1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Chuyên đề lượng giác có vai trò quan trọng chương trình toán học phổ thông- thành phần thiếu đề thi đại học, cao đẳng Nhưng có phận không nhỏ học sinh sợ không hứng thú với phân môn thân em chưa biết cách học, nhìn thấy công thức lượng giác nhiều ngại Và có phận học sinh chưa thành thục kỷ ứng dụng lượng giác vào phân môn khác tính đạo hàm, tích phân gây trở ngại cho việc học toán Thực tiễn phần trước phân phối chương trình Bộ phải theo bài, theo mục không tự ý tinh giản mà thời lượng lớp có hạn dẫn đến học sinh không rèn luyện, khắc sâu nhiều Từ năm học 2016-2017 Bộ định hướng mở cho giáo viên giảng dạy việc dạy học theo chuyên đề tiết học khóa Với việc dạy giáo viên hoàn toàn chủ động phân phối thời gian để tự điều chỉnh giáo án cho phù hợp với đối tượng học sinh Và tạo phương pháp học, đam mê học sinh để vận dụng ý tưởng cho chuyên đề toán học khác Trước thực trạng thấy cần thiết phải biết tăng cường thiết lập chuỗi toán gốc, đưa toán có cách giải cách giải sai để học sinh biết cách sữa chữa, rút kinh nghiệm thông qua rèn luyện cách nhớ hệ thống công thức lượng giác Vấn đề chưa có tài liệu nghiên cứu bàn sâu vào để làm tài liệu kinh nghiệm giảng dạy cho giáo viên Bởi để công việc dạy học đạt hiệu tốt mạnh dạn đề xuất đề tài kinh nghiệm là:"Rèn luyện cho học sinh lớp 11 kỹ giải toán lượng giác phương pháp xây dựng chuỗi toán" 1.2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn vấn đề số biện pháp nhằm phát huy tính tích cực học sinh học tập thông qua giải tập lượng giác lớp 11; đề xuất quan điểm xây dựng chuỗi toán gốc, đồng thời, đưa giải pháp phương pháp dạy học Học sinh liên hệ vận dụng vào kiến thức liên môn cho môn vật lý, địa lý 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu chuyên đề lượng giác chương trình THPT nhà xuất Giáo dục Việt Nam ấn hành đưa số giải pháp hữu ích việc giảng dạy giáo viên 1.4 Phương pháp nghiên cứu 4.1 Nghiên cứu lý luận; 4.2 Điều tra thực tế; -1- 4.3 Thực nghiệm sư phạm PHẦN NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận thực tiễn: Để phát huy tính tích cực học sinh hệ thống tri thức phương thức hành động, biện pháp học tập kinh nghiệm hoạt động cần phải dạy cho học sinh, không nên chờ chúng hình thành cách tự phát Tuy nhiên để đảm bảo giúp học sinh lĩnh hội đầy đủ lượng kiến thức quy định đơn vị thời gian (giờ học) vận dụng máy móc cách dạy học mà phải kết hợp nhuần nhuyễn chúng với Một mặt động phương pháp, tính vận động phát triển dạy học, tính tích cực người dạy đặc biệt tính tích cực người học Ở trường phổ thông, dạy Toán dạy hoạt động toán học cho học sinh giải toán hình thức chủ yếu Do dạy tập toán có vị trí quan trọng dạy học Toán nhằm đạt nhiều mục đích khác thể chức năng: 1) Chức dạy học: - Bài tập nhằm củng cố, rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vấn đề lý thuyết học Qua học sinh hiểu sâu biết vận dụng kiến thức học vào việc giải tình cụ thể - Có tập lại định lý, mà lý không đưa vào lý thuyết Cho nên qua việc giải tập học sinh mở rộng tầm hiểu biết 2) Chức giáo dục: Qua việc giải tập mà