1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Căn vào chủ trương đường lối, sách pháp luật Đảng nhà nước Căn vào phương hướng, nhiệm vụ kế hoạch chuyên môn trường THPT Hà Trung năm học 2016-2017 Trong trình giảng dạy, nhà trường tin tưởng giao cho dạy lớp có học sinh khá, giỏi Chính việc giúp em nắm kiến thức phải bồi dưỡng cho em ôn thi đại học nhiệm vụ quan trọng số Trong nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần số phức đóng vai trò quan trọng Những năm học trước phần số phức đề thi đại học câu đơn giản cho tất học sinh Tuy nhiên theo tình hình thi giáo dục phần số phức có từ câu đến câu chiếm khoảng 15% lượng điểm Vì có câu hỏi khó mức vận dụng cao đòi hỏi học sinh phải có cách giải nhanh chóng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm Từ lý chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy bồi dưỡng học sinh ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏi với kinh nghiệm trình giảng dạy Tôi tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện số kỹ thuật sử dụng số phức liên hợp’’ Hi vọng với đề tài nhỏ giúp bạn đồng nghiệp dạy học hiệu hơn, giúp em xử lý tốt không cảm thấy lúng túng việc giải toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng cao 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài mong muốn cung cấp cho học sinh phương pháp kỹ để học sinh giải toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng cao, tránh tình trạng em gặp phải toán thường làm phức tạp vấn đề làm nhiều thời gian hay không giải Năm học này, với hình thức thi đại học trắc nghiệm môn toán áp lực thời gian vấn đề, đòi hỏi học sinh có cách giải nhanh tập Hy vọng đề tài nhỏ đời giúp bạn đồng nghiệp học sinh có nhìn linh hoạt chủ động gặp toán số phức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh thực nội dung học sinh lớp 12 Đối tượng nghiên cứu : phép toán lấy số phức liên hợp tổng, hiệu, tích, thương hai số phức mở rộng cho nhiều số phức, môđun số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu tài liệu liên quan sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo toán trắc nghiệm số phức mức vận dụng cao Phương pháp điều tra quan sát : Tìm hiểu việc vận dụng phương pháp dạy học tích cực số trường phổ thông Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệm tổ môn, tham dự buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp Phương pháp thực nghiệm : Tiến hành thực nghiệm lớp 12I, 12K, 12M trường THPT Hà Trung 1.5 Những điểm sáng kiến Thông thường học sinh giải toán tập số phức cách gọi phần thực, phần ảo, việc sử dụng số phức liên hợp để giải tập tính toán, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tập số phức điều lạ học sinh Hệ thống tập dạng trắc nghiệm NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận Đẩy mạnh việc đổi dạy học (PPDH) diễn tất trường học, việc đổi phương pháp dạy học đem lại chất lượng hiệu cao giảng dạy Đổi PPDH trường THPT diễn theo bốn hướng chủ yếu sau : Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động học tập học sinh Bồi dưỡng phương pháp tự học Rèn luyện kỹ lý thuyết vào thực tiễn Tác động đến