MỤC LỤC STT NỘI DUNG Phần một: Mở đầu I Lí chọn đề tài II Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu III Đối tượng nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu Phần hai: Nội dung TRANG 3 A Cơ sở lý luận B Thực trạng vấn đề nghiên cứu C Các giải pháp để giải vấn đề 10 I Hướng dẫn học sinh tiếp thu kiến thức 11 12 13 14 15 16 17 18 19 II Phân loại dạng toán Dạng 1: Bài toán xác định số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng 2: Căn bậc hai phương trình C Dạng 3: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z III Phụ lục: Giới thiệu số câu hỏi dạng TNKQ lời giải Phần ba: Kết luận Kết đạt Bài học kinh nghiệm Tài liệu tham khảo 7 12 17 20 20 21 22 PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI 1 Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức tay nghề, có lực thực hành, động, sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" [1] (Trích văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 ban hành Kết luận số 51 KL/TW Đề án “Đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế” [2] Trong năm qua giáo dục nước ta có đổi mạnh mẽ nội dung, phương pháp thu kết khả quan Việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học không giảng lí thuyết, mà trình luyện tập Luyện tập việc rèn luyện kỹ tính toán, kỹ suy luận mà thông qua qua giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Về mặt phương pháp, từ phương pháp dạy truyền thống phương pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), phương pháp trực quan, phương pháp thực hành, luyện tập đến xu hướng dạy học đại như: dạy học giải vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có hỗ trợ công nghệ thông tin, có sử dụng máy tính tạo không khí học tập hoàn toàn Với tinh thần đó, có đổi mặt phương pháp giảng dạy để phù hợp với giáo dục giai đoạn Trong công tác giảng dạy, trau dồi, tích luỹ kinh nghiệm qua học, qua tiết dạy dự nhiều tiết dạy đồng nghiệp giúp ngày hoàn thiện từ giúp em học sinh hăng say tìm tòi nghiên cứu học tập, em linh hoạt sáng tạo đường chiếm lĩnh tri thức II MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU Qua đề tài này, tác giả cố gắng làm sáng tỏ hệ thống kiến thức số phức, phép toán C, biểu diễn hình học số phức mặt phẳng phức, phương trình bậc hai số phương trình bậc cao đơn giản C để hình thành cho học sinh phương pháp giải dạng toán cách chủ động, tự tin khoa học III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các toán liên quan đến số phức nhân, chia, cộng trừ, khai bậc hai, lũy thừa hay giải phương trình tập số phức trường THPT thường gặp kỳ thi THPT Quốc Gia IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tập, Sách tham khảo, đề thi THPT Quốc Gia, đề giới thiệu Bộ GD – ĐT, đề giới thiệu Sở GD – ĐT tài liệu liên quan Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự đồng nghiệp, quan sát việc dạy học phần tập Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành tập thể lớp PHẦN HAI: NỘI DUNG A CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải toán ta thường thực bước: Bước 1: Huy động kiến thức: Là thao tác tư nhằm tái kiến thức có liên quan với toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, toán gặp, người làm toán phải biết cần biết ý tưởng kiểu như: ta gặp toán gần gũi với toán hay chưa? Nhà bác học Polia viết sách kinh điển với nội dung: "Giải toán ông có đề cập đến nội dung điều kiện thiết yếu”[3] Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là tổ hợp hành động, thao tác để xếp kiến thức biết yêu cầu toán lên hệ với để từ trình bày toán theo thể thống Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà phương pháp tương tự hay tổng quát hóa thao tác tư cần thiết cho người làm toán B THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Chúng ta biết, Số phức có vai trò quan trọng nhiều lĩnh khoa học, kỹ thuật, suốt thời gian dài giảng dạy trường Đại học, Cao đẳng Trung học chuyên nghiệp mà không giảng dạy phổ thông nên gây thiệt thòi cho nhiều học sinh điều kiện học tiếp Trước đòi hỏi khách quan thời đại bùng nổ thông tin khoa học kỹ thuật đại ngày nay, Bộ GD – ĐT đưa phần Số phức giảng dạy cho học sinh khối THPT (học sinh lớp 12), tạo hưởng ứng tích cực đội ngũ thầy cô giáo em học sinh Đây nội dung khó, song nội dung có kết khác nhiều so với mà em học sinh biết trước tập số thực, phần làm cho em có phần bỡ ngỡ định, dạy học sinh học, cần làm rõ để học sinh thấy đời Số phức thực tế khác quan, xuất cách tự nhiên, đồng thời ta cho em thấy rõ phần kiến thức cách cẩn thận, chắn Với đặc điểm vừa nêu, nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp em học sinh tiếp cận toán số phức cách đơn giản, nhẹ nhàng đảm bảo yêu cầu cần thiết nội dung này, giúp học sinh có nhìn cụ thể, rõ ràng vấn đề trường phổ thông, chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán tự luận TNKQ liên quan đến số phức thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia” Tôi mong qua đề tài góp phần làm tăng thêm khả tư khoa học, khả thực hành, kỹ giải toán phần số phức cho học sinh C CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP THU KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức a = a ' b = b ' Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i; z = z’ ⇔  Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ (ab '− a ' b)i Số phức liên hợp *) Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a - bi Chú ý: 10) z = z ⇒ z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z = z ; (2): z + z ' = z + z ' ; Môđun số phức (3): z.z ' = z.z ' ; (4): z z = a + b (z = a + bi) Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu z môđun số phư z, số thực không âm xác định sau: uuuuu v - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z = OM = a + b - Nếu z = a + bi, z = z.z = a + b2 Phép chia số phức khác - Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a 2+b2 > ).Ta định nghĩa số nghịch đảo z -1 số phức z ≠ số: - Thương 1 z-1= a + b z = z z z' phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z z' z '.z = z.z −1 = z z * Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hoán, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thông thường Phương trình bậc hai với hệ số phức Cho phương trình bậc hai a.z + b.z + c = với a, b, c ∈ £ a ≠ Phương trình có biệt thức ∆ = b − 4ac , Khi −b ± iδ với δ bậc hai ∆ 2a b * Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép z1 = z2 = − 2a a , b , c Đặc biệt: Khi số thực với : * Nếu ∆ ≠ phương trình có hai nghiệm z1,2 = −b ± ∆ +) ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt x1,2 = +) ∆ < phương trình có hai nghiệm phức x1,2 2a −b ± i ∆ = 2a II PHÂN LOẠI CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Bài toán xác định số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước Thuật toán: Bước 1: Gọi số phức cần tìm có dạng z = a +b.i (với a, b thực) Bước 2: Từ điều kiện ban đầu ta lập hệ phương trình với ẩn a, b Bước 3: Giải hệ phương trình để từ tìm a, b Một số tập minh họa: Nhóm 1: Các toán dạng tự luận Bài 1: Tìm số phức z biết z + z = ( − i ) ( − i ) (1) [4] Lời giải: Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ) ⇒ z = a − bi (1) ⇔ a + bi + 2(a − bi ) = (23 + 3.22 i + 3.2i + i )(1 − i) ⇔ a + bi + 2a − 2bi = (8 + 12i − − i )(1 − i ) = (11i + 