hình thành cho học sinh giới quan vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin phẩm chất đạo đức người lao động 3) Chức phát triển: Bài tập nhằm phát triển lực tư cho học sinh, đặc biệt rèn luyện thao tác trí tụê, hình thành phẩm chất tư khoa học 4) Chức kiểm tra: Bài tập nhằm đánh giá mức độ, kết dạy học, đánh giá khả độc lập học toán trình độ phát học sinh Bài tập toán học đa dạng phong phú Việc giải tập yêu cầu quan trọng học sinh Có thể chia tập toán học làm hai loại: a) Loại có sẵn thuật toán Để giải loại học sinh phải nắm vững quy tắc giải học rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo Đây sở quan trọng để giải toán phức tạp Yêu cầu cho học sinh là: - Nắm vững quy tắc giải học - Nhận dạng toán -2- - Giải theo quy tắc học cách thành thạo b) Loại chưa có sẵn thuật toán Loại tập chiếm số lượng lớn sách giáo khoa gây cho học sinh không khó khăn dẫn đến tâm lý sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Đây trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên học tập học sinh Do dạy học sinh giải tập, không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lý để giải toán 2.2 Thực trạng vấn đề a) Thực trạng học sinh - Đa số học sinh ngại học lượng giác phải nhớ nhiều công thức cách để thuộc công thức Các em phụ thuộc ỷ lại vào máy tính cầm tay nên không cần nhớ dẫn đến giải phương trình lượng giác thường không linh hoạt, lời giải sai dài - Do tự rèn luyện tập không nhiều nên em học xong thường nhanh quên chí đến cuối năm học nhiều em quên hết cách giải toán - Một số học sinh lười học thích chơi bời, hổng kiến thức nghiêm trọng b) Thực trạng giáo viên - Một số giáo viên dạy học mang nặng tính hàn lâm, tiết học nặng nề, lê thê với nhiều lý thuyết mà rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo - Dạy học chưa phân loại theo đối tượng học sinh để học sinh cảm thấy khó dễ - Chưa linh hoạt việc sử dụng phương pháp dạy học để phát huy tính tích cực hợp tác làm việc học sinh 2.3 Khảo sát, thực nghiệm Trước dạy phần lượng giác lớp 11 tiến hành khảo sát thực nghiệm lớp lớp 11A7, lớp 11A8 với nội dung: Tìm hiểu số học sinh thuộc công thức lượng giác, số học sinh viết cách lấy nghiệm phương trình lượng giác bản, số học sinh nhớ cách giải phương trình lượng giác thường gặp Kết điều tra: STT Lớp 11A7 11A8 Sĩ số 43 45 HS thuộc công thức LG SL 35 25 % 81,4 55, HS lấy ghiêm HS nhớ cách PTLG giải PTLG thường gặp HS giải tốt phần LG SL % SL % SL % 30 66,7 23 51,1 10 22,2 Từ sở lý luận thực tiễn, qua thực tế giảng dạy qua việc phân tích thực trạng mạnh dạn đề xuất số kinh nghiệm, giải pháp hay để dạy học sinh yêu thích học tốt phân môn lượng giác -3- 2.4 Các giải pháp thực Giải pháp1 Giới thiệu toán với tư cách tình gợi vấn đề a) Tính gợi vấn đề tình gợi cho học sinh khó khăn lý luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết có khả vượt qua, tức khắc nhờ quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động điểu chỉnh kiến thức sẵn có Cần làm cho học sinh thấy rõ họ chưa có lời giải, có số kiến thức, kỹ liên quan đến vấn đề đặt họ tin tích cực suy nghĩ giải b) Giới thiệu toán với