tình cảm, đem lại niền vui, hứng thú học tập cho học sinh Trong hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động học tập học sinh xem chủ đạo, chi phối đến hướng lại 2.2 Thực trạng vấn đề Giải toán số phức phương pháp sử dụng số phức liên hợp tương đối lạ đa số học sinh lớp 12 Khi gặp toán vấn đề trên, học sinh nhiều thời gian để biến đổi toán Một số học sinh lực tư hạn chế chưa biết cách thường gọi dạng tổng quát số phức khó khăn việc giải không giải Chính người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm cách giải đơn giản, thuận lợi để giải toán cách nhanh chóng 2.3 Các giải pháp thực Khi tiếp cận toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụng lượng liên hợp số phức Sau giúp học sinh xây dựng phương pháp giải phù hợp Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với toán số phức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập kiến thức phép toán tập số phức, tính chất môđun số phức Sau giáo viên chọn số toán điển hình để học sinh vận dụng Trong đề tài này, xin đưa số tập tương đối đầy đủ toán số phức sử dụng số phức liên hợp 2.3.1 Kiến thức toán kỹ có liên quan - Các phép toán tập số phức - Các tính chất môđun số phức - Các tính chất số phức liên hợp tổng hiệu tích thương số phức - Kỹ sử dụng số phức liên hợp 2.3.2 Một số công thức liên quan.[1] z + z = 2a ( a phần thực số phức ), zz số thực không âm z = z z số thực, z = − z z số ảo z  z z1 ± z2 = z1 ± z2 , z1 z2 = z1 z2 ,  ÷ = ( z2 ≠ )  z2  z2 z −1 = ( z ) −1 với z ≠ , z = z zz = z , z = = z z 2.3.3 Một số toán thường gặp phương pháp giải Dạng 1: Sử dụng số phức liên hợp để giải tập tìm số phức, số phức liên hợp, số phức nghịch đảo, môđun số phức Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn z − i = ( z −1)( z + i) số thực.[3] A z = z = 2i − B z = i z = 2i − C z = 2i + z = i D z = z = 2i + Phân tích Khi gặp toán thông thường ta giải Gọi z = a + bi ( a, b ∈¡ ) Theo đề z − i = ⇒ a + ( b −1) = (1) Lại có ( z −1)( z + i) số thực ⇒ ( a − + bi ) ( a − bi + i ) ⇒ ( a − 1) ( − b ) + ab = (2)  a + ( b − 1) =  Từ (1) (2) ta có hệ  ( a − 1) ( − b ) + ab = Giải hệ phương trình ta tìm a, b Từ tìm z Tôi trình bày với cách giải sau ( z − 1)( z + i) số thực nên ta sử dụng tính chất ( số công thức liên quan ) z − i = ta sử dụng tính chất ( số công thức liên quan) Giải Từ giả thiết ( z − 1)( z + i) số thực nên ta có: ( z −1)( z + i) = ( z −1) ( z − i ) ⇔ i ( z + z ) + z − z = 2i (1) Và z − i = ⇔ z − i = ⇔ ( z − i ) ( z + i ) = (2) uu = Đặt u = z − i , từ (1) (2) ta có  (i + 1)u = (1 − i)u Suy ( + i ) u = ( + i ) ( − i ) uu = ⇔ ( + i ) u = ±2 Suy z = z = 2i −1 Chọn đáp án A Nhận xét : Bài toán ta giải theo cách thông thường gọi z = a + bi ( a, b∈¡ ) đưa hệ phương trình ẩn việc giải thời gian cách giải sử dụng số phức liên hợp Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn ( z −1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i [3] A z = 1+ i B z = 1− i C z = −1 + i D z = −1 − i Phân tích Với cách giải thông thường gọi z = a + bi ( a, b∈¡ ) , tìm a, b thời gian thực phép nhân dễ nhầm lẫn Từ giả thiết ta nghĩ tới việc nhóm số