      + − − − = ∑       −       == N N N NN k j k j enxFTe N k N kX N X π ω ω π ω ω 2 )1( 1 0 . sin sin )( 1 ])([)( 2 2 [4.2-25] Các biểu thức [4.2-24] và [4.2-25] là công thức nội suy để tìm dạng gần đúng của X(e j ω ) từ N mẫu của [ ] NN nxDFT kX )()( = . Khi cho N → ∞ , sẽ nhận được hàm tần số X(e j ω ) chính xác của dãy x(n). 4.3 phép dịch vòng, tích chập vòng và các tính chất của DFT 4.3.1 Phép dịch vòng và tích chập vòng của DFT 4.3.1a Phép dịch vòng Chương một đã định nghĩa y(n) = x(n - n 0 ) là phép dịch tuyến tính dãy x(n) đi n 0 mẫu, và gọi vắn tắt là phép dịch. Đồ thị hình 4.8a cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy x(n) đi n 0 mẫu, sẽ thấy n 0 mẫu bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ, còn n 0 mẫu ở bên ngoài được đẩy vào mép trái cửa sổ. x(n) 5 x p (n) x(n-2) 5 x p (n-2) a. Đối với dãy x(n) 5 b. Đối với dãy tuần hoàn x p (n) Hình 4.8 : Quan sát sự dịch trễ tuyến tính các dãy x(n) 5 và x p (n). Đồ thị hình 4.8b cho thấy, khi quan sát trên một cửa sổ sự dịch trễ tuyến tính dãy tuần hoàn x p (n) đi n 0 mẫu, sẽ thấy như là n 0 mẫu bên mép phải bị đẩy ra khỏi cửa sổ lại được đẩy trở vào mép trái cửa sổ. Vì DFT được xây dựng trên cơ sở coi dãy không tuần hoàn x(n) N là một chu kỳ của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳ N, vì thế phép dịch tuyến tính dãy x(n) N sẽ phải tương tự như phép dịch dãy tuần hoàn x p (n). Từ đó, đối với DFT, có khái niệm phép dịch vòng. Định nghĩa phép dịch vòng : Dãy hữu hạn y(n) N = x(n - n 0 ) N là dịch vòng n 0 mẫu của dãy x(n) N , khi n 0 mẫu bị đẩy ra khỏi đoạn [0 , (N - 1)] sẽ quay vòng trở lại đầu kia. Các dãy y(n) N và x(n) N xác định trong đoạn [0 , (N - 1)]. Khi n 0 > 0 là dịch trễ (dịch vòng phải). Khi n 0 < 0 là dịch sớm (dịch vòng trái). Chú ý : Để phân biệt phép dịch vòng với phép dịch tuyến tính, người ta ký hiệu chỉ số độ dài N của dãy dịch vòng ở phía sau tên dãy. Như vậy, về bản chất phép dịch vòng dãy hữu hạn x(n - n 0 ) N chính là sự quan sát trên cửa sổ cố định rect N (n) phép dịch tuyến tính dãy hữu hạn x(n) N khi coi nó là một chu kỳ của dãy tuần hoàn x p (n) có chu kỳ N . Khi dịch vòng N lần dãy hữu hạn x(n) N sang trái hoặc sang phải thì sẽ nhận được đúng dãy x(n) N , do đó : NN nxnx N )()( =− [4.3-1] Vì dãy hữu hạn x(n) N chỉ xác định trong đoạn [0 , (N-1)], nên khi dịch vòng, mẫu x(N) N chính là mẫu x(0) N : NN xx N )()( 0 = . [4.3-2] Các mẫu của dãy dịch vòng NN nnxny )()( 0 −= được tìm theo nguyên tắc : NNN nxnxy N )()()( 00 00 −=−= NNN nxnxy N )()()( 00 111 −+=−= . 