tư cách tình gợi vấn đề với mục đích làm cho vấn đề trở nên hấp dẫn tạo khả kích thích hoạt động tích cực học sinh c) Ví dụ: 1) Sau học công thức cộng, yêu cầu học sinh tính giá trị hàm số lượng giác cung không đặc biệt, chẳng hạn tính cos 150 Tình trở thành có vấn đề học sinh nhận thấy 15 số đo cung đặc biệt chưa biết thuật giải để trực tiếp giải toán Học sinh tích cực suy nghĩ, huy động tri thức, kỹ để tìm lời giải tập cách: Biểu thị 15 qua hai cung có số đo đặc biệt (15 = 600 - 450), từ áp dụng trực tiếp công thức cộng cos150 = cos(600 - 450) = cos600 cos450 + sin600 sin450 1 + = = ( + ) 2 2 = Để củng cố cho học sinh giải toán sau: Tính: P = sin 120 sin 480 Không sử dụng bảng, tính A= − sin 70 sin 10 Dựa vào kết biết sau: sinx cosx = sin x 1 sin x cos x = sin x 1 sin x cos x cos x cos x = sin x cos x = sin 8x sin x cos x cos x = Hãy nêu toán tổng quát áp dụng tính: π 3π 5π A = cos cos cos 7 -4- Tình gợi vấn đề không xảy từ đầu giáo viên yêu cầu học sinh tính giá trị biểu thức A không tạo điều kiện để học sinh vượt qua sau tích cực suy nghĩ Dự đoán nhờ nhận xét trực quan, học sinh dễ dàng nêu toán tổng quát Chứng minh rằng: sin x cos x cos x cos n x = sin n +1 x n +1 Như ta biết công thức tính: sinx cosx cos2x cos nx để tính biểu thức A ta làm nào? Có thể yêu cầu học sinh: Quan sát biểu thức A, tìm cách biến đổi để đưa dạng toán tổng quát: 3π 4π 5π 2π = − cos ; cos = − cos 7 7 π π 2π 4π sin cos cos cos π 2π 4π 7 7 cos = Suy ra: A = cos cos π 7 sin 8π π π sin sin( π + ) sin =8 =1 =1 = π π π 8 sin sin sin 7 Ta có: cos d) Bài tập tương tự: Giải phương trình sau: 1) cos x = cos ( sin x − 2) 3x ) sin x − cos x = tg x Giải pháp Vận dụng lý thuyết định hướng tìm tòi lời giải toán a) Việc giải toán yêu cầu quan trọng học sinh Do dạy học sinh giải toán, giáo viên không đơn cung cấp lời giải mà quan trọng dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ tìm đường hợp lý để giải toán b) Ví dụ1: Sau học "Công thức lượng giác" yêu cầu học sinh giải tập sau: Chứng minh: sinx sin( π π − x ) sin( + x ) = sin 3x 3 2, Chứng minh rằng: Trong ∆ABC có: -5- cosA + cosB + cosC = - 4sin 3A 3B 3C sin sin 2 Tìm giá trị lớn biểu thức: sin A + sin B + sin C M= cos A + cos B + cos C Trong đó: A,B,C ba góc tam giác Nhận xét: Đối với câu toán chứng minh đẳng thức lượng giác Trước chứng minh giáo viên kiểm tra lại kiến thức cũ câu hỏi H1> Để chứng minh đẳng thức ta làm nào? H2> Nhắc lại công thức biến đổi tích thành tổng? H3> Mối quan hệ hàm số lượng giác hai góc đối nhau? Với "tri thức cũ" vừa "tái hiện", học sinh dễ dàng chứng minh toán sau: Vế trái = sinx{ (cos(−2 x ) − cos = = 2π )} 1 1 sin 3x − sin x + sin x = sin 3x = vế phải 4 4 Đối với câu toán chứng minh đẳng thức lượng giác tam giác Học sinh biến đổi sau: 3(A + B) 3(A − B) 3x cos + (1 − 2sin2 ) Vế trái = 2cos 2 Với A+B+C = π => A+B = π - C, ta có: 3(A+B) = 3(π- C) = 3π - 3C = 2π +(π-3C) 3(A + B) 2π + (π − 3C) π 3C = cos[ ] = cos[π + ( − )] => cos 2 2 π 3C 3C =- cos ( − ) = − sin 2 3C 3(A − B) 3C cos + 1− 2sin2 Vậy,vế trái = - 2sin 2 = 3A 3B 3C sin sin = vế phải = 1- sin 2 Đối với câu 3, hỏi