hạng liên quan đến z lại, nhóm số hạng liên quan đến z với nhau, sau lấy số phức liên hợp hai vế phương trình đề cho ta hệ ẩn z z Giải Từ giả thiết ( z −1) ( + i ) + ( z + 1) ( − i ) = − 2i ⇔ ( + i ) z + z ( − i ) = (1) Lấy liên hợp hai vế ta có ( + i ) z + z ( − i ) = (2) 1+ i 1− i ⇔z= Nhân hai vế (1) với trừ (2) ta ⇔ z = Chọn đáp án B 3 Lưu ý: Tuy nhiên ta sử dụng máy tính để kiểm tra đáp án Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn z = z [3] A z = ± ; z = ± 2i B z = ± ; z = ±2i ; z = C z = ±2; z = ± 2i ; z = D z = ±2; z = ±2i ; z = Phân tích Bài dạng tập trắc nghiệm ta giải cách bấm máy tính, thử đáp án, thời gian dễ gây nhầm lẫn Tuy nhiên ta giải cách đặt z = a + bi (a, b ∈¡ ) Từ giả thiết z = z ta có hệ phương trình :  a3 − 3ab = 4a ( a + bi ) = 4(a − bi) ⇔  3a b − b = −4b Việc giải hệ phương trình nhiều thời gian.Ta giải cách khác sau : Từ giả thiết z = z ta nghĩ tới việc môđun hai vế tìm z Sau nhân vế với z tạo z Giải Ta thấy z = thỏa mãn phương trình Ta xét z ≠ z3 = 4z ⇒ z = z = z ⇒ z = Từ z = z ⇒ z = zz = z = 16 ⇔ ( z − ) ( z + ) = ⇔ z = ±2; z = ±2i Vậy ta chọn đáp án D Lưu ý : Ta nghĩ tới việc sử dụng kỹ sử dụng số phức liên hợp cho số phức đó, đề thường có yếu tố z z z +1 Ví dụ Cho số phức z ≠ thỏa mãn số ảo Tìm z ? z −1 A z = B z = C z = D z = Phân tích Theo đề Giải z +1 số ảo ta sử dụng (tính chất (2) z + z = ) z −1 Từ giả thiết ta có z +1  z +1  z +1 z +1 + =0⇔ + = ⇔ zz − 2=0 ⇔ z = ÷ z −1  z −1  z −1 z −1 Chọn đáp án A Nhận xét : Với kỹ thuật sử dụng số phức liên hợp toán giải trở nên dễ dàng Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn z = iz + số ảo, tìm số phức nghịch đảo z ?[4] 4 A z −1 = ± + i B z −1 = ± − i 25 25 25 25 4 C z −1 = ± − i D z −1 = ± + i 25 25 25 25 Phân tích : tương tự giống tập Giải Từ giả thiết ta có iz + + (iz + 4) = ⇔ iz − iz + = ⇔ 2bi + = ⇔ b = ( Với b phần ảo số phức z ) Mà z = nên phần thực số phức z ±3 nên z = ±3 + 4i ⇒ z −1 = ± − i , 25 25 ta chọn đáp án B Ví dụ Cho z số phức thực thỏa mãn z − z có phần thực Tính z ? 1 A z = B z = C z = D z = Giải Từ giả thiết ta có   1 +  = ⇔ + =8 ÷ z − z  z − z ÷ z −z z −z z −z−z 1 ⇔ =8⇔ =8⇔ z = z z − z ( z + z ) + zz Chọn đáp B 1+ z + z Ví dụ Cho z số phức thực thỏa mãn số thực Tìm 1− z + z2 môđun số phức z ?[4] A z = B z = C z = D z = Giải Ta có: 1+ z + z 2z = 1+ 1− z + z 1− z + z Để số thực z 1− z + z ∈ ¡ hay ∈¡ 1− z + z z Tức là: 1− z + z  1− z + z  1− z + z 1− z + z = = ÷⇔ z z z z   ⇔ z ( z − z ) = z − z ⇔ z = Vậy ta chọn đáp án C z1 + z2 Ví dụ Cho hai số phức phân biệt z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z − z số ảo Khẳng định sau ? A z1 = 1, z2 = B z1 = z2 C z1 = z2 D z1 = − z2 Giải Do z1 ≠ z2 ⇔ z1 − z2 ≠ z1 + z2 Từ giả thiết z − z số ảo suy ra: z1 + z2  z1 + z2  z1 + z2 ( z1 + z2 ) +  = ⇔ + =0 ÷ z1 − z2  z1 − z2 ÷ z1 − z2 ( z1 − z2 ) ⇔ ( z1 + z2 ) ( z1 − z2 ) + ( z1 − z2 ) ( z1 + z2 ) = ⇔ ( z1 + z2 ) ( z1 − z2 ) + ( z1 − z2 ) ( z1 + z2 ) = ⇔ z1 z1 − z2 z2 = ⇔ z1 = z2 Chọn đáp án C Ví dụ Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = z2 = , z1z2 ≠ Tìm z1 + z2 phần ảo số phức w = + z z ?