I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khi dạy đối tượng học sinh giỏi, đặc biệt dạy cho học sinh đội tuyển tham gia thi học sinh giỏi, việc hướng dẫn học sinh tư điều quan trọng người thầy Sau nhiều năm tham gia dạy đội tuyển học sinh giỏi lớp trường THCS Điện Biên, có số tập hình học hướng dẫn cho em học sinh giỏi khai thác nhiều cách giải Từ đưa số tương tự thay đổi kiện để chuyển sang tập dạng khác Một tập khai thác nhiều cách giải, cách ôn tập, khắc sâu đơn vị kiến thức liên quan Mỗi cách hướng dẫn học sinh cách định hướng, khai thác kiến thức khác giúp cho học sinh hiểu nhớ kiến thức hình sâu hơn, hệ thống Đó cách thường sử dụng để hướng dẫn em tư toán hình học Khi giảng dạy theo cách khai thác vậy, học sinh tư tốt thấy hứng thú với phân môn hình học Sau xin trình bày đề tài SKKN “ PHÁT TRIỂN TƯ DUY TỪ MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH GIỎI LỚP TRƯỜNG THCS ĐIỆN BIÊN” Mục đích nghiên cứu Tôi muốn thông qua việc hướng dẫn học sinh khai thác, phát triển từ số toán đường tròn, số toán hình học để phát triển tư đối tượng học sinh giỏi, hướng dẫn cho em cách học Toán nói riêng cách để học tập tốt Đối tượng nghiên cứu Giáo viên dạy đội tuyển lớp qua năm học Kết học tập học sinh giỏi lớp Phương pháp nghiên cứu - Lựa chọn tập theo dạng để hướng dẫn học sinh tổng hợp, nhận dạng thể loại từ xác định hướng giải - Củng cố kiến thức cho học sinh - Hướng dẫn cách phát triển số dạng, số tập cụ thể - Phát huy tư sáng tạo học sinh - Kiểm tra, đánh giá hiệu của phương pháp sử dụng II NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận Đối với học sinh có tư chất môn toán, em nằm đội tuyển thi học sinh giỏi môn toán nhà trường,việc hướng dẫn học sinh khai thác đề toán quan trọng Người thầy giáo phải hướng dẫn học sinh tư logic, xem xét tất khả xảy ra, nhìn góc độ, cách giải ôn tập kiến thức, từ giúp học sinh nắm vững kiến thức tư môn toán tốt Để làm tốt mục tiêu dạy phân môn hình, thầy cô giáo phải giảng dạy, rèn luyện cho học sinh nắm vững kiến thức hình học hệ thống từ lớp Chúng ta biết, để làm tập hình học lớp trên, cụ thể với lớp học sinh phải sử dụng nhiều kiến thức lớp dưới, kể từ lớp Học sinh thường yếu phân môn hình học em không nắm kiến thức chắn, hệ thống từ lớp Riêng dạng tập đường tròn, yêu cầu học sinh phải nắm vững tất kiến thức có liên quan để giải tập học sinh phát hiện, tìm hướng giải nhanh chóng Ví dụ - Sự xác định đường tròn, chứng minh nhiều điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp - Tính chất đối xứng đường tròn, mối liên hệ đường kính dây cung, dây cung khoảng cách đến tâm - Tiếp tuyến, tính chất tiếp tuyến, phương pháp chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn - Góc đường tròn 2.Thực trạng vấn đề - Học sinh lớp trường THCS Điện Biên Trong nhiều năm trước, thường phân công đón lớp phụ trách dạy đội tuyển, đối tượng học sinh học tốt thường thấy ngại làm tập hình Tìm hiểu biết em nắm kiến thức chưa sâu, học biết