học sinh: H1> Cách tìm giá trị lớn biểu thức M? H2> Hãy quan sát biểu thức M xem có đặc biệt? (Tử số + mẫu số = 3) H3> Nhận xét M lớn nào? ( M +1 lớn nhất),hãy tính M +1? sin2 A + sin2 B + sin2 C + = M+1 = (*) cos2 A + cos2 B + cos2 C cos2 A + cos2 B + cos2 C -6- H4 > Biểu thức M +1 đạt giá trị lớn nào? (Khi cos2A+ cos2B + cos2C đạt giá trị nhỏ nhất) H5> Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức cos2A + cos2B + cos2C? Ta có: cos2A + cos2B + cos2C = - cosA cosB cosC Mà cosA cosB cosC ≤ (Áp dụng bất đẳng thức Côsi) Dấu "=" xẩy A = B = C = π Do đó: cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ - = 3 ≤ = = >M ≤ Suy ra: M+1 = cos A + cos B + cos C Vậy maxM = ∆ABC Có thể yêu cầu học sinh thực theo cách khác giáo viên đặt câu hỏi: H1>Biến đổi (*) để đưa phương trình bậc hai cosC? (*) cos2A + cos2B + cos2C = M +1 f (cosC) = cos2C - cos (A-B) cosC + = (**) M +1 H2> Để tìm giá trị lớn M ta làm nào? (Tìm điều kiện để (**) có nghiệm) (**) có nghiệm ∆ = cos2 (A-B) - 4(1- ) ≥ M ≤ M +1 H3>Dấu xảy nào? ∆ ABC c) Tương tự: Sau dạy "Phương trình lượng giác bản" yêu cầu học sinh giải phương trình sau: π π 1) cos (x+ ) + sin( + x ) = 2) tg ( π π + 3x ) tg ( + x ) = 3 Giải pháp Tuần tự nâng cao yêu cầu, tạm thời hạ thấp yêu cầu cần thiết a) Nhờ việc tổ chức hoạt động, đặc biệt phân bậc hoạt động dạy học mà người giáo viên điều khiển trình dạy học lớp, nâng cao yêu cầu b) Ví dụ: Sau dạy bài:"Dấu giá trị lượng giác" cho học sinh làm tập sau: -7- π < α < π Tính cosα ? b) Biết: sin α = Tính cosα? a) Biết: sin α = Nhận xét: Câu a, học sinh phải tính cosα biết sinα điểm cung α thuộc góc phần tư thứ hai Do đó, dấu cosα hoàn toàn xác định (cosαcos2α =1- sin2α = − 16 π =>cosα= − (Vì < α < π) = 25 25 2 Câu b, yêu cầu nâng cao học sinh biết yếu tố sinα= Do đó, từ cos2α= 16 => cosα = ± 25 Vấn đề đặt giá trị góc lượng giác có giá trị cos H1> Để biết cosα = − 4 hay cosα= + phải thêm giả thiết nào? (Biết 5 điểm cung α thuộc vào góc phần tư nào?) H2> Từ giả thiết sinα= > , cho biết điểm cung α thuộc vào góc phần tư nào? (Góc phần tư thứ thứ hai) Như vậy, hoạt động tính cosα tiến hành hai phương diện nhận thức khác nhau, tính trừu tượng đối tượng ngày tăng c) Tương tự: Sau học "Công thức biến đổi tích thành tổng" yêu cầu học sinh giải tập sau: Tính: 7π 5π cos 12 12 π 3π 5π + cos b) B = cos + cos 7 c) C = sin x + sin( x + a ) + sin( x + 2a ) + + sin [ x + (n − 1)a ] a) A = sin Tuần tự nâng cao yêu cầu học sinh dạy học phát huy tính tích cực, tính sẵn sàng học tập phát triển trí tuệ học sinh Trong trường hợp học sinh gặp khó khăn hoạt động, ta tạm thời hạ thấp yêu cầu Sau họ đạt nấc thấp này, yêu cầu lại nâng cao Giải pháp Sử dụng phương pháp dạy học phân hoá a) Việc kết hợp giáo dục diện" đại trà" với giáo dục diện "mũi nhọn", "phổ cập" với" nâng cao" dạy học Toán học trường phổ thông cần tiến hành theo tư tưởng chủ đạo sau: 1) Lấy trình độ phát triển chung học sinh lớp làm tảng -8- 2) Sử dụng biện pháp phân hoá đưa hs yếu lên trình độ chung 3) Có nội dung bổ sung biện pháp phân hóa giúp học sinh khá, giỏi đạt yêu cầu nâng cao sở đạt yêu cầu