Đang tải... (xem toàn văn)
BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11 A. ĐẠI SỐ GIẢI TÍCH CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN I. CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1 Tìm giới hạn của dãy số, của hàm số. Phương pháp: Vận dụng các định lí về giới hạn hữu hạn và các quy tắc tìm giới hạn vô cực Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của dãy số: +) Nếu limun = + thì limun limvn = L lim(unvn) L >0 L < 0 L >0 L < 0 limun=L limvn Dấu của vn L >0 0 + L > 0 L < 0 + L < 0 Các quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số: +) Nếu thì + ∞ L > 0 + ∞ ∞ ∞ + ∞ L < 0 ∞ ∞ + ∞ Dấu của g(x) L > 0 0 + + ∞ ∞ L < 0 + ∞ + ∞ Chú ý khi gặp các dạng vô định: ta phải khử các dạng vô định đó bằng cách: chia tử và mẫu cho n hoặc x mũ lớn nhất; phân tích tử hoặc mẫu thành nhân tử để đơn giản, nhân cả tử và mẫu với một lượng liên hợp;… 2 Xét tính liên tục của hàm số Phương pháp: Xét tính liên tục của hsố f(x) tại x0: +) Tính f(x0) +) Tìm (nếu có) Nếu không tồn tại f(x) gián đoạn tại x0. Nếu f(x) gián đoạn tại x0 Nếu f(x) liên tục tại x0. 3 Chứng minh sự tồn tại nghiệm của một phương trình. Phương pháp: Vận dụng hệ quả của định lí về giá trị trung gian: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a;b và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm nằm trong (a ; b). BÀI TẬP ÁP DỤNG Vấn đề 1:Giới hạn của day số Bài 1: Tìm các giới hạn sau: ĐS: a) 3 b) + c) 0 d) 1 f) 1 g) 23 h) 12 Bài 2 : Tính các giới hạn sau: ĐS: a) + b) c) + d) + e) f) g) Bài 3 : Tính các giới hạn sau: ĐS: a) 0 b) 32 c) 13 d) 12 Vấn đề 2:Giới hạn của hàm số 1) Dạng : Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau: a b c) d) e) ĐS: a) 6 b) 1 c) 4 d) 32 e) 43 Bài 2: Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) b) c) d) e) ĐS: a) 16 b) 24 c) 43 d) 2 e) 0 2)Dạng : Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) b) d) d) f) ĐS: a) 12 b) c) 0 d)1 e)13 f) 15 3) Dạng: a.: Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) ĐS: a) + b) c) + d) + e) f) + 4) Dạng (hay 0. ): Bài 1: Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) b) c) d) ĐS: a) 0 b) 1 c) 14 d) 12 5) Dạng :Giới hạn một bên: Bài 7: Tìm giới hạn của các hàm số sau: a) b) c) d) e) f) ĐS: a) b) c) + d) + e) 1 f) + Vấn đề 3:Xét tính liên tục của hàm số 1) Dạng 1: xét tính liên tục của hàm số tại 1 điểm Bài 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau: a) tại x0 = 2 b) tại x0 = 3 c) tại x0 = 1 d) tại x0 =2 e tại x0 = f) tại x0 = 2 ĐS: a) liên tục ; b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục
TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA NĂM:2013-2014 BÀI TẬP ÔN TẬP HỌC KỲ II, MÔN TOÁN LỚP 11 A ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH CHƯƠNG IV : GIỚI HẠN I CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1/ Tìm giới hạn dãy số, hàm số Phương pháp: Vận dụng định lí giới hạn hữu hạn quy tắc tìm giới hạn vô cực - Các quy tắc tìm giới hạn vô cực dãy số: +) Nếu limun = +∞ lim un =0 limun=L L >0 L>0 L x ≤ ĐS: a) hsliên tục R ; c) hsliên tục R ; x ≠ x0 = x = x x < x2 ≤ x < d) f ( x ) = − x − x + x ≥ b) hs liên tục khoảng (-∞; 3), (3; +∞) bị