[4] A Phần ảo B Phần ảo C Phần ảo -1 D Phần ảo lớn Giải 1 Vì z1 = z2 = nên z = z1 , z = z2 Ta có : 1 +  z +z  z1 + z2 z1 z2 z +z = = =  ÷÷ + z1 z2 + 1 + z1 z2  + z1 z2  z1 z2 Vậy w số thực, ta chọn đáp án A Phân tích toán: Nếu ta giải theo cách thông thường đặt z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i  a12 + b12 = Từ giả thiết đề cho ta có:  2 tìm phần ảo số phức  a2 + b2 = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 )i + (a1 + b1i)(a2 + b2i) công việc không đơn giản Từ việc giả thiết cho z1 = z2 = ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất z +z 1 = z1 , = z2 Mặt khác toán yêu cầu tìm phần ảo số phức w = z1 z2 + z1z2 z1 + z2 Ta nghĩ việc tạo số phức liên hợp số phức w = + z z Ví dụ 10 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = z1 = z2 = Tính z1 − z2 ? A B 2 C D Phân tích Từ giả thiết z1 + z2 = , cần tính z1 − z2 ta cần tìm mối quan hệ hai lượng Ta có bổ đề sau 2 2 Bổ đề 1: Cho hai số phức z1, z2 z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 ) ( Chứng minh: z1 + z2 + z1 − z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) + ( z1 − z2 ) ( z1 − z2 ) 2 ( = z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 + z1 z1 − z1 z2 − z2 z1 + z2 z2 = z1 + z2 ) Giải Áp dụng bổ đề vừa chứng minh ta có: 2 2 2 2 z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 ⇔ z1 − z2 = z1 + z2 − z1 − z2 ( ) ) ( ⇒ z1 − z2 = ⇒ z1 − z2 = Vậy ta chọn đáp án A Nhận xét : Ta nhận thấy việc giải toán có nhiều biến tập số phức việc rèn luyện kỹ sử dụng số phức liên hợp giúp cho học sinh có cách biến đổi nhanh chóng Ví dụ 11 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = 6, z2 = 9, z1 − z2 = 69 Tính z1 + z2 ? A B 165 C 17 D 15 Giải Ta có: 2 z1 + z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) = z1 + z1 z2 + z1z2 + z2 (1) z1 − z2 = ( z1 − z2 ) ( z1 − z2 ) = z1 − z1 z2 − z1z2 + z2 2 (2) Lấy (1)+(2) ta 2 z1 + z2 + z1− z2 = 2( z1 + z2 ) ( 2 ⇒ z1 + z2 = z1 + z2 ) − z −z 2 Vậy z1 + z2 = 165 Ta chọn đáp án B Ví dụ 12 Cho ba số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn điều kiện : z1 + z2 = z1 + z3 = z2 + z3 = z1 + z2 + z3 = Tính z1 + z2 + z3 ?[2] A B C D Phân tích Bài toán giải theo cách gọi z1 = a1 + b1i ( a1, b1 ∈¡ ) , z2 = a2 + b2i ( a2 , b2 ∈¡ ) , z3 = a3 + b3i ( a3 , b3 ∈¡ ) , thỏa mãn yêu cầu toán thử hỏi ta có giải không, thời gian để làm câu trắc nghiệm Nên ta nghĩ tới việc thiết lập công thức quan hệ yếu tố ví dụ 10 Bổ đề 2: Cho ba số phức z1, z2 , z3 2 2 2 z1 + z2 + z1 + z3 + z2 + z3 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 Chứng minh: Ta có : z1 + z2 = ( z1 + z2 ) ( z1 + z2 ) 2 = z1 z1 + z1 z2 + z2 z1 + z2 z2 = z1 + z2 + z1 z2 + z2 z1 2 z3 + z2 = z3 z3 + z3 z2 + z2 z3 + z2 z2 = z3 + z2 + z3 z2 + z2 z3 2 z3 + z1 = z3 z3 + z3 z1 + z1 z3 + z1 z1 = z3 + z1 + z3 z1 + z1 z3 Suy 2 z1 + z2 + z1 + z3 + z2 + z3 ( 2 )+z z +z z +z z +z z +z z +z z +( z + z + z + z z + z z + z z + z z + z z + z z ) = z1 + z2 + z3 2 = z1 + z2 + z3 2 2 2 2 2 = z1 + z2 + z3 + z1 + z2 + z3 2 3 2 2 3 2 3 2 2 Vậy nên z1 + z2 + z3 = z1 + z2 + z1 + z3 + z2 + z3 − z1 + z2 + z3 = Ta chọn đáp án B Nhận