b) Phương pháp dạy học phân hóa 1) Đối xử cá biệt pha dạy học đồng loạt 2) Tổ chức pha phân hóa lớp - Ra tập phân hoá: - Điều khiển phân hoá thầy giáo: - Tác động qua lại người học: 3) Phân hóa tập nhà - Phân hoá số lượng tập loại phù hợp với loại đối tượng để đạt yêu cầu; - Phân hoá nội dung tập để tránh đòi hỏi qúa cao học sinh yếu thấp học sinh giỏi; - Phân hoá yêu cầu mặt tính độc lập: Bài tập cho diện yếu chứa nhiều yếu tố dẫn dắt tập diện khá, giỏi; - Ra riêng tập nhằm đảm bảo trình độ xuất phát cho học sinh yếu để chuẩn bị cho học sau; - Ra riêng tập nâng cao cho học sinh giỏi Ví dụ 1: Bài tập phân hoá nhằm củng cố công thức biến đổi tổng thành tích: 1) Biến đổi tổng thành tích biểu thức sau: A = cos x +cos x B = sin 2a − sin 4b C = sin x sin x + sin x 2) Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC, ta có: cos A + cos B + cos C = cos A B C cos cos 2 π 5π 7π + cos + cos 9 π 3π 5π 17 π B = cos + cos + cos + + cos 19 19 19 19 3) Tính: A =cos Đối với học sinh yếu trung bình yêu cầu em làm hai 1,2 Trong học sinh giỏi bỏ qua 1, sử dụng thời gian dôi để làm tập Ví dụ 2: Bài tập phân hoá nhằm cố " Phương trình lượng giác bản" 1) Giải phương trình sau: a) sin x = b) cos 3x = − 2 2) Giải phương trình sau: -9- a) sin( x − 15 ) = với -1200< x < 900 tgx − sin x = 2π x ) = cos ( + π) c) sin (5x + b) 3) Giải biện luận: a) (m - 1) sin x + - m = b) sin α cos x = c) (m - 4) tg 2x - m = Yêu cầu học sinh yếu trung bình làm tập tập Học sinh giỏi bỏ qua tập Trong học sinh giải tập, giáo viên cần ý đến hoạt động loại học sinh có giúp đỡ, động viên bảo cần thiết cụ thể Giải pháp Xây dựng hệ thống toán gốc sở kiến thức kỹ để giải toán a) Theo quan điểm tác giả, toán gốc toán thoả mãn ba điều kiện sau: i) Kết toán sử dụng nhiều việc tìm tòi lời giải toán khác ii) Phương pháp giải toán sử dụng việc tìm tòi lời giải toán khác iii) Nếu thay đổi giả thiết kết luận toán Nhận xét: Hệ thống các toán gốc giúp học sinh tìm chìa khóa để giải vấn đề quá trình giải toán b) Các phương pháp xây dựng toán gốc Xây dựng các toán gốc nhờ khai thác đẳng thức: sin2a+cos2a=1, ∀a Bài toán 1: Chứng minh đẳng thức: sin4a + cos4a = cos 4a + 4 Giải: sin a + cos a = [ (sin a ) +(cos a ) +2 sin a cos a ] − sin a cos a = = cos 4a + 4 Bài toán 2: Chứng minh đẳng thức: sin6a + cos6a = Giải: cos 4a + -10- sin a + cos a = (sin a + cos a)(sin a + cos a − sin a cos a) = cos 4a + 8 Bài toán3: Chứng minh đẳng thức: sin8a+cos8a= 35 cos 8a + cos 4a + 64 16 64 Giải: sin8a +cos8 a = (sin4 a +cos4 a)2 − 2sin4 acos4 a = = 35 cos 8a + cos 4a + 64 16 64 Ví dụ 1: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc α sin α + cos α −1 a) A = sin α+cos α−1 6 b) B = (2 sin α − sin α − sin α) + (2 cos α − cos α − cos α) Đối với câu a, học sinh vận dụng trực tiếp kết toán toán Đối với câu b, học sinh dễ dàng nhận thấy biến đổi biểu thức B để xuất kết toán toán Ví dụ 2: Giải phương trình: sin x + cos x = 2(sin x + cos x ) (*) Gặp toán này, vận dụng kết toán toán phương trình đưa dạng quen thuộc có cách giải 4 cos x + 8 35 cos 8x + cos 4x + Do (*) ⇔ cos x + = 8 32 32 6 Giải Ta có: sin x + cos