2)(1 − i ) 3a = 13 13 ⇒ z = − 9i ⇔ 3a − bi = 11i − 11i + − 2i = 13 + 9i ⇔  −b = Bài 2: Tìm số phức z biết: z + 3z = ( − 2i ) ( + i ) (2) [4] Lời giải: Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ), ta có: (2) ⇔ a − bi + 3a + 3bi = ( − 12i + 4i ) ( + i ) = ( − 12i ) ( + i ) ⇔ 4a + 2bi = 10 − 24i + 5i − 12i = 22 − 19i ⇔ a = 11 −19 11 19 ;b = Vậy z = − i 12 2 2 Bài 3: (KA-2011) Tìm tất số phức z, biết z = z + z (3) Lời giải Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ), ta có (3) ⇔ ( a + bi ) = a + b + a − bi ⇔ a + b 2i + 2abi = a + b + a − bi 1  a = − ; b = 2b + a =  ⇔ 2b + a − bi − 2abi = ⇔  ⇔ b = 0; a = b + 2ab =  −1 −1 a = ; b = 2  Vậy số phức cần tìm là: z = 0; z = −1 −1 + i; z = − i 2 2 Các em gặp toán việc xác định số phức mà giả thiết toán có xuất số phức liên hợp mô đun Ta xét toán sau: Bài 4: (KA+A 2012) Cho số phức z thỏa mãn 5( z + i ) = − i (4) z +1 Tính môđun số phức ω = + z + z Lời giải: Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ), ta có (1) ⇔ 5(a − bi + i ) = 2−i a + bi + ⇔ 5a − 5i (b − 1) = 2a + 2bi + − − bi − i ⇔ 3a − − b − i (5b − − 2b + a + 1) = 3a − − b = a = ⇔ ⇒ ⇒ z = + i ⇒ ω = + + i + + 2i − = + 3i ⇒ ω = + = 13 b + a − = b =   Nhóm 2: Một số dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) Bài 1(TNKQ): Cho số phức z thỏa mãn: z.z = z − = Xác định phần thực z? A −1 B C D Lời giải Đặt: z = a + ib , với a, b ∈ ¡ ⇒ z = a − ib Ta có: z.z = ⇔ a + b = z − = ( a − 1) + i ( −b ) ⇒ z −1 = ⇔ ( a − 1) + ( −b ) = ⇔ ( a − 1) + b = 2 a + b = b = − a  a = −1 ⇔ ⇔ ⇒ a = −1 Ta có hệ phương trình :    2 2 b = a − + b = a − + − a = ( ) ( )    Chọn A Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn hệ thức: ( + 2i ) z + ( − 3i ) z = −2 − 2i Tính mô-đun z? A B C D Lời giải Gọi z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Phương trình cho trở thành ( + 2i ) ( x + yi ) + ( − 3i ) ( x − yi ) = −2 − 2i ⇔ ( x − 2y ) + ( 2x + y ) i + ( 2x − 3y ) + ( −3x − 2y ) i = −2 − 2i 3x − 5y = −2 x = ⇔ ( 3x − 5y ) + ( − x − y ) i = −2 − 2i ⇔  ⇔ ⇒ − x − y = −2 y = z = 12 + 12 = Chọn B Bài 3: Cho số phức z = − 2i Tính mô-đun số phức w = A 11 B 15 C 13 z2 ? z+z D Lời giải z = ( − 2i ) = − 2i z + z = suy ra: w = − 12i 25 13 = + 2i Do đó: w = +4 = 6 36 Chọn C Dạng 2: Căn bậc hai phương trình C Kiến thức liên quan: Căn bậc hai số phức: Định nghĩa: Cho số phức ω = a + bi Căn bậc hai số phức ω số phức z = a1 + b1i thỏa mãn z = ω Phương trình bậc hai tập số phức Xét phương trình az + bz + c = 0( a, b, c ∈ C ; a ≠ 0) Cách giải: Tính ∆ = b − 4ac Gọi ± k bậc hai ∆ , nghiệm phương trình là: z = −b − k −b + k ,z= 2a 2a Đặc biệt b=2b’, ta tính ∆ ' Gọi ± k ' bậc hai ∆ ' , nghiệm phương trình là: z = −b '− k ' −b '+ k ' ,z= a a Một số tập minh họa: Nhóm 1: Các toán dạng tự luận Bài 1: Tìm bậc hai số phức z = + 12i [4] Lời giải Giả sử m + ni (m; n∈ R) bậc hai z Ta có: (m + ni ) = + 12i ⇔ m + 2mni + n 2i = + 12i ⇔ m + 2mni − n = + 12i m − n = 5(1) m − n =  ⇔ ⇔ 2mn = 12 m = (2) n  2 6 Thay (2) vào (1) ta có:  ÷ − n = ⇔ 36 − n = 5n n n = ⇒ m = ⇔ n + 5n − 36 = ⇔ n = 4; n = −9(loai ) ⇒   n = −2 ⇒ m = −3 Vậy z có hai bậc hai 3+2i -3-2i Từ toán xác định bậc hai số phức, ta giải phương trình bậc hai C Ta xét toán sau: Bài 2: Giải phương trình: z + z + = [4] Lời giải ∆ ' = 22 − = −3 = 3i ⇒ bậc hai ∆ ' ±i Vậy nghiệm phương trình là: z = −2 + 3i, z = −2 − 3i Bài 3: Giải phương trình: z − (3i + 8) z + 11i + 13 = Lời giải ∆ = (3i + 8)2 − 4(11i + 13) = 4i + Giả sử m+ni (m; n∈ R) bậc hai ∆ Ta có: (m + ni ) = + 4i ⇔ m + 2mni + n 2i = + 4i ⇔ m + 2mni − n = + 4i m − n = 3(1) m − n =  ⇔ ⇔ 2mn = n = (2) m  m2 = 2 m − = ⇔ m − m − = ⇔ Thay (2) vào (1) ta được:   ÷ m  m = −1(loai) ⇒ m = ±2, n = ±1 ∆ có hai bậc hai + i -2 - i  3i + + i + = 2i + z = Do nghiệm phương trình  3i + − i − z = =i+3  Bài 4: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: 2 ( + i ) z − ( − i ) z − − 3i = Tính z1 + z2 [5] Lời giải Ta có ∆ ' = ( − i ) + ( + i ) ( + 3i ) = 16 Vậy phương trình có hai nghiệm phức z1 = 1 2 − i, z2 = − − i Do z1 + z2 = 2 2 Bên cạnh việc giải phương trình bậc hai, gặp phương trình bậc cao bậc 3, bậc Khi để giải phương trình ta phải biến đổi để quy phương trình bậc nhất, bậc hai thông qua phương trình tích dùng ẩn phụ: Bài 5: Giải phương trình: z + z + (4 + i) z + + 3i = (1) Lời giải Dễ thấy z = -i nghiệm (1) nên (1) ⇔ ( z + i)( z + (4 − i) z + − 3i) = z + i = ⇔  z + (4 − i ) z + − 3i = 0(2) Giải (2): ∆ = (4 − i )2 − 12 + 12i = 16 − − 8i − 12 + 12i = + 4i = + 2.2.i + i = (2 + i) 10 Vậy ∆ có hai bậc hai là: + i -2-i  −4 + i + + i = −1 + i z = Do nghiệm (2)   z = −4 + i − − i − = −3  Vậy (1) có nghiệm –i, -3, -1+i Bài 7: Giải phương trình sau tập số phức C: z − z + Lời giải : Nhận xét z=0 không nghiệm phương trình (1) z ≠ Chia hai vế PT (1) cho z2 ta : ( z + Đặt t= z − z2 + z + = (1) [5] 1 ) − ( z − ) + = (2) z z 1 Khi t = z + − ⇔ z + = t + z z z 5 Phương trình (2) có dạng : t2-t+ = (3) có ∆ = − = −9 = 9i Vậy PT (3) có nghiệm t= Với t= + 3i − 3i , t= 2 + 3i 1 + 3i ⇔ z − (1 + 3i ) z − = (4) ta có z − = z Có ∆ = (1 + 3i ) + 16 = + 6i = + 6i + i = (3 + i) Vậy PT(4) có nghiệm : z= (1 + 3i ) + (3 + i ) (1 + 3i ) − (3 + i ) i − = + i , z= = 4 Do PT cho có nghiệm : z=1+i; z=1-i ; z= i −1 − i −1 ; z= 2 Nhóm 2: Một số dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) Bài 1: Giải phương trình z − z + = tập số phức Chọn phát biểu đúng: A Phương trình có nghiệm B Phương trình vô nghiệm D Phương trình có hai nghiệm z = − C Phương trình có hai nghiệm z = + i, z = − 2 i, z = − 2 i i Lời giải Phương trình có: ∆ = − = −3 = ( 3i ) 11 Do phương trình có nghiệm: z = + 3 i, z = − i [5] 2 Chọn C Bài 2: Gọi z1 , z hai nghiệm phương trình z − 2z + = tập số phức Tìm mô2016 2017 đun số phức: w = ( z1 − 1) + ( z − 1) [6] A w = B w = C w = Lời giải Phương trình: z − 2z + = có ∆ ' = − = −1 = i z1 = − i z = + i D w = Suy phương trình có hai nghiệm  2017 Thay z1 = − i vào w ta w = ( −i ) + i 2016 = − ( i ) 2016 Thay z = + i vào w = i 2017 + ( −i ) = ( i ) 1002 i + ( i ) 1003 1007 i + ( i ) 1013 = −1 + i = −1 + i Vậy w = 2 Bài 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình ( + i ) z − ( − i ) z − − 3i = 2 Tính z1 + z ? [6] A B 10 C D 12 Lời giải Phương trình: ∆ ' = ( − i ) + ( + i ) ( + 3i ) = −16 2 2 Do phương trình có hai nghiệm phức: z1 = − i, z = − − i Vậy z1 + z = Chọn A Dạng 3: Bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z 1.Thuật toán: Bước 1: Gọi M(x, y) điểm xác định số phức z = x + y.i thỏa mãn yêu cầu toán Bước 2: Từ điều kiện ban đầu, ta thiết lập hệ thức cho x, y Bước 3: Từ hệ thức nhận ta suy quỹ tích cần tìm Một số tập minh họa: Nhóm 1: Các toán dạng tự luận Bài Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z, biết z thỏa mãn: z + − 3i = 1(*) z −4+i Lời giải Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R ), ta có (*) ⇔ x + + ( y − 3)i = x − − ( y − 1)i ⇔ ( x + 2) + ( y − 3) = ( x − 4) + ( y − 1)2 ⇔ x − y − = Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường thẳng có PT 3x − y − = [6] 12 Bài 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho số phức u = z + + 3i số z −i ảo Lời giải Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ R ) , u = x + + yi + 3i ( x + + ( y + 3)i )( x − ( y − 1)i ) = x + ( y − 1)i x + ( y − 1) Tử số x + y + x + y − + 2(2 x − y + 1)i  x2 + y + 2x + y − = ( x + 1) + ( y + 1) = ⇔ u số ảo   2 x − y + ≠ ( x; y ) ≠ (0;1), ( −2; −3) Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (−1; −1) , bán kính , khuyết điểm (0;1) (-2;-3).