xét: Bài có nhiều số phức, nhiều điều kiện, giải theo phương pháp gọi z = a + bi ( a, b∈¡ ) việc giải phức tạp, để ta thấy tác dụng việc sử dụng kỹ sử dụng số phức liên hợp Tuy nhiên ta giải theo hướng chuẩn hóa đặt 3 z1 + z2 = + i , z1 + z3 = − i , z2 + z3 = , giải hệ tìm z1, z2 , z3 từ giải 2 2 ví dụ, đòi hỏi học sinh suy luận bước chuẩn hóa số phức gặp trở ngại đề cho môđun số phức số khác số Ví dụ 13 Cho ba số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = Đặt w = z12 + z22 + z32 Hỏi khẳng định sau ?[4] A w số thực không âm B w=0 C w số ảo D w số thực dương Giải 1 1 w = ( z1 + z2 + z3 ) − ( z1z2 + z2 z3 + z1z3 ) = −2 z1z2 z3  + + ÷÷  z1 z2 z3  = −2z1z2 z3 ( z1 + z2 + z3 ) = −2 z1z2 z3 ( z1 + z2 + z3 ) = Vậy ta chọn đáp án B Ví dụ 14 Cho số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z z +z z +z z z1 = z2 = z3 = 1999 z1 + z2 + z3 ≠ Tính P = 2 3 [4] z1 + z2 + z3 A P = 1999 B P = 999,5 C 19992 D 5997 Phân tích Khi đề cho nhiều số phức, liên quan đến môdun số phức, ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất zz = z Giải Ta có  z z + z z + z z  z z + z z + z z  P =  2 3 ÷÷ 2 3 ÷÷ z1 + z2 + z3   z1 + z2 + z3    19992 z =  z1   19992  Mặt khác: z1 = z2 = z3 = 1999 ⇔ z1 z1 = z2 z2 = z3 z3 = 1999 ⇒  z2 = z2    z3 = 1999 z3  Suy  19992 19992 19992 19992 19992 19992 + +   z1 z2 + z2 z3 + z3 z1   z1 z2 z2 z3 z3 z1 P =  ÷ 2 ÷ z1 + z2 + z3   1999 1999 1999  + +  z1 z2 z3   ÷ ÷ = 19992 ÷ ÷ ÷  Vậy P = 1999 Chọn đáp án A Nhận xét: Để làm theo phương pháp gọi z = a + bi ( a, b∈¡ ) phức tạp tất nhiều thời gian học sinh lúng túng việc giải Tuy nhiên học sinh giải theo cách chuẩn hóa chọn 3 z1 = 1999( + i) , z2 = 1999( − i) , z3 = 1999 2 2 Mở rộng toán z1 = z2 = z3 = k ⇒ z1z2 + z2 z3 + z1z3 = k z1 + z2 + z3 Dạng 2: Sử dụng số phức liên hợp để giải tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Ví dụ 15 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = Giá trị lớn z giá trị nhỏ z là.[2] A + − B + − C + − D + − Phân tích Từ giả thiết z + = ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất zz = z từ z 1    biến đổi z + = ⇒  z + ÷ z + ÷ = Ta tiếp tục biến đổi đưa z z z  z  Giải Ta có: 1  1  z+ = 2⇒ z+ = =  z + ÷ z + ÷ z z z  z  z z z + z −2 z + z −2 = zz + + + = zz + + =z + + 2 z z zz zz zz z z 4 2 z + z + z −2 + z + ( z + z ) − z + = = 2 z z ⇔ z = z + ( z + z ) − z +1 2 ⇔ z − z +1 = − ( z + z ) ≤ 4 2 ⇔ z − z +1 ≤ ⇔ − ≤ z ≤ + ⇔ − ≤ z ≤ + Vậy nên ta chọn đáp án B Nhận xét: Ta thấy việc tạo số phức liên hợp sử dụng tính chất zz = z kết hợp với việc biến đổi, từ giả thiết yêu cầu đề Tuy nhiên ta phải làm quen tiếp cận với phương pháp việc biến đổi dễ dàng Nhận thấy toán với cách gọi z = a + bi ( a, b∈¡ ) dùng phương pháp đại số phương pháp hình học không đơn giản Ví dụ 16 Cho số phức z thỏa mãn z = Giá trị lớn giá trị nhỏ P = + z + − z + z là.