x = ⇔ cos 4x = -1 ⇔ 4x = π + k 2π ⇔x= π kπ + (k∈ z ) Ví dụ 3: a) Chứng minh đẳng thức: sin10 x + cos10 x = 63 15 + cos4 x + cos8 x 128 32 128 b) Giải phương trình: sin10x + cos10x = 29 cos 2x 16 Nhận xét: Đối với câu a, phương pháp chứng minh đẳng thức hoàn toàn tương tự việc chứng minh toán -11- Đối với câu b, việc giải phương trình trở nên dễ dàng học sinh em chứng minh câu a c) Bài tập tương tự: 1) Giải phương trình: sin4x+ cos4x = π π cotg(x+ )cotg( − x ) cos6 x + sin6 x = mtg x 2) Cho phương trình cos2 x − sin2 x a) Giải phương trình m = b) Với giá trị m phương trình có nghiệm 3) Giải phương trình: sin8x+ cos8x = 17 cos2 x 16 4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: sin6 + cos6x = m (sin4x + cos4x) Hệ thống toán gốc để giải các toán hệ thức lượng tam giác Bài toán 1: Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta có: A B C a) sinA + sinB + sinC = cos cos cos 2 A B C b) cosA + cosB + cosC = 1+ sin sin sin 2 c) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC ( ∆ ABC không vuông) Bài toán 2: Chứng minh rằng: Trong tam giác ABC ta có: a) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC b) cos2A + cos2B +cos2C = -1- 4cosA.cossB.cosC c) sin2A + sin2B + sin2C = + 2cosAcosBcosC d) cos2A +cos2B + cos2C = 1- 2cossAcosBcosC Bài tập tương tự: 1) Chứng minh rằng: cos A +cosB +cosC >1 2) Chứng minh rằng: ∆ABC nhọn ta có: a) tgA + tgB + tgC ≥ 3 b) tg2A + tg2B + tg2 C ≥ Giải pháp Khắc phục sai lầm học sinh học giải toán a) Ở trường phổ thông, môn Toán có nhiều tình dạy học điển hình, xem giải toán hình thức chủ yếu hoạt động toán học Bởi vậy, chất vấn đề cho học sinh thử thách với toán dễ mắc sai lầm Cần phải tập cho học sinh phát chỗ sai lời giải, tìm nguyên nhân đề xuất cách giải b) Để giúp học sinh có phương pháp nhận biết lời giải sai, cần trang bị cho học sinh dấu hiệu quan trọng sau: - Kết lời giải toán mâu thuẫn với kết trường hợp riêng - Trường hợp riêng kết không thoả mãn toán -12- - Kết lời giải không chứa kết trường hợp riêng - Kết tìm mâu thuẫn với thực tế - Kết không bình đẳng yếu tố bình đẳng giả thiết - Kết lời giải khác kết lời giải khác - Đơn vị đo hai vế đẳng thức khác Cuối phải nói thấy học sinh mắc sai lầm nói chung không nên bác bỏ sai lầm mà cố gắng dẫn dắt khích lệ để học sinh tự nhận thức sai lầm c) Một số Sai lầm việc giải toán lượng giác: Sai lầm việc biến đổi biểu thức lượng giác Ví dụ 1: Giản ước biểu thức b−a sinx a a + btg x A= (Với b−a b−a 1+ ( sin2 x ) a x≠ π + kπ, k ∈ z;0 < a < b) Học sinh thường biến đổi sau: A= sin x a + btg x a + (b − a ) sin x = sin x a + btg x a (1 − sin x ) + b sin x = = sin x = tgx cos x Sai lầm viết cos x = cos x Nguyên nhân sai lầm nằm chỗ học sinh không nắm vững ý nghĩa ký hiệu Ví dụ 2: Biết cos α = π − < α < Tính sin α Cách giải sai: Từ sin2x + cos2x = sin2x = - cos2x sinx= − cos x = Phân tích sai lầm: Nguyên nhân việc dẫn đến sai lầm không nắm vững quy tắc phép toán đại số cho a =a Mặt khác, nguyên nhân kể tới không nắm vững cách xác định dấu giá trị lượng giác Muốn sửa chữa sai lầm liên quan đến việc tìm giá trị lượng giác phải cho học sinh