[6] Bài Tìm quĩ tích điểm M biểu diễn số phức ω = (1 + i 3) z + biết số phức z thỏa mãn: z − ≤ (1) Lời giải Giả sử ω = x + yi ( x, y ∈ R ) Ta có x + yi = (1 + i 3) z + ⇔ z = x − + yi x − + ( y − 3i ) ⇔ z −1 = 1+ i 1+ i x − + ( y − 3)i ( x − 3) + ( y − 3) x − + ( y − 3)i ≤2⇔ ≤2 (1) ⇔ ≤2 ⇔ 1+ i 1+ i ⇔ ( x − 3) + ( y − 3) ≤ 16 Vậy quĩ tích điểm M biểu diễn số phức hình tròn ( x − 3) + ( y − 3) ≤ 16 (kể điểm nằm biên) Nhận xét: Bên cạnh toán tìm quỹ tích điểm, gặp toán liên quan đến mô đun nhỏ lớn số phức Ta xét toán sau: Bài 4: Biết số phức z thỏa mãn u = ( z + − i )( z + + 3i ) số thực Tìm giá trị nhỏ |z| Lời giải Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ), ta có u = (a + + (b − 1)i )(a + − (b − 3)i ) 13 = a + b + 4a − 4b + + 2(a − b − 4)i u ∈ R ⇔ a − b − = ⇔ a = b + | z |min ⇔ | z |2 | z |2 = a + b = (b + 4) + b = 2b + 8b + 16 = 2(b + 2) + ≥ Dấu = xảy b = −2 ⇒ a = Vậy | z |min ⇔ z = − 2i Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn: z + i + = z − 2i Tìm giá trị nhỏ z ? [6] Lời giải Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ R ), Ta có a + bi + i + = a − bi − 2i ⇔ ( a + 1) + ( b + 1) = a + ( b + ) 2 ⇔ a + 2a + + b + 2b + = a + b + 4b + ⇔ 2a − 2b − = ⇒ a − b = ⇒ a = + b ⇒ a + b = ( b + 1) + b = 2b + 2b + ≥ ⇒ z ≥ 1 −1 ⇔a= ; b= Vậy Min z = 2 2 Nhóm 2: Một số dạng Trắc nghiệm khách quan (TNKQ) Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: log z − ( − 4i ) = A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính C Đường tròn tâm I ( 3; −4 ) bán kính D Đường tròn tâm I ( 3; −4 ) bán kính Lời giải Điều kiện z ≠ − 4i Gọi M ( x; y ) với ( x; y ) ≠ ( 3; −4 ) điểm biểu diễn số phức: z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) 2 2 Khi đó: log z − ( − 4i ) = ⇔ z − ( − 4i ) = ⇔ ( x − 3) + ( y + ) = ⇔ ( x − 3) + ( y + ) = Vậy tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z mặt phẳng tọa độ đường tròn tâm I ( 3; −4 ) bán kính R = Chọn C Bài 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ thỏa mãn điều kiện z − 5z − 5z = A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính C Đường tròn tâm I ( 5;0 ) bán kính D Đường tròn tâm I ( 5;0 ) bán kính Lời giải Đặt z = x + yi , ta có z = x − yi Do đó: z − 5z − 5z = ⇔ x + y − 5x − 5yi − 5x + 5yi = ⇔ ( x − ) + y = 25 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm thuộc đường tròn bán kính tâm I ( 5;0 ) 14 Chọn C Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi − ( + i ) = A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính C Đường tròn tâm I ( 5;0 ) bán kính D Đường tròn tâm I ( 1; −2 ) bán kính Lời giải 2 Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) , ta có: zi − ( + i ) = ⇔ − y − + ( x − 1) i = ⇔ ( x − 1) + ( y + ) = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I ( 1; −2 ) bán kính R = Chọn D Bài 4: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + = z − i A Đường thẳng qua gốc tọa độ B Đường tròn bán kính C Đường tròn tâm I ( 5;0 ) bán kính D Đường tròn tâm I ( 1; −2 ) bán kính Lời giải 2 Gọi z = x + yi, ( x, y ∈ ¡ ) , ta có: z + = z − i ⇔ ( x + 1) + yi = x + ( y − 1) i ⇔ ( x + 1) + y = x + ( y − 1) ⇔ x + + 2x + y = x + y − 2y + ⇔ y = − x Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng y = − x qua gốc tọa độ 2 Chọn A Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + − i = 2 2 2 2 A ( x + 1) + ( y − 1) = B ( x − 1) + ( y − 1) = C ( x + 1) + ( y − 1) = D ( x + 