[2] 13 13 C Phân tích A 15 15 D B 10 Từ yêu cầu tìm giá trị lớn nhỏ P = + z + − z + z Ta đặt t = + z dễ dàng tìm điều kiện t cần phải biến đổi lượng − z + z theo t từ ta có cách giải sau Giải Gọi z = x + iy; x, y ∈¡ đặt t = + z ≤ + z = ⇒ t ∈ 0; 2 Từ giả thiết z = z = zz ⇒ zz =1 Ta có : t = + z = ( + z ) ( + z ) = + z + z + zz = x + ⇒ x = t2 − Mặt khác z=  t2  2 t x + y ⇔ x + y = ⇔  − 1÷ + y = ⇔ y = t − 2  2 2 2 Khi − z + z = t − nên P = + z + − z + z = f (t ) = t + t − ( t ∈ 0; 2 ) t + t − ≤ t ≤ f (t ) =  t − t + ≤ t ≤ 13 15 z = − ± i 8 Giá trị nhỏ P z = − ± i Chọn đáp án A 2 Ví dụ 17 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z = Gọi M m giá trị lớn nhỏ biểu thức P = z + 3z + z − z + z Tính M +m.[4] 13 15 A B C D 4 4 Phân tích Từ giả thiết P = z + 3z + z − z + z Nhìn vào biểu thức P ta nghĩ tới việc Suy giá trị lớn P 2 biến đổi z + 3z + z = z z + + z mà z = , từ ta đặt t = z + z Giải Ta có : z = ⇔ z.z = Đặt t = z + z ∈ 0;2 , t = z + z ≤ z + z = 11 ⇒ t = ( z + z ) ( z + z ) = z + zz + z = + z + z −2 2 Lại có z + 3z + z = z z + + z = t + = t + ⇒ P = t − t +1 Vậy M = t = 2, m = t = 15 Ta chọn đáp án D Nhận xét : Khi đề cho nhiều giả thiết liên quan đến môđun số phức, giải toán phương pháp thông thường gọi số phức z = a + bi ( a, b∈¡ ) mà không giải kỹ thuật sử dụng số phức liên hợp phương pháp quan trọng mà ta nghĩ tới 2z − i ≤ Tìm giá trị lớn Ví dụ 18 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện + iz z ? A B C D Phân tích 2z − i ≤ dễ dàng biến đổi z − i ≤ ⇒ z − i  z − i ÷ ≤ Từ giả thiết + iz + iz + iz  + iz  Giải Từ giả thiết suy 2z − i 2z − i 2z + i ≤1⇔ ≤1 + iz + iz − iz ( z − i ) ( z + i ) ≤ ( + iz ) ( − iz ) ⇔  2 + iz ≠ ⇔ zz ≤ Vậy giá trị lớn z Ta chọn đáp án A Nhận xét : Với việc sử dụng thành thạo tính chất số phức liên hợp toán trở nên đơn giản Ví dụ 19 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = z2 = 10 3z1 − z2 ≤ 2016 Tính giá trị nhỏ P = z1 + 3z2 M +m= A 2984 Phân tích B 2884 C 2894 D 24 12 Từ giả thiết 3z1 − z2 ≤ 2016 , P = z1 + 3z2 , có phần tương quan hệ số z1 z2 Mặt khác cho môđun số phức ta nghĩ tới việc sử dụng tính chất zz = z Vậy ta có cách giải toán sau Giải Ta có: zz = z Đặt N = 3z1 − z2 , P = z1 + 3z2 N = 3z1 − z2 = ( 3z1 − z2 ) ( 3z1 − z2 ) 2 = z1 − 12 z1 z2 − 12 z2 z1 + 16 z2 P = z1 + 3z2 = ( z1 + 3z2 ) ( z1 + 3z2 ) 2 = 16 z1 + 12 z1 z2 + 12 z2 z1 + z2 2 N + P = 25 z1 + 25 z2 = 5000 Mặt khác: N = 3z1 − z2 ≤ 2016 ⇒ N ≤ 2016 ⇒ P ≥ 2984 ⇒ P ≥ 2984 Vậy giá trị nhỏ P 2984 , chọn đáp án A Ví dụ 20 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 + z2 = + 6i z1 − z2 = Tìm giá trị lớn P = z1 + z2 A + B 26 C D 34 + Phân tích Với điều kiện đề cho z1 − z2 = z1 + z2 = + 6i yêu cầu tìm giá trị lớn P = z1 + z2 dạng quen thuộc dạng nên ta dễ dàng suy luận mối quan hệ yếu tố Giải 2 2 Bổ đề 1: cho hai số phức z1, z2 ta có z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 ) ( ( chứng minh ví dụ 10 ) 2 2 Áp dụng bổ đề ta z1 + z2 + z1 − z2 = z1 + z2 = 104 ( Mặt khác theo bất đẳng thức bunhiacopxki ( z1 + z2 ) ) ( ≤ z1 + z2 ) = 104 Vậy nên P ≤ 104 = 26 Ta chọn đáp án B Ví dụ 21 Cho ba số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = Tính giá trị nhỏ 1 biểu thức P = z − z z − z + z − z z − z + z − z z − z [4] 2 3 A B C D Phân tích 13 1 Cần tìm giá trị nhỏ P = z − z z − z + z − z z − z + z − z z − z 2 3 Ta nghĩ tới việc sử dụng bất đẳng thức