gián đọan x = d) hs liên tục khoảng (-∞; 1), (1; +∞) bị gián đọan x = * Vấn đề 4:Chứng minh tồn nghiệm phương trình Bài 1: Chứng minh phương trình: a) x − x + = có nghiệm b) x − x − = có nghiệm TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA NĂM:2013-2014 c) x − x + = có nghiệm d) x − 10 x − = có nghiệm e) cosx = x có nghiệm thuộc khoảng (0; π/3) f) cos2x = 2sinx – = có nghiệm g) x + x − = có nghiệm phân biệt ( ) ( x + 1) + x − x − = có nghiệm thuộc khoảng (-1; -2) với m i) m ( x − 1) ( x − ) + x − = có nghiệm với m h) − m 2 CHƯƠNG V: ĐẠO HÀM CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP 1/ Các công thức tính đạo hàm: (C) ′ =0 Đạo hàm hàm số sơ cấp (C lµ h»ng sè) ( x ) ′ =1 ( x )′ =n.x n Đạo hàm hàm số hợp (kx)’=k (k lµ h»ng sè ) (n ∈ N, n ≥ 2) n-1 ′ k k ÷ =− x x ( x )′ = x / ( sin x ) = cos x ( n ′ k k.U′ ÷ =− U U (x>0) ( U) ′ = U ′ n-1 (x ≠ 0) U′ U (U ≠ 0) (U > 0) ( sin U ) / = cosU U / ( cos U ) / = − sin U U / ( cos x ) / = − sin x ( tgx ) / = 12 = + tg x cos x ( cot gx ) / = − 12 = − + cot g x sin x (U )′ =n.U U/ cos U ( cot gU ) / = − 12 U / sin U ( tgU ) = / ) - Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) ( U ± V) ′ = U′ ± V ′ ′ U U′.V − U.V ′ ÷= V2 V - Đạo hàm cấp cao hàm số Đạo hàm cấp : ( UV ) ′ = U′V + UV ′ (k.U)′ = k.U′ (k số) ′ 1 ÷ =− V V f "(x) = [ f(x)'] ' n n-1 Đạo hàm cấp n : f (x) = f(x) ' 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Phương pháp:pt tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M0 có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + y0 Trong đó: x0 hoành độ tiếp điểm y0 =f(x0) tung độ tiếp điểm TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA NĂM:2013-2014 f’(x0 ) hệ số góc cuả tiếp tuyến BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm đạo hàm hàm số sau điểm ra: x −1 a) y = x2 + x ; x0 = b) y = ; x0 = c) y = ; x0 = d) y = x - x; x0 = x +1 x 2x −1 π e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y = ; x0 = g) y = x.sinx; x0 = x −1 Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau: x y = x − x + y = x − + 3 y = 10 x + y = ( x + 2)( x + 1) x 2 y = x (3 x − 1) y = ( x + 5) y = ( x + 1)(5 − 3x ) y = x ( x − 1)(3x + 2) 2x 2x − 6x + y = ( x + 1)( x + 2) ( x + 3) 10 y = 11 y = x −1 2x + 5x − 12 y = 13 y = x + x + 14 y = x − + x + 15 y = ( x + 1) x + x + x + x +1 3x - 3x − x + x − 2x + 16 y = 18) y = 19) y = (x7 + x)2 17 y = x x + 2x − 2x + 1+ x 20) y = x2 − 3x + 21) y = 22) y = 23) y= x + x 1− x x x 1+ x 24) y= 25) y= (2x+3)10 26) y= x (x2- x +1) 1− x Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: + sin x 1) y = sin x sin 3x 2) y = (1 + cot x ) 3) y = cos x sin x 4) y = − sin x sin x + cos x π cosx + cotx 6) y = 7) y = cot (2x + ) 8) y = + tan2 x 9) y = − 3sin3 x sin x − cos x x 10) y = + cos 11) y = 12) y = sin - 3x 13) y = cos ( x3 ) (1 + sin 2 x ) 2 14) y= 5sinx-3cosx 15) y = x.cotx 18) y = sin2(cos3x) 19) y = 16) y = cot 1+ x2 xsinx 1+ tanx 20) y = Bài 5: Cho hai hàm số : f ( x ) = sin x + cos x g ( x) = f '( x) = g '( x) (∀ x ∈ ℜ ) Bài 6: Cho y = x − x + Tìm x để: a) y’ > x < ĐS: a) b) − < x < + x > sinx x + x sinx 17) y= sin(sinx) 21) y = tan x+1 cos x Chứng minh rằng: b) y’ < Bài 7: Giải phương trình : f’(x) = biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x b) f(x) = 3sinx − cosx + x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA Bài 8: Cho hàm số f(x) = 1+ x Tính: NĂM:2013-2014 f(3) + (x − 3)f '(3) Bài 9: CMR hàm số sau thỏa mãn hệ thức cho a) y = x− ; 2y'2 = (y − 1)y" x+ b) y = 2x − x2 ; y3y"+ = c) Cho hàm số y = sin3 x + cos3 x ; y’' = - y 1− sinx.cosx d) Cho y = x− ; x+ 2(y’)2 =(y -1)y’’ e) Cho y = − cotg3x + cotgx+ x + + ; y’ = cotg4x π π cos2 x ; f ( ) − 3f '( ) = 1+ sin x g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = x2 + 2x + h) Cho hàm số: y = Chứng minh rằng: 2y.y’’ – =y’2 i) Cho hàm số y = cos22x a) Tính y”, y”’ b) Tính giá trị biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – f)Chof(x)= x2 + x (C) x−2 a) Tính đạo hàm hàm số x = -1 b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = -1 Bài 10: Cho hàm số y = Bài 11: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + Bài 12: Gọi ( C) đồ thị hàm số : y = x − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2) b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – Bài 13: Cho đường cong (C): y = a) Tại điểm có hoành độ b) Tại điểm có tung độ x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x−2 c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc −4 B HÌNH HỌC CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng a b vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh góc hai đường thẳng a b 900 TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA • • • rr NĂM:2013-2014 r r Phương pháp 2: a ⊥ b ⇔ u v = ( u , v vectơ phương a b) Phương pháp 3: Chứng minh a ⊥ (α ) ⊃ b b ⊥ ( β ) ⊃ a Phương pháp 4: Áp dụng định lí đường vuông góc ( a ⊥ b ⇔ a ⊥ b ' với b’ hình chiếu đt b lên mp chứa đt a) Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d vuông góc với mp (P) • Phương pháp 1: Chứng minh: d ⊥ a d ⊥ b với a ∩ b = M; a,b ⊂ (P) • Phương pháp 2: Chứng minh d // a, a ⊥ (P) • Phương pháp 3: Chứng minh: d ⊂ (Q) ⊥ (P), d ⊥ a = (P) ∩ (Q) • Phương pháp 4: Chứng minh: d = (Q) ∩ (R) (Q) ⊥(P), (R) ⊥ (P) Dạng 3: Chứng minh hai mp (P) (Q) vuông góc • Phương pháp 1: Chứng minh (P) ⊃ a ⊥ (Q) • Phương pháp 2: Chứng minh (P) // (R) ⊥ (Q) • Phương pháp 3: Chứng minh (P) // a ⊥ (Q) Dạng 4: Tính góc đt a b • Phương pháp: - Xác định đt a’// a, b’// b ( a’ ∩ b’ = O) - Khi đó: (a, b) = (a’, b’) Dạng 5: Tính góc đt d mp(P) • Phương pháp: Gọi góc đt d mp(P) ϕ +) Nếu d ⊥ (P) ϕ = 900 +) Nếu d không vuông góc với (P): - Xác định hình chiếu d’ d lên mp(P) - Khi đó: ϕ = (d,d’) Dạng 6: Tính góc ϕ hai mp (P) (Q) • Phương pháp 1: - Xác định a ⊥ (P), b ⊥ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b) • Phương pháp 2: Nếu (P) ∩ (Q) = d - Tìm (R) ⊥ d - Xác định a = (R) ∩ (P) - Xác định b = (R) ∩ (Q) - Tính góc ϕ = (a,b) Dạng 7: Tính khoảng cách • Tính khoảng từ điểm M đến đt a: Phương pháp: d ( M , a ) = MH (với H hình chiếu vuông góc M a) • Tính khoảng từ điểm A đến mp (P): Phương pháp: - Tìm hình chiếu H A lên (P) - d(M, (P)) = AH • Tính khoảng đt ∆ mp (P) song song với nó: d(∆, (P)) = d(M, (P)) (M điểm thuộc ∆) • Xác định đoạn vuông góc chung tính khoảng đt chéo a