tính chất hệ thống Kết kiểm tra nhóm 20 học sinh có kiến thức môn toán xếp loại giỏi để tham gia ôn luyện chọn đội tuyển năm học 2014 – 2015 với kiểm tra Hình học sau Tổng số → 10 →8 →6 0→4 20 (10%) 11 (55%) (35%) Sau giảng dạy học sinh theo hướng trên, nhận thấy kiến thức phân môn Hình học học sinh có thay đổi, đặc biệt xếp dạy theo lớp từ lớp đến lớp 9, kết giảng dạy học sinh học phân môn Hình học sinh chọn đội tuyển HSG khả quan nhiều Tôi xin dẫn kết kiểm tra hình cho nhóm học với 17 học sinh, kết sau Tổng số → 10 →8 →6 0→4 17 (12%) (29%) 10 (59%) Trao đổi với bạn bè đồng nghiệp trường THCS địa bàn Thành phố triển khai đề tài trường THCS Trần Mai Ninh,Quang Trung, Minh Khai, Nguyễn Văn Trỗi nhận nhận xét tương tự bạn bè hỗ trợ việc thử nghiệm đề tài 3.Giải pháp tổ chức thực Tôi xin minh họa việc khai thác số ví dụ toán đường tròn trình giảng dạy cho đối tượng HSG Bài toán Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O, với AB > AC Kẻ đường cao AH, bán kính OA Chứng minh OAH = ACB - ABC ( Đây toán khai thác nhiều cách, giúp học sinh phát triển tư việc khai thác nhiều cách giải gây hứng thú học môn toán cho học sinh) Hướng dẫn: Cách HD Hình - Kẻ OI ⊥ AC cắt AH M - Áp dụng kiến thức góc tam giác - Góc nội tiếp, góc tâm Lời giải: Ta có OMH = ACB ( Cùng phụ MAI) ABC = AOC ( góc nội tiếp góc tâm chắn cung) Mà AOM = AOC ⇒ AOM = ABC ( sđAC) Trong ∆OAM OMH = AOM + OAH (Góc tam giác) Hay ACB = ABC + OAH Vậy: OAH = ACB - ABC (đpcm) Cách HD Hình Kẻ tiếp tuyến với đường tròn A cắt BC D Lời giải Ta có: ABC = CAD (1) ( chắn AC) OAH = ADC (2) (Cùng phụ với HAD) Cộng vế (1) (2) Ta ABC + OAH = CAD + ADC Mà CAD + ADC = ACB (góc tam giác) ⇒ ABC + OAH = ACB Vậy: OAH = ACB - ABC (đpcm) Cách HD Hình - Kẻ đường kính AOD - Kẻ DK ⊥ BC Lời giải: Ta có DK// AH ⇒ OAH = ODK (1) (so le trong) ABC = ADC (2) (góc nội tiếp chắn AC) Cộng vế (1) (2) Ta OAH + ABC = ODK + ADC = KDC Mà: KDC = ACB (Cùng phụ với BCD) ⇒ OAH + ABC = ACB Vậy OAH = ACB - ABC (đpcm) Cách HD Hình - Kẻ đường kính AOD - Kẻ CK ⊥ AD Lời giải: Ta có: OAH = KCB (1) (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) ABC = ADC (2) (góc nội tiếp chắn AC) Cộng vế (1) (2) Ta OAH + ABC = KCB + ADC Mà: ADC = KCA (Cùng phụ với KCD) ⇒ OAH + ABC = KCB + KCA = ACB Vậy : OAH = ACB - ABC (đpcm) Cách HD Hình - Kẻ đường kính AOD - Gọi M giao điểm AH DC Lời giải: Ta có: AMC = ACB (1) (Cùng phụ với HAC) ADM = ABC (2) (góc nội tiếp chắn AC) Trừ vế (1) (2) Ta được: AMC - ADM = ACB - ABC Mà: AMC - ADM = OAH (góc tam giác) Vậy OAH = ACB - ABC (đpcm) Cách HD Hình Kẻ OI ⊥ BC OK ⊥ AB Lời giải: Ta có: OAH = O (1) (so le trong) ABC = O (2) (Hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc) Cộng vế (1) (2) Ta OAH + ABC = O + O Mà O + O = ACB ( sđ AB) ⇒ OAH + ABC = ACB Vậy OAH = ACB - ABC (đpcm) Cách HD Hình Tại A kẻ tiếp tuyến Ax đường thẳng Ay // BC Lời giải: Ta có OAH = xAy (1) (Cùng phụ với OAy) ABC = BAy (2) (so le trong) Cộng vế (1) (2) Ta được: OAH + ABC = xAy + BAy = xAB Mà: xAB = ACB (góc nội tiếp chắn AB) ⇒ OAH + ABC = ACB Vậy OAH = ACB - ABC (đpcm) Bài 2: Cho tam giác ABC đều; O trung điểm cạnh BC Một góc xOy = 60 có cạnh Ox cắt cạnh AB M; cạnh Oy cắt cạnh AC N Chứng minh a) BM.CN = OB2 b) MO NO tia phân giác BMN CNM Đây kiến thức lớp 8, mở rộng học phần đường tròn lớp Hướng dẫn: a) ΔBMO ΔCON đồng dạng (g.g) ⇒ BM BO ⇔ BM.CN = BO.CO = BO2 = CO CN b) Từ cặp tam giác đồng dạng câu a) ta có BM BO MO BM MO = = ⇔ = CO CN ON BO ON B = MON = 600 ⇒ ΔBMO ΔOMN đồng dạng (g.g) ⇒ BMO = OMN hay MO phân giác BMN Tương tự NO phân giác MNC Bài 3: Cho ΔABC cân; B = C = α ; O trung điểm BC Một góc xOy = α có cạnh ox cắt AB M; cạnh Oy cắt AC N Chứng minh a) BM.CN = OB2 b) MO NO tia phân giác BMN CNM Hướng dẫn: Cách làm 2; toán tổng quát, trường hợp đặc biệt α = 600 Lên lớp em gặp lại toán dạng khác sau: Bài 4: Cho ΔABC cân đỉnh A O trung điểm BC;vẽ (O) tiếp xúc với cạnh bên H,K Một tiếp tuyến với (O) cắt AB; AC M; N a) Cho B = C = α tính MON b) Chứng minh OM; ON chia tứ giác BMNC thành ba tam giác đồng dạng c) Cho BC = 2a Tính tích BM.CN d) Tiếp tuyến MN vị trí tổng BM + CN nhỏ Hướng dẫn a) HOK = 1800 – A = α MON = HOK = α b) Xét ΔBMO ΔOMN có B = MON = α BMO = OMN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ⇒ ΔBMO ΔOMN đồng dạng (g.g) Chứng minh tương tự ΔCON ΔOMN đồng dạng c) Từ kết câu b) ta BM BO ⇔ BM.CN = OC OB = a2 = OC CN d) BM + CN ≥ BM CN = 2a ⇒ min(BM + CN) = 2a ⇔ BM = CN ⇔ MN // BC Khi làm tập lớp 9, giáo viên nhắc lại dạng gặp lớp , phân tích phát triển toán gây thích thú cho học sinh Bài 5:Cho tam giác ABC, phía tam giác, dựng tam giác ABF; ACD; BCE Chứng minh AE; BD; CF đồng quy Hướng dẫn: Gọi O giao điểm BD CF D Ta cần chứng minh A ; O ; E thẳng hàng Ta có ∆DAB = ∆CAF (c.g.c) A ⇒ B = F ⇒ AOBF nội tiếp F ⇒ O = B = 600 O = A = 60 ⇒ AOB = 1200 (1) 3O Tương tự: AOC = 1200 ⇒ BOC = 1200 ; BFC = 600 C B ⇒ BOCE nội tiếp ⇒ O = C = 600 (2) Từ (1) (2) ⇒ AOF = 180 ⇒ A ; O ; E thẳng hàng Hay AE ; BD ; CF đồng quy E Bài 6: Cho tam giác ABC, phía tam giác, dựng tam giác ABF; ACD vuông cân A Chứng minh CF = BD; CF ⊥ BD Hướng dẫn Chứng minh CF = BD tương tự toán ⇒ tứ giác AOBF nội tiếp (do AFO = ABO) ⇒ BOF = BAF = 90 D F A O C B Tiếp tục toán trên, gọi M; N; I trung điểm BF; CD; BC; ta có IM Là đường trung bình tam giác BCF nên CF (1) Tương tự IN // = BD (2) Mà CF ⊥ BD; CF = BD (3) IM // CF; IM = Từ (1); (2); (3) suy ra: IM ⊥ IN; IM = IN Hay ∆MIN vuông cân I D F A M N O B C I Nhận thấy ∆AMB ∆ANC vuông cân M N Từ ta có toán tiếp Bài Cho tam giác ABC, phía tam giác, dựng tam giác ABM vuông cân A M; ACN vuông cân N Gọi I N trung điểm BC ∆IMN tam giác gì? Nếu học sinh lần đầu gặp toán mà M chưa gặp dạng khó giải em Bài toán diễn đạt cách khác làm cho học sinh dễ dàng chứng minh C B I cách thay tam giác vuông cân ABM, CAN hình vuông ABDE ACHF ta toán đơn giản Ta có toán Bài 8.Cho tam giác ABC, dựng phía tam giác hình vuông ABDE ACHF a.Chứng minh BF = CE BF ⊥ CE b Gọi I, J tâm hai hình vuông M trung điểm BC Chứng minh ∆MIJ tam giác vuông cân F E A J H I D C M B Dưới tập xây dựng thuận đảo tổng quát toán lí thú sau Bài 9: Hai cạnh góc nhọn xAy tiếp xúc với đường tròn (O) cho trước điểm B,C Gọi M trung điểm AC, đường thẳng BM cắt đường tròn (O) N, đường thẳng AN cắt (O) D Chứng minh DB//AC Hướng dẫn : Nếu BD//AC BDA = DAC (so le) Mà BDA = ABM ( Góc nội tiếp, góc tiếp tuyến dây cung chắn cung) ⇒ ABM = DAC ⇒ ΔMAN ΔMBA Như để có kết luận toán cần chứng minh tam giác MAN MAB đồng dạng Thật vậy: Do M chung (1) Và MA2 = MC2 = MN.MB ( MC tiếp tuyến, MNB cát tuyến (O)) ⇒ MA MB = MN MA (2) Từ (1) (2) ⇒ ΔMAN ΔMBA đồng dạng ⇒ MAN = MBA = BDA ⇒ BD//AC (đpcm) * Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác toán đảo Bài 10: Cho (O) tiếp xúc với cạnh góc nhọn xAy B,C Từ B vẽ dây BD//AC AD cắt (O) N, BN cắt AC M Chứng minh MA = MC ( Học sinh chứng minh theo chiều ngược lại ( thuận) Bài lại khai thác thành toán tương tự sau: Bài 11: Cho (O) tiếp tuyến A Trên tiếp tuyến lấy điểm C (khác A) Gọi B trung điểm AC, kẻ cát tuyến BEF (E,F ∈ (O)), tia CE; CF cắt (O) M,N Chứng minh MN//AC Hướng dẫn: Nếu MN//AC ⇒ BCE = EMN (so le trong) Mà EMN = EFN (2 góc nội tiếp chắn cung EN) ⇒ ΔBCE ΔBFC đồng dạng (g.g) Như để có kết luận toán cần chứng minh hai tam giác BEC BCF đồng dạng Thật vậy: Do B chung BC2 = BA2 = BE.BF ⇒ BC BF = BE BC ⇒ ΔBCE ΔBFC đồng dạng (c.g.c) ⇒ BCE = BFC = EMN ⇒ AC//MN Với tập học sinh phát thấy tương tự tập 4, thay tiếp tuyến cát tuyến, kết luận đường lối chứng minh có bước tương tự Từ toán đảo lại sau: Bài 12: Cho (O) tiếp tuyến A, tiếp tuyến lấy điểm C khác A, vẽ cát tuyến CEM (E nằm C M) Vẽ dây cung MN song song với AC, CN cắt (O) F; EF cắt AC B Chứng minh BA = BC 10 (Học sinh chứng minh ngược lại toán thuận, cách làm tương tự 5) Bài 13: Cho tam giác ABC cân đỉnh A, tâm đường tròn nội tiếp I Qua I vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB E, cắt AC F, Chứng minh Rằng đường tròn tiếp xúc với đường thẳng AB,AC E F tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: Gọi (J) đường tròn tiếp xúc với AB; AC E F ⇒ Tâm J nằm đường phân giác AI BAC ΔABC cân ⇒ O nằm AI Để (O) (J) tiếp xúc tiếp điểm phải nằm đường nối tâm IJ Giả sử AI cắt (J) D Ta cần chứng minh D ∈ (O) ⇔ AD phải đường kính (O) ⇔ ABD = ACD = 1v (1) Mặt khác, ΔABC cân EF// BC ⇒ AE = AF nên AI ⊥ EF Do để có (1) cần chứng minh tứ giác EIDB FIDC nội tiếp chốt để đưa đến kết luận toán Thật vậy: Dễ thấy : ΔAED = ΔAFD (AE = AF; EAD = DAF; AD chung) ⇒ EDI = FDI Ta có AEF = EDF (cùng chắn cung EF) AEF = ABC (đồng vị) ⇒ EDF = ABC nên EDI = EBI Mặt khác D B nằm phía EF Do tứ giác BEDI tứ giác nội tiếp Ta có EID = 900 ⇒ EBD = 900 Hay ABD = 900 Tương tự ACD = 900 Do AD đường kính (O) Hai đường tròn (O) (J) có chung điểm D nằm đường nối tâm O nên chúng tiếp xúc D Bài 14: (Bài toán đảo) Cho đường tròn tiếp xúc với cạnh AB AC tam giác ABC cân đỉnh A tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác Chứng minh đoạn thẳng nối tiếp điểm đường tròn với hai cạnh AB AC chứa tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 11 Trong trường hợp ABC tam giác thường kết luận có không? Hướng dẫn chứng minh: Dễ thấy EF // BC ⇒ AEF = ABC = EMF E,M,F tiếp điểm (J) với AB,AC (O) Mà AM phân giác góc EMF Vì ΔAEM = ΔAFM ⇒ AM ∩ EF I EIM + EMB = 1v + 1v = 2v Nên tứ giác EBMI nội tiếp ⇒ EBI = EMI = 1 EMF = ABC 2 Suy BI phân giác ABC Chắc nhiều đồng nghiệp yêu toán làm quen với toán “con bướm” Trong đề tài xin đưa số dạng toán này, khai thác học sinh thấy thú vị việc tìm tòi phát triển toán Bài 15: Cho (O) dây cung MN, gọi I trung điểm MN Qua I vẽ dây cung AB CD bất kì, Nối AD BC hai dây cắt MN P Q Chứng minh IP = IQ Hướng dẫn : Từ O hạ OK ⊥ BC, OL ⊥ AD Nối OP OQ dễ thấy tứ giác OIQK nội tiếp đường tròn ⇒ IOQ = IKQ (1) Tương tự OIPL tứ giác nội tiếp ⇒ IOP = ILP (2) Ta lại có ΔCIB = ΔAID đồng thời OK ⊥ BC; OL ⊥ AD nên K,L trung điểm BC; AD ⇒ ΔCIK ΔAIL ⇒ IKQ = ILP (3) Từ (1); (2); (3) ⇒ IOQ = IOP hay OI phân giác POQ mà OI ⊥ PQ ⇒ Δ OQP cân hay IP = IQ (đpcm) Bài toán phát biểu dạng khác sau “ Cho tứ giác ADBC nội tiếp đường tròn tâm O, gọi I giao điểm hai đường chéo CD AB; MN đường thẳng vuông góc với OI I; P Q giao điểm hai cạnh đối diện CB AD với MN Chứng minh IP = IQ” Nội dung toán so với toán thay đổi Nhưng nghĩ ta đổi vai trò hai đường chéo thành hai cạnh đối diện, hai cạnh đối diện thành hai đường chéo Tôi có toán sau: Bài toán 16: 12 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O, gọi I giao điểm hai cạnh dối diện AD BC kéo dài ( điều kiện AD ≠ CB) Qua I ta dựng đường thẳng d vuông góc với OI, đường thẳng cắt hai đường chéo AC BD kéo dài M N Chứng minh IM = IN Hướng dẫn: Nối OM, ON, từ O hạ OH ⊥ BD; OK ⊥ AC Nhận thấy IHON nội tiếp (do I,H nhìn ON góc vuông) ⇒ IHN = ION (1) Tương tự tứ giác IKOM nội tiếp ⇒ IKM = IOM (2) Ta lại có ΔIBD ΔIAC đồng dạng ( I chung; B = A = sđ DC) OH ⊥ BD; OK ⊥ AC ⇒ H; K trung điểm BD; AC ⇒ ΔIHD ΔIKC đồng dạng ⇒ IHN = IKM (3) ⇒ Từ (1);(2) (3) ION = IOM; OI ⊥ MN ⇒ ΔOMN cân ⇒ IM = IN (đfcm) Nếu toán thay hai đường chéo BD AC hai cạnh đối diện lại DC AB có toán Bài toán 17: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O); gọi I giao điểm hai cạnh đối diện AD BC kéo dài, qua I dựng đường thẳng d ⊥ OI, cạnh DC AB kéo dài cắt d M N Chứng minh IM = IN Nối OM ON, từ O hạ OH ⊥ DC; OK ⊥ AB ⇒ H,K trung điểm DC AB Ta có tứ giác IHOK IOKN nội tiếp ⇒ IOM = IHM ION = IKN (1) Do H;K trung điểm DC AB ⇒ ΔIHC ΔIKA đồng dạng ⇒ IKN = IHM (2) Từ (1) (2) ⇒ IOM = ION mà OI ⊥ MN ⇒ IM = IN (đfcm) 13 Lưu ý : Ở toán 17 xảy DC // AB lúc ta xem hai điểm M,N xa vô tận hai phía (vì DC // AB // d) I trung điểm MN Từ toán 15;16;17 ta rút toán tổng quát: Bài toán 18: Cho (O); d đường thẳng (không phải tiếp tuyến (O), gọi I chân đường vuông góc hạ từ tâm O tới d Qua I kẻ cát tuyến IAB ICD tới (O) Gọi M,N giao điểm AD; BC với d Khi ta có I trung điểm MN PQ Nó tổng quát 15 