cauchy để biến đổi Giải 2 z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 = ( z1 − z2 ) ( z1 − z2 ) + ( z2 − z3 ) ( z2 − z3 ) + ( z3 − z1 ) ( z3 − z1 ) = − ( z1 + z2 + z3 ) ( z1 + z2 + z3 ) = − z1 + z2 + z3 Theo BĐT Cauchy z1 − z2 z1 − z3 + z2 − z1 z2 − z3 + z3 − z1 z3 − z2 9 ⇔P≥ = 2 z1 − z2 + z2 − z3 + z3 − z1 − z1 + z2 + z3 P≥ ) ( Do P ≥ = z1 + z2 + z3 ≥ Ta chọn đáp án D Lời bình: ta thấy việc giải toán cho nhiều số phức việc tính toán khó, mà tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức nhiều biến tập số phức thật không đơn giản Với việc tạo kỹ sử dụng số phức liên hợp việc giải toán phương án tối ưu Bài tập tương tự Bài Với số phức z , ta có z + ? A z + z + B zz + z + z + C zz + D z + z + Bài Cho số phức thực z Hỏi số sau số thực ? z−z A w = z + z B w = C w = z z D w = z z − zz 2i Bài Cho số phức z thỏa mãn z = Hỏi mệnh đề sau ? z A z số thực B z số ảo C z = D z = z z Bài Cho z số phức thỏa mãn z − z = số thực Tính z ? z A z = B z = C z = D z = 2 Bài Cho ba số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn z1 + z2 + z3 = z1 = z2 = z3 = Mệnh đề đúng? 2 A z1 + z2 + z2 + z3 + z1 + z3 số ảo 2 2 2 2 B z1 + z2 + z2 + z3 + z1 + z3 số nguyên tố C z1 + z2 + z2 + z3 + z1 + z3 số thực âm D z1 + z2 + z2 + z3 + z1 + z3 số 14 Bài Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 = z2 = 1, z1 + z2 = Tính z1 − z2 ? A B C D − Bài Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z − i = + 3iz , z1 − z2 = Tính z1 + z2 ? A B C D z z −i Bài Tính môđun số phức z , biết + iz + =0 z 1− i 1 13 A B C D Bài Cho số phức a, b, c, z thỏa mãn az + bz + c = ( a ≠ ) Gọi z1, z2 hai nghiệm phương trình bậc hai cho Tính giá trị biểu thức 2 P = z1 + z2 + z1 − z2 − ( z1 − z2 ) c c c c B P = C P = D P = a a a 2a Bài 10 Cho ba số phức a, b, c (a ≠ 0) thỏa mãn a = b = c > Số phức z nghiệm phương trình az + bz + c = Giá trị lớn nhỏ z −1 + 1+ −1 + 1+ A B 2 2 −1 + 1+ −1 + 2 1+ 2 C D 2 2 Bài 11 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + = Giá trị lớn giá z trị nhỏ z A + − B + − C + − D + − Bài 12 Cho số a, b (b ≠ 0) Các nghiệm phương trình z + az + b2 = có môđun Chọn khẳng định a a A số ảo B số thực b b b b C số ảo D số thực a a Bài 13 Cho số phức z thỏa mãn z = Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P = + z + + z + z A P = A B C D 15 Bài 14 Cho số phức z ≠ cho z số thực w = z 1+ z B z số 1+ z2 thực Tính giá trị biểu thức A C D Bài 15 Cho số phức z ≠ z = Tìm phần thực số phức ? 1− z 1 A − B C D −2 2 2.4 Hiệu sáng kiến Năm học 2016-2017 giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán lớp : 12I, 12K, 12M Trong ba lớp đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải toán Tuy nhiên gặp số phức mức vận dụng cao giải phương pháp sử dụng số phức liên hợp em lúng túng biến đổi hay tạo lượng liên hợp số phức cho đúng, cho phù hợp Sau tiến hành thực nghiệm sáng kiến lớp dạy mình, thu nhiều kết khả quan Hoạt động học tập học sinh diễn sôi nổi, đa số học sinh hiểu vận dụng vào giải toán Một số học sinh giỏi biết tự tìm tòi, nghiên cứu thêm đề thi sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức Kết kiểm tra: Điểm yếu Điểm TB Điểm Điểm giỏi Lớp Số % Số % Số % Số % 12I 2,1 12,7 20 42,6 20 42,6 12K 10 10 20 25 50 10 20 12M 14,2 15 30,6 21 42,9 12,3 Như số học sinh đạt điểm trung bình trở lên chiếm 91% có 69,9% học sinh đạt điểm khá, giỏi KẾT LUẬN 3.1 Kết luận Trong trình giảng dạy, nhận thấy rằng: sau đưa hệ thống tập trên, học sinh biết vận dụng cách linh hoạt, vào toán khác nhau, từ đơn giản đến phức tạp Học sinh không tâm lý e ngại gặp toán Mặt khác, hiệu áp dụng tương đối cao, giải trở nên sáng sủa, ngắn gọn hầu hết em vận dụng tốt Mặc dù có nhiều cố gắng song tránh khỏi sơ suất, thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học cấp bạn bè đồng nghiệp góp ý, xây dựng, bổ sung cho kinh nghiệm đạt chất lượng tốt 16 3.2 Kiến nghị - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Các sáng kiến kinh nghiệm xếp loại cấp Tỉnh cần phổ biến rộng rãi cần áp dụng nhiều giảng dạy cho đồng nghiệp học tập - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết không chép nội dung người khác Chữ ký Lê Thị Liên 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12; tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan chủ biên, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, NXB Giáo Dục năm 2010 Hướng dẫn giải tập vận dụng – vân dụng cao…tác giả TS Lê Thị Hương, ThS Nguyễn Kiếm, ThS Hồ Xuân Thắng, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, xuất năm 2016 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia, tác giả Nguyễn Tất Thu, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, xuất năm 2015 Nguồn khác: http://www.toanmath.com 18 MỤC LỤC MỞ ĐẦU….….……………………………………… ……… …… 1.1 Lý chọn đề tài……………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu…………………………………………….…… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…………………………………………….…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu………………………………………… ….1-2 1.5 Những điểm sáng kiến ……………………………….……….2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM…………….… …2 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng vấn đề……… ……………………………………… … 2.3 Các giải pháp thực hiện……… ………………………………… … 2.4 Hiệu sáng kiến………… ……………………………… 16 KẾT LUẬN…………… …………………… ……….… .… ….16 3.1 Kết luận 16 3.2 Kiến nghị 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 18 19 SỞ GIÁO DỤC VÀ TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG SỐ PHỨC LIÊN HỢP Người thực hiện: Lê Thị Liên Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán 20 THANH HÓA NĂM 2017 21 ... = = z z 2.3.3 Một số toán thường gặp phương pháp giải Dạng 1: Sử dụng số phức liên hợp để giải tập tìm số phức, số phức liên hợp, số phức nghịch đảo, môđun số phức Ví dụ Tìm số phức z thỏa mãn... Toán lớp : 12I, 12K, 12M Trong ba lớp đa số học sinh chăm ngoan có ý thức học, đặc biệt em có hứng thú học giải toán Tuy nhiên gặp số phức mức vận dụng cao giải phương pháp sử dụng số phức liên hợp. .. sử dụng số phức liên hợp 2.3.1 Kiến thức toán kỹ có liên quan - Các phép toán tập số phức - Các tính chất môđun số phức - Các tính chất số phức liên hợp tổng hiệu tích thương số phức - Kỹ sử dụng