154 32- 1- 2 0 1 765- 3- 4 20 5- 1 7- 3 - 2- 4 631 20 5- 1 7631 2 71 3 650- 1 3 n n n n 3 4 11 3 4 3 4 3 2 1 1 2 2 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 3 4 1 2 NNNN NN xnnxnnxny )()()()( 1111 00000 −=−−+=−−=− NNNNN xxnnxnnxny NN )()()()()( 0 00000 ==−+=−= NNN xnnxny )()()( 111 000 =−+=+ NN nxy NN )()( 0 11 −−=− Ví dụ, đối với trường hợp 55 )()( 2 −= nxny thì n 0 = 2 và N = 5, nhận được : 5555 )()()()( 325200 xxxy =−=−= 5555 )()()()( 4215211 xxxy =−+=−= 55555 )()()()()( 05225222 xxxxy ==−+=−= 555 )()()( 1233 xxy =−= 555 )()()( 2244 xxy =−= Dãy biến đảo N nx )( − của phép dich vòng là dãy N nx )( 0 − , do đó có biểu thức : NN nxnx N )()( −=− [4.3-3] Ví dụ 4.4 : Hãy xác định dãy 55 )()( nxny −= của dãy )()( 55 2 nrectnx n = . Giải : Có : 12000 0 555 )()()( ===−= xxy N 1624151 4 555 )()()( ===−= xxy 823252 3 555 )()()( ===−= xxy 422353 2 555 )()()( ===−= xxy 221454 1 555 )()()( ===−= xxy Như vậy, dãy biến đảo y(n) N = x(-n) N có mẫu y(0) N = x(0) N , còn các mẫu từ y(1) N đến y(N - 1) N là đảo của các mẫu từ x(1) N đến x(N - 1) N , tức là có : y(1) N = x(N - 1) N ; y(2) N = x(N - 2) N ; . ; y(N - 1) N = x(1) N . Ví dụ 4.5 : Cho dãy )()()( 5 .25,01 nrectnnx −= . Hãy biểu diễn dưới dạng mảng và đồ thị dãy 5 )(nx , và các dãy dịch vòng 5 )( 2 − nx , 5 )( 1 + nx . Giải : Theo nguyên tắc dịch vòng đã nêu trên, có biểu diễn dạng mảng và đồ thị của các dãy 5 )(nx , và 5 )( 2 − nx , 5 )( 1 + nx như trên hình 4.9. 5 )(nx       = ↑ 0,25,0,5,0,75,0,1 5 )(nx 5 )( 2 − nx       =− ↑ 5,0,75,0,1,0,25,0 5 )2(nx 5 )( 1 + nx       =+ ↑ 1,0,25,0,5,0,75,0 5 )1(nx 155 0 , 2 5 1- 1 2 4 1 32 0 , 5 4 1 0 4 0 1 - 1 2 0 0 , 5 1 3 3- 1 1 n n n 0 , 2 5 0 , 2 5 0 7 5 0 7 5 0 7 5 0 , 5 Hình 4.9 : Biểu diễn dạng mảng và đồ thị dịch vòng dãy 5 )(nx 4.3.1b Tích chập vòng Trên cơ sở phép dịch vòng, có định nghĩa tích chập vòng của hai dãy có độ dài hữu hạn. Định nghĩa tích chập vòng : Tích chập vòng của hai dãy hữu hạn L nx )( 1 và M nx )( 2 là dãy hữu hạn N ny )( được tính theo biểu thức : ∑ − = −= 1 0 21 )(.)()( N NNN m mnxmxny [4.3-4] Với ],max[ ML N ≥ . Các dãy N mx )( 1 và N nx )( 2 là L mx )( 1 và M nx )( 2 được thêm vào các mẫu có giá trị bằng 0 để có độ dài N. Dãy N mnx )( 2 − là dịch vòng trễ m mẫu của N nx )( 2 . Tích chập vòng [4.3-4] được ký hiệu như sau : MLN nxnxny )(*)()( 21 = [4.3-5] Chú ý : Để phân biệt tích chập vòng với tích chập tuyến tính (vẫn được gọi vắn tắt là tích chập), người ta ký hiệu chỉ số độ dài của dãy tích chập vòng ở phía sau tên dãy. Tích chập vòng có các tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối. Để tính trực tiếp tích chập vòng, cũng phải tính từng giá trị của N ny )( như khi tính tích chập. Theo biểu thức tích chập vòng [4.3-4] có : ∑ − = −= 1 0 21 )(.)()( 0 N NNN m mxmxy ∑ − = −= 1 0 21 )(.)()( 11 N NNN m mxmxy . ∑ − = −−=− 1 0 21 )(.)()( 11 N NNN m mNN xmxy Trong đó, N mx )( 2 − là dãy đảo của N mx )( 2 , còn N mx )( 1 2 − là dãy dịch vòng trễ 1 mẫu của N mx )( 2 − , . , và N mx N )( 1 2 −− là dịch vòng trễ (N - 1) mẫu của N mx )( 2 − . Ví dụ 4.6 : Hãy tính tích chập vòng )(*)()( 35 nnrectny δ = Giải : Để thuận tiện tính toán, biểu diễn các dãy ở bảng 4.1 : Bảng 4.1 m 0 1 2 3 4 53 )(nrect 1 1 1 0 0 5 )(m δ 1 0 0 0 0 5 )( m − δ 1 0 0 0 0 5 )( 1 m − δ 0 1 0 0 0 5 )( 2 m − δ 0 0 1 0 0 5 )( 3 m − δ 0 0 0 1 0 5 )( 4 m − δ 0 0 0 0 1 Dựa vào bảng trên, tính được : 10.00.00.10.11.10 4 0 52515 )(.)()( =++++=−= ∑ = m mxmxy 10.00.00.11.10.111 4 0 52515 )(.)()( =++++=−= ∑ = m mxmxy 10.00.01.10.10.122 4 0 52515 )(.)()( =++++=−= ∑ = m mxmxy 034 55 )()( == yy Vậy : )()(*)()( 335 nrectnnrectny == δ [4.3-6] Biểu thức [4.3-6] là một ví dụ cho thấy, tích chập vòng của dãy bất kỳ với dãy xung đơn vị δ (n) cũng bằng chính dãy đó. Khi sử dụng các hệ xử lý số có bộ vi xử lý hoặc máy tính, bài toán tính tích chập vòng trên chỉ là một chương trình con khá đơn giản. 156 Chương một đã chứng minh, tích chập tuyến tính của hai dãy hữu hạn có độ dài L và M là dãy hữu hạn có độ dài )( 1 −+= MLN . Dưới đây sẽ xét quan hệ giữa tích chập tuyến tính và tích chập vòng của hai dãy hữu hạn có độ dài L và M qua một ví dụ cụ thể. Ví dụ 4.7 : Cho hai dãy )()( 21 2 nrectnx n = và )()( 32 nrectnx = . Hãy tính tích chập )(*)()( 21 nxnxny = và tích chập vòng )(*)()( 214 nxnxny = . Giải : Để ý rằng ở đây, )( 1 nx có độ dài 2 = L , )( 2 nx có độ dài 3 = M , còn độ dài tính tích chập vòng là 11324 −+=−+== MLN , tức là dãy tích chập tuyến tính )(ny và dãy tích chập vòng 4 )(ny có độ dài bằng nhau. Để tiện tính toán, biểu diễn các dãy ở bảng 4.2 : Bảng 4.2 Dịch tuyến tính Dịch vòng m -2 -1 0 1 2 3 4 m 0 1 2 3 )( 1 mx 0 0 1 2 0 0 0 41 )(mx 1 2 0 0 )( 2 mx 0 0 1 1 1 0 0 42 )(mx 1 1 1 0 )( 2 mx − 1 1 1 0 0 0 0 42 )( mx − 1 0 1 1 )( 1 2 mx − 0 1 1 1 0 0 0 42 )( 1 mx − 1 1 0 1 )( 2 2 mx − 0 0 1 1 1 0 0 42 )( 2 mx − 1 1 1 0 )( 3 2 mx − 0 0 0 1 1 1 0 42 )( 3 mx − 0 1 1 1 Dựa vào bảng trên, tính được tích chập tuyến tính : 10.00.21.10 1 0 21 )().()( =++=−= ∑ = m mxmxy 30.01.21.111 1 0 21 )().()( =++=−= ∑ = m mxmxy 31.01.21.122 1 0 21 )().()( =++=−= ∑ = m mxmxy 21.01.20.133 1 0 21 )().()( =++=−= ∑ = m mxmxy 0 )( = ny với mọi 4 ≥ n Tính tích chập vòng : 11.01.00.21.10 3 0 42414 )(.)()( =+++=−= ∑ = m mxmxy 31.00.01.21.111 3 0 42414 )(.)()( =+++=−= ∑ = m mxmxy 30.01.01.21.122 3 0 42414 )(.)()( =+++=−= ∑ = m mxmxy 21.01.01.20.133 3 0 42414 )(.)()( =+++=−= ∑ = m mxmxy Như vậy, tích chập vòng và tích chập tuyến tính của hai dãy đã cho là bằng nhau. Ví dụ trên là một minh chứng cho định lý sau : Định lý : Trong đoạn )]([ 1,0 − N , tích chập vòng MLN nxnxny )(*)()( 21 = với )( 1 −+= MLN đúng bằng tích chập tuyến tính MN nxnxny )(*)()( 21 = . Định lý trên được sử dụng để tính tích chập tuyến tính thông qua tích chập vòng. 4.3.2 Các tính chất của DFT 4.3.2a Tính chất tuần hoàn : Dãy ảnh X(k) N của DFT là dãy tuần hoàn với chu kỳ N. Với a là hằng số nguyên có : Nếu : ])([)( NN nxDFT kX = Thì : NN kXNkX a )()( =+ [4.3-7] 157 Chứng minh : Vì hàm mũ có tính tuần hoàn : njknakj ee N 11 )( ωω −+− = Nên theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : N N N N N NN kXNkX n njk n nakj enxenxa )(.)(.)()( 1 0 1 0 )( 11 ===+ ∑∑ − = − − = +− ωω Ví dụ 4.8 : Hãy vẽ đồ thị của dãy ][ 33 )()( nrect DFTkX = . Giải : Theo [4.2-16] với N = 3, có 3333 )(.)()( 3][ kDFTkX nrect δ == . Sử dụng tính chất tuần hoàn của DFT, vẽ được đồ thị )( kX như hình 4.10. )( kX Hình 4.10 : Đồ thị dãy 3333 )(.)()( 3][ kDFTkX nrect δ == . 4.3.2b Tính chất tuyến tính : DFT của tổ hợp tuyến tính các dãy hữu hạn N nx i )( bằng tổ hợp tuyến tính các DFT thành phần. Nếu : ])([)( NN nxDFT ii kX = Thì : NNNN kXkY i i i i ii AnxAnyDFT )(.)(.)()( ∑∑ =       == [4.3-8] Nếu các dãy N nx i )( có độ dài N i khác nhau thì phải tính DFT với độ dài N ≥ max[N i ], bằng cách thêm các mẫu 0 vào các dãy có độ dài ngắn hơn N. Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : ∑∑∑ − = − =       = 1 0 1 .)(.)(.)( N NNN n i njk ii i ii enxAnxADFT kY ω N N NNN kXkY i i i n njk i i i i ii AenxAnxADFT )( )()(.)( 1 0 1 ∑∑∑∑ ==       = − = − ω Ví dụ 4.9 : Cho các dãy )()( 21 nrectnx = và )()( 2 nnx δ = . Hãy tìm : ])()([)( 222 .2 nnrectDFT kY δ += . Giải : Theo tính chất tuyến tính có : ])([)]([)( 222 .2 nDFTnrectDFT kY δ += Sử dụng [4.2-18] và [4.2-16] với N = 2 , nhận được : )()()( 222 .22 kkkY rect += δ 4.3.2c DFT của dãy dịch vòng : Khi dịch vòng dãy x(n) N đi n 0 mẫu thì dãy biên độ tần số X(k) N  không thay đổi, chỉ có dãy pha tần số ϕ(k) bị dịch đi một lượng k ω 1 n 0 tương ứng. Nếu : )( .)()(])([ kj enxDFT kXkX NNN ϕ == Thì : [ ] ])([ 0 0101 .)()()( nkkjnjk eennxDFT NNN kXkX ωϕω −− ==− [4.3-9] Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : [ ] ∑∑ − = − − − = − −=−=− 1 0 0 1 0 00 0101 11 )()()( N N N NN n njknjk njk n njk eeennxennxnnxDFT ωω ωω [ ] 010101 )()()( 1 0 )( 00 njk n nnjknjk eennxennxDFT N N NN kX ωωω − − = −−− =−=− ∑ Ví dụ 4.10 : Hãy tìm )]([)( 0 nnrectDFT NN kY −= . Giải : Sử dụng biểu thức [4.2-18] và tính chất dịch vòng có : 01 )()]([)( . 0 njk ennrectDFT NNN kNkY ω δ − = −= 4.3.2d Dịch vòng tần số : Khi nhân dãy x(n) N với hàm mũ njk e 10 ω , với k 0 là hằng số, thì DFT của nó bị dịch vòng k 0 mẫu tương ứng. Nếu : )( .)()(])([ kj enxDFT kXkX NNN ϕ == Thì : [ ] NN kkX njk enxDFT )()( 0 10 −= ω [4.3-10] Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : 158 4- 5 6 . . . - 3- 4 1 2 3 5 3 - 6 - 2 - 1 0 . . . n [ ] ∑∑ − = −− − = − == 1 0 )( 1 0 01 1 1010 )()()( N N N NN n nkkj n njk njknjk enxeenxenxDFT ω ω ωω Hay : [ ] NN kkX njk enxDFT )()( 0 10 −= ω Ví dụ 4.11 : Hãy tìm ])([)( 1 3 nj enrectDFT NN kY ω = . Giải : Sử dụng biểu thức [4.2-18] và tính chất dịch vòng tần số có : NNN kNkY nj enrectDFT )(])([)( 3. 1 3 −= = δ ω Dịch vòng trong miền tần số k cũng giống như dịch vòng trong miền thời gian n. Tương tự như các biểu thức [4.3- 1], [4.3-2], và [4.3-3] có : NN kXNkX )()( =− [4.3-11] NN XNX )()( 0 = [4.3-12] NN kNXkX )()( −=− [4.3-13] Nếu x(n) N là dãy thực thì theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : N N N N NN kXkX n njk n nkj enxenx )(.)(.)()( * 1 0 1 0 )( 11 ===− ∑∑ − = − = −− ωω Do đó nếu x(n) N là dãy thực thì : NN kXkX )()( * =− [4.3-14] 4.3.2e DFT của tích chập vòng hai dãy : DFT của tích chập vòng hai dãy bằng tích các DFT của hai dãy thành phần. Nếu : NN kX nxDFT )(])([ 11 = và NN kX nxDFT )(])([ 22 = Thì : [ ] NNNNN kXkX nxnxnyDFT )(.)()(*)()( 2121 == [4.3-15] Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : [ ] ∑∑ − = − = − −= 1 0 1 0 21 1 )(.)()( N N NNN n m njk emnxmxnyDFT ω [ ] mjkmjk n m njk eeemnxmxnyDFT N N NNN 111 )(.)()( 1 0 1 0 21 ωωω − − = − = − ∑∑ −= [ ] ∑∑ − = − − = − −= 1 0 )( 2 1 0 1 11 .)(.)()( N N N NN n mnjk m mjk emnxemxnyDFT ωω Hay : [ ] NNNNN kXkX nxnxnyDFT )(.)()(*)()( 2121 == Tính chất trên được sử dụng để tính tích chập vòng thông qua DFT . Các bước tính MN nxnxny L )(*)()( 21 = như sau : - Tìm các DFT thuận : NN kX nxDFT )(])([ 11 = và NN kX nxDFT )(])([ 22 = - Từ đó có : NNN kXkXkY )()()( 2 . 1 = - Tìm DFT ngược : ])()([)( 2 . 1 NNN kXkX IDFTny = Ví dụ 4.12 : Hãy tính tích chập vòng )(*)()( 33 nnrectny δ = Giải : Sử dụng các biểu thức [4.2-18] và [4.2-16] với N = 3 được : 3331 )(.)]([)( 3 kkX nrectDFT δ == )(])([)( 3332 kkX rectnDFT == δ 33332 . 313 )(.)()(.)()()( 33 kkkkXkXkY rect δδ === )(])(.[])()([)( 3332 . 313 3 nrectIDFTIDFTny kkXkX === δ Đúng với kết quả tính trực tiếp tích chập vòng này ở ví dụ 4.5. 4.3.2f DFT của tích hai dãy : DFT của tích hai dãy bằng tích chập vòng các DFT của hai dãy thành phần chia cho N. Nếu : NN kX nxDFT )(])([ 11 = và NN kX nxDFT )(])([ 22 = Thì : [ ] ∑ − = −== 1 0 2121 )()( 1 )(.)()( N NNNNN l llnxnxnyDFT kXX N [4.3-16] Hay : [ ] NNNNN kXkX N nxnxnyDFT )(*)( 1 )(.)()( 2121 == [4.3-17] Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : [ ] ∑ − = − = 1 0 21 1 )(.)()( N NNN n njk enxnxnyDFT ω Khi thay x 1 (n) bằng biểu thức DFT ngược [4.2-4] của nó : ∑ − = = 1 0 11 1 )( 1 )( N NN l njl elnx X N ω 159 Nhận được : [ ] ∑ ∑ − = − − =       = 1 0 2 1 0 1 11 )(.)( 1 )( N N N NN n njk l njl enxelnyDFT X N ωω [ ] ∑ ∑ − = − = −− = 1 0 1 0 )( 21 1 )()( 1 )( N N NNN l n nlkj enxlnyDFT X N ω [ ] NN N NNN kXkX N kXX N l llnyDFT )(*)( 1 )()( 1 )( 21 1 0 21 =−= ∑ − = 4.3.2g Quan hệ Parseval : Năng lượng của tín hiệu số có thể được tính qua phổ rời rạc DFT theo công thức Parseval : ∑∑ − = − = == 1 0 2 1 0 2 )( 1 )( N N N N nn x kX N E nx [4.3-18] Chứng minh : Dùng [4.3-16] với NNN nxnxnx )()()( 21 == nhận được [4.3-18]. 4.3.2h DFT của dãy đảo dấu : DFT của dãy thực x(n) N và dãy thực đảo dấu x(-n) N là cặp dãy liên hợp phức. Nếu : )( .)()(])([ kj enxDFT kXkX NNN ϕ == Thì : [ ] )(* .)()()()( kj enxDFT kXkXkX NNN ϕ − ==−=− [4.3-19] Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : [ ] N N N N NN kX n nkj n njk enxenxnxDFT )()()()( 1 0 )()( 1 0 11 −=−=−=− ∑∑ − = −−− − = − ωω Vì x(n) N là dãy thực nên theo [4.3-14] thì NN kXkX )()( * =− , do đó có [4-52]. Như vậy, các dãy thực nhân quả và phản nhân quả tương ứng có dãy biên độ tần số giống nhau, còn dãy pha tần số ngược dấu. 4.3.2i Tính đối xứng của DFT : Nếu x(n) N là dãy phức và : NN kX nxDFT )(])([ = Thì : [ ] NNN kNXkX nxDFT )()()( *** −=−= [4.3-20] Các dãy N kNX )( * − và N kNX )( − là liên hợp phức, và N kNX )( − là dãy đối xứng vòng của N kX )( . Chứng minh : Theo biểu thức DFT thuận [4.2-3] có : [ ] [ ] { } ∑∑ − = − − = − == 1 0 * * * 1 0 ** 11 )()()( N N N NN n njk n njk enxenxnxDFT ωω 160 . Biểu thức [4.3-6] là một ví dụ cho thấy, tích chập vòng của dãy bất kỳ với dãy xung đơn vị δ (n) cũng bằng chính dãy đó. Khi sử dụng các hệ xử lý số có bộ