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 ( ) 3− 27 b) Biểu thức x + xy c) Biểu thức x = x+ y = 3 − = 3 ( x+ y x+ y x− x2 − 4x + Nếu x − = − ( x − 2) x với x− = ( x − 2) d) Biểu thức x< )= = với , ta có: x2 − 4x + x− Nếu x> x− = x− , ta có: x2 − 4x + = ) 5− x > 0; y > x− x− x− ( = 3+ + 3− = a) Biểu thức = 32 − ( 2) = x− x− = = −1 x − − ( x − 2) x− x− = =1 x− x− 2 ( 3+ 2) ( 3− 2) − 2− 2+ b) Biểu thức = + 8− + ( 2) 3− + 3+ 6 = 9− Vậy biểu thức có giá trị là: − 42 = 16 =8 18− 16 Vậy biểu thức có giá trị là: 88 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen = ( x≠ y x≠ Bài 13 Thực phép tính : ) ( ) ( − 4) ( + 4) 2+ − 2− Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 5− 5+ + 5+ 5− = ( c) Biểu thức = ) ( ) ( + 3) ( − 3) 5− + 5+ 5− 15 + 3+ 5+ 15 + ( 5) − ( 3) 2 = 16 16 = =8 5− Vậy biểu thức có giá trị là: d) Biểu thức ( )( ) )  2 + 3− 2 − 3  ÷ − = 3.  ÷ 2−3 2+ 3  2−3 2+3 ÷   3 (    3  ÷ 18 = 3. = 3. ÷= − ÷ 2  ÷ 19  2 − 3 ÷  8− 27  ÷   ( ) ( ) − Vậy biểu thức có giá trị là: 18 19 Bài 14 Giải phương trình : x≥ a) Điều kiện: 2x − = − 1⇒ 2x − 1= Biến đổi phương trình dạng: ( ⇔ 2x − 1= 3− 2 ⇔ x = 2− Vậy nghiệm phương trình là: x≥ b) Điều kiện: −11 89 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen (thỏa mãn điều kiện) x = 2− ) −1 Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 ( 3x + 11 = 3+ ⇒ 3x + 11 = 3+ Biến đổi phương trình dạng: ⇔ 3x + 11= 11+ ⇔ x = 2 x= 2 x≥ −5 Ta có: với giá trị x≥ −5 VT = x + ≥ VP = − < , x+ = − Suy ra, phương trình d) Điều kiện: vơ nghiệm x ≥ −38 ( ) x + 38 = 3+ ⇒ x + 38 = 3+ Biến đổi phương trình dạng: ⇔ x + 38 = 14+ ⇔ x = −24 + Vậy nghiệm phương trình là: (thỏa mãn điều kiện) x = −24 + Bài 15 Tính giá trị biểu thức sau : ( 1+ x = Với −4 x ( x) = ( 1− x) 1− x x= ) 1− x a) Biểu thức 1− x + (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình là: c) Điều kiện: ) 1− x = 1+ x + ( ) x −4 x 1− x = 1− x , thay vào biểu thức rút gọn ta được: Vậy biểu thức có giá trị 1− 90 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen x= 1− x = 1− Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 ( x− y Với + xy + 1+ xy x =  y = ( ta được: + xy 1+ xy b) Biểu thức ( x) = ) ( y) = ( ( x) = x+ y ) − xy + ( y) + xy 1+ xy 1+ xy thay vào biểu thức rút gọn, x+ y 1+ ) =( ) +1 1+ Vậy biểu thức có giá trị = 1+ 1+ x =  y = x + y x3y2 + 2x2y3 + xy4 y x2 + 2xy + y2 c) Biểu thức ( ) 2 x + y xy x + 2xy + y x+ y = = y x = x ( x + y) y y x2 + 2xy + y2 Với x =  y = thay vào biểu thức, ta có: Vậy biểu thức có giá trị IV x ( x + y) = ( + 1) = x =  y = RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI 91 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 Kiến thức trọng tâm Để rút gọn biểu thức chứa bậc hai ta thường thực bước sau: - Bước 1: Tìm điều kiện xác định biểu thức (nếu đề chưa cho điều kiện) Chú ý điều kiện thức, điều kiện mẫu, điều kiện phần chia - Bước 2: Phân tích mẫu thành nhân tử, kết hợp phân tích tử phép biến đổi đơn giản - Bước 3: Bỏ ngoặc, thu gọn biểu thức cách hợp lý Kết hợp điều kiện tốn để kết luận Ví dụ minh họa 1: Rút gọn biểu thức sau (TS10 HCM 2015-2016): A= a) b) x x −1 x − 10 + + ( x ≥ 0, x ≠ 4) x−4 x −2 x +2 B = (13 − 3)(7 + 3) − 20 + 43 + 24 Hướng dẫn giải: a) Với A= ( x ≥ 0, x ≠ 4) ta có : x ( x + 2) + ( x − 1)( x − 2) + x − 10 x − = =2 x−4 x−4 92 Facebook: https://www.facebook.com/thayphamnguyen Phạm Ngun – ĐT: 0935555826 b) B = (13 − 3)(7 + 3) − 20 + 43 + 24 = (2 − 1) (2 + 3)2 − 20 + (4 + 3) = (3 + 4) − 20 + 2(4 + 3) = (3 + 4) − 28 + = (3 + 4) − (3 + 1) = 43 + 24 − 8(3 + 1) Ví dụ minh họa 2: Cho biểu thức: a− a  a +2 a  P =  + 1÷ − 1÷ ÷:  ÷  a −1   a +  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn P b) Tìm a để P = a = 3+ 2 c) Tính giá trị P d) Tìm a để P số ngun e) Tìm a để P