d không cắt (O) d cắt (O) toán 15 Nếu ta đặc biệt hóa A ≡ B cát tuyến IAB suy biến tiếp tuyến, ta có toán sau: Bài toán 19: Cho (O), d đường thẳng (O), từ O hạ OI ⊥ d, qua I kẻ tiếp tuyến IA cát tuyến ICD, Gọi M,N giao điểm d với AD DC Chứng minh IM = IN Đương nhiên ICD suy biến tiếp tuyến IC có AC//d điều mà ta biết Nếu 19, ICD đường kính lại có toán 20 sau: Bài toán 20: Cho (O); đường thẳng d không cắt (O); đường kính DC ⊥ d I, qua I vẽ tiếp tuyến IA với (O), dây cung DA cắt d M dó ta có IA = IM Kết đạt Trên số tập minh họa cho phương pháp hướng dẫn học sinh tư duy, tạo ham thích học môn toán cho đối tượng học sinh giỏi Khi hướng dẫn em tìm lời giải cho toán hình học tìm nhiều cách giải thay đổi kiện để khai thác toán hình học, học sinh nắm kiến thức sâu Kết đội tuyển môn toán thi học sinh giỏi trường THCS Điện Biên hàng năm thường xếp tốp đầu Thành Phố Đặc biệt năm học 2013-2014, đội tuyển học sinh giỏi môn Toán môn Giải toán máy tính cầm tay xếp thứ 1/37 Năm học 2015-2016 đội tuyển Toán xếp thứ 1/37 trường Thành phố, năm học 2016 - 2017 đội tuyển Toán đạt 02 giải Ba, 01 giải KK; Giải toán máy tính cầm tay đạt 03 giải Ba xếp thứ 3/37 III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trên số tập minh họa việc dạy học sinh giỏi trường THCS Điện Biên khai thác số toán hình học Các giáo viên dạy học sinh học toán đặc biệt học sinh có khiếu, ham thích môn toán thường hướng dẫn học sinh theo cách nghĩ Trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi có nhiều đồng chí có kinh nghiệm giảng dạy chuyên 14 đề, phương pháp bồi dưỡng học sinh, cách phát lựa chọn học sinh, mong PGD Thành phố hàng năm có chuyên đề “ Bồi dưỡng học sinh giỏi” để giáo viên có điều kiện học hỏi kinh nghiệm lẫn công tác bồi dưỡng học sinh để kết mũi nhọn Thành Phố ngày nâng cao Rất mong đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp cho SKKN Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Người viết Hoàng Thị Sơn Quyên 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán nâng cao chuyên đề Toán nâng cao phát triển Vũ Dương Thụy Vũ Hữu Bình Báo Toán học tuổi thơ 16 PHỤ LỤC Đề mục I.MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu II.NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng vấn đề Giải pháp tổ chức thực Kết đạt III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trang 1 1 1 2 14 15 17 ... Trên số tập minh họa việc dạy học sinh giỏi trường THCS Điện Biên khai thác số toán hình học Các giáo viên dạy học sinh học toán đặc biệt học sinh có khiếu, ham thích môn toán thường hướng dẫn học. .. IM Kết đạt Trên số tập minh họa cho phương pháp hướng dẫn học sinh tư duy, tạo ham thích học môn toán cho đối tư ng học sinh giỏi Khi hướng dẫn em tìm lời giải cho toán hình học tìm nhiều cách... toán hình học, học sinh nắm kiến thức sâu Kết đội tuyển môn toán thi học sinh giỏi trường THCS Điện Biên hàng năm thường xếp tốp đầu Thành Phố Đặc biệt năm học 2013-2014, đội tuyển học sinh giỏi