1) + ( y − 1) = Lời giải M ( x; y ) , x, y ∈ ¡ ⇒ z = x + yi ⇒ z + − i = ⇔ ( x + 1) + ( y − 1) = 2 Vậy tập hợp điểm M cần tìm đường tròn: ( x + 1) + ( y − 1) = 2 Bài 6: Cho số phức z = x +yi, với x, y ∈ ¡ có điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng d : x − y + = x + i − 2z có giá trị nhỏ Số phức z là: 5 A z = + i B z = − 14 + i 5 C z = 14 + i 5 5 D z = − + i Lời giải Ta có: điểm biểu diễn M thuộc đường thẳng d nên: x − y + = ⇔ x = y − x + i − 2z = x + i − 2x + 2yi = − x + ( 2y + 1) i = ( −x ) + ( 2y + 1) = ( y − 3) + ( 2y + 1) = 5y − 2y + 10 x + i − 2z đạt giá trị nhỏ f ( y ) = 5y − 2y + 10 đạt giá trị nhỏ f ' ( y ) = 10y − ⇒ f ' ( y ) = ⇔ y = y f '( y) 5 +∞ − +∞ + 15 +∞ f ( y) +∞ 49 5 14 14 ⇒ z = − + i ⇒ Chọn B [8] 5 Bài 7: Trong số phức thỏa mãn điều kiện z + 3i = z + − i Tìm số phức có môđun nhỏ Ta được: y = ⇒ x = − nhất? 5 B z = − + i A z = − 2i 5 C z = − i D z = −1 + 2i Đáp án C Phương pháp tự luận: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + 3) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = 4x + − y +1 ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y −1 = ⇔ x = y + 2  + y2 = y2 + y +1 = 5 y + ÷ + ≥ 5 5  1 Suy z = y = − ⇒ x = Vậy z = − i [8] 5 5 Phương pháp trắc nghiệm: Giả sử z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) z = x2 + y = ( y + 1) z + 3i = z + − i ⇔ x + ( y + 3) i = ( x + ) + ( y − 1) i ⇔ x + ( y + 3) = ( x + ) + ( y − 1) 2 ⇔ y + = 4x + − y +1 ⇔ 4x − y − = ⇔ x − y −1 = Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa điều kiện z + 3i = z + − i đường thẳng d : x − y −1 = Phương án A: z = − 2i có điểm biểu diễn ( 1; − ) ∉ d nên loại A   Phương án B: z = − + i có điểm biểu diễn  − ; ÷∉ d nên loại B 5 5 2   Phương án D: z = −1 + 2i có điểm biểu diễn ( −1; ) ∉ d nên loại B 1 2 Phương án C: z = − i có điểm biểu diễn  ; − ÷∈ d 5 5 5 Bài 8: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 4i ≤ Trong mặt phẳng Oxy tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + − i hình tròn có diện tích: A S = 9π B S = 12π C S = 16π D S = 25π Đáp án C Tập hợp điểm biểu diễn số phức w hình tròn tâm I ( 7; − ) , bán kính r = Vậy diện tích cần tìm S = π 42 = 16π [6] 16 PHỤ LỤC GIỚI THIỆU MỘT CÂU HỎI DẠNG TNKQ VÀ LỜI GIẢI Câu 1: Cho số phức z thỏa mãn: ( + 2z ) ( + 4i ) + + 6i = Tìm số phức w = + z ? A w = − + i 25 25 B w = + i 25 25 C w = − − i 25 25 D w = − + i 25 Lời giải Gọi z = a + bi , với a, b ∈ ¡ Ta có ( + 2z ) ( + 4i ) + + 6i = ⇔ ( 2a + + 2bi ) ( + 4i ) + + 6i = ⇔ ( 6a − 8b + ) + ( 8a + 6b + 10 ) i = 32  a=−  6a − 8b + = 32  25 ⇔ ⇔ ⇒ z = − + i ⇒ w = 1+ z = − + i 25 25 25 25 8a + 6b + 10 = b =  25 [8] Chọn đáp án A Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn: ( + i ) z + ( − i ) z = − 6i Tìm phần thực, phần ảo số phức w = 2z + A 6;5 B 5; −6 C −5; −6 D 5;6 Lời giải Giả sử z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ z = a − bi , đó: ( + i ) z + ( − i ) z = − 6i ⇔ ( + i ) ( a + bi ) + ( − i ) ( a − bi ) = − 6i ⇔ 4a − 2b − 2bi = − 6i 4a − 2b = a = ⇔ ⇔ Vậy: z = + 3i −2b = −6 b = Do w = 2z + = ( + 3i ) + = + 6i Vậy số phức w có phần thực 5, phẩn ảo [7] Chọn đáp án D Câu 3: Cho số phức z1 , z2 khác thỏa mãn: z1 = z2 Chọn phương án đúng: z +z A z − z = z1 + z2 C z − z số thực Đáp án D z +z B z − z số phức với phần thực phần ảo khác z1 + z2 D z − z số ảo Phương pháp tự luận: Vì z1 = z2 z1 ≠ z2 nên hai số phức khác Đặt a2 a2 + z1 + z2  z1 + z2  z1 + z2 z1 z z1 + z2 w= = = = −w z1 = z2 = a , ta có w =  ÷= z1 − z2 z2 − z1  z1 − z2  z1 − z2 a − a z1 z2 Từ suy w số ảo Chọn D.