thấy rõ: thực phép biến đổi lượng giác cần -13- tuân thủ cách nghiêm ngặt tất quy tắc cuả phép toán đại số Ngoài ra, muốn xác định dấu giá trị lượng giác phải xem điểm cuối cung thuộc cung phần thứ tư Cách giải đúng: sin2 α = 1- cos2 α ⇔ | sin α | = − cos α π Với - < α c cách viết A ≥ c hoàn toàn mặt lôgic Kết thực nghiệm 3.1.Tổ chức thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành trường THPT thông qua số tiết theo phân phối chương trình Lớp thực nghiệm lớp 11A10 có 44 học sinh (Được dạy theo giải pháp trên) Lớp đối chứng lớp 11A5 có 45 học sinh 3.2 Một số kết định lượng Trong trình thực nghiệm, tiến hành kiểm tra gồm hai tập để đánh giá a) Nội dung kiểm tra (thời gian làm 45 phút) Câu 1: Giải phương trình sau: a) sin 2 x + 8cos x − = ; b) cos2 x + 3cos x + = ; c) tan x + cot x = Câu 2: Giải phương trình sau: a) 2sin  x − π ÷ = 2sin x − t anx  b) sin x − cos2 x + 3sin x − cos x − = 4 b) Kết kiểm tra Điểm Lớ pLớp TN 11A7 Lớp ĐC 11A8 10 Tổng số 0 0 8 44 0 11 11 45 -16- Lớp Thực nghiệm: Yếu15,9%; Trung bình 36,4%; Khá 36,4%; Giỏi 11,3% Lớp Đối chứng: Yếu 31,1%; trung bình 42,2%; Khá 24,4%; Giỏi 2,3% Căn vào kết kiểm tra, bước đầu thấy hiệu giải pháp phát huy tính tích cực học sinh học tập thông qua giải tập lượng giác lớp 11 mà đề xuất thực trình thực nghiệm KẾT LUẬN a) Những học kinh nghiệm Từ biện pháp, giải pháp mà thực trình dạy học nói chung dạy giải tập lượng giác lớp 11 nói riêng thân nhận thấy để đạt hiệu cao người giáo viên cần: - Thường xuyên theo dõi học sinh làm để HS nhận thấy lỗi sai - Tìm nguyên nhân dẫn đến sai sót HS - Tìm cách giải thông dụng mà HS dễ hiểu - Trong giảng dạy giáo viên phải vận dụng linh hoạt phương pháp hình thức tổ chức dạy học phù hợp cho đối tượng HS - Tạo môi trường thân thiện, gần gũi với HS - Tuyên dương HS kịp thời dù tiến nhỏ nhất, tránh chê bai, gò ép HS - Phát huy tính tích cực, tự giác HS - Giáo viên phải yêu nghề, tận tâm với nghề, tận tụy với HS, quan tâm đến em trình học b) Kiến nghị, đề xuất 1) Kiến nghị với Sở GD&ĐT Thanh Hoá sau chấm SKKN; Những sáng kiến chất lượng, mang tính thực tiễn đổi phương pháp dạy học, nên phát hành rộng rãi cho giáo viên học tập học sinh tham khảo 2) Tôi mạnh dạn đưa kinh nghiệm mà đúc rút được, hy vọng nhiều có tác dụng đồng nghiệp học sinh Vì điều kiện thời gian, khuôn khổ viết, lực hạn chế nên viết tránh thiếu sót Rất mong quí thầy cô góp ý Tôi xin trân thành cám ơn! -17- XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết SKKN : Lê Thị Ngọc -18- ... nghiệm, giải pháp hay để dạy học sinh yêu thích học tốt phân môn lượng giác -3- 2.4 Các giải pháp thực Giải pháp1 Giới thiệu toán với tư cách tình gợi vấn đề a) Tính gợi vấn đề tình gợi cho học sinh. .. việc học sinh 2.3 Khảo sát, thực nghiệm Trước dạy phần lượng giác lớp 11 tiến hành khảo sát thực nghiệm lớp lớp 11A7, lớp 11A8 với nội dung: Tìm hiểu số học sinh thuộc công thức lượng giác, số học. .. thức lượng giác, số học sinh viết cách lấy nghiệm phương trình lượng giác bản, số học sinh nhớ cách giải phương trình lượng giác thường gặp Kết điều tra: STT Lớp 11A7 11A8 Sĩ số 43 45 HS thuộc