b: +) Phương pháp 1: Nếu a ⊥ b : - Dựng (P) ⊃ a (P) ⊥ b - Xác định A = (P) ∩ b - Dựng hình chiếu H A lên b - AH đoạn vuông góc chung a b TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA NĂM:2013-2014 +) Phương pháp 2: - Dựng (P) ⊃ a (P) // b - Dựng hình chiếu b’ b lên (P) b’ // b, b’ ∩ a = H - Dựng đt vuông góc với (P) H cắt đt b A - AH đoạn vuông góc chung a b +) Phương pháp 3: - Dựng đt (P) ⊥ a I cắt b O - Xác định hình chiếu b’ b (P) (b’ qua O) - Kẻ IK ⊥ b’ K - Dựng đt vuông góc với (P) K, cắt b H - Kẻ đt qua H song song với IK, cắt đt a A - AH đoạn vuông góc chung a b BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B có AC=2a,BC=a SA ⊥ (ABC),SA= a a) b) c) d) Chứng minh: BC ⊥ (SAB) Gọi AH đường cao ∆SAB Chứng minh: AH ⊥ SC Xác định tính góc (SBC) (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bài 2: Cho tứ diện ABCD có AB=ACvà ·ACB = 300 ,AD⊥(ABC) Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: (DBC)⊥ (DAI) b) Gọi AH đường cao ∆ADI Chứng minh: AH ⊥ (BCD) c) Xác định góc (DBC) (ABC) d) Xác định đoạn vuông góc chung BC AD Bài 3: Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đôi vuông góc OA= OB = OC = a Gọi I trung điểm BC; H, K hình chiếu O lên đường thẳng AB AC a) CMR: BC ⊥ (OAI) b) CMR: (OAI) ⊥ (OHK) c) Tính khoảng cách từ điểm O đến mp (ABC) ĐS: a/ d) Tính côsin góc OA mp (OHK) ĐS: cosα = / Bài 4: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên cạnh đáy a (còn gọi tứ diện cạnh a).Gọi I trung điểm BC,O chân đường cao hình chóp a)Chứng minh: (SAI)⊥ (SBC) b)Tính góc mặt bên mặt đáy c)Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a ,đường cao 3a.Gọi O giao điểm cuả AC BD.E,F trung điểm BC AD TỔ TOÁN TRƯỜNG THPT THANH HÒA a) b) c) d) NĂM:2013-2014 Chứng minh rằng: (SEF) ⊥ (SBC) Tính góc cạnh bên mặt đáy Tính góc mặt bên mặt đáy Dựng tính độ dài đoạn vuông góc chung AD SB Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, tâm O AB = SA = a, BC = a , SA ⊥ (ABCD) a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Gọi I trung điểm SC Chứng minh IO⊥ (ABCD) c) Tính góc SC (ABCD) d) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông A, AB = BC = a ·ADC = 450 Hai mặt bên SAB, SAD vuông góc với mặt đáy SA = a a) CMR: BC ⊥ mp(SAB) b) CMR: CD ⊥ SC c) Tính SC (SAB) d) Tính tang góc ϕ mp(SBC) mp(ABCD) f)Tính khoảng cách SA CD Bài 8: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có AA' ⊥(ABC) AA'=a,đáy ABC tam giác vuông A có BC=2a,AB= a a) CMR: AB ⊥ mp(ACC'A') b) Tính góc AC' BB’ c) Tính góc (ABC') (ABC) d) Tính khoảng cách từ AA' đến mp(BCC'B') 10 ... b) không liên tục ; c) liên tục ; d) không liên tục ; e) liên tục ; f) liên tục Bài 2: Tìm điều ki n số thực a cho hàm số sau liên tục x0 x2 − x − x2 x < x ≠ −1 f x = f ( x ) = a) ( ) ... y = ( x + 1)(5 − 3x ) y = x ( x − 1)(3x + 2) 2x 2x − 6x + y = ( x + 1)( x + 2) ( x + 3) 10 y = 11 y = x −1 2x + 5x − 12 y = 13 y = x + x + 14 y = x − + x + 15 y = ( x + 1) x + x + x + x +1 3x... 20) y = x2 − 3x + 21) y = 22) y = 23) y= x + x 1− x x x 1+ x 24) y= 25) y= (2x+3)10 26) y= x (x2- x +1) 1− x Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: + sin x 1) y = sin x sin 3x 2) y = (1 + cot x ) 3)