[6] Phương pháp trắc nghiệm: z +z 1+ i Số phức z1 , z2 khác thỏa mãn z1 = z2 nên chọn z1 = 1; z2 = i , suy z − z = − i = i số ảo 17 Câu 4: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − − 4i = z − 2i Tìm số phức z có mô đun nhỏ A z = −1 + i B z = −2 + i C z = + 2i D z = + 2i Đáp án C 2 Đặt z = a + bi; a, b ∈ ¡ ⇒ pt ⇔ ( a − ) + ( b − ) i = a + ( b − ) i ⇔ ( a − ) + ( b − ) = a + ( b − ) ⇔ a +b = 4⇒ b = 4−a Có z = a + b = a + ( − a ) = ( a − ) + ≥ z = 2 ⇔ a = ⇒ b = ⇒ z = + 2i [6] 2  z  z  Câu 5: Cho hai số z1 , z thỏa mãn z1 = z = z1 − z = Tính P =  ÷ +  ÷ ?  z   z1  A P = − i Đáp án C B P = −1 − i Cách 1: Ta có GT ⇒ a + b2 = = ( a − 1) + b2 C P = −1 D P = + i z1 z −z z z = = ⇔ = = − Đặt z2 z2 z2 z2 z1 = a + bi z2 ta có:  b = ± ⇒ w = ± ⇒ P = w + = −1 ⇔ 2 w2 a =  2 Cách 2: Chọn khéo z1 = + i i ; z2 = − + ⇒ P = −1 [7] 2 Câu 6: Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z − 16 z + 17 = Trên mặt phẳng toạ độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = iz0 ?   A M  ; ÷ 2  Đáp án B   B M  − ; ÷   1   C M  − ;1÷     D M  ;1÷ 4   16 + 4i i + z = = 2 4z − 16z + 17 = ∆ = −16 = ( 4i ) ⇒  16 − 4i − i + z = =  i+4 −1 + 4i −1 → iz = = + 2i Do đó: z = 2 Câu 7: Cho hai số phức z1 , z thỏa mãn z1 = z = 1; z1 + z = Tính z1 − z ( ) A B C Lời giải Ta có: z1 = a1 + b1i; z = a + b 2i ( a1 , a , b1 , b ∈ ¡ ) D 2 2  z1 = z = a1 + b1 = a + b = 2 ⇒ ⇔ ( a1b + a b ) = ⇒ ( a1 − a ) + ( b1 − b ) =  2  z1 + z = ( a1 + a ) + ( b1 + b ) = 18 Vậy: z1 − z = [6] Chọn đáp án A Câu 8: Giải phương trình tập số phức: A z = − 2i Lời giải B z = + 2i 12z + i − 11 = + 7i − iz C z = + 3i Phương trình tương dương: z ( + i ) = 13 + 13i ; z = ( 13 + 13i ) ( − i ) ( + i) ( − i) Chọn đáp án B Câu 9: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện ( − 2i ) z − mặt phẳng Oxy là:   A M  ; ÷  10 10  Lời giải   B M  ; ÷  10 10  D z = − 3i = + 2i [5] 2−i = ( − i ) z Tọa độ biểu diễn z 1+ i   C M  ; ÷  10 10    D M  ; ÷  10 10  7 2−i = ( − i ) z ta có: 1+ i 2−i −2 + i −2 + i = ( − i) z ⇔ = ( + i) z ⇔ z = ⇔z= + i ( − 2i ) z − 1+ i 1+ i 10 10 ( 1+ i) ( + i) Từ giả thuyết ( − 2i ) z −   Vậy tọa độ biểu diễn z mặt phẳng Oxy M  ; ÷ [5]  10 10  ⇒ Chọn D Câu 10: Cho số phức z thỏa mãn: z + 3i = a + , với a tham số thực Giá trị a để tồn số phức z thỏa đề mô đun số phức z là: A a = −2, z = B a = 2, z = C a = −2, z = D a = −2, z = 3 Lời giải Đặt z = x + yi , với x, y ∈ ¡ Ta có: z + 3i = a + ⇔ x + ( y + 3) i = a + ⇔ ( y + 3) + x = a + ⇔ ( y + ) + x = ( a + ) Thỏa mãn đề a + = ⇔ a = −2 2 y + =  y = −3 ⇔ ⇒ z = −3i ⇒ z = [6] x = x = Khi đó, ta có:  ⇒ Chọn C PHẦN BA: KẾT LUẬN Kết đạt 19 Sau thời gian giảng dạy thấy thu kết khả quan: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức Nhiều kĩ giải toán, trình bày toán, cách tiến hành số dạng tập tập vận dụng nâng cao học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải toán, trình bày toán, cách tiến hành số dạng vận dụng nâng cao học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải toán, trình bày toán, cách tiến hành số dạng vận dụng nâng cao học sinh thực thành Tinh thần học tập em học sinh nghiên cứu phần tăng lên đáng kể, em hứng thú việc tìm tòi, khám phá lời giải, đồng thời tạo động lực để thúc đẩy việc nghiên cứu tiếp thu phần kiến thức khác Kết học phần nâng lên rõ rệt Trong thi kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 môn Toán, có nhiều em đạt kết điểm thi THPT với điểm số cao Trên sở chuyên đề với đồng ý Ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn ,tôi tiến hành thực nội dung chuyên đề nêu trên ba năm liên tục, lớp 12A3, 12A9, 12A10 (năm học 2014 - 2015), lớp 12A1, 12A5, 12A7 (năm học 2015 - 2016) lớp 12A1,12A2, năm học 2016 - 2017), (Tổng số học sinh bình quân 90), kết thu kì thi thử THPT trường với bảng số liệu sau: Số em tham Đạt điểm Đạt từ 5,0 Đạt từ 6,5 Đạt từ 7,5 Đạt gia làm thi 5,0 đến 6,5 đến 7,5 đến 8,5 8,5 Thi lần Thi lần Thi lần 10 20 20 22 18 20 23 20 20 20 25 22 28 Bài học kinh nghiệm: Nắm vững chuyên môn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả bao quát kiến thức, có tinh thần trách nhiệm công việc 20 Trong công tác giảng dạy cần đổi phương pháp dạy học, tìm phương pháp phù hợp cho nội dung học Trước lên lớp cần có nghiên cứu kĩ nội dung chương trình, đặc biệt tình hình học sinh để đưa học sát với khả học sinh, chọn lọc hệ thống tập phù hợp, có hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng tốt Mặc dù cố gắng hoàn thiện viết cách cẩn thận nhất, song không tránh khỏi sai sót, mong cấp chuyên môn đóng góp ý kiến bổ sung để chuyên đề ngày hoàn thiện hữu ích Cũng mong góp ý quý đồng nghiệp để có dịp trau dồi tích lũy kiến thức nhằm hoàn thành tốt nhiệm vụ giáo dục giao XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 30 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Đức Trung TÀI LIỆU THAM KHẢO ********* [1] Trích văn kiện Đại hội Đảng toàn quốc lần thứ VII, tháng năm 1991 [2] Nghị Quyết số 29-NQ/TW, BCH TW Đảng khóa XI [3] Giải toán nào, NXB Giáo dục năm 1995 [4] Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục năm 2005 [5] Phương pháp ôn luyện thi Đại học cao đẳng, môn toán theo chủ đề, NXB Đại học sư phạm [6] Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Đại số Giải tích lớp 12, NXB Đại học Quốc gia Hà nội năm 2010 [7] Nghị Quyết số 29-NQ/TW, BCH TW Đảng khóa XI [8] Tham khảo số tài liệu mạng internet 21 - Nguồn: http://dethithuthpt.com.vn - Nguồn: http://toan hoc.vn Tên đề tài Sáng kiến Năm Xếp cấp loại Số, ngày, tháng, năm định công nhận, quan ban hành QĐ Nâng cao hiệu học 2012 Toán tự chọn 10 trường THPT Lê Lợi C Năm học: 2011 - 2012: Giám đốc Sở GD & ĐT Thanh Hoá chứng nhận đề tài SKKN " Nâng cao hiệu học Toán tự chọn 10 trường THPT Lê Lợi" đạt giải C ( Quyết định số 539/ QĐ - SGD & ĐT , ngày 18/10/2012) Hướng dẫn học sinh lớp 12 2013 giải số toán số phức kỳ thi vào Đại học cao đẳng" C Năm học: 2012 - 2013: Giám đốc Sở GD & ĐT Thanh Hoá chứng nhận đề tài SKKN " Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán số phức kỳ thi vào Đại học - cao đẳng" đạt giải C (Quyết định số 743/ QĐ - SGD & ĐT , ngày 04/11/2013) Hướng dẫn học sinh Khá, 2014 Giỏi tiếp cận số toán HHKG từ toán Hình học phẳng" C Năm học: 2013 - 2014: Giám đốc Sở GD & ĐT Thanh Hoá chứng nhận đề tài SKKN "Hướng dẫn học sinh Khá, Giỏi tiếp cận số toán HHKG từ toán Hình học phẳng" đạt giải C (Quyết định số 753/ QĐ - SGD & ĐT , ngày 03/11/2014) Hướng dẫn học sinh giải 2016 phương trình, bất phương trình vô tỷ thi THPT Quốc Gia thi HSG C Năm học: 2015 - 2016: Giám đốc Sở GD & ĐT Thanh Hoá chứng nhận đề tài SKKN "Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô tỷ thi THPT Quốc Gia thi HSG" đạt giải C (Quyết định số 972/QĐ - SGD & ĐT , ngày 24/11/2016) 22 ... tài “ Hướng dẫn học sinh giải số dạng toán tự luận TNKQ liên quan đến số phức thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia Tôi mong qua đề tài góp phần làm tăng thêm khả tư khoa học, khả thực hành, kỹ giải toán. .. " Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải số toán số phức kỳ thi vào Đại học - cao đẳng" đạt giải C (Quyết định số 743/ QĐ - SGD & ĐT , ngày 04/11/2013) Hướng dẫn học sinh Khá, 2014 Giỏi tiếp cận số toán. .